Calculo de Dosis
3.2 Pencil Beam
Dr. Willy H. Gerber
Instituto de Fisica
Universidad Austral
Valdivia, Chile
Objetivos: Comprender la forma como se calcula la dosis
empelando el método de Pencil Beam.
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Absorción
Radiación ionizante al penetrar materia:
Fotones laterales
generados por Rayleigh
z
Scattering con generación de
electrones en la distancia z
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Absorción en un volumen dV
En tres dimensiones debemos considerar que la Intensidad decrece en
función del radio:
Muestra
R
r
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Absorción dependiente de la energía
Si la constante de absorción es dependiente de la energía del fotón:
El flujo “extraído” por volumen para un espectro incidente Φ(E) será:
Si el tejido presenta un coeficiente de absorción variable
el flujo “extraído” por volumen será:
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Modos de Scattering
Pero que significa “extraer” del haz
Fotón
Rayleigh
Fotón + Electrón
Compton
Electrón
Pares-núcleo
Positrón e+
Campo de Núcleo
Fotoeléctrico
Electrón e-
Pares-electrón
Positrón e+
Campo de un electrón
Electrón e-
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Situación geométrica
El flujo absorbido en un punto es en consecuencia en la aproximación
Pencil beam igual a:
En donde la propagación depende del coeficiente de absorción total:
y la absorción en el volumen dV del coeficiente parcial:
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Aproximaciones Pencil Beam
1. Los fotones desviados por scattering Rayleigh solo se consideran en
la reducción de la intensidad del haz pero no en lo que se refiere a sus
consecuencias.
z
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Aproximación Pencil Beam
Atenuación
Atenuación en Agua
NIST
Para agua con densidad de 1
g/cm3 el coeficiente de
atenuación en energías del orden
de 1-6 MeV es 10-5 1/cm.
Para anchos de 101 cm la perdida
de energía por scattering Rayleigh
es del orden de 10-4 o sea
despreciable.
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Aproximaciones Pencil Beam
2. Se asume que los electrones generados en el scattering tienen un
camino libre despreciable depositando la energía en el mismo punto
de la interacción.
z
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Aproximación Pencil Beam
Para estudiar el error que se comete con esta suposición debemos
analizar el nivel de stopping power a lo que están expuestos los electrones:
Stopping Power en Agua
NIST
Para un stopping
power de 2 MeV
cm/g y una densidad
de 1 g/cm3 y
energías entre 1 y 6
MeV el camino
recorrido es de
algunos cm lo que
constituye un ERROR
NO DESPRECIABLE.
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Aproximación Pencil Beam
Si comparamos el stopping power de tejido, hueso, aire (cavidades) y agua
observamos que todos son similares y que el real problema es la densidad del medio
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Aproximación Pencil Beam
Por ello los principales errores del método Pencil Beam se referirán a
problemas de localización de la dosis:
Aire (cavidad)
Tejido
Liquido (agua)
Hueso
Haz
Dosis según
Pencil Beam
Cavidades forman
un caso extremo
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Dosis real
Aproximaciones Pencil Beam
3. Consideramos que los fotones que resultan del scattering son
también absorbidos como energía sin estudiarse su propagación
posterior.
Φ(0)
z
Φ(z)
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Aproximaciones Pencil Beam
Otro de los errores que se observan es la falta de build-up (en realidad el
método supone que se logra en forma instantánea al ocurrir el scattering)
o sea la zona en que los electrones alcanzan la situación de equilibrio.
Para el caso monocromático y sin un efecto de dilución por la propagación radial
según Pencil Beam se tendría una dosis igual a
0%
Sin efecto build-up
% de la dosis máxima
100%
Profundidad
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Aproximaciones Pencil Beam
La medición de dosis en profundidad muestra que de considerarse la
entrega de energía sin propagación posterior existiría ante todo un
problema en la modelación de la superficie:
Dosis [% valor máximo]
Fotones en agua
Build up
Profundidad [cm]
Nota: la mayoría de los “Pencil beam” comerciales muestran un comportamiento
build-up lo que indica que técnicamente incluyen una convolusion simple.
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Situación geométrica
La dosis se calcula sumando sobre todas las contribuciones que
pueden irradiar el punto en estudio:
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Situación geométrica
En este caso debemos sumar sobre las contribuciones definidas en el
flujo de la superficie Φ(ρ,E):
ρ
R
ρ
r
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Situación geométrica
De esta forma se puede calcular la dosis en un punto r como:
En donde Π es el kernel de la integral y en este caso corresponde a:
Lo que permite la estimación de la dosis en función de la ubicación y
propiedades del tejido y de las características del haz incidente con los errores
principalmente debido a no considerar la difusión de los electrones desde la
zona del scattering.
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Ejercicio con planilla
El calculo numérico requiere de estudiar como los fotones se propagan
por el tejido.
Se subdividen los 20 cm de tejido en intervalos de 1 cm
Fotones “perdidos”
por Rayleigh
Fotones que
“generan” electrones
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Ejercicio con planilla
Una simulación simple se deja realizar mediante una planilla Excel:
Constantes de
absorción
Simulación
Dosis
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Ejercicio con planilla
Una simulación simple se deja realizar mediante una planilla Excel:
Constantes de
absorción
Simulación
Dosis
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Ejercicio con planilla
Caso 1: Radiación única por tejido de densidad uniforme (fotón
monocromático)
Densidad [kg/m3]
Dosis [Gy]
Profundidad [cm]
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Ejercicio con planilla
Caso 2: Con zona de mayor densidad
Densidad [kg/m3]
Dosis [Gy]
Profundidad [cm]
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Ejercicio con planilla
Caso 3: A lo largo de un haz que se cruza con dos similares
Densidad [kg/m3]
Dosis [Gy]
Profundidad [cm]
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