RAZONES Y
PROPORCIONES
¿Cómo se comparan dos cantidades
numéricas?
• Si de dos niños uno tiene $12 y el otro $ 8,
habrá dos maneras de comparar entre ellos
su dinero.
• Un niño le dice al otro : “tengo S/4
más que tú, lero lero ….
• A esta comparación que los niños han
hecho restando sus cantidades le
llamaremos :
RAZÓN ARITMÉTICA
• Si el otro le dijera :” Yo tengo 2/3 del
dinero que tú tienes”
• A esta comparación que se ha obtenido al
dividir las cantidades le llamaremos :
RAZÓN GEOMÉTRICA
RESUMIENDO
Razón: Es la comparación de dos cantidades
.
Existen dos tipos:
Razón Aritmética : a – b = R.A
Razón Geométrica: a/b = R.G
Es una comparación entre dos cantidades, a y b.
Expresiones:
• “8 de cada diez casos registrados son varones” se expresa
como:
8:10 o 4:5
• “128 onzas fluidos cuesta $3.84” se expresaría como:
$3.84
128onzas
$0.03
1onza
•“8 yardas de papel cuesta $9.54”, el precio por yarda es:
$9.54
8yardas
$1.19
1yarda
Razones y proporciones
Cuando decimos “la razón entre el número a y el número b es...”
estamos diciendo lo siguiente: “la división entre el número a y el
número b es ...” O de otra forma: “a dividido por b es la razón entre
a y b”
La palabra razón entonces es sinónimo de división. Así de simple.
¿Porqué, entonces, usar razón en vez de división?
Realicemos la siguiente división
2
3
Esto es, dos divido por 3, o en nuestro nuevo lenguaje, la razón entre 2 y
3 es:
2
 0,66666
3
Razones y proporciones
Pues bien, entonces la razón entre 2 y 3 es 0,66666.
Calculemos ahora la razón entre 4 y 6, esto es
4
6
No resulta complicado verificar que la “división” entre 4 y 6 tiene
como resultado la misma razón entre 2 y 3
Por lo demás,
4 22 2

  0,66666
6 23 3
De manera que, podemos decir que existe la “misma razón” entre 2 y 3
que entre 4 y 6.
Razones y proporciones
Ahora daremos una explicación de porqué utilizar, en algunos casos, la
parabra razón más que la palabra división
Observe esta antena, compuesta por una barra vertical y una horizontal.
La barra vertical tiene una longitud de tres metros, y la barra horizontal
tiene una longitud de dos metros. De este modo la razón entre la longitud
horizontal y la longitud vertical es de 2/3
2 metros
3 metros
Razones y proporciones
Ahora construiremos una antena de longitud horizontal de 4 metros y de
longitud vertical de 6 metros
4 metros
2 metros
3 metros
6 metros
Esta nueva antena, más grande, tiene la misma razón entre la barra
horizontal y la barra vertical que la antena más pequeña.
De tal forma que, más que una división entre longitud vertical y longitud
horizontal, la razón nos está indicando una forma de “construcción”, un
cierto “patrón” de cómo construir antenas similares a la antena pequeña.
Razones y proporciones
Entendiendo ahora la razón entre la cantidad a y la cantidad b como una
medida de relación entre a y b, se tiene una poderosa herramienta de
medición con muchas aplicaciones al entorno real
Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones
establecen que la razón de natalidad anual es de
17
1000
Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año
17 bebés.
Entonces ¿por cada 2000 habitantes cúantos nacimientos ocurrirán durante
el año? (recuerde la antena, en este caso la barra horizontal son los recien
nacidos y la barra vertical los habitantes)
Razones y proporciones
x recién nacidos
17 recién nacidos
1000
habitantes
2000
habitantes
Ambas antenas, que representan esquematicamente a la población, deben
estar en la misma razón, esto es
17
x

