INTEGRALES MULTIPLES
Dobles integrales sobre rectángulos
INTEGRALES MULTIPLES
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Valor promedio
INTEGRALES MULTIPLES
Integrales Iteradas
Suponga que f es una función de dos variables que es integrable en el
rectángulo R=[a,b]X[c,d]. Usamos la notación
para indicar que x se
mantiene fija y que f(x,y) es integrable con respecto a y de y=c a y=d.
Entonces, definamos A(x) una función que depende de solo x, al integrar
Si integramos ahora A(x) con respecto a x de a a b
Que se le denomina Integral Iterada.
INTEGRALES MULTIPLES
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En el caso que una doble integral f pueda ser escrita como el producto de dos
integrales:
PROPIEDADES
INTEGRALES MULTIPLES
DOBLES INTEGRALES SOBRE REGIONES GENERALES
Regiones tipo I
INTEGRALES MULTIPLES
DOBLES INTEGRALES SOBRE REGIONES GENERALES
Regiones tipo II
INTEGRALES MULTIPLES
INTEGRALES MULTIPLES
INTEGRALES MULTIPLES
Propiedades de las dobles integrales
INTEGRALES MULTIPLES
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INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES
INTEGRALES MULTIPLES
INTEGRALES MULTIPLES
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INTEGRALES MULTIPLES
INTEGRALES MULTIPLES
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INTEGRALES TRIPLES
INTEGRALES MULTIPLES
INTEGRALES MULTIPLES
Integral Triple de Tipo 1
Integral Triple de Tipo 1.I
Integral Triple de Tipo 1.II
INTEGRALES MULTIPLES
INTEGRALES MULTIPLES
Integral Triple de Tipo 2
Integral Triple de Tipo 3
INTEGRALES MULTIPLES
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INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que implican
simetría alrededor de un eje, y el eje-z se elige para coincidir con este
eje de simetría. Por ejemplo, el eje del cilindro circular con ecuación
cartesiana x2+y2=c2 es el eje-z. En coordenadas cilíndricas
este cilindro tiene un ecuación muy simple r = c. Esta es la razón para el
nombre de coordenadas “cilíndricas”.
INTEGRALES MULTIPLES
Evaluación de integrales triples en coordenadas cilíndricas
INTEGRALES MULTIPLES
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Integrales triples en coordenadas esféricas
INTEGRALES MULTIPLES
INTEGRALES MULTIPLES
Evaluación de integrales triples en coordenadas esféricas
Donde a ≥ 0, β-α ≤ 2π, d-c ≤ π.

 i
 i sin  k  
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d
d
 sin  d 
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