FACULTAD DE ECONOMÍA UNAM
Maestría en Economía
LABORATORIO DE ECONOMETRÍA
2006
Pruebas de diagnostico en el modelo
Econométrico
Prof. Eduardo Alatorre
Normalidad
TallerEconometría
de Econometría
El modelo se distribuye como una función de
densidad de probabilidad normal
 1

(
)(
)
b
b


f y x ( y) =
exp
y
X
´
y
X
2 n/2
(2ps )
 2

1
El condicionamiento de la variable dependiente al
conjunto de variables independientes se distribuye
como una normas
Horacio
Horacio Catalán
Catalán Alonso
Alosno
TallerEconometría
de Econometría
Implicaciones:
Los estimadores se distribuyen como una función
de distribución normal
(
-1
2
ˆ
b  N b, s X' X 
)
Las siguientes pruebas de hipótesis son validas
t-Student´s
F-estadística
c2 ji-cuadrada
Pruebas de pronóstico
Horacio
Horacio Catalán
Catalán Alonso
Alosno
TallerEconometría
de Econometría
Prueba de Normalidad
Se pude determinar por medio del tercer y cuarto
momento central de la distribución
Primer momento. La media de la distribución
E(x) = m
Segundo momento. La varianza de la distribución
Var(x) = s2
Horacio
Horacio Catalán
Catalán Alonso
Alosno
TallerEconometría
de Econometría
Distribución normal
Var(x)
E(x)
Tercer momento. Sesgo de la distribución
(
3 = E u
ˆ /s
3
t
3
)= 0
Coeficiente de simetría
Horacio
Horacio Catalán
Catalán Alonso
Alosno
TallerEconometría
de Econometría
E(x)
Sesgo a la derecha
E(x)
Sesgo a la izquierda
Horacio
Horacio Catalán
Catalán Alonso
Alosno
TallerEconometría
de Econometría
Var(x)
E(x)
Simétrica
Horacio
Horacio Catalán
Catalán Alonso
Alosno
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de Econometría
Cuarto momento. Curtosis
(
3 = E u
ˆ
4
t
/ s
4
)= 3
Leptocúrtica
E(x)
Horacio
Horacio Catalán
Catalán Alonso
Alosno
TallerEconometría
de Econometría
Platicúrtica
E(x)
Var(x)
Mesocúrtica
E(x)
Horacio
Horacio Catalán
Catalán Alonso
Alosno
TallerEconometría
de Econometría
Prueba Jarque-Bera(1987). Utiliza un estadístico
en prueba que involucra la curtosis y la
asimetría.
Hipótesis nula H0: 3=0 y 4 -3 =0
Hipótesis alternativa H1: 3, dif 0 y 4 -3 dif 0
Horacio
Horacio Catalán
Catalán Alonso
Alosno
TallerEconometría
de Econometría
Combina las dos distancias:

ˆ 3 -0  0

ˆ 4 -3  0
Combina las dos distancias:
ˆ3
ˆ4
m
m

ˆ 3 =  3  ,
ˆ 4 = 4
ˆ 
ˆ 
s
s
1
m
ˆ i = u
ˆ ,i = 1,2 ,3 s
ˆ =
T t =1
T
1
T
i
t

 uˆ 
t =1

T
1/ 2
2
t
Horacio
Horacio Catalán
Catalán Alonso
Alosno
TallerEconometría
de Econometría
El estadístico para la prueba se distribuye como
una ji-cuadrada con 2 grados de libertad
JB = c ( 2 ) =
2
T
6