1000 2000
17
 x  2000
 34
1000
Esto es, por cada 2000 habitantes nacerán 34 bebés anualmente.
Razones y proporciones
La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como
densidad poblacional.
Por ejemplo, se sabe que la población de la Segunda Región de
Antofagasta es de 493984 personas, y también se sabe que la superficie
de la Segunda Región es de 126000 kilómetros cuadrados.
Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad
poblacional es de
493984
 3,92 habitantes por kilómetro cuadrado
126000
¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!
Razones y proporciones
Se dice en los organismos de salud que, en invierno, la razón de
enfermedades bronquiales es que se enfermará un estudiante de cada tres
Si la población estudiantil de la ciudad de Antofagasta es de 130000
estudiantes, ¿cuántos se enfermarán este invierno aproximadamente?
estudiantes enfermos 1
razón =
=
número de estudiantes 3
130000
x
3
x

130000
 x  43333
¡Aproximadamente 43333 estudiantes se enfermarán este invierno!
Razones y proporciones
Si dos cantidades a y b están en la razón r, es decir r = a/b. Entonces si se
tiene que otras dos cantidades, digamos c y d, están en la misma razón,
es decir r = c/d, se dice que c y d están en la misma proporción que a y b.
Suponga lo siguiente: se tiene la urna con 1 bolita blanca y tres rojas
Se quiere mantener la misma proporción
pero esta vez se desea que hayan 9 bolitas
rojas, ¿cuántas bolitas blancas deben estar?
1 x
9
 x 3

3
3 9
bolitas blancas
1. La extensión territorial de Puerto Rico es de 3,515 millas
cuadradas y su población aproximadamente es de 3,679,192.
¿Cuál es la densidad de población de Puerto Rico?
2. Los costos de producir un producto se dividen en costos fijos y
costos variables. Supongamos que se ha determinado que la
relación de costos fijos a costos variables es de 3 a 5. Si el total
de costos de una línea de producción es de $40,000, ¿Cómo se
distribuyen los costos?
Solución
1. 3,679,192
3515
1046.71180654338549075391180654339
La densidad es de aproximadamente 1047 habitantes por
milla cuadrada.
2. Primero se determina la razón de costos fijos al costo total
(3/8) y costos variables a costo total (5/8).
C. Fijos = 3 * $40.000 = $15.000
8
C. Variables = 5 * $40.000 = $25.000
8
•
•
•
•
Si igualamos dos razones, por ejemplo:
10-4 = 6 – 2 ó
12/8 = 9/6
Formaremos una :
PROPORCIÓN
Una proporción es
una igualdad de dos
razones equivalentes.
En general una
proporción se
escribe:
A:B=C:D ó A/B=C/D
En ambos casos,
se lee: A es a B
como C es a D.
En una proporción directa a mayor
cantidad una variable, mayor cantidad
la otra.
Dados cuatro números, se dice que forman
o están en proporción directa si la relación
del 1° número al 2° es igual a la relación
entre el 3° y el 4°.
Un grupo de pintores lleva una cantidad
de pintura (15 litros) para 10 cuadros
aprox. ¿Cuántos litros de pintura
tendrán que llevar si quieren pintar 14
cuadros?
Solució
n
15
X
10
= 14
15
= X
5
= 7
= 5X = 15 * 7
3
15 * 7
X
= =
5
1
= 21 litros
Proporción inversa o indirecta: Si
dos variables influyen en una
situación determinada, se dirán
inversamente proporcional, o
formarán una proporción inversa
si, lógicamente al aumento de
una variable la otra disminuye.
En una proporción indirecta a
mayor cantidad una variable,
menor cantidad la otra.
Ejemplo: A mayor número de
fotocopiadoras, menor el
número de tiempo que tomará
fotocopiar un trabajo.
Un vehículo toma dos horas y media en
recorrer una distancia a una velocidad
promedio de 48 millas por hora.
¿cuánto tomará a una velocidad de 60
millas por hora en recorrer la misma
distancia?
Solució
n
La proporción se estableces de la manera siguiente:
48 millas
2.5 horas
60 millas
x horas
La proporción inversa correspondiente se establece como:
48
x
60
2.5
Se resuelve y obtenemos x = 2 horas. Esto es, el avión tomará dos horas.
Ejercicios de explicación:
Seis cajas de conserva de 8 tarros cada una valen $72.000
¿Cuánto valen 10 cajas de 12 tarros cada una?
1. Establecemos las
razones :
6 cajas
10 cajas
2. Resolvemos
relacionando número de
cajas y precio :
;
8 tarros
12 tarros
6 cajas
10 cajas
;
;
$72.000
$x
$72.000
$x
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