ESTÁTICA Y DINÁMICA
ESTRUCTURAS
Armaduras: Una armadura es un montaje de elementos delgados
y rectos que soportan cargas principalmente axiales ( de tensión y
compresión ) en esos elementos.
Los elementos que conforman la armadura, se unen en sus puntos
extremos por medio de pasadores lisos sin fricción localizados en
una placa llama "Placa de Unión”, o por medio de soldadura,
remaches, tornillos, clavos o pernos en el caso de armaduras de
madera, para formar un armazón rígido.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Como los elementos o miembros son delgados e incapaces de
soportar cargas laterales, todas las cargas deben estar aplicadas en
las uniones o nodos.
Se dice que una armadura es rígida si está diseñada de modo que
no se deformará mucho o se colapsará bajo la acción de una carga
pequeña.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
ARMADURAS SIMPLES
La mayoría de las estructuras reales están hechas a partir de varias
armaduras unidas entre sí para formar una armadura espacial.
Las armaduras simple, son aquellas armaduras que se obtienen a
partir de una armadura triangular rígida, agregándole dos nuevos
elementos y conectándolos en un nuevo nodo.
Si a una armadura triangular rígida le agregamos dos nuevos
elementos y los conectamos en un nuevo nodo, también se obtiene
una estructura rígida.
Las armaduras que se obtienen repitiendo este procedimiento
reciben el nombre de armaduras simples. Se puede comprobar que
en una armadura simple el número total de elementos es
m = 2 n -3, donde n es el número total de nodos.
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ARMADURAS SIMPLES
ESTÁTICA Y DINÁMICA
ARMADURAS PARA PUENTES
ESTÁTICA Y DINÁMICA
ARMADURAS PARA TECHOS
ESTÁTICA Y DINÁMICA
HIPÓTESIS SOBRE UNA ARMADURAS IDEAL
• Todos los elementos de una armadura son rectos y se pueden
representar por medio de rectas.
• Los nodos en los extremos de los miembros se pueden
representar por medio de puntos.
• Todos los nodos se forman por pasadores sin fricción.
• El peso de cada elemento se aplica en los extremos de éste, o
bien, el peso de cada elemento es despreciable.
• A una armadura sólo se le pueden aplicar cargas concentradas,
y estas se aplican en los nodos.
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HIPÓTESIS SOBRE UNA ARMADURAS IDEAL
• A una armadura sólo se le pueden aplicar cargas concentradas,
y estas se aplican en los nodos.
• Para una armadura plana ( bidimensional), todos los elementos
y caras se encuentran en el mismo plano. Para una armadura
espacial ( tridimensional), los elementos no son coplanares y las
direcciones de las cargas son arbitrarias.
• Se asume que sobre un elemento individual de una armadura,
pueden actuar fuerzas, como las que se muestran en la figura
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En el primer caso tienden a estirar al elemento y éste está en
tensión o tracción; en la segunda figura tienden a comprimir al
elemento y el mismo está en compresión.
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ANÁLISIS DE ARMADURAS POR EL MÉTODO DE LOS NODOS
El método de los nodos nos permite determinar las fuerzas en los
distintos elementos de una armadura simple. Consiste en:
1. Obtener las reacciones en los apoyos a partir del DCL de la
armadura completa.
2. Determinar las fuerzas en cada uno de los elementos haciendo
el DCL de cada uno de los nodos o uniones. Se recomienda
empezar analizando aquellos nodos que tengan no más de dos
incógnitas.
Si la fuerza ejercida por un elemento sobre un perno está
dirigida hacia el perno, dicho elemento está en compresión; si
la fuerza ejercida por un elemento sobre el perno está dirigida
hacia fuera de éste, dicho elemento está en tensión.
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EJEMPLOS
1. Determinar las fuerzas axiales en los miembros de la armadura
e indicar si están en tensión o en compresión.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Solución
Diagrama de fuerzas sobre la estructura.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Solución
Diagrama de fuerza para los nodos A y B.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
2. La armadura mostrada en la figura soporta una carga de 10 kN
en C. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y
determine las reacciones en sus soportes. Determine las
fuerzas axiales en las barras e indique si se encuentran en
tensión o compresión.
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Solución
Diagrama de fuerzas sobre la estructura.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Solución
Diagrama de fuerza para los nodos A y C.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
2. Utilizar el métodos de los nodos para hallar las fuerzas en cada
uno de los miembros de la armadura mostrada en la figura
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Solución
Diagrama de fuerzas sobre la estructura.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Solución
Diagrama de fuerza para los nodos C y D.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Solución
Resultados
El hecho de que TAB y TAD resulten nulas es una peculiaridad de
las cargas y no significa que los miembros AB y AD puedan
eliminarse de la armadura. En caso de cargas ligeramente
diferentes, las fuerzas en esos miembros no serían nulas.
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MIEMBROS DE FUERZA NULA O FUERZA CERO
Sucede a menudo que ciertos miembros de una armadura dada no
soportan carga. Los miembros de fuerza nula de una armadura
suelen deberse a una de dos causas generales.
La primera causa ocurre cuando dos miembros no colineales
forman un nodo y sobre este nodo no hay aplicada ninguna carga
externa ni reacción de apoyo.
La armadura mostrada en la figura es un ejemplo de esta
condición.
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Solución
Diagrama de fuerza para el nodo C.
Las ecuaciones de equilibrio para el nodo C da inmediatamente la
solución.

