1.- Consideraciones de impuestos. TIR y VPN después de impuestos y
depreciaciones.
2.- Estudio de remplazo
3.- Selección de proyectos con presupuesto limitado
Arturo Torres Sánchez
Enrique Gutiérrez Valdés
5 / abril / 2011


La consideración de impuestos en estudios
económicos es un factor muy decisivo en la
selección de proyectos, ya que evita la
aceptación de proyectos cuyos rendimientos
después de impuestos son mediocres.
También el efecto de los impuestos implica
determinar la forma en que los activos bajo
consideración van a ser depreciados.

Depreciación
o La mayoría de los activos fijos tienen una vida
limitada, es decir, serán de utilidad para la empresa
por un número limitado de periodos contables
futuros.
o El costo de un activo deberá ser distribuido
adecuadamente en los periodos contables en los que
el activo será utilizado por la empresa.

Depreciación
o No es un gasto real sino virtual y es considerada
como gasto, solamente para propósitos de
determinar los impuestos a pagar.
o Como el dinero tiene un valor a través del tiempo,
para la empresa es más deseable depreciar mayores
cantidades en los primeros años de vida del activo, ya
que es mejor pagar un peso de impuesto en un año, a
pagarlo ahora.
 Depreciación
o En México sólo es válido depreciar activos en línea
recta.
Para esto es necesario conocer:
1)
2)
3)
El costo inicial del activo
Su vida útil
La estimación del valor de rescate al momento de
su venta.

Depreciación
El costo inicial del activo
El precio por el que adquiriste el bien a a excepción de:
1)
•
•
•
•
•
•
IVA (impuesto al valor agregado)
Derechos
Fletes
Trasportes
Acarreos
Honorarios de agentes aduanales

Depreciación
2) Vida útil
Activo Fijo = Deprecia
Activo Diferido = Amortiza
 Activo Diferido = Erogaciones realizadas en periodos pre
operativos. Intangibles (patentes, marcas).
 Activo Fijo= bienes tangibles

Depreciación
2) Vida útil
Se determina por del tipo de activo y de la actividad
industrial en la que son utilizados.
Ley federal del impuesto sobre la renta art 37 a 45.
Aquí se determina los porcentajes depreciables.

Depreciación
2) Vida útil
Patentes, marcas, diseños comerciales, nombres comerciales,
transferencia de tecnología.
10 %
Edificios y construcciones
5%
Mobiliario y equipo de oficina
10 %
Automóviles, autobuses, camiones de carga, tracto camiones,
montacargas y remolques.
25 %
Nota: automóviles hasta por un monto de $175,000
Maquinaria y equipo para Restaurantes
20 %
Computadoras personales de escritorio y portátiles; servidores;
impresoras, lectores ópticos, graficadores, lectores de código de
barras……….
30 %

Depreciación
3) Estimación del valor de rescate al momento de su
venta.
Cuando un activo que no forma parte de los productos
que distribuye una empresa, es vendido, puede resultar
en una ganancia o perdida de capital y afecta en los
impuestos por pagar.

Depreciación
3) Estimación del valor de rescate al momento de su
venta.
Las pérdidas o ganancias de capital se deben obtener
como la diferencia entre:
 El valor de rescate = del activo al momento de la venta.
 Costo ajustado = Este depende de la edad del activo y se
obtiene de multiplicar el valor en libros por un factor de
ajuste.

Depreciación
3) Estimación del valor de rescate al momento de su
venta.
Factor de ajuste
Edad
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Factor
1
1,55
2,8
5,57
7,17
9,31
11,17
12,98
15,66
19,92
22,17
26,74
32,45
Edad
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Factor
34,26
35,96
37,61
39,95
40,96
42,16
44,29
45,4
48,22
50,21
51,95
54,23
Edad
25
26
27
28
29
30
26
27
28
29
30
31
Factor
56,9
59,85
63,42
68,35
73,74
82,38
Ejemplo valor de ajuste
Suponga que cierta empresa compró a principios de 1984 una propiedad
a un costo de $1,300 de los cuales $390 correspondían a terreno y $ 910
a edificios. También suponga que esta empresa vende la propiedad a
finales de 2002 por una cantidad de $20,000. Si la tasa de impuestos de
esta empresa es del 50 %, ¿Cuáles serían los impuestos que se tienen
que pagar por la ganancia de capital que resulta de la venta de la
propiedad?
El impuesto a pagar sería el 50 % de la diferencia entre el valor de
rescate y el costo ajustado de la propiedad.
Costo inicial
$1,300
$1,300
Terreno $390 y edificio $910
Valor de rescate
$20,000
Tasa de impuestos
50 %
Años depreciados
19 años
Ejemplo valor de ajuste
Activo
Terreno
Edificio
Costo
original
$
390,00
$
910,00
Depreciació
n
acumulada
$
$
864,50
Valor en
libros a la
venta
Factor de
ajuste
Costo
ajustado
$
390,00
$
45,50
$
42,16
$
42,16
$
16.442,40
$
1.918,28
Valor de
rescate
$
$
18.360,68 20.000,00
50 %
impuesto a
pagar
$819,66