ˆ 
2
3
T
24
(
ˆ 4 - 3)
2
A un nivel de significancia del 5% el estadístico JB
tiene como valor crítico el 5.99
Horacio
Horacio Catalán
Catalán Alonso
Alosno
TallerEconometría
de Econometría
Consecuencias por la ausencia de normalidad
en los errores
 Las pruebas de hipótesis consideradas para
realizar inferencia estadística no son adecuadas
Causas que generan el problema
Las series utilizadas en el modelo no se
distribuyen como una normal
Presencia de valores extremos en la serie
Horacio
Horacio Catalán
Catalán Alonso
Alosno
Autocorrelación
Econometría
La autocorrelación se define como la existencia de
correlación entre ut con sus valores pasados:
(ut ut -k )  0
Las causas de la autocorrelación:
• La omisión de variables relevantes en la ecuación
estimada (Steward y Wallis, 1981)
• Transformaciones en las ecuaciones o ajustes
estaciónales (Davinson, Hendry, Srba, Yeo, 1978)
• La presencia de rezagos en el proceso de ajuste que no
fueron considerados en la ecuación inicial.
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Problemas de Autocorrelación
1) Los MCO siguen dando estimadores insesgados y
consistentes cuando se utilizan variables exógenas en
la ecuación inicial
2) Los MCO proporcionan estimadores sesgados e
inconsistentes en el caso en que se utilizan variables
endógenas en la ecuación inicial:
Horacio Catalán Alonso
Econometría
2.a) Los estimadores no tienen varianza mínima
2.b) Las estimaciones de los errores estándar tienden
por lo general a subestimar al valor real lo que se
traduce en la obtención de pruebas t que rechazan
excesivamente la hipótesis nula (Steward y Wallis,
1981, Maddala,1988)
2.c) Las predicciones muestran, por lo general,
valores
más
elevados
que
los
normalmente
esperados (Steward y Wallis, 1981)
Horacio Catalán Alonso
Econometría
La función de autocorrelación se define como:
( 3 ) V ( ) =
( u t u t - k )
( u )
2
t
Donde los intervalos de confianza están dados por:
 -1
2 1
(4) 
  /-  - 
 n 
n 2
Horacio Catalán Alonso
Econometría
n representa el número de observaciones
Los valores fuera de estas bandas indican la
presencia de autocorrelación
La estimación y detección apropiada de la
autocorrelación requiere que la serie corresponda a
un proceso estacionario
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Caso simple (Maddala, 1988):
(5)
et = et-1+ vt
Cuando  es estacionario → la media y la covarianza
son constantes (Judge et al 1982, p.385):
(6)
Et(etet-k) = Et(eses-k)
(7)
Et(e2t) = Et(e2t-k)
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Combinando las ecuaciones (6) y (7) se obtiene:
(8 )
E (e e )
E (e ) E (e
t
t-k
t
2
t
t
t
2
t-k
)
En el caso de una serie estacionaria, la autocorrelación
se define como:
(9 )
R
=
k
( e e
t
t-k
) /(  e
2
t
)
Donde la función de autocorrelación aparece como:
(10)
Rk =
(  e t e t- k )
( e )
2
t
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Durbin Watson
La prueba Durbin Watson se define como la razón de
la suma del cuadrado de la primera diferencia de los
residuales con respecto a la suma del cuadrado de los