F x   T B C  TC D cos 30  0

F y   TC D sen 30  0
0
TC D  0
0
y
TBC  0
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La segunda condición de fuerza cero ocurre cuando tres miembros
formen un nodo en el cual dos de los miembros sean colineales y
el tercero forme ángulo con ellos, el miembro no colineal será de
fuerza cero si en el nodo no hay aplicada fuerza externa ni
reacción de apoyo.
Los dos miembros colineales soportan cargas iguales ( ambos
están sometidos a tensión o compresión).
La armadura mostrada en la figura es un ejemplo de esta
condición.
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Solución
Diagrama de fuerza para el nodo B.
Las ecuaciones de equilibrio para el nodo B son:

Fx   T A B  TB C  0

F y  TBD  0
TBD  0
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Solución
Diagrama de fuerza para el nodo D.
Las ecuaciones de equilibrio para el nodo D son:

F x   T D E  T A D co s 6 0  T B D co s 6 0  TC D  0

F y  T A D sen 6 0  T B D sen 6 0  0
0
0
0
0
Pero como TBD=0, entonces se tendrá además que:
T AD  0
y
T DE  TC D
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1. En la armadura simple Fink de la figura, hallar los miembros
de fuerza cero.
Diagrama de fuerza para el nodo E.
F
De donde se tiene que:
y
 T B E sen  0
TBE  0
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2. Identificar los miembros de fuerza cero de la armadura en
tijera de la figura.
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Diagrama de fuerza para el nodo B
F
x
  T B H sen  T B G sen  0
TBG  0
El razonamiento aplicado para el nodo B no es aplicable al nodo
D, ya que éste tiene aplicada una carga exterior.
Por lo tanto, los miembros de fuerza nula para el estado de carga
mostrado en la figura dado son BG, BH y DF.
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MÉTODO DE LAS SECCIONES
El método de las secciones para el análisis de armaduras se basa
en el equilibrio de cuerpo rígido de una parte de la armadura.
Pasos para analizar una armadura por el método de las secciones.
1. Realizar un diagrama de cuerpo libre sobre la armadura
completa. Escribir las ecuaciones de equilibrio y resolver estas
ecuaciones para determinar las reacciones en los apoyos.
2. Localice los miembros de la armadura para los cuales se
desean encontrar las fuerzas. Marque cada uno de ellos con
dos trazos cortos como se muestra en la figura.
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MÉTODO DE LAS SECCIONES
3. Trace una línea ( corte) a través de la armadura para separarla
en dos partes. No es necesario que la línea sea recta, sino que
debe separar a la armadura en dos partes apropiadas. Así
mismo, se debe tener en cuenta que cada una de las partes de la
armadura debe contener por lo menos un miembro completo
( sin cortar).
4. Seleccione una de las partes de la armadura seccionadas en el
paso 3 y dibuje un diagrama de cuerpo libre de ella. A menos
que se tenga otra información, suponga que las fuerzas
desconocidas en los miembros son de tensión.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
MÉTODO DE LAS SECCIONES
5. Escriba las ecuaciones de equilibrio para las partes
seleccionadas en el paso 4. Si en el paso 3 fue necesario cortar
más de tres miembros con fuerzas desconocidas en ellos, es
posible que se tenga que considerar partes adicionales de la
armadura o nodos por separados. Para determinar las
incógnitas.
6.
Resuelva el conjunto de ecuaciones obtenidas en el paso 5
para determinar las fuerzas desconocidas.