Tasa interna de rendimiento (TIR)y valor presente neto después
de impuestos (VPN)
TIR desp. de imp.= TIR antes de imp. (1- tasa de impuestos)
Es válido si la propiedad analizada sea NO DEPRECIABLE y totalmente
financiada con capital contable.
Es más recomendable hacer un análisis completo de los flujos de
efectivo después de impuestos en vez de la expresión anterior.
1
Año
2
Flujo de
efectivo
antes de
impuestos
3
Depreciaci
ón
4
Ingreso
gravable
(2) + (3)
5
Impuestos
o ahorros
6
Flujo de
efec.
Después de
impuestos
-(4)tasa de (2) + (5)
impuestos
Ejemplo Flujo de efectivo después de impuestos y análisis después de
impuestos
Suponga que una institución bancaria desea instalar una red de teleproceso, con la
cual se conectarían a la matriz todas las sucursales distribuidas en el país. Con esta
nueva red la alta dirección piensa resolver los grandes problemas por los que
atraviesan. Uno de los principales problemas a los que se enfrentan es la captación
lenta y poco confiable de la información proveniente de las sucursales. Con la
nueva red se piensa que se podrá captar la información de forma más rápida y
confiable.
Debido a la importancia y la gran inversión que este proyecto conlleva, la alta
dirección ha decidido encargar el estudio a un grupo de personas. Suponga que el
grupo de personas ya investigó a distintos proveedores de equipo y recolectó la
información. También suponga que la alta dirección mantiene un horizonte de
planeación en este tipo de proyectos a 5 años. También suponga que la
depreciación del equipo a comprar es en 4 años (25 %) y la amortización de los
gastos preoperativos (arranque y desarrollo) es en 10 años (10 %). Finalmente,
asuma que esta institución paga impuestos a tasa del 50 % y utiliza una tasa de
interés del 25 % para evaluar sus nuevos proyectos.
Depreciación
4 años (25%)
Amortización
10 años (10 %)
TERMA
25 %
Tasa de impuestos
50 %
Proveedor
Inversión y equipo
Arranque y desarrollo
Operación y
transmisión
A
2000
700
B
2500
500
800
600
1
Año
2
3
4
5
6
(2) + (3) -(4)tasa
de (2) + (5)
impuestos
Flujo de
Depreciación Ingreso
efectivo antes
gravable
de impuestos
Proveedor A
0
1
2
3
4
5
-2700
-800
-800
-800
-800
-800
Proveedor B
0
1
2
3
4
5
-3000
-600
-600
-600
-600
-600
-570
-570
-570
-570
-70
-675
-675
-675
-675
-50
-1370
-1370
-1370
-1370
-870
-1275
-1275
-1275
-1275
-650
Impuestos o
ahorros
Flujo de efec.
Después de
impuestos
685
685
685
685
435
-2700
-115
-115
-115
-115
-365
637,5
637,5
637,5
637,5
325
-3000
37,5
37,5
37,5
37,5
-275
VPN A =
VPN A =
VPN B =
VPN B =
-2700 - 115/(1,25) - 115/(1,25)^2
-3091,1872
-3000 + 37/(1,25)
-3032,224
+ 37/(1,25)^2
- 115/(1,25)^3 - 115/(1,25)^4 - 365/(1,25)^5
+ 37/(1,25)^3
+ 37/(1,25)^4
- 275/(1,25)^5
En este caso conviene la alternativa B, se le debe de comprar al
proveedor B.

Depreciación acelerada
Es cuando los activos pueden ser depreciados en periodos
relativamente cortos, en menos años.
Este es un mecanismo que el gobierno ha puesto en marcha para
fomentar el desarrollo industrial en zonas rurales. Estos casos se
aplican más frecuentemente para plantas nuevas que se vayan a
instalar en zonas no-industrializadas.
Para este caso se debe ir con la SHCP para que esta de la
autorización de hacerlo.
La formulación de un plan de reemplazamiento juega un papel
muy importante en la determinación de la tecnología básica y el
progreso económico de una empresa.

Un reemplazamiento apresurado o indebido origina en la
empresa una disminución en su capital y por lo tanto una
disminución en la disponibilidad de dinero para emprender
proyectos de inversión más rentables.

Por otra parte, un reemplazamiento retardado origina excesivos
costos de operación y mantenimiento para la empresa

Es por estas razones que toda empresa debe de establecer una
política eficiente de reemplazo.

De no hacerlo, significa estar en desventaja con respecto a las
empresas competidoras que sí han establecido políticas efectivas y
económicas de reemplazo.

