MATEMÁTICA BÁSICA CERO
Sesión N°3
TEORÍA DE CONJUNTOS
Departamento de Ciencias
El Perú cuenta con una gran variedad de
recursos naturales, los cuales constituyen
la base de nuestra economía.
RECURSOS
NATURALES
Son aquellos
elementos
proporcionados por la
naturaleza sin
intervención del
hombre
EXPLOTACION DE LOS RECURSOS
NATURALES
Son el conjunto de bienes y materiales
procedentes de la naturaleza que el ser
humano utiliza para satisfacer sus
necesidades.
ACTIVIDADES PRODUCTIVAS
Es el conjunto de acciones y
actuaciones de los seres
humanos con el fin de
obtener bienes que cubran
sus necesidades. Para la
producción de estos bienes es
necesario la existencia de:
TIERRA, CAPITAL, TRABAJO,
TECNOLOGÍA
CONTESTA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS
1. ¿Qué entiendes por CONJUNTO?
Mencione un ejemplo.
2. ¿Cómo se denomina al número de
elementos de un conjunto?
3.¿Cuántos conjuntos de diferentes tipos
observaste?
4. ¿Qué operaciones se pueden realizar
entre conjuntos?
Se realiza una encuesta entre 600 estudiantes sobre los
cursos que mas estudian, entre Matemática, Física y
Química se observó que 280 estudian el curso de
Matemática ,200 estudian Física, los que no estudian
Química son 150 y todos aquellos que estudian dos
asignaturas son en total 130 estudiantes .
¿Cuántos estudian los tres cursos ?
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el
estudiante identifica la idea de conjunto,
opera y resuelve ejercicios relativos a
conjuntos, además de resolver problemas
contextualizados aplicados en su entorno.
6
CONTENIDOS
1. IDEA DE CONJUNTO.
2. CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO.
3. RELACIÓN DE PERTENENCIA.
4. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO.
5. CONJUNTOS ESPECIALES.
6. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS.
7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.
8. EJECICIOS Y PROBLEMAS.
9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
7
1. IDEA DE CONJUNTO
Colección o agrupación bien
definida de objetos de cualquier
clase.
La Notación de un conjunto se
da por medio de LETRAS
MAYÚSCULAS.
Ejemplo: Conjunto
Un conjunto no es más que la agrupación de varios
elementos . ¿Has coleccionado fichas, juguetes o
láminas para un álbum? pues imagina que los conjuntos
son exactamente eso; la colección de varios elementos
que pueden clasificarse debido a que comparten
características en común (fichas, láminas, etc).
8
2. CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Un conjunto también se puede denotar por medio de LLAVES
Del ejemplo anterior, tenemos:
A={1;2 ;3;4;5 ;6;7;8 ;9}
CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO:
n (A)
El número de ELEMENTOS que tiene un CONJUNTO A, se le
denomina CARDINAL DEL CONJUNTO A, y se le representa
como: n (A)
Ejemplo:
El CARDINAL del conjunto A es 9
ya que el conjunto A tiene 9 ELEMENTOS
9
3. RELACIÓN DE PERTENENCIA
Para indicar que un
elemento pertenece a
un conjunto se usa el
símbolo:

Si un elemento no
pertenece
a
un
conjunto se usa el
símbolo:

Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}
2  M ... se lee 2 pertenece al conjunto M
5  M ... se lee 5 no pertenece al conjunto M
10
4. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
POR EXTENSIÓN:
Es aquella forma mediante
la cual se indica cada uno de
los elementos del conjunto.
Ejemplo:
A = { Au ; Ag ; Cu ; O }
POR COMPRENSIÓN:
Es aquella forma mediante
la cual se da una propiedad
que caracteriza a todos los
elementos del conjunto.
Ejemplo:
A = { x / x es un elemento químico}
11
5. CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTO
VACÍO:
Conjunto que no tiene
elementos.
A = {x / x < 6 , x > 8}
A
CONJUNTO
UNITARIO:
Conjunto que tiene un
elemento.
B = {x / xєN, 4<x< 6}
B
12
CONJUNTO
FINITO:
Conjunto que tiene un
número limitado de
elementos.
C
8
5
6
CONJUNTO
INFINITO:
C = {x / xєZ, 4<x<9}
7
Conjunto que tiene un
número ilimitado de
elementos.
D = {x / x < 6}
1 , 2 , 3 …
N
13
Conjunto referencial
que contiene a todos
los elementos.
CONJUNTO
UNIVERSAL:
2
D
5
3
4
U = {x / 0<x<10}
1
6
7
9
8
U
14
6. RELACION ENTRE CONJUNTOS
INCLUSIÓN:
Un conjunto A está incluido en
otro conjunto B ,sí y sólo sí, todo
elemento de A es también
elemento de B.
NOTACIÓN :
B
A
A B
Se lee : A está incluido en B, A
es subconjunto de B, A está
contenido en B , A es parte de B.
15
IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS:
Dos conjuntos son iguales si
tienen los mismos elementos.
A  B  (A  B)  (B  A)
Ejemplo:
A = { x / x2 = 9 } y
B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
Resolviendo la ecuación de cada conjunto se
obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o 3, es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo
tanto A=B
16
CONJUNTOS DISJUNTOS:
Dos conjuntos son disjuntos
cuando no tienen elementos
comunes.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
A
B
7
5
4
9
1
3
6
2
8
17
7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Es el conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen a A,
a B o a ambos conjuntos.
1.1 UNIÓN
A B
Ejemplo:
A  1;2;3; 4;5;6;7 yB  5;6;7;8;9
A
1
3
2
4
7
6
5
7
5
B
8
6
9
A  B  1;2;3; 4;5;6;7;8;9
A  B  x / x  A  x  B
18
1.2 INTERSECCIÓN
A B
Es el conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen a A
y que pertenecen a B.
Ejemplo:
A  1;2;3; 4;5;6;7 yB  5;6;7;8;9
A
1
3
2
4
7
6
5
7
5
8
6
9
A  B  5;6;7
A  B  x / x  A  x  B
19
B
1.3 DIFERENCIA
A B
Es el conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen a A y
no pertenecen a B.
Ejemplo:
A  1;2;3; 4;5;6;7 yB  5;6;7;8;9
A
1
3
2
4
7
6
5
7
5
B
8
6
9
A  B  1;2;3; 4
A  B  x / x  A  x  B
20
El conjunto “B menos A” que se representa: B  A ;es el conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.
Ejemplo:
A  1;2;3; 4;5;6;7 yB  5;6;7;8;9
A
1
3
2
4
7
6
5
7
5
B
8
6
9
B  A  8;9
B  A  x / x  B  x  A
21
1.4 DIFERENCIA
SIMÉTRICA
AB
Es el conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen a
(A-B) o(B-A).
Ejemplo:
A  1;2;3; 4;5;6;7 yB  5;6;7;8;9
A
1
3
2
4
7
5
6
7
5
AB  1;2;3; 4  8;9
AB  x / x  (A  B)  x  (B  A)
B
8
6
9
22
También es correcto afirmar que:
AB  (A  B)  (B  A)
A
B
A-B
B-A
AB  (A  B)  (A  B)
A
B
23
1.5 COMPLEMENTO
Notación:
A’ o AC
Simbólicamente:
Dado un conjunto universal U y un
conjunto A, se llama complemento de A
al conjunto formado por todos los
elementos del universo que no
pertenecen al conjunto A.
A '  x / x  U  x  A
A’ = U - A
Ejemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9}
y
A ={1;3; 5; 7; 9}
Entonces : A’ = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 }
24
U
A
2
1
6
3
5
8
7
A’={2;4;6,8}
9
4
PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO
1. (A’)’=A
4. U’=Φ
2. A U A’=U
3. A ∩ A’=Φ
5. Φ’=U
25
8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1.
Dados los conjuntos:
A = { 1; 4 ;7 ;10 ; ... ;34}
B = { 2 ;4;6;...;26}
C = { 3; 7;11;15;...;31}
a) Expresar B y C por comprensión
b) Calcular: n(B) + n(A)
c) Hallar: A ∩ B , C – A
26
SOLUCIÓN:
Los elementos de A son:
tt1tt tt4tt 7 tt10tt ... tt34tt
13x0 1 3x1 1 3x2 13x3
13x11
A = { 1+3n / nЄZ  0 ≤ n ≤ 11}
n(A)=12
Los elementos de B son:
tt2tt tt4tt tt6tt tt8tt
2x1
2x2
2x3
... tt 26tt
2x4
B = { 2n / n Є Z  1≤ n ≤ 13}
2x13
n(B)=13
27
c) Hallar: A ∩ B , C – A
A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34}
B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}
C = {3;7;11;15;19;23;27;31}
Sabemos que A ∩ B esta formado por los
elementos comunes de A y B, entonces:
A ∩ B = { 4;10;16;22 }
Sabemos que C - A esta formado por los elementos
de C que no pertenecen a A, entonces:
C – A = { 3;11;15;23;27 }
28
2. Expresar la región sombreada en términos
de operaciones entre los conjuntos A,B y C.
A
B
B
A
C
C
29
SOLUCION:
A
[(A ∩ B) – C]
B
A
C
B
B
A
C
[(B ∩ C) – A]
C
C
[(A ∩ C) – B]
U
U
30
A
C
Observa como se
obtiene la región
sombreada
A
C
Toda la zona de amarillo es
A UB
La zona de verde es A ∩ B
Entonces restando se obtiene la zona
que se ve en la figura : (A U B) - (A ∩ B)
Finalmente le agregamos C y se obtiene:
[ (A U B) - (A ∩ B) ] U C
= ( A Δ B31) U C
B
Se realiza una encuesta entre 600 estudiantes sobre los
cursos que mas estudian, entre Matemática, Física y
Química se observó que 280 estudian el curso de
Matemática ,200 estudian Física, los que no estudian
Química son 150 y todos aquellos que estudian dos
asignaturas son en total 130 estudiantes .
¿Cuántos estudian los tres cursos ?
El universo es: 600
SOLUCIÓN:
Estudian Matemática: 280
Estudian Física: 200
No estudian Química: 150
Entonces si estudian Química: 600 – 150 =450
F (I)
M
e
a
d
x
c
Q
b
f
(II)
(III)
a + e + d + x =280
b + e + f + x = 200
d + c + f + x = 450
Dato: Estudian 2 cursos
130 ,entonces:
(IV)
d + e + f = 130
33
Sabemos que : a=280-d-e-x
Sabemos que : b=200-e-f-x
Si a+b+e=150
Sumamos las ecuaciones
280-d-e-x+200-e-f-x+e=150
380-2x-(d+
e
+
f
)
=
150

130
250-2x =150
 x = 50
Esto significa que 50 estudiantes estudian los 3
34
cursos
9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 SALVADOR TIMOTEO. RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO. 1° EDICIÓN. ED. SAN
MARCOS. PAG. 521 - 539.
 SALVADOR TIMOTEO. ARITMÉTICA. 2°
EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 444 - 480.
 MILLER/HEEREN/HORNSBY. MATEMÁTICA
RAZONAMIENTO Y APLICACIONES. 2°
EDICIÓN. ED. PEARSON. PAG. 49 - 93.
35
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A ∩ B