7. Repita los pasos 3 a 6, según se requiera, para completar el
análisis.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
MÉTODO DE LAS SECCIONES
5. Escriba las ecuaciones de equilibrio para las partes
seleccionadas en el paso 4. Si en el paso 3 fue necesario cortar
más de tres miembros con fuerzas desconocidas en ellos, es
posible que se tenga que considerar partes adicionales de la
armadura o nodos por separados. Para determinar las
incógnitas.
6.
Resuelva el conjunto de ecuaciones obtenidas en el paso 5
para determinar las fuerzas desconocidas.
7. Repita los pasos 3 a 6, según se requiera, para completar el
análisis.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
EJEMPLOS
1. Determinar las fuerzas en los elementos FH, GH y GI, de la
siguiente armadura:
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Solución
Diagrama de fuerza para toda la armadura
F
y
 0  A y  L y  20 kN  0
A y  L y  20 kN
M
A
(1)
 (30 m ) L y  (6 kN )(5 m )  (6 kN )(10 m )  (6 kN )(15 m )  (1kN )(20 m )  (1kN )(25 m )  0
L y  7.5 kN
De (2) en (1) se tiene que:
A y  12.5 kN
(2)
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Fuerza en el elemento GI. Se pasa la sección nn a través de la
armadura como se muestra en la figura. Utilizando la porción HLI
de la armadura como cuerpo libre, se puede obtener el valor de
FGI.
M
H
 0  (7.5 kN )(10 m )  (1kN )(5 m )  FG I (5.33 m )  0
FG I  13.13 kN
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Fuerza en el elemento FH. Se mueve FFH a lo largo de su línea de
acción hasta que actué en el punto F y se calcula el momento para
la sección de la armadura con respecto a G.
M
G
 0  (7.5 kN )(15 m )  (1kN )(10 m )  (1kN )(5 m )   F F H cos   (8 m )  0
F F H   13.81kN 
F F H  13.81kN
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Fuerza en el elemento GH. Se mueve FGH a lo largo de su línea de
acción hasta que actué en el punto G y se calcula el momento para
la sección de la armadura con respecto a L.
M
L
 0  (1kN )(10 m )  (1kN )(5 m )   FG H cos   (15 m )  0
FG H   1.371kN 
F F H  1.371kN
ESTÁTICA Y DINÁMICA
2. Una armadura Fink para techo se carga como se indica en la
figura. Determine la fuerza presente en los elementos BD, CD y
CE.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Diagrama de fuerza para toda la armadura.
F
y
M
 0  A y  K y   3  6  6  6  6  6  3  kN  0
A
 (9 m ) K y  (9 m )(3 kN )  (6 kN )(7.5 m )  (6 kN )(6 m )  (6 kN )(4.5 m )  (6 kN )(3 m )  (6 kN )(1.5 m )  0
Al resolver éste sistema de ecuaciones se tiene que:
Ay  18 kN
y
Ky  18 kN
ESTÁTICA Y DINÁMICA
A continuación se toma la sección aa que corte los miembros BD,
CD y CE y se dibuja el Diagrama de Fuerzas de la parte izquierda
de la armadura.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Figura para determinar los ángulos en la armadura.
tan  
2 .4
; sen  
4 .5
2 .4
; cos  
5 .1
4 .5
5 .1
 2 .4 
D D  A D tan   ( 3 m ) 
  1 .6 m
 4 .5 
tan  
1 .6
1 .2
; sen  
1 .6
2
; cos  
1 .2
2
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Sumando momento respecto al punto D.
tan  
2 .4
; sen  
4 .5
2 .4
; cos  
5 .1
4 .5
5 .1
 2 .4 
D D  A D tan   ( 3 m ) 
  1 .6 m
 4 .5 
tan  
1 .6
1 .2
M
D
; sen  
1 .6
2
; cos  
1 .2
2
 0  ( 3 m )( 3 kN )  ( 3 m )(18 kN )  (1 . 5 m )( 6 kN )  (1 . 6 m )T CE  0
T CE  22 . 5 kN
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Sumando momento respecto al punto C.
tan  
2 .4
; sen  
4 .5
2 .4
; cos  
5 .1
4 .5
5 .1
 2 .4 
D D  A D tan   ( 3 m ) 
  1 .6 m
 4 .5 
tan  
1 .6
1 .2
M