 Causas
que originan la necesidad de un estudio de
reemplazo
Las causas principales que llevan al reemplazo de un activo se
pueden clasificar como:




Insuficiencia e ineptitud,
Mantenimiento excesivo,
Eficiencia decreciente y
Antigüedad
b) Reemplazo por mantenimiento excesivo
a)
Reemplazo por insuficiencia
Un activo físico cuya capacidad sea inadecuada para
prestar los servicios que se esperan de él, es un candidato
lógico para la substitución
b)
Reemplazo por mantenimiento excesivo
En muy pocas ocasiones se dañan al mismo tiempo
todas las piezas de una máquina. La experiencia a
demostrado que es económico reparar muchos tipos
de activos para mantener y extender su utilidad.
b) Reemplazo por mantenimiento excesivo
c)
Reemplazo por eficiencia decreciente
Un equipo trabaja al máximo rendimiento los primeros dos
años, después su rendimiento va disminuyendo con el
tiempo y el uso.
Cuando los costos que origina la ineficiencia de operación de
una máquina son excesivos conviene investigar si existen
otras máquinas con las cuales se pueda obtener el mismo
servicio a un costo menor.
d)
Reemplazo por antigüedad (obsolescencia)
La obsolescencia surge como resultado del mejoramiento de
los activos, ya que en el mercado siempre existirán activos
con características tecnológicas más ventajosas.
e)
Reemplazo por combinación de factores
Es una combinación de factores, más que una sola causa, por ejemplo a medida
de que la edad del equipo aumenta, se espera que su eficiencia disminuya y que
aumente el mantenimiento.
 Factores a considerar en un estudio de reemplazo
En un análisis de reemplazo es necesario considerar una serie de
factores sin los cuales la decisión a la que se llega con tal estudio, no
produce los resultados deseados.
b) Reemplazo por mantenimiento excesivo
a)
Horizonte de planeación
Es el lapso de tiempo futuro que se debe considerar en el análisis.
b)
La tecnología
Es muy importante considerarla en un estudio de reemplazo, de no hacerlo
supone que los equipos futuros serán iguales a los utilizados actualmente y esto
implica que no habrá progresos tecnológico para ese equipo.
b) Reemplazo por mantenimiento excesivo
c)
Comportamiento de los ingresos y los gastos
Hay que considerar, que cuando se ha detectado un cierto patrón de
comportamiento en los gastos o se vislumbra cómo la inflación va a afectar a los
ingresos y gastos.
d)
Disponibilidad de capital
Puesto que las fuentes de financiamiento de la empresa no son ilimitadas. El no
tomar en cuenta estas cuestiones puede originar que un reemplazo justificado se
vea truncado por falta de fondos.
b) Reemplazo por mantenimiento excesivo
e)
Inflación
Esto significa que en situaciones inflacionarias las decisiones de inversión, en
este caso reemplazo de equipo, deben ser realizadas cuidadosamente, ya que
una mala decisión puede significar una reducción en la disponibilidad de capital
de períodos futuros.
Los estudios de reemplazo se dividen es dos grandes tipos:
Los de determinación del servicio de vida económica de un
activo.
1.
2.
Análisis de conveniencia de mantenimiento de un activo viejo.
1.
Determinación del servicio de vida económica de un activo.
Determinar por adelantado el periodo óptimo de reemplazo del activo y
establece como horizonte de planeación la vida económica del activo
nuevo.
Para determinar la vida económica de un nuevo activo se deben considerar
los siguientes costos:
a) inversión inicial,
b) costos inherentes al activo (operación y mantenimiento),
c) costos relativos a modelos mejorados.
El costo más difícil de evaluar, es el del costo relativo a modelos
mejorados, puesto que es muy difícil predecir con exactitud para
tiempos futuros muy distantes, el grado de mejoramiento
tecnológico que sufrirá el activo.
De tal forma que este costo es muy importante considerarlos en el
estudio de reemplazo de activos sujetos a obsolescencias muy
aceleradas.
De los otros costos son considerados costos de oportunidad y por lo
tanto no constituyen un desembolso real para la compañía.
Comportamiento teórico de los costos inherentes y de los relativos de un
activo.
Se observa lo siguiente:

Los costos inherentes siguen una tendencia ascendentes, se debe al
mantenimiento excesivo y a la eficiencia decreciente que la edad de un activo origina.

Se muestra que los costos del activo mejorado disminuyen con el tiempo,
dependiendo del grado de obsolescencia del activo en cuestión.

Y el costo relativo crecen con la edad del activo, entre más viejo sea un activo
mayor será la cantidad que se deja de ahorrar (ganar) por no contar con el activo que
actualmente exista en el mercado.
Modelo matemático para determinar la vida económica del activo
Para ilustrar una aplicación de este modelo, se propone el
siguiente ejercicio:
Suponga que una empresa desea adquirir cierto equipo para
reemplazar al que está utilizando. El costo del equipo se estima
en $ 50,000 y los valores de rescate, libros, costos inherentes y
costos relativos para los diferentes años de vida del activo se
muestran en la tabla 1. También considere que la tasa de
impuestos es de 50% y que esta misma se aplica para gravar
pérdidas o ganancias extraordinarias de capital. Por último
suponga que la empresa utiliza un TREMA de 20% para evaluar
sus proyectos de inversión.
Resultados
Los datos obtenidos de la tabla 2
en la columna de la cantidad
gravable sólo se incluyen los
costos
inherentes
y
la
depreciación, ya que los costos
de oportunidad por ser no
desembolsables no se pueden
considerar como deducibles.

