Métodos y Terapias
2.2 Interacción Partículas CargadasMateria
Dr. Willy H. Gerber
Instituto de Fisica
Universidad Austral de Chile
Valdivia, Chile
Objetivos: Comprender como interactúan partículas
cargadas con la materia.
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Scattering
α
β
γ
n, p
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Scattering “suave” (b»a): exitar
b
a
Transfiere
Energía
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Scattering “suave” (b»a) : ionizar
Transfiere
Energía
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Scattering “duro” (b≈a) : ionizar
Transfiere
Energía
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Scattering “duro” (b≈a) : ionizar + fotón
Genera
Electrón y
Rayos γ
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Scattering de Coulomb (b«a): Bremsstrahlung
Genera
Rayos γ
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Scattering de Coulomb (b«a): Elástico
Solo desvío
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Mecanismo de daño de Células
Generación de
fotones y
electrones
Transferencia
de energía a
átomos
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
Supongamos que el núcleo tiene carga Ze, que la distancia
mínima que alcanza la partícula de carga ze es b y que la velocidad es tan
alta que en primer orden la trayectoria se puede considerar recta y el núcleo inmóvil:
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
Si se descompone la expresión del impulso transferido de la forma:
Los primeros dos términos representan la fuerza de Coulomb máxima y el tercero un
tiempo característico:
El desarrollo se calculo para el caso no-relativista, en dicho caso
con
y
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
Por ello en el caso que limitamos el efecto relativista solo a la partícula:
La energía cinética del objetivo seria en la aproximación no relativista:
Si comparamos la energía transferida al núcleo y a los electrones
Con lo que se concluye que la primera puede ser despreciada frente a la energía
absorbida por los electrones
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
La energía absorbida por un electrón (Z=1) es:
La partícula que se dispara contra el material va impactando electrones en su ruta. En
una distancia dx
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
Para pasar del parámetro b al de la energía entregada a la materia:
o
se obtiene el diferencial
y con ello la distribución de probabilidades
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
La distribución de energías:
tiene mayormente una contribución para bajas energías en donde encontramos ante
todo procesos de ionización y excitación. Para energías mayores, en que la
contribución es menor, observamos la generación de electrones secundarios
(radiación δ)
Electron δ
Partícula
Si se acota el espectro P(E) a energías menores a las que generan los electrones δ se
tendría la energía transmitida al material.
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
La variación promedia de la energía es:
con el radio clásico del electrón:
so obtiene:
o
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
Las energías limites están dadas por:
La energía máxima a ser transferida:
la energía mínima que corresponde a la energía de ionización:
Se obtiene así:
O el stopping power
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
La relación calculada con mecánica cuántica y tomando en cuenta
el efector pantalla ε y la polarización de los electrones δ entregando la ecuación
de Bethe-Bloch:
Esta ecuación solo vale para partículas pesadas y no
para electrones.
Hans Bethe
(1906-2005)
Felix Bloch
(1905-1983)
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
Perdida de energía por colisiones
Perdida de energía por Bremsstrahlung (radiación)
El Stopping Power total se calcula de la suma ponderado por la densidad de los
elementos relevantes para el tipo de mecanismo
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Relación con dosis
La energía entregada al material por trecho (Linear energy transfer)
recorrido por la partícula es:
que se puede estimar el Stopping Power
La dosis se define como la suma del Stopping Power sobre las energías, ponderado
con el espectro:
con
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Camino recorrido
El camino medio recorrido por la partícula se puede calcular mediante:
Para el caso del Stopping Power de colisiones con z cargas y m masa:
Con lo que se obtiene una dependencia del camino recorrido en función de la
energía y parámetros del proyectil:
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Relación con dosis
La energía entregada al material por trecho (Linear energy transfer)
recorrido por la partícula es:
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Modelamiento simplificado
Al ser las ecuaciones difíciles de integrar se prosigue resolviendo los
problemas en forma numérica o mediante modelos simplificados. Ejemplo
se modela la curva de penetración mediante un polinomio simple:
Energía mas probable
100%
con
C1 = 0.22 MeV
C2 = 1.98 MeV/cm
C3 = 0.0025 MeV/cm2
La energía media en la superficie es
50%
con
C4 = 2.33 MeV/cm
Profundidad equivalente
con
Contaminación con Bremsstrahlung
C5 = 0.88 MeV1/2cm
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Ley de Bragg
El camino medio recorrido por la partícula se puede calcular mediante:
William L. Bragg
(1890-1971)
Deposito de
energía en una
profundidad
especifica
Camino R [cm]
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Modelo de Difusión de Electrones
Basado en la teoría de un gas de electrones de
Fermi-Eyges
Con la desviación estándar definida por
Enrico Fermi
(1901-1954)
y la potencia lineal de scattering (cambio del cuadrado del ángulo de desviación
con la distancia)
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Modelo de Difusión de Electrones
Calculo de la potencia linear de scattering
con
y
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Aproximaciones Pencil Beam
3. Consideramos que los fotones que resultan del scattering son
también absorbidos como energía sin estudiarse su propagación
posterior.
Φ(0)
z
Φ(z)
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Modelo de Difusión de Electrones
Diagrama de la forma de la función peso:
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Modelo de Difusión de Electrones
Lo que da el Kernel (de Hogstrom)
con
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Calculo de Dosis 2.1 Introducción