C
; sen  
1 .6
2
; cos  
1 .2
2
 0  (1 . 8 m )( 3 kN )  (1 . 8 m )(18 kN )  ( 0 . 3 m )( 6 kN )  (1 . 8 m )T BD sen   0
 2 .4 
M C  0  (1 . 8 m )( 3 kN )  (1 . 8 m )(18 kN )  ( 0 . 3 m )( 6 kN )  (1 . 8 m )T BD 
0
 5 .1 
T BD   29 . 75 kN
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Sumando momento respecto al punto A.
tan  
2 .4
; sen  
4 .5
2 .4
; cos  
5 .1
4 .5
5 .1
 2 .4 
D D  A D tan   ( 3 m ) 
  1 .6 m
 4 .5 
tan  
1 .6
1 .2
M

M
A
A
; sen  
1 .6
; cos  
2
 0  (1.8 m )TC D sen  (1.5 m )(6 kN )  0
 1.6
 0  (1.8 m ) 
 2
TC D  6.25 kN

 TC D  (1.5 m )(6 kN )  0

1 .2
2
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Así tenemos que las respuestas buscadas son:
T BD  29 . 75 kN
(C )
T CD  6 . 25 kN
(T )
T CE  22 . 5 kN
(T )
ESTÁTICA Y DINÁMICA
3. Determinar las fuerzas en los miembros BC y BG de la
armadura mostrada en la figura.
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Diagrama de fuerza para toda la armadura
F
x
 0  A x   15  30  30  30  15  sen 30  0
F
y
 0  A y  E   15  30  30  30  15  cos 30  0
0
0
M
A
 (41057 m ) E  (6 m )(5 kN )  (6 kN )(10 m )  (12 kN )(30 m )  (18 kN )(30 m )  (24 kN )(15 m )  0
Al resolver éste sistema de ecuaciones se tiene que:
A x   60 kN ; A y  69.28 kN ; E  34.64 kN
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Se corta una sección por la parte central de la armadura como se
muestra en la figura, se toma una sección aa que corte los
miembros CD, DG y FH y se dibuja el DF de la parte derecha de
la armadura.
Sumando momento respecto a H.

M H  (27.72 m )(34.64 kN )  (13.86 m )(15 cos 30 kN )  (13.86 m )( TC D Sen 30 )  0
De donde se tiene que:
0
TCD   112.58 kN
0
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Diagrama de fuerza para el nodo C
En este caso se tiene que:
F
x
 0  TC D  T B C  0
F
y
 0   30  TC D  0
T B C  TC D   112.58 kN
y
TC D   30 kN
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Por último se toma una sección bb que corte los miembros BC,
BG, GH y FH y se dibuja el DF de la parte izquierda de la
armadura.
Sumando momento respecto a H.
M
H
0
 (13.86 m )(69.28 kN )  (13.86 m )(15 cos 30 kN )  (6.93 m )(30 c os 30 kN )  (13.86 m )(T BC sen 30 )  6 T BG  0
0
0
De donde se tiene que:
T BG  30 kN
0
ESTÁTICA Y DINÁMICA
Así tenemos que las respuestas buscadas son:
T B C  112.6 kN ( C )
T B G  30 kN
(T )