Con estos datos de la tabla 2 se puede construir la tabla 3, la
cual nos permite apreciar que el costo anual equivalente es
mínimo para un periodo de 4 años, lo que significa que este es
el período óptimo de reemplazo del activo.
Tabla. 3 Costo anual equivalente para diferentes periodos de permanencia con el activo.
En el apartado anterior se analizo el problema
de determinar por adelantado la vida
económica de un activo.
Este tipo de problemas surgirá cada vez que se
desea adquirir un nuevo activo.
Pero existen ocasiones en las que se tiene un
activo en uso y se desea determinar su fecha
de reemplazo. En este caso el problema
principal es fijar el horizonte de planeación,
para ello, existen algunas reglas que pueden
utilizarse.
Horizonte de planeación igual a la vida económica del
retador
a)
Cuando la vida remanente del defensor(activo viejo) sea mayor o
igual a la vida económica del retador(activo nuevo), se
recomienda fijar ésta como el horizonte de planeación.
Esta idea es lógica, puesto que el tiempo a permanecer con el
activo nuevo es precisamente su vida económica.
b)
Horizonte de planeación igual a la vida remanente del defensor.
Cuando la vida remanente del defensor es menor a la vida económica del
retador, se pueden hacer dos cosas:
1)
Fijar el horizonte de planeación igual a la vida remanente del defensor, lo
cual no es muy aconsejable.
2)
Fijar el horizonte de planeación mayor o igual a la vida económica del
retador y determinar la serie de activos que se deben de tener durante este
período de tiempo, de tal modo, que se optimice algún criterio económico.

Estas reglas deben de tomarse en cuenta puesto que no fijar horizontes de
planeación en estudios de reemplazo puede llevarnos a realizar análisis
incorrectos.
a)
Vida del defensor mayor o igual a la vida económica del retador
Para ilustrar este punto, suponga que una empresa actualmente está utilizando
un activo que compró hace dos años. Se estima que el valor realizable y el
valor en libros son en este momento de $ 30,000 y $ 25,000 respectivamente.
Los valores en libros, realizables, costos inherentes y relativos para los
próximos 5 años de vida del activo se muestran en la tabla. 4, esta compañía
tiene la alternativa de reemplazar este activo por uno con características
idénticas al presentado en la sección anterior, el cual tiene una vida
económica de 4 años.
Por último considere que la tasa de impuestos grava utilidades o pérdidas
ordinarias y extraordinarias del 50% y la TREMA = 20%
Puesto que la vida económica del retador es de 4 años, este periodo de tiempo
se considerará como el horizonte de planeación en el análisis de reemplazo
de estos activos.
El primer paso para comparar estas dos alternativas es
evaluar sus flujos de efectivo después de impuestos. El cual
aparece en la tabla. 5

Para determinar cuál de las dos alternativas es la mejor es
necesario obtener el flujo de efectivo diferencial entre
estas dos alternativas. El cual aparece en la tabla 6

Año
Flujo de efectivo después
de impuestos/defensor
0
1
2
3
4
4
- 27,500
- 1,500
- 4,000
- 6,750
- 8750
6,500
Flujo de efectivo después
de impuestos/retador
- 50,000
2,500
0
- 1,000
- 3,500
13,000
Diferencias
defensor
retador-
- 22,500
4,000
4,000
5,750
5,250
6,500
Para determinar si la inversión del nuevo activo se
justifica, se obtiene el valor del presente flujo de efectivo
diferencial:
El cual resulta ser de - 7,395.
Por lo tanto la decisión es permanecer
tres años más con el activo viejo o
defensor.
b)
Horizonte de planeación conocida
Cuando la vida remanente del defensor es menor a la vida
económica del retador o cuando se conoce con exactitud el
período de tiempo durante el cual se va a requerir el servicio
que proporciona el activo, es conocido el horizonte de
planeación.
Es conveniente aplicar una metodología completamente distinta
a la presentada hasta ahora. Tal técnica es un algoritmo de
programación dinámica, el cual permite eliminar la suposición
de que el servicio proporcionado por el activo será requerido
indefinidamente.
El primer paso para la aplicación del algoritmo es obtener para el
retador y el defensor, el valor futuro de los flujos de efectivo
respectivos para cada uno en los próximos años. Después fijar el
horizonte de planeación.
Se empieza a analizar el primer año, si vale la pena continuar un
año más con el defensor o se adquiere un activo nuevo (el
retador). Para el segundo año las alternativas serían: hacer el
último reemplazo en el año cero, lo cual significa que se vende
inmediatamente el defensor, o bien hacer el último reemplazo
en el año 1 y finalmente otra alternativa sería analizar la
permanencia de dos años adicionales con el activo viejo.
El problema se reduce a determinar la solución óptima, es decir,
determinar la serie de activos que maximizan el valor futuro al
final del horizonte de planeación utilizado.
Y se obtiene con la siguiente fórmula:
Para ilustrar la aplicación del algoritmo, suponga que actualmente
se tiene operando un activo el cual se compró hace dos años.
Cuando este activo se adquirió el valor de rescate y la utilidad
neta como una función del tiempo, se representaba por las
expresiones:
Ahora, después de dos años se sigue pensando que estas
funciones son válidas para el caso de comprar nuevamente el
activo (retador). Suponiendo que no exista mejoramiento
tecnológico, inflación e impuestos y considerando un
horizonte de planeación de seis años, el primer paso, en la
aplicación del algoritmo sería obtener el valor futuro para
diferentes períodos de tiempo, tanto del defensor como del
retador. Esta información aparece en la tabla.7
A partir de esta tabla se puede obtener el valor futuro al final del
periodo t de cada una de las combinaciones posibles. Estos
cálculos aparecen en la tabla 8.
Como se puede apreciar en esta
tabla, en el último año
(periodo seis) el análisis
indica hacer el último
reemplazo en el año dos y en
el año dos el análisis indica
hacer el último reemplazo en
el año cero.
Lo anterior significa que la
solución a este problema es
permanecer
dos
años
adicionales con el activo
actual y entonces comprar
un nuevo con el cual se
permanecerá los cuatro años
restantes