residuales (Greene, 1991 y Steward y Wallis, 1981):
(11 )
d =
( e - e )
 (e )
2
t -1
t
2
t
La hipótesis nula (HO) es que no existe autocorrelación.
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Una aproximación, para grandes muestras, a esta
prueba puede obtenerse utilizando (Maddala, 1988):
(12)
d = 2(1-)
Donde et =et-1+vt
Horacio Catalán Alonso
Econometría
La ecuación (12) indica que cuando d difiere
sustancialmente de dos entonces existe la posibilidad
de autocorrelación serial
La ecuación (12) indica que si la autocorrelación es
cero (=0) entonces d=2
Por el contrario si existe autocorrelación positiva
(0<<1) entonces 0<d<2 y si existe una
autocorrelación negativa (-1<<0) entonces 2<d<4
Horacio Catalán Alonso
Econometría
CUADRO 1
rechazar
0
dl
aceptar Ho
du
2
rechazar
4-du
4-dl
4
donde dl es el limite inferior y du es el límite superior.
El cuadro 1 puede interpretarse de la siguiente forma:
• d<dl implica que Ho se rechaza.
• d>du implica que Ho no se rechaza
• d<d<du la prueba no es concluyente
Horacio Catalán Alonso
Econometría
La Durbin Watson es válida solo cuando las variables
incluidas en la ecuación son exógenas.
Durbin Watson pierde potencia cuando se incluyen
los valores rezagados de la variable dependiente en
la ecuación de regresión.
En este caso el valor del estadístico d esta sesgado
hacia 2 y puede por tanto indicar la independencia
serial cuando en realidad existe un problema de
autocorrelación.
Horacio Catalán Alonso
Econometría
H-Durbin
La prueba H de Durbin sigue siendo válida cuando se
incluyen valores rezagados de la variable dependiente:
(13 ) y t = 0   1y t  ...   k y t - k   k -1y t  u t
La H de Durbin se define como:
(14 )
H = 
n
(1 - nV ( ) )
1
Horacio Catalán Alonso
Econometría
donde
(15 )
( e e )
 =
( e )
t
t -1
2
t -1
y V ( 1 ) representa la varianza estimada de  1
Horacio Catalán Alonso
Econometría
La prueba H de Durbin es equivalente a estimar la
siguiente regresión:
(16 ) e t =  1e t -1   1 y t -1   2 y t - 2   3 x it  ...   k x kt  u t
Donde se analiza la significancia estadística de  1
El análisis de  1 es similar a incluir a et-1 en esta
ecuación y analizar su significancia estadística
Horacio Catalán Alonso
Econometría
La prueba del Multiplicador de Lagrange
Asumiendo que los errores son autorregresivos de
orden p entonces
(17 ) y t =  o   1 y t -1  ...   k y t - k   k 1 x it  u t
Se estima la siguiente regresión:
(18 ) u t =  0   1 e t -1   2 e t - 2  ...   p e t - p  v t
 o :  0 = 1 =  2 =  p = 0
El estadístico se distribuye como
X (  ) = nR .
2
2
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Opción alternativa:
(18 ) u t =  0   1 e t -1   2 e t - 2  ...   p e t - p   k   1 x it  v t
 o :  0 = 1 =  2 =  p = 0
El estadístico se distribuye como
X (  ) = nR .
2
2
De este modo, se rechaza la hipótesis nula de
independencia
serial si nR2 es mayor que el valor seleccionado de
X2().
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Corrección de Autocorrelación
Opciones:
1. Transformando a la ecuación inicial
