Pobreza infantil en América
Latina
El proceso de agregación
Ernesto Espíndola
División de Desarrollo Social. CEPAL
Sesión 3, San Salvador, 9 de octubre de 2012
¿Qué es el proceso de agregación?
• La agregación es la sintetización de la
información en un solo valor (índice) que
permita evaluar la extensión de la pobreza y
hacer comparaciones de distinto tipo.
• No todo índice es adecuado para medir la
pobreza en todas las situaciones. Existen ciertas
propiedades o “axiomas” que determinan los
usos de un índice.
El enfoque axiomático
El enfoque axiomático se basa en un
conjunto de criterios que establecen ciertas
propiedades que debe satisfacer un
indicador. A tales propiedades se las
denomina axiomas y el primer autor que
estableció algunos de los axiomas fue Sen
(1976).
Los axiomas de Sen (y otros).
Invariancia, dominancia y subgrupos
Axioma Focal o de Dominio: El índice de pobreza es invariante ante cambios
en el bienestar de los individuos considerados no pobres (situados por encima
del umbral de pobreza).
Axioma de monotonía: Este axioma postula que cualquier pérdida de
bienestar en los individuos considerados pobres incrementa el índice de
pobreza. Otros autores: Monotonía débil y fuerte (este último demuestra que
aumentos de bienestar que traspasan el umbral disminuyen el índice de
pobreza).
Axioma de transferencias (4 versiones): si se hacen transferencias para
reducir la desigualdad entre los pobres (es decir, la transferencia se hace de
individuos considerados pobres a individuos más pobres) el índice de pobreza
reducirá su valor.
Axioma de Descomponibilidad Aditiva: todo índice de pobreza agregado
puede ser expresado como suma de índices de pobreza de cada subgrupo de
la población, donde cada uno de los subgrupos de la población está
ponderado por su correspondiente peso.
Independencia (invariancia) de la replicación: El indicador no cambia ante
replicaciones idénticas de la población.
Los axiomas de Sen (y otros)
Axioma de Simetría: dadas dos distribuciones de ingresos donde una
se obtiene a partir de una permutación de la otra, el indicador de
pobreza de ambas distribuciones de ingresos coincide. La importancia
de este Axioma es que establece que se pueden ordenar el nivel de
bienestar de mayor a menor o viceversa (entre los pobres), sin que el
valor del indicador se vea afectado.
Axioma de Continuidad: El indicador de pobreza es continuo como
función del vector distribución del bienestar de la población estudiada
para un nivel de pobreza dado.
Axioma del Incremento de la Línea de Pobreza: Dadas dos
poblaciones idénticas, una con la línea de pobreza mayor debe tener
también mayor el indicador de pobreza.
Axioma de Normalización: Si no existen individuos por debajo de la
línea de pobreza, entonces el indicador de pobreza vale 0.
NO TODOS LOS AXIOMAS SON COMPATIBLES ENTRE SÍ (Domínguez y Martín, 2006)
Índice de agregación para pobreza por ingresos
El más conocido corresponde a la familia de índices paramétricos expresados
por Foster, Greer y Thorbecke (1984), que se derivan a partir de la siguiente
expresión:

FGT 
 z  yi 
 

n i 1  z 
1
q
donde n representa el tamaño de la población, q equivale al número de
personas con ingresos inferiores a la línea de pobreza o indigencia (z), y el
parámetro α > 0 asigna distintos grados de relevancia a la distancia entre los
ingresos (y) de cada individuo pobre o indigente y la línea de pobreza o
indigencia.
Cuando α toma el valor de 0, la expresión anterior corresponde al denominado
índice de recuento (H), que contabiliza la proporción de personas con ingresos
inferiores a la línea de pobreza o indigencia:
H 
q
n
Índice de agregación para pobreza por ingresos (2)
Cuando α es igual a 1 se logra un indicador del déficit relativo de ingresos de los
pobres con respecto al valor de la línea de pobreza o indigencia, que se conoce
como brecha de la pobreza (PG) o de indigencia:
 z  yi 
HG   
  H I
n i 1  z 
1
q
I 
donde I es la “proporción de brecha de ingreso”, definida como
z y
z
z representa la línea de pobreza e y es el ingreso promedio de la población pobre.
Por último, cuando α toma el valor de 2 se logra un índice que también
considera el grado de disparidad en la distribución del ingreso entre los pobres
o indigentes. Este indicador mide la distancia entre la línea de pobreza o
indigencia y el ingreso individual, pero eleva al cuadrado dicha distancia, para
dar un mayor peso relativo en el resultado final a quienes están más lejos de
superar la pobreza o indigencia:
 z  yi 
FGT 2   

n i 1  z 
1
q
2
Índice de Agregación de
Bourguignon y Chakravarty (2003)
 m
1


P ( X ; z )    a j  MAX
n i S j  j 1



x
 1  ij ; 0 

z j 









 m

 
x ij   
1

i

   a j  S j 1 

n i S j  j 1  
z j   

 