La optimización del uso de los recursos dentro de una
corporación es un problema de bastante alcance. Para
resolverlo se requiere determinar los flujos de efectivo
que cada división genera, sus capacidades de
endeudamiento, las fuentes de financiamiento a las
cuales se tiene acceso y los flujos de efectivo que son
transferidos de una división a otra. Una vez conocida
esta información se pueden desarrollar modelos
aproximados y exactos, los cuales tendrán como
objetivo maximizar el valor presente de la corporación.
Generación de Alternativas Mutuamente Exclusivas.
La interdependencia que puede existir en un conjunto de propuestas
de inversión puede ser:



Mutuamente exclusivas
Independientes
Contingentes
Una vez que se conoce el tipo de interdependencia entre las
propuestas se puede desarrollar una metodología que facilite la
formación o agrupación de propuestas en alternativas
mutuamente exclusivas. Todo lo que se requiere es la enumeración
de todas las combinaciones factibles de las propuestas.
Para ilustrar lo anterior en la Tabla 2.1 se expone en
caso de una empresa compuesta por tres divisiones
y se supone que en un periodo de tiempo
determinado se genera una propuesta de inversión
en cada división.
Alternativas mutuamente
exclusivas
División 1
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
0
0
1
1
0
1
Propuestas
División 2
0
0
1
0
1
0
1
1
División 3
1
0
0
1
0
1
1
1
Tabla 2.1. Alternativas mutuamente exclusivas para
tres propuestas independientes.
Por otro lado, si suponemos que existen dos alternativas para llevar a cabo en la división 1 y en la
división 2 y que la división 3 no genera ninguna propuesta, la siguiente tabla 2.2 muestra el
conjunto de propuestas mutuamente exclusivas que se pueden formar. Las propuestas A1 y
A2 tanto como B1 y B2 son mutuamente exclusivas. Sin embargo, la selección de cualquier
propuesta A1 y A2 es independiente a la selección de cualquier propuesta del conjunto B1 y
B2. .
Alternativas mutuamente
exclusivas
División 1
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
0
0
1
1
0
1
Propuestas
División 2
0
0
1
0
1
0
1
1
División 3
1
0
0
1
0
1
1
1
Tabla 2.2. Alternativas mutuamente exclusivas para dos conjuntos
independientes de propuestas mutuamente exclusivas.
Si las propuestas son contingentes también se pueden agrupar en un conjunto de alternativas
mutuamente exclusivas. Supongamos que en una de las divisiones de la empresa se generan
tres propuestas: A, B, y C, donde esta última es contingente a la aceptación de la propuesta A
y B, y la propuesta B es contingente a la aceptación de la propuesta A.
La Tabla 2.3 muestra las alternativas mutuamente exclusivas que pueden formarse para el grupo
de propuestas con las condiciones de contingencia descritas anteriormente.
Alternativas mutuamente
exclusivas
Propuestas
A
B
C
1
0
0
0
2
1
0
0
3
1
1
0
4
1
1
1
Tabla 2.3 Alternativas mutuamente exclusivas para propuestas contingentes.
Sin embargo, las empresas en la realidad poseen muchas áreas de inversión y dentro de cada una
de ellas pueden existir muchas propuestas mutuamente exclusivas y la enumeración de todas
estas es una práctica exhaustiva. La programación lineal o entera alivian esta dificultad. En la
Figura 3.2 muestra en forma de diagrama, la situación más frecuente que se presenta en una
corporación formada por dos divisiones.
Figura 3.2 Generación de alternativas en una corporación
Si las propuestas son contingentes también se pueden agrupar en un conjunto de alternativas
mutuamente exclusivas. Supongamos que en una de las divisiones de la empresa se generan
tres propuestas: A, B, y C, donde esta última es contingente a la aceptación de la propuesta A
y B, y la propuesta B es contingente a la aceptación de la propuesta A.
La Tabla 2.3 muestra las alternativas mutuamente exclusivas que pueden formarse para el grupo
de propuestas con las condiciones de contingencia descritas anteriormente.
Alternativas mutuamente
exclusivas
Propuestas
A
B
C
1
0
0
0
2
1
0
0
3
1
1
0
4
1
1
1
Tabla 2.3 Alternativas mutuamente exclusivas para propuestas contingentes.
El número total de
