Métodos y Terapias
Formulas & Ejercicios
Dr. Willy H. Gerber
Instituto de Fisica
Universidad Austral de Chile
Valdivia, Chile
Objetivos: Conocer los distintos tipos de radioterapias y
los mecanismos que asociados a estos.
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Flujo de fotones y partículas
Partículas/Fotones por sección [1/m2]
Flujo de partículas/fotones por sección y tiempo [1/m2s]
Energía por sección [J/m2]
Flujo de energía por sección y tiempo [J/m2s]
ICRU 33: Radiation Quantities and Units
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
Supongamos que el núcleo tiene carga Ze, que la distancia
mínima que alcanza la partícula de carga ze es b y que la velocidad es tan
alta que en primer orden la trayectoria se puede considerar recta y el núcleo inmóvil:
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
Si se descompone la expresión del impulso transferido de la forma:
Los primeros dos términos representan la fuerza de Coulomb máxima y el tercero un
tiempo característico:
El desarrollo se calculo para el caso no-relativista, en dicho caso
con
y
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
Por ello en el caso que limitamos el efecto relativista solo a la partícula:
La energía cinética del objetivo seria en la aproximación no relativista:
Si comparamos la energía transferida al núcleo y a los electrones
Con lo que se concluye que la primera puede ser despreciada frente a la energía
absorbida por los electrones
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
La energía absorbida por un electrón (Z=1) es:
La partícula que se dispara contra el material va impactando electrones en su ruta. En
una distancia dx
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
Para pasar del parámetro b al de la energía entregada a la materia:
o
se obtiene el diferencial
y con ello la distribución de probabilidades
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
La distribución de energías:
tiene mayormente una contribución para bajas energías en donde encontramos ante
todo procesos de ionización y excitación. Para energías mayores, en que la
contribución es menor, observamos la generación de electrones secundarios
(radiación δ)
Electrón δ
Partícula
Si se acota el espectro P(E) a energías menores a las que generan los electrones δ se
tendría la energía transmitida al material.
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
La variación promedia de la energía es:
con el radio clásico del electrón:
so obtiene:
o
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
Las energías limites están dadas por:
La energía máxima a ser transferida:
la energía mínima que corresponde a la energía de ionización:
Se obtiene así:
O el stopping power
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
La relación calculada con mecánica cuántica y tomando en cuenta
el efector pantalla ε y la polarización de los electrones δ entregando la ecuación
de Bethe-Bloch:
Esta ecuación solo vale para partículas pesadas y no
para electrones.
Hans Bethe
(1906-2005)
Felix Bloch
(1905-1983)
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
Perdida de energía por colisiones
Perdida de energía por Bremsstrahlung (radiación)
El Stopping Power total se calcula de la suma ponderado por la densidad de los
elementos relevantes para el tipo de mecanismo
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Relación con dosis
La energía entregada al material por trecho (Linear energy transfer)
recorrido por la partícula es:
que se puede estimar el Stopping Power
La dosis se define como la suma del Stopping Power sobre las energías, ponderado
con el espectro:
con
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Camino recorrido
El camino medio recorrido por la partícula se puede calcular mediante:
Para el caso del Stopping Power de colisiones con z cargas y m masa:
Con lo que se obtiene una dependencia del camino recorrido en función de la
energía y parámetros del proyectil:
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Ejercicios
1. Si tenemos una densidad de corriente de 5 A/m2 y un haz circular de
radio de 5 mm en que cada electrón tiene una energía de 6MeV. Cual es el flujo
de estos, cual el flujo de la energía? (3.13x10+19 1/sm2, 3.00x10+7 J/sm2)
2. Cual es el la potencia del haz descrito en el ejercicio anterior? (2.356x10+3 W)
3. A que velocidad viaja una partícula alfa si su energía es de 1 MeV? Asuma que la
masa en reposo del protón y neutrón son 1896 veces la masa del electrón
9.11x10-31 kg. (6.81x10+6 m/s)
4. Cual es la distancia media entre dos átomos en un material tipo agua? (3.1x10-10
m)
5. Cual es la fuerza máxima y el tiempo característico en una colisión de una
partícula α con un núcleo de Oxigeno (Z=8) si viaja a la velocidad del ejercicio
anterior y su parámetro de impacto es la mitad de la distancia calculada en 4?
(1.53x10-7 N, 4.56x10-17 s)
6. Cual es la fuerza máxima y el tiempo característico en una colisión de una
partícula α con un electrón si viaja a la velocidad del ejercicio anterior y su
parámetro de impacto es de la mitad de la distancia calculada en 4? (1.91x10-8
N, 4.56x10-17 s)
7. Cual es la energía traspasada al electrón en el ultimo caso?
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Ejercicios
1. Simule en forma “manual“ la forma como un haz se propaga en la
aproximación Pencil Beam. Considere un haz monocromático de 1 MeV en un
medio tipo agua y vaya calculando la proporción que logra “sobrevivir” cm a cm
en un total de 20 cm. Indique además la proporción que se genera en fotones
involucrados en scattering Rayleigh, Compton, Fotoeléctrico y pares en cada
elemento. Considere los factores de absorción Rayleigh: 4x10-4 cm2/g,
Fotoeléctrico: 3.5x10-4 cm2/g, Compton: 6x10-2 cm2/g y los restantes con
valores despreciables.
2. Aplique el método cono colapsado en una hoja cuadriculada. Calcule como se
distribuyen los electrones al decimo paso para el caso de que un 50% continua
al cuadrito en la dirección de movimiento, y cada vez 25% a los cuadritos
paralelos al cuadro anterior descrito.
3. Usando los cálculos de los dos ejercicios anteriores y empleando la tabla de
números random que se muestra a continuación, calcule para tres casos
“tirando los dados” si se genero electrón y donde fue este a dar. Asuma que el
cuadriculado del ejercicio 2 tiene una malla de 1x1 mm.
0.830301|0.750572|0.160337|0.054459|0.043647|0.158783|0.961808
0.897865|0.666354|0.623756|0.746108|0.693814|0.449321|0.208445
0.954671|0.386558|0.269915|0.940382|0.993867|0.707698
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