Prueba de Hipótesis
Una hipótesis estadística es un supuesto que se
establece sobre las características de una
distribución poblacional
El estudio se plantea para la toma de decisión, es decir aceptar o
rechazar el supuesto establecido respecto de algún parámetro de
la población.
La hipótesis nula (Ho) es un supuesto acerca de uno o más
parámetros de la población que debe ser rechazado o no en base
a la evidencia muestral.
Si la hipótesis nula es falsa, deberá existir otra hipótesis que sea
verdadera. Esta hipótesis recibe el nombre de hipótesis
alternativa (H1)
Prueba de Hipótesis
REGLAS DE DECISIÓN: CRITERIO DE TEST
El criterio de test se basa en la decisión de rechazar o no la
hipótesis nula, considerando la información aportada por una
muestra.
Se debe establecer un valor crítico que determina una región de
rechazo y una región de no rechazo de la hipótesis nula.
La decisión puede tener como resultado dos tipos de errores a
tener en cuenta: Error de tipo I y II.
Error de tipo I: es rechazar una hipótesis nula cuando esta es
verdadera
Error de tipo II: este error se comete al NO rechazar una
hipótesis nula cuando en realidad es falsa.
Prueba de Hipótesis
Elementos para el estudio de prueba de hipótesis:
1) Fijar la hipótesis nula. (Dado que la hipótesis alternativa queda
automáticamente determinada como su complemento)
2) Determinar el estadístico muestral que servirá como evidencia
para la toma de decisión a fin de rechazar o no el parámetro
poblacional
3) Determinar la zona de rechazo de la hipótesis nula.
Prueba de Hipótesis
Tipos de pruebas:
1) Prueba unilateral izquierda: la región de rechazo de Ho se
encuentra a la izquierda de la distribución.
2) Prueba unilateral derecha: la región de rechazo de Ho se ubica
en el extremo derecho de la distribución.
3) Prueba bilateral: se establecen zonas de rechazo de Ho en
ambos extremos de la distribución.
La hipótesis alternativa determina la localización de la región de
rechazo de Ho y el nivel de significación el tamaño de dicha
región.
Prueba de Hipótesis
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PARÁMETROS
POBLACIONALES (Muestras grandes)
Ejemplo: Un estudio de medio ambiente da cuenta que la lluvia
ácida causada por la reacción de ciertos contaminantes del aire
con el agua de lluvia disminuye la acidez del aire, afectando las
tierras de cultivos.
El PH (medida de la acidez) en ambientes no contaminados es de
5,7.
Se sospecha que la instalación de fábricas produce
contaminación y el investigador formula la hipótesis de que el
ambiente está contaminado y el PH de la lluvia que cae en la
zona es inferior a 5,7. Estableciendo las siguientes hipótesis:
Ho) µ ≥ 5,7
H1) µ ˂ 5,7
Prueba de Hipótesis
Continúa ejemplo:
µ es el promedio de PH de lluvia caída (a menor PH mayor
acidez)
El estadístico para tomar la decisión es la media muestral .
Rechazaremos la hipótesis nula cuando el estimador puntual
media muestral tome valores más pequeños que 5,7.
Se toma una muestra de n = 40 precipitaciones, se mide el PH y
se obtiene un promedio de 3,7 con una desviación estándar de s
= 0,5
El investigar tolera equivocarse un 5 % de las veces, ᾴ = 0,05
para eso buscamos el valor z que acumula 0,05 de probabilidad.
En la tabla de la normal encontramos que ese valor z es – 1,645
Prueba de Hipótesis
Determinación del valor crítico:
х* = z σ/ √η + µo
Si x ≤ x* se rechaza Ho
Si x ˃ x*
no se rechaza Ho
x * = -1,645 0,5 √40 + 5,7
entonces x* = 5,57 (valor crítico)
Si x ≤ 5,57 se rechaza Ho,
Si x ˃ 5,57 no se rechaza Ho
Dado que la media muestral es 3,7 cae en la zona de rechazo de
Ho, el investigador rechaza la hipótesis nula y acepta la
alternativa. Se concluye que el ambiente presenta contaminación
producida por la lluvia ácida.