alternativas mutuamente
exclusivas que se forman
puede ser obtenido con la
siguiente expresión :
Para ilustar, con base a la fórmula anterior, se supone que en la división 1 hay 5 áreas de inversión, cada una con 2, 3, 4, 2, y 2 propue
N= ( (2+1) (3+1) (4+1) (2+1) (2+1) ) ( (2+1) (3+1) (3+1) (2+1) )
N= 77,760
Donde:
P1,j
= cantidad de propuestas mutuamente
exclusivas del área j dentro de la división 1
P2,j
= Cantidad de propuestas mutuamente
exclusivas del área j dentro de la división 2
n1
=cantidad de áreas de inversión dentro de la
división 1
n2
= cantidad de áreas de inversión dentro de
la división 2
Para ilustrar, con base a la fórmula anterior, se supone que en la división 1 hay 5 áreas de inversión,
cada una con 2, 3, 4, 2, y 2 propuestas mutuamente exclusivas respectivamente, y en la división 2 hay
4 áreas cada una con 2, 3, 3,y 2 propuestas mutuamente exclusivas respectivamente, entonces, de
acuerdo a la fórmula anterior, el número total de alternativas mutuamente exclusivas sería:
N= ( (2+1) (3+1) (4+1) (2+1) (2+1) ) ( (2+1) (3+1) (3+1) (2+1) )
N= 77,760
Para ilustar, con base a la fórmula anterior, se supone que en la división 1 hay 5 áreas de inversión, cada una con 2, 3, 4, 2, y 2 propue
N= ( (2+1) (3+1) (4+1) (2+1) (2+1) ) ( (2+1) (3+1) (3+1) (2+1) )
N= 77,760
Del resultado anterior se desprende la imposibilidad de hacer un análisis manual de
esta cantidad de alternativas, por lo que se muestra a continuación la fórmula que se
utiliza para determinar el número total de alternativas mutuamente exclusivas que se
pueden formar en una empresa que tiene muchas divisiones:
La generación de alternativas mutuamente exclusivas en condiciones limitadas de
presupuesto difiere un poco del procedimientos explicado anteriormente.
Al igual que antes, todas las posibles combinaciones de propuestas listadas y los flujos
de efectivo de estas alternativas mutuamente exclusivas son determinados.
El único procedimiento adicional requerido es la eliminación de todas las alternativas
mutuamente exclusivas que requieran más dinero del que se dispone.
Selección entre muchos Proyectos con Restricciones
Para ilustrar la aplicación de la técnica que considera las limitaciones económicas, es
necesario formar todas las combinaciones posibles de propuestas tomando encuentra
relaciones técnicas, eliminando aquellas a las cuales los recursos hagan no factibles, y
escogiendo aquellas para las que se obtenga mayor valor presente.
De manera didáctica se tiene que en una división determinada de la empresa se tienen
únicamente dos áreas de inversión, separadas y bien definidas y se disponen de
$400,000 para inversiones. Ver tabla 2.4
Área
1
2
(Obligada)
Propuestas
mutuamente exclusivas
P1,1
P1,2
P1,3
P1,4
P2,1
P2,2
*P2,2
P2,3
*P2,3
Inversión inicial
$150,000
180,000
300,000
200,000
$60,000
100,000
20,000
208,000
32,000
Valor presente neto
$68,.000
80,000
137,000
76,000
-30,000
20,000
15,000
100,000
28,000
Tabla 2.4. Inversión inicial y valor presente neto de cada propuesta.
P12,2 y P12,3 son contingentes a P2,2 y P2,3 respectivamente.
Es claro que el primer grupo de proyectos (área 1), la propuesta P1,4 puede ser
descartada, puesto que cuesta $200,000 y rinde $76,000, cuando existe, en la
misma área, un equipo que cuesta menos (180,000) y rinde más (80,000). Las
otras propuestas rinden mayor valor presente neto a mayor costo, lo cual hace
posible incluirlas en la formulación. Además existe la posibilidad de “hacer
nada”, o sea, no tomar ninguna propuesta de este grupo.
En la tabla 3.5 se enumeran todas las alternativas mutuamente exclusivas que se
pueden generar (todas las alternativas incluyen una propuesta del área obligada) con
su coto total y se marcan con un * las alternativas cuyo costo excede el presupuesto
total.
La mejor alternativa consiste en aceptar la propuesta P1,1 del área 1 y las propuestas
P2,3 y P2,3 del área 2.
Usualmente el valor presente de la inversión es el criterio más eficiente y el que más se
utiliza para resolver el problema de la selección de proyectos en condiciones limitadas
de presupuesto
Tabla 2.5 Combinaciones factibles.