2. Problema de especificación
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Transformación de la Ecuación Original
Considerando el caso de dos variables se tiene
que:
(19 ) y t = b 0  b 1y t  u t
Suponiendo un proceso autorregresivo de primer
orden:
( 20 ) u t =  u t -1  e t
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Se desprende que:
( 21 ) y t -  y t -1 = b 0 (1 -  )  b 1 ( x t -  x t -1 )  v t
v t = u t -  u t -1
v t sin autocorrelación serial
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Cochrane Orcutt
La prueba de Cochrane Orcutt estima el modelo inicial
dado por:
(22)
yt = b0 + Σ b1xit + ut
Suponiendo un
autocorrelación:
(23)
número
de
rezagos
de
la
et = Σ ixit + vt
De donde puede obtenerse :
(24)
 = Σ (etet-1) / Σ e2t-1)
Horacio Catalán Alonso
Econometría
El segundo paso es re-estimar por MCO la ecuación
original modificada utilizando el valor obtenido de 
para transformar la ecuación:
( 25 )
y t -  y t -1 = B 0 (1 -  )  B1 ( x t -  x t -1 )  et
Esta nueva ecuación se utiliza nuevamente para
obtener estimaciones de :
( 26 )
 e e 
 =
 e 
t -1
t
2
t -1
Este procedimiento se realiza iterativamente hasta
que las estimaciones de  convergen.
Horacio Catalán Alonso
Econometría
El Método de Durbin Watson en dos etapas
Estimar por MCO la siguiente ecuación para obtener
.
(27)
y t = b 0 (1 -  )  b 1 x t  b 1  x t -1   y t -1  e t
Con esta estimación inicial de  se transforma la
ecuación original y se estima entonces la ecuación
transformada:
(28)
y t -  y t -1 = b 0 (1 -  )  b 1 ( x t -  x t -1 )  v t
Horacio Catalán Alonso
Econometría
El Método de Difrenciación y de Ajuste Dinámico
Bajo el supuesto de que =1 entonces la ecuación
(28) puede escribirse con las variables en primeras
diferencias:
( 29 )
 y t = b 1 xt  vt
Corrige autocorrelación, pierde información
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Autocorrelación y los problemas de especificación
( 30 )
y t = b 0  b 1 xt  u t
Suponiendo que la autocorrelación es de orden uno:
( 31 )
u t =  u t -1  v t
Solución al problema de la autocorrelación:
( 32 )
y t = ( b 0 - b 0 )   y t -1  b 1 x t - b 1 x t -1  u t -  u t -1
Este modelo sin embargo es similar a estimar:
( 33 )
y t =  0   1 y t -1   2 x t -  3 x t -1  v t
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Con la restricción de que 1 2 = -3
Horacio Catalán Alonso
Heteroscedasticidad
TallerEconometría
de Econometría
La heteroscedasticidad se define como cambios
de la varianza del término de error de la ecuación
estimada
Supuesto: Varianza constante en el modelo
Var (Y / X = x ) = s
2
Horacio Catalán Alonso
TallerEconometría
de Econometría
Problema de Heteroscedasticidad
Var (Y / X = x) = h( x)
La varianza no es constante y es una función de
las variables explicativas del modelo
En términos más generales:
E ( ee ' ) = s 
2
Donde no se tiene elementos idénticos en la
diagonal
Horacio Catalán Alonso
TallerEconometría
de Econometría
Implicaciones del supuesto
Los estimadores son eficientes, es decir presentan
la menor varianza