Índice de Agregación de
Bourguignon y Chakravarty (2003) (2)
 m
1


P ( X ; z )    a j  MAX
n i S j  j 1



x ij  
1 
;0 

 
z
j

 



 m





x
1

ij
i
 
   a j  S j 1 
n i S j  j 1  
z j   

 



Especificaciones metodológicas
• θ es el parámetro de elasticidad de sustitución entre las
brechas de varios atributos: 1
• aj es el factor de ponderación del atributo j: complemento
de la “no privación” ajustado
• Doble umbral: de categorías ordinales
intervalares (con privación extrema=0)
a
puntajes
• Diferencia con método NBI: Extrema pobreza definida por
umbrales graves y no por cantidad de privaciones
• Diferencia con I. de Bristol: Severidad y profundidad no es
conteo de privaciones, sino “intensidad de la privación”
(ponderada por número de privaciones con peso aj)
Índice de Agregación de Bourguignon y Chakravarty (2003)
 m
1


P ( X ; z )    a j  MAX
n i S j  j 1



x ij  
1 
;0 

z j  





 m

 
x ij   
1

i

   a j  S j 1 

n i S j  j 1  
z j   

 



Familia básica de índices:
Índice de recuento
(  0 ;   1):
Índice de profundidad
(brecha de pobreza:
  1 ):
0
 m

x ij  
1
1
i

 
H    a j S j 1 

n i S j  j  1
z j  
n



 m

x ij  
i



PG    a j S j 1 

n i 1  j 1
z j  



wj
q
Donde a j  m
, w  1 j
j
n
 wj
q
1
j 1
Índice de severidad
(equivalente a FGT2),
cuando   2 :


x ij  
i



SI    a j S j 1 

n i 1  j 1
z j  



1
0
 m

x ij  
i

  q


a
S
1

  j j z  n
i 1
j 

 j 1
q
q
m
2
,y
n
qj 
S
i 1
i
j
Índice de Agregación de Alkire y Foster (2007)
Índice de Agregación de Alkire y Foster (2007)
Índice de Agregación de Alkire y Foster (2007)
Índice de Agregación de Alkire y Foster (2007)
CALCULANDO LA POBREZA INFANTIL (BOURGUIGNON Y CHAKRAVARTY)
Ejemplo básico
 m
1


P ( X ; z )    a j  MAX
n i S j  j 1



x ij  
1 
;0 

z j  





 m

 
x ij   
1

i

   a j  S j 1 

n i S j  j 1  
z j   

 



Matriz 1: dimensiones con valores homologados (recodificados)
Casos
Nutrición
Agua
Vivienda
Saneamiento Educación
Información
1
1
3
1
3
3
3
2
3
3
2
3
3
3
3
2
3
1
3
3
3
4
3
2
3
2
3
3
5
3
3
3
3
3
3
6
3
1
3
1
1
1
7
3
3
3
3
2
3
8
3
3
1
3
3
3
9
3
3
2
2
3
3
10
3
3
2
2
2
2
Umbral Zj:
2
CALCULANDO LA POBREZA INFANTIL (BOURGUIGNON Y CHAKRAVARTY)
Ejemplo básico (2)

 m

 
x ij   
1


i

P ( X ; z )     a j  S j  1 
n i S j  j 1  
z j   

 



Matriz 2: 1 - (Xij / Zj)
Casos
Nutrición
Agua
Vivienda
Saneamiento Educación
Información
1
0.5
-0.5
0.5
-0.5
-0.5
-0.5
2
-0.5
-0.5
0
-0.5
-0.5
-0.5
3
0
-0.5
0.5
-0.5
-0.5
-0.5
4
-0.5
0
-0.5
0
-0.5
-0.5
5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
6
-0.5
0.5
-0.5
0.5
0.5
0.5
7
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
0
-0.5
8
-0.5
-0.5
0.5
-0.5
-0.5
-0.5
9
-0.5
-0.5
0
0
-0.5
-0.5
10
-0.5
-0.5
0
0
0
0
CALCULANDO LA POBREZA INFANTIL (BOURGUIGNON Y CHAKRAVARTY)
Ejemplo básico (3)

 m

 
x ij   
1


i

P ( X ; z )     a j  S j  1 
n i S j  j 1  
z j   

 