Formulación con programación entera
Cuando la corporación genera muchas propuestas de
inversión. Las limitaciones de dinero, las interrelaciones
técnicas y las tendencias de crecimiento de cada una de las
divisiones, requiere de la formulación y el desarrollo de un
modelo de programación entera.
El modelo de programación entera tiene 3 componentes
principales:



Función del objeto
Restricciones
Condición de no negatividad de las variables de decisión.
>= 0.
Formulación con programación entera
Función del objeto
Puede ser matemáticamente expresada como sigue:

MAX VPN = (Sjkt / (1 + i)t) Xjk
 VPN = Valor presente neto.
 Sjkt = Flujo de efectivo neto del proyecto j en la división k
durante el periodo t.
 Xjk = Variable de decisión la cual puede tomar un valor de cero
cuando el proyecto j de la división k es rechazado o un valor de
uno cuando es aceptado.
 i = TERMA (tasa de rendimiento mínimo aceptable).
•Restricción financiera
Formulación con programación entera
Restricciones

A. Financiera
Ajkt=necesidades de efectivo (nuevas inversiones) del proyecto j en la división k durante el periodo t
bkt = disponibilidad de capital en la división k durante el periodo t. Conviene señalar que estas
disponibilidades de dinero tendrán que ser pronosticadas.
B. Propuestas mutuamente exclusivas
La aceptación de una propuesta implica el rechazo del resto.
X1,1 + X2,1 + X3,1 ≤ 1
En esta restricción, sólo una de las variables puede tomar el valor de 1 y el resto a valor de cero y no se
descarta la posibilidad de rechazar todas.
•Restricción financiera
Formulación con programación entera
Restricciones

C. Área Obligada
Es posible que en algunas ocasiones, existan dentro de alguna división áreas
obligadas, áreas en las cuales es forzoso escoger una propuesta de entre las
varias que pertenecen a dicha área. Por ejemplo suponga que en el área de
almacén de un producto terminado se requiera urgentemente comprar un
montacargas, el cual agilizara el traslado del producto terminado al
departamento de inspección y empaque. Ahora, suponga que en el mercado
sólo existen tres tipos de monta cargas: A, B, C, la expresión matemática
quedaría así:
-X1,1 + X2,1 + X3,1 = 1
•Restricción financiera
Formulación con programación entera
Restricciones

D. Relación de contingencia
En ocasiones la aceptación de un proyecto depende de la aceptación previa de
otro.
Suponga que el proyecto 1 de la división 1 es contingente al proyecto 2 de la
división uno:
-X1,1 + X2,1 ≥ 0
X1,1 no puede valer 1 a menos que X2,1 valga 1. X2,1 también puede valer 1 y X1,1
cero. También ambas pueden valer cero.
E. Restricción de no negatividad
Sólo se pueden tomar dos valores, 0 cuando se rechaza y 1 cuando se acepta.
0 < Xjk<1
•Restricción financiera
Construcción del modelo considerando incrementos en el pasivo e inversiones liquida.
Cuando se incluyen la posibilidad de apalancarse proyectos que antes eran rechazados por falta de
recursos, ahora pueden ser aceptados.
Bajo estos nuevos supuestos, el modelo de programación entera queda así:
Pk,t = Cantidad de dinero obtenido a través de pasivo por la división k durante el periodo t.
ACk,t = Cantidad de dinero que la división k destina a inversiones liquidas de corto plazo durante el periodo t.
LPk,t = nivel máximo de pasivo que la división k puede tener durante el periodo t.
ib = costo de las fuentes de financiamiento.
iL = rendimiento obtenido en las inversiones liquidas de corto plazo.
Sjkt = Flujo de efectivo neto del proyecto j en la división k durante el periodo t.
Xjk = Variable de decisión la cual puede tomar un valor de cero cuando el proyecto j de la división k es rechazado
o un valor de uno cuando es aceptado.
i
= TERMA (tasa de rendimiento mínimo aceptable).
Todo esto sujeto a las restricciones mencionadas con anterioridad.
•Restricción financiera
Métodos de selección aproximados
La alta administración ha mostrado poco o ningún
interés en el uso de programación lineal o entera.
Es posible utilizar otros métodos de selección
aproximados tales como:

 Ordenado por TIR.
 Valor presente por peso invertido
Los cuales tienen alguna desventaja teórica pero la
compensas con su facilidad de cómputo.
•Restricción financiera

Métodos de selección aproximados
Ordenado por TIR
Se escoge dentro de cada área de inversión, la
mejor alternativa.
Las mejores alternativas se ordenan de forma
descendente de acuerdo a su TRI y se aceptan
propuestas hasta que se agoten las propuestas o se
agota el dinero dedicado a inversión.
•Restricción financiera