Var ( bˆ ) = E (bˆ - b )(bˆ - b )
/

Desarrollando

-1
-1
ˆ
Var( b ) = E (X´ X ) X´ UU´ X(X´ X )
=s
2
(X´ X )
-1

X´ X(X´ X )
-1
Horacio Catalán Alonso
TallerEconometría
de Econometría
La matriz de varianzas y covarianzas puede ser
expresada como
-1
s 1
1
1





ˆ )=
(
)
(
)
Var( b
X
´
X
X
´

X
X
´
X
 n
 n

n  n
 


2
-1
Se requiere que la varianza sea finita. Lo cual se
cumple siempre y cuando los elementos de W sean
finitos
Horacio Catalán Alonso
TallerEconometría
de Econometría
Representación matricial
     s

 
2
X´ s X = x1  x n  0


      

2


2
s 
2
 s 
0
 x1 


 x2 


 xn 
Horacio Catalán Alonso
TallerEconometría
de Econometría
White: Términos no Cruzados
Esta prueba asume que la heteroscedasticdad es
función de la variables independientes de la
ecuación inicial
Yt = b 0  b1 X t  b 2 Z t  ut
Horacio Catalán Alonso
TallerEconometría
de Econometría
Yt =  0  1 X t   2 X
2
  3 Z t   4 Z t  wt
2
t
H 0 :  0 = 1 =  2 =  3 =  4 = 0
H1 :  0  0, 1  0, 2  0,  3  0 4  0
Esta prueba se distribuye como una Chi cuadrada
con el número de grados de libertad dados por el
número de variables incluidas en la regresión
auxiliar sin incluir la constante
Horacio Catalán Alonso
TallerEconometría
de Econometría
White: Términos Cruzados
Yt = b 0  b1 X t  b 2 Z t  ut
Yt =  0  1 X t   2 X t   3 X t Z t   4 Z t   54 Z t  wt
2
2
H 0 :  0 = 1 =  2 =  3 =  4 =  5 = 0
H1 :  0  0,1  0, 2  0,  3  0, 4  0, 5  0
Horacio Catalán Alonso
TallerEconometría
de Econometría
ARCH (1):
Esta prueba se basa en la estimación de una
regresión que incluye los valores rezagados al
cuadrado de los residuales de la ecuación original.
La
hipótesis
nula
es
que
no
existe
heteroscedasticidad
Está hipótesis se rechaza si los coeficientes de la
ecuación son estadísticamente significativos. La
prueba se distribuye como una Chi con ρ grados
de libertad
Horacio Catalán Alonso
TallerEconometría
de Econometría
Yt = b 0  b1 X t  b 2 Z t  ut
uˆ =  0   uˆ
2
t
2
1 t -1
 et
H 0 : 1 = 0
H 1 : 1  0
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Consecuencias:
1. Los MCO siguen siendo insesgados y consistentes
pero son ineficientes. Esto es la varianza ya no es
mínima pero el uso de los MCO sigue siendo válido
al menos en muestras grandes no obstante que no
representa un uso eficiente de la información
2. Los estimadores de la varianza son sesgados
3. Como consecuencia de que las estimaciones de la
varianza ya no son mínimas entonces las pruebas de
la significancia basadas en los t disminuyen su poder
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Causas:
1. Problemas de especificación
2. Variación en los coeficientes estimados
3. Problemas de agrupación de los datos
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Soluciones para la Heteroscedasticidad
1. Especificación dinámica
2. Utilizarse estimaciones por mínimos cuadrados
generalizados en donde se conoce o especifica a
priori la forma de la heteroscedasticidad
3. Reespecificar la ecuación original
Horacio Catalán Alonso
Cambio Estructural o Estabilidad
en los Parámetros
Econometría
Una de las hipótesis estructurales del modelo es la
constancia de los parámetros del modelo de
regresión, es decir la existencia de una estructura
Modelo general
=elXperiodo
b  ude
única, valida para Y
todo
observación y
t
t
t
que se mantenga para el horizonte de predicción
El no cumplimiento del supuesto de estabilidad de
los coeficientes, implica consecuencias serias, en
primer lugar la estimación de los coeficientes
produce resultados incorrectos, y en segundo
lugar, porque las proyecciones resultan erróneas.
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Supuesto: Parámetros invariantes en el tiempo