Matriz 3.1: Sij, función del indicador de privación con valores 0 y 1
Casos
Nutrición
Agua
Vivienda
Saneamiento Educación
Información
1
1
0
1
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
3
0
0
1
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
6
0
1
0
1
1
1
7
0
0
0
0
0
0
8
0
0
1
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
CALCULANDO LA POBREZA INFANTIL (BOURGUIGNON Y CHAKRAVARTY)
Ejemplo básico (3)

 m

 
x ij   
1


i

P ( X ; z )     a j  S j  1 
n i S j  j 1  
z j   

 



Matriz 4: Expresión Sij (1 - Xij / Zj). La expresión la resumimos como Tj
Casos
Nutrición
Agua
Vivienda
Saneamiento Educación
Información
1
0.5
0
0.5
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0.5
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
6
0
0.5
0
0.5
0.5
0.5
7
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0.5
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
CALCULANDO LA POBREZA INFANTIL (BOURGUIGNON Y CHAKRAVARTY)
Ejemplo básico (3)

 m
 
 

x
1

ij

i

P ( X ; z )     a j  S j  1 
n i S j  j 1  
z j   

 



Cálculo (o asignación) de ponderadores. Acá utilizamos matriz 3.1
Nutrición
Agua
Vivienda
Saneamiento Educación
Información
Incidencia de cada privación en el total de casos: Qj / N
0.1
0.1
0.3
0.1
0.1
0.9
Su inverso: Wj = 1 - Qj / N
0.9
0.7
0.9
0.9
0.1
0.9
Ajuste para que la suma de ponderadores pese 1: Aj = Wj / ∑ Wj
0.1730769 0.1730769 0.1346154 0.1730769 0.1730769 0.1730769
CALCULANDO LA POBREZA INFANTIL (BOURGUIGNON Y CHAKRAVARTY)
Ejemplo básico (3)

 m

 
x ij   
1


i

P ( X ; z )     a j  S j  1 
n i S j  j 1  
z j   

 



Tj
Matriz 5: Cálculo de Pi (índice individual de pobreza: suma ponderada de privaciones)
Pi = ∑ Tj Aj, en las celdillas calculamos Tj Aj
Nutrición
Casos
Vivienda
Agua
Saneamiento Educación
Información
Pi = ∑ Tj Aj
1
0.086538462
0
0.067307692
0
0
0
0.15384615
2
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0.067307692
0
0
0
0.06730769
4
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0.086538462
0
7
0
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0.067307692
0
0
0
0.06730769
9
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0.086538462 0.086538462 0.086538462 0.34615385
CALCULANDO LA POBREZA INFANTIL (BOURGUIGNON Y CHAKRAVARTY)
Ejemplo básico (3)

 m

 
x ij   
1


i

P ( X ; z )     a j  S j  1 
n i S j  j 1  
z j   

 



Matriz 6: Familia de índices calculados
a nivel individual: Pi0, Pi1 y Pi2
Incidencia
Pi0
1
0
1
Profundidad* Severidad
Pi1
Pi2
0.15384615 0.0236686
0
0
0.06730769 0.0045303
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0.34615385 0.1198225
0
0
0.06730769 0.0045303
0
0
0
0
0
0
α=0
α=1
α=2
CALCULANDO LA POBREZA INFANTIL (BOURGUIGNON Y CHAKRAVARTY)
Ejemplo básico (3)

 m

 
x ij   
1


i

P ( X ; z )     a j  S j  1 
n i S j  j 1  
z j   

 



Pasos finales: cálculo de los indicadores agregados
Incidencia (H):
Profundidad (PG):
Severidad (SI):
(1 / N) * ∑ Pi0
(1 / N) * ∑ Pi1
(1 / N) * ∑ Pi2
α=0
α=1
α=2
0.4
0.0634615
0.0152552
Pobreza infantil en América
Latina
El proceso de agregación
Ernesto Espíndola
División de Desarrollo Social. CEPAL
Sesión 3, San Salvador, 9 de octubre de 2012
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