Prueba de Hipótesis
Estimar por intervalos el verdadero PH de la población
Se construye el intervalo:
P( 3,7 - 1,96 . 0,5 /√40 ≤ µ ≤ 3,7 + 1,96 . 0,5 / √40 )
P ( 3,55 ≤ µ ≤ 3,85 ) = 0,95
Conclusión: el valor estimado es muy inferior al planteado en la
hipótesis nula por lo cual se concluye que la contaminación por
lluvia ácida es importante.
Prueba de Hipótesis
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN
POBLACIONAL (Muestras grandes)
Cuando el tamaño de la muestra es grande la variable aleatoria
proporción muestral p se distribuye normalmente con esperanza
igual a P y desviación estándar igual a √P.Q / √n
Por lo tanto podemos utilizar p como criterio de test para probar
hipótesis con respecto al parámetro proporción poblacional P.
z=
p–P
᷉
√P .Q / √n
N (0,1)
Prueba de Hipótesis
PRUEBA DE HIPÓTESIS para P ejemplo:
Se conoce que el 20% de la población mayor a 15 años fuma. Se
hace una campaña de lucha contra el hábito de fumar durante
seis meses y se decide estudiar si ha disminuido dicho hábito.
Se toma una muestra aleatoria de 1000 personas adultas y se
realiza una encuesta consultando si fuma o no. La información
proporcionada revela que el 12 % de las personas fuma
habitualmente. Se decide poner a prueba la hipótesis estadística
de que la campaña publicitaria había disminuido la cantidad de
fumadores.
Las hipótesis planteadas son:
Ho): P ˃ 0,20
H1): P ˂ 0,20
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PRUEBA DE HIPÓTESIS para P ejemplo:
Las reglas de decisión serán:
Rechazar Ho si p ˂ p* = Po + z . √P.Q / √n
Si se fija un ᾴ = 0,05, z = será igual a – 1,645
P es el valor que toma el parámetro en la hipótesis nula y Q el
complemento.
√P.Q = √0,20 . 0,80 = 0,0126 y
√n
√1000
p*= 0,20 – 1,645 . 0,0126
p* = 0,179 el valor p= 0,12 cae en la región de
rechazo de Ho por lo cual se puede concluir que la cantidad de
fumadores ha disminuido después de la campaña de
concientización.
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PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA
POBLACIONAL
El estadístico a utilizar es:
( n -1 ) S² ᷉ Ҳ² (n-1)
σ²
Veamos con un ejemplo:
Un operador de bolsa al aconsejar a un cliente con respecto a la
inversión de una determinada acción, destaca la poca
variabilidad de la cotización. Según el operador estas acciones
presentan una varianza en las cotizaciones diarias σ² = 0,2
El cliente quien desea hacer una fuerte inversión decide poner a
prueba la hipótesis del operador estableciendo las siguientes
hipótesis estadísticas:
Ho): σ² ≤ 0,2
H1): σ² ˃ 0,2
Prueba de Hipótesis
Ejemplo para LA VARIANZA POBLACIONAL
Selecciona una muestra de 15 días donde registra la cotización
diaria de las acciones y el cálculo de la varianza en la muestra
dio S² = 0,4
La regla de decisión a seguir será:
Rechazar Ho si:
Ҳ² = ( n -1 ) S² ᷉ Ҳ² (n-1) ˃ Ҳ² ᾴ(n-1)
σ²
Si fijamos ᾴ = 0,05 el valor de Ҳ² con 14 grados de libertad es 23,7
Calculamos el estadístico: 14 . 0,4 = 0,28 cae en la zona de rechazo
0,2
de Ho, se concluye que el operador estaba equivocado y la
cotización diaria de la acción es mucho más variable de lo que él
cree
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