Modelo general
ˆ
b
Yt = X t b  u t
El valor de los estimadores no cambia
en el tiempo
Cambio Estructural.- Es un cambio en el valor de los
parámetros
Horacio Catalán Alonso
Econometría
1) La media condicional del modelo cambia en el
tiempo.
E (Y / X = x ) = X t b t
Los resultados que se obtienen no son
confiables.
El
modelo
no
aproxima
adecuadamente la evolución de la serie
2) El modelo no es adecuado para realizar
pronóstico
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Causas que generan el problema:
1) Problemas de especificación en el modelo. Es
necesario incorporar más información.
2) La variable dependiente presenta cambio
estructural. Debido a choque externos ó medidas
de política que han afectado su evolución
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Yt = X t b  u t
Para probar la existencia o no de estabilidad se han
desarrollado diferentes pruebas entre las cuales
están las conocidas como CUSUM, CUSUMSQ y
CHOW.
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Chow de Cambio Estructural
La prueba clásica para un cambio estructural es
atribuida a Chow (1960). Su famoso procedimiento
divide la muestra en dos subperíodos, estima los
parámetros para cada subperíodo y luego prueba
la igualdad entre los dos conjuntos de parámetros
utilizando un estadístico F clásico
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Supóngase el siguiente modelo :
Yt = X t b  u t
Consideramos que la muestra de t = 1,..., T
Se elige una fecha de cambio estructural t = n
Esa fecha divide en dos ala muestra T = T1 + T2
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Se realizan
dos estimaciones
ˆ u
YT 1 = XT 1b
1
T1
ˆ u
YT 2 = XT 2b
2
T2
La segunda estimación comprende a partir de la
fecha de cambio
H0: b1 = b2
H1: b1 distinto a b2
Horacio Catalán Alonso
Econometría
(RSS T - RSS T 1 - RSS T 2 ) / k
F=
(RSS T 1  RSS T 2 ) / (T - 2k )
k.- No. de parámetros en la ecuación
T.- total de datos
RSST.- suma de errores al cuadrado de toda la muestra
RSST1.- suma de errores al cuadrado de la muestra T1
RSST2.- suma de errores al cuadrado de la muestra T2
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Estimación por mínimos cuadrados recursivos
Es una serie de estimaciones por MCO. Donde la
muestra para cada estimación se incrementa
sucesivamente.
ˆ u
Yi = X ib
i
i
i =1, ..., T
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Prueba de Residuales Recursivos
La posible inestabilidad de las funciones podría
verificarse examinando el comportamiento de los
residuos que generan las estimaciones recursivas
de esos ajustes
Se genera una serie de estimadores.
Su
representación gráfica permite observar como el
estimador cambia en el tiempo
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Por estimaciones recursivas se entienden
aquellas en que la ecuación se estima
repetidamente, con la utilización siempre del
mayor subconjunto de los datos muestrales
Si hay k coeficientes por estimar en el vector b,
entonces las primeras k observaciones se utilizan
para calcular la primera estimación del vector. La
siguiente observación se incorpora al conjunto de
datos y todas las (k + 1) se utilizan para obtener
la segunda estimación del vector
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Ese proceso continua hasta que se hayan
empleado los n puntos muestrales, es que se
produce (n-k) estimaciones del vector b. En cada
paso la última estimación del vector se puede
usar para predecir el próximo valor de la variable
dependiente.
El error de pronóstico a un paso se conoce como
"residuos recursivos"
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Prueba
ˆ
vt = Yt - X t b
t -1