Métodos de selección aproximados
Ordenado por TIR
Ejemplo:
Suponga que en una determinada división se generaron las
siguientes propuestas:
Propuesta A
B
C
D
E
F
G
Inv. Inicial
150
10
300
250
200
350
175
TIR %
40
37
35
30
28
26
25
La cantidad de dinero disponible para invertir es de $ 1,000.
•Restricción financiera

Métodos de selección aproximados
Ordenado por TIR
Ejemplo:
TIR
40
1
35
A
25
C
D
∑
E
F
G
K II K
______
PD
•Restricción financiera

Métodos de selección aproximados
Ordenado por TIR
Ejemplo:
En el anterior se supuso que el dinero disponible para nuevas inversiones
proveía netamente de las utilidades generales por la división. Sin
embargo, es practica común que todo negocio utilice pasivo para financiar
parte de las nuevas inversiones (la mejor forma es con pasivo, siempre y
cuando el rendimiento obtenido en las nuevas inversiones sea mayor
que el costo del pasivo).
TIR
∆UR = Incremento en utilidades retenidas
∆P = Incremento en pasivo
∑ inversión inicial
______________
∆UR + ∆P
∆UR
X
Se puede observar que todos los proyectos antes del punto X serían aceptados si el incremento
en pasivo permitido es mayor que (X - ∆ UR). Por el contrario, si el incremento en pasivo es
raquítico, ciertos proyectos tendrían que ser rechazados a pesar de tener un rendimiento
aceptable ya que el pasivo no se pude aumentar de forma irracional y desmedida. También
cabe señalar que el 1 en el eje de las X puede estar a la izquierda o la derecha del punto X,
dependiendo del incremento en pasivo.
•Restricción financiera

Métodos de selección aproximados
Ordenado por valor presente por peso invertido.
Se obtiene la relación de VP a inversión requerida para las
mejores alternativas dentro de cada área de inversión, y
esa relación se usa para ordenar las propuestas, poniendo
primero las de mayor índice. Los proyectos con mayor
ganancia por peso invertido tendrán mayor prioridad.
•Restricción financiera
Ordenado por valor presente por peso invertido.
Ejemplo:
El dinero disponible para nuevos inversiones es de $400.
Área
2
Propuesta
B5
VPN
128
Costo
240
2
B4
100
208
1
A3
137
300
1
A1
68
150
1
A2
80
180
2
B3
35
120
2
B2
20
100
VPN/Costo
Decisión
0,533
Aceptado
Rechazo otro proyecto del
0,481
área ya fue aceptado
Rechazo por falta de
0,457
dinero
Rechazo otro proyecto del
0,453
área ya fue aceptado
Rechazo otro proyecto del
0,444
área ya fue aceptado
Rechazo otro proyecto del
0,292
área ya fue aceptado
Rechazo otro proyecto del
0,200
área ya fue aceptado
Rechazo otro proyecto del
•Restricción financiera
 Ordenados Combinados
 Se utilizan varios índices por ejemplo, TIR, VP por peso invertido.
 Se generan todas las alternativas mutuamente excluyentes




dentro de cada área de inversión para todas las divisiones que
integran la corporación.
Luego, se ordenan todas las alternativas generadas con respecto
a uno de los índices intercalándolas a medida que sea necesario.
Se comienzan a seleccionar alternativas en su orden de aparición
respecto al índice. Al aceptar una alternativa dentro de un área se
rechazan todas las alternativas dentro del área que aparezcan
posteriormente.
El proceso continua hasta que se acabe el dinero o que se
terminen las alternativas.
Se sigue con todos los índices hasta que se seleccione la
alternativa que maximice el valor presente
•Restricción financiera
 Ordenados Combinados
 Se utilizan varios índices por ejemplo, TIR, VP por peso invertido.
 Se generan todas las alternativas mutuamente excluyentes




dentro de cada área de inversión para todas las divisiones que
integran la corporación.
Luego, se ordenan todas las alternativas generadas con respecto
a uno de los índices intercalándolas a medida que sea necesario.
Se comienzan a seleccionar alternativas en su orden de aparición
respecto al índice. Al aceptar una alternativa dentro de un área se
rechazan todas las alternativas dentro del área que aparezcan
posteriormente.
El proceso continua hasta que se acabe el dinero o que se
terminen las alternativas.
Se sigue con todos los índices hasta que se seleccione la
alternativa que maximice el valor presente
•Restricción financiera


Decisiones secuenciales VS Decisiones en grupo
Secuencial:
 Tiene la ventaja aparente de que no habrá retraso en la
implementación y aceptación de propuestas productivas.
 Se pueden aceptar propuestas que a pesar de tener un rendimiento
superior al mínimo requerido, son peores que otras propuestas que
se van a presentar posteriormente.

Periódica en Grupo:
 Tiene la ventaja que se rechazarán aquellas propuestas que no sean
atractivas.
 Estas rechazan propuestas que a pesar de tener un rendimiento
superior al mínimo son menos atractivas que otras con mayor
rendimiento.
 Se logran mayores rendimientos que de forma secuencial.
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