Var( vt ) = s 1  xt (Xt -1Xt -1 ) xt
2
/

Medida estandarizada
v~ =
vt
Var( vt )
Para t= k+1, ..., T
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Se construye la suma acumulada CUSUM
T
CUSUM = Wt =

j = k 1
v~j
s
ˆ
2
s
ˆ = RSS T /( T - k )
2
Se espera que E(Wt)=0 pero si los parámetros no
son constantes diverge del cero
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Límites
de no
rechazo
(k ,a T - k )
(T ,3a T - k )
=0.05 a= 0.948
El gráfico de esos residuos -o la suma acumulada
de estos- denominada CUSUM- en el tiempo
permite verificar desviaciones sistemáticas de
éstos desde su línea de cero que es el valor
esperado
Horacio Catalán Alonso
Econometría
3a T - k
a T -k
k
T
-a T -k
- 3a T - k
Horacio Catalán Alonso
Econometría
Cusum cuadrado (CUSUMSQ). Una medida
alternativa, aunque no equivalente a utilizar CUSUM,
consiste en emplear los cuadrados de los residuos
recursivos. De nuevo, la suma acumulada en el
tiempo de estos residuos al cuadrado, conocida
como CUSUM al cuadrado, permite comprobar
desviaciones no aleatorias desde su línea de valor
medio
La serie de CUSUM al cuadrado (CUSUMSQ),
debidamente estandarizada, tiene un valor esperado
que va de cero en t=1 hasta uno al final de la
muestra, t=T
Horacio Catalán Alonso
Econometría
CUSUM SQR
t
~
Wt =
w
2
j
j = k 1
t = k  1,...,T
T
w
2
j
j = k 1
t -k
~
E Wt  =
T -k
Horacio Catalán Alonso
Econometría
“La interpretación de los resultados de los tests
CUSUM y CUSUMSQ, requiere, no sólo del
dominio de la técnica de cálculo, sino también de
una documentación pormenorizada acerca de las
políticas y acontecimientos económicos del
período en estudio, ello para el análisis de los
puntos que se salen de las bandas.”
Horacio Catalán Alonso
Linealidad
TallerEconometría
de Econometría
Supuesto de Linealidad
Modelo general
Y = Xb  u
El modelo es lineal respecto a X
mt = E (Y / X = x ) = Xb
E (Y / X = x ) = g( X )
Donde g(X) es una función lineal que depende
del conjunto de variables
Horacio Catalán Alonso
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Implicaciones del supuesto:
 Permite garantizar el uso adecuado del método
de estimación de mínimos cuadrados
RSS = U‘U = (Y - Xb)'(Y - Xb)
= (Y – g(X))'(Y – g(X))
Si g(x) es lineal se puede aplicar un método de
optimización lineal a fin obtener un valor de los
ˆ = (X' X )-1 XY
estimadores b
Horacio Catalán Alonso
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 Los estimadores son insesgados
ˆb = (X' X )-1 X' Y
ˆb = (X' X )-1 X' (Xb  U )
ˆb = (X' X )-1 X' Xb  (X' X )-1 X' XU
Aplicando valor esperado

ˆ  = E (X' X )
E b

X' Xb
-1
-1
ˆ
E b = E (X' X ) X' Xb  (X' X ) X' XE U 
-1
ˆ  = Ib = b
E b
Horacio Catalán Alonso
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Si no se cumple el supuesto:
La función g(X) no es lineal el método de estimación
no es adecuado
Los estimadores son sesgados
Si la función g(X) no es lineal puede ser
aproximada por una finción polinómica
E (Y/X = x ) = g(X)  g(X)
2
 ....  g(X)
k
Horacio Catalán Alonso
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Especificación de la prueba
Las pruebas utilizadas para comprobar linealidad
en el modelo. Se basan en rechazar que el modelo
se pruede aproximar como una función polinómica
Hipótesis nula H0: Lineal
E (Y / X = x ) = g ( X )
Hipótesis alternativa H1: No lineal
E (Y / X = x ) = g ( X )  g ( X )  ....  g ( X )
2
k
Horacio Catalán Alonso
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de Econometría
Prueba RESET
Ramsey (1969), “Test for specification in classical
linear least squared regression analysis “, Journal
of the royal statistical society B, vol. 31 pp. 350-371
Y = Xb  u
ˆ = X bˆ
Y
modelo
estimación
Aproximación a la función polinómica
g (X)  g (X)
ˆ  Y
ˆ
Y
2
ˆ
 Y
3
2
 ....  g ( X )
ˆ
 ...  Y
k
=
k
Horacio Catalán Alonso
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Sea el modelo
Yt = b 0  b 1 X t  u t
Se obtiene la estimación
Yˆt = bˆ 0  bˆ 1 X t
Se planeta la regresión auxiliar
2
Y t =  0   1 X t   2 Yˆt  w t
Se obtiene
2
Yˆt = ˆ 0  ˆ 1 X t  ˆ 2 Yˆt
Horacio Catalán Alonso
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2
Yˆt = ˆ 0  ˆ 1 X t  ˆ 2 Yˆt
Sustituyendo la estimación de Y^ al cuadrado
2
2
Yˆt = ˆ 0  ˆ 1 X t  ˆ 2 (bˆ 0  2 bˆ 0 bˆ 1 X t  bˆ 2 X t )
Reordenando
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Y t = (ˆ 0  ˆ 2 b 0 )  (ˆ 1   2 2 b 0 b ) X t  ˆ 2 b 2 X t
Que es equivalente a:
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Yt = b 0  b 1 X t  b 2 X t   t
Horacio Catalán Alonso
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2
Yˆt = ˆ 0  ˆ 1 X t  ˆ 2 Yˆt
RESET (1)
Se plantea la siguiente prueba de hipótesis
H 0 : 2 = 0
H1 : 2  0
Hipótesis nula el modelo
es lineal
Hipótesis alternativa
modelo NO ES LINEAL
el
Horacio Catalán Alonso
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Prueba F
2
Y t =  0   1 X t   2 Yˆt  w t
Yt = b 0  b 1 X t  u t
Modelo sin restricción
Modelo con restricción
Se definen
URSS.- suma de errores al cuadrado
de la regresión sin restricción
RRSS.- suma de errores al cuadrado
de la regresión CON restricción
Horacio Catalán Alonso
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F =
( RRSS
- URSS
)/ m
URSS /( T - k )
m es el número de restricciones
k los grados de libertad sobre la regresión de
la hipótesis alternativa
RRSS
0.133339
URSS
0.133312
T-k
85
Horacio Catalán Alonso
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2
3
ˆ
ˆ
ˆ
Y t = ˆ 0  ˆ 1 X t  ˆ 2 Y t  ˆ 3 Y t
RESET(2)
Se plantea la siguiente prueba de hipótesis
H 0 : 2 = 3 = 0
Hipótesis nula el modelo
es lineal
H 1 :  2  0, 3  0
Hipótesis alternativa el
modelo NO ES LINEAL
Horacio Catalán Alonso
Referencias
Bera a. y C. Jarque(1980). “Efficient Test for Normality,
Hetroscedasticity and Serial Independence of Regression Residuals.
Economic Letters, 6, pp. 255-259.
Brown, R., J. Durbin y J. Evans (1975), “Techniques for testing the
Constancy of Regression Relationships Over Time”. Journal of the
Royal Statistical Society, 37, pp.149-192.
Doornick, J. A. Y D. F. Hendry (1992), PC GIVE: An interactive
Econometric Modelling System, versión 7. University of Oxford,
agosto, pp. 262.
Engle, R.F. (1983), “Wald, Likelihood ratio and Lagrange Multiplier
tests in Econometrics”, en Handboo k in Econometrics, K. Arrow y M.
Intrilligator (eds), vol. II, North Holland, pp. 776-826.
Greene, W. H. (1991), Econometric Analysis. Maxwell MacMillan
International, pp.783.
Hendry, D.H. y G Mizon (1978), “Serial Correlation as a
Convenient Simplification, not a nuisance: a Comment on a Study
of the Demand for Money by the Bank of England”.Economic
Journal, 88, septiembre, pp. 549-563.
Johnston, J. (1984), Econometric Methods. McGraw Hill.
Judge, G., R. Hill, W. Griffiths, T. Lee y H Lutkepol (1982), An
Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. John
Wiley.
Maddala, G.S. (1988), Introduction to Econometrics. Maxwell
MacMIllan International Editions, pp. 472
Spanos, A. (1986), Statistical Foundations of Econometric
Modelling. Cambridge University Press, pp. 695.
Steward M. B. y K. F. Wallis (1981), Introductory Econometrics.
Basil Blackwell LTD, pp. 337.
White, H. (1980), “ A Heteroscedasticity-Consistent Covariance
matrix Estimator and a Direct Test for Heteroscedasticity”.
Econometrica. Núm. 48, pp. 817-838.
FACULTAD DE ECONOMÍA UNAM
Maestría en Economía
LABORATORIO DE ECONOMETRÍA
2006
Pruebas de diagnostico en el modelo
Econométrico
Prof. Eduardo Alatorre
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Pruebas de diagnóstico en el modelo - Redeco