UNIVERSIDAD NACIONAL
“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”
CURSO: FISICA I
TEMA:
FUERZAS - ESTATICA
Profesor: Mag. Optaciano Vásquez García
HUARAZ -PERÚ
2010
I.
FUERZA
• En física, la fuerza es todo agente capaz de modificar la
cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos. Es decir,
la fuerza expresa la acción mecánica de un cuerpo
sobre otro.
• Siendo la fuerza una cantidad vectorial su especificación
completa requiere de: (a) una intensidad, (b) una
dirección y sentido, y (c) un punto de aplicación.
ELEMENTOS DE LA FUERZA
I.
FUERZA_1
La fuerza produce dos efectos:
A. Exteriores: En la estructura el efecto exterior de la fuerza F =
500 N, es las reacciones que aparecen sobre las varillas y
sobre el perno.
B. Interiores: El efecto interior de la fuerza F es las
deformaciones y esfuerzos resultantes distribuidos en el seno
del material
I.
FUERZA_2
Al estudiar la mecánica de los cuerpos rígidos donde se tiene
en cuenta el efector exterior podemos considerar a la fuerza
como un vector deslizante es decir, goza del principio de
transmisibilidad, esto es, la fuerza puede considerarse
aplicada en cualquier punto de su línea de acción sin que
altere su efecto exterior sobre el cuerpo
II. CLASES DE FUERZAS
1. FUERZAS DE CONTACTO. 2. FUERZAS MASICAS
Se generan mediante el
contacto físico directo entre
dos cuerpos
se crean por acción a
distancia. Ejm. la fuerza
gravitacional, eléctrica y
magnética.
II. CLASES DE FUERZAS_2
1.
FUERZAS CONCENTRADAS 2. FUERZAS DISTRIBUIDAS
.
Aquellas que se consideran
Aquellas que se consideran
aplicadas en una línea, un área o
aplicada en un punto
un volumen
III. UNIDADES DE FUERZA
• Una fuerza puede medirse comparándola con otras fuerzas
conocidas, recurriendo al equilibrio mecánico, o por
deformación calibrada de un resorte.
• La unidad patrón de la fuerza en el SI de unidades es el
Newton (1 N)
IV. FUERZA RESULTANTE
• Consideremos dos fuerzas actuando sobre un cuerpo como
se ve en la figura .
• Geométricamente se determina mediante la ley del
paralelogramo o triángulo. Su modulo y dirección son
FR 
F1  F  2 F1 F cos 
2
FR
sen (   )
2
2

2
F1
sen 

2
2
F2
sen
EJEMPLO
La resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el
tronco de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y
tiene una magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que
forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza FB
en este cable sea un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la
fuerza en cada cable para esta situación?
V.
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
1. EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO
FR  Fx  F y
F R  F x iˆ  F y ˆj
F R  F cos  iˆ  F sen ˆj
F R  F (cos  iˆ  sen ˆj )
ˆ  (cos  iˆ  sen ˆj )
FR 
tg  
F1  F2
2
Fy
Fx
2
Ejemplo
Calcule las componentes horizontal y vertical de las
fuerzas mostradas en la figura
VI.
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
2. EN DOS DIRECCIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO
FR  F A  A  FB  B
Ejemplo
Calcule las componentes de la fuerza de 260 N
representada en la figura, una de ellas actúa en la
dirección de AB mientras que la línea de acción de la otra
componente pasa por C
Ejemplo
Calcule las componentes de la fuerza de 100 N
representada en la figura , una de ellas actúa en la
dirección de AB y la otra paralela a BC.
EJEMPLO O2
La fuerza de 500 N que actúa sobre la armadura ha de ser
resuelta en dos componentes actuando a lo largo de los
ejes AB y AC de la estructura. Si la componente de la
fuerza a lo largo de AC es de 300 N dirigida de A C,
determine la magnitud de la fuerza actuante a l largo de AB
y el ángulo θ de la fuerza de 500 N
Ejemplo
• Una barra y una riostra
resisten una fuerza de
100 kN en la forma que
se indica en la figura.
Determine
la
componente
de la
fuerza según el eje AB
de la barra y la
componente
de la
fuerza según el eje AC
de la riostra.
EJEMPLO O2
Un cable ejerce una fuerza F en el soporte del
miembro estructural. Si la componente x de F es
4 kN. Halle su componente y y su módulo
EJEMPLO
Expresar la fuerza P, de módulo 10 N, en función
de los vectores i y j : Halle las componentes
escalares Pt y Pn respectivamente paralela y
normal a la recta OA.
EJEMPLO
La fuerza F de 500 N está aplicada al poste vertical tal
como se indica . (a) Escribir F en función de los vectores
unitarios i y j e identificar sus componentes vectoriales y
escalares; (b) hallar las componentes escalares de F en los
ejes x’ e y’; © hallar las componentes escalares de F en los
ejes x e y’.
EJEMPLO
Determine: (a) el valor requerido de  si la resultante
de las tres fuerzas mostradas en la figura es vertical.
(b) La correspondiente magnitud de la resultante
EJEMPLO
Combinar las dos fuerza P y T, que actúan sobre el
punto B de la estructura fija, para obtener una única
fuerza R.
EJEMPLO
En el sistema de fuerzas mostrado en la figura
determine la magnitud y la dirección de la fuerza
resultante.
VII. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
3. EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL ESPACIO
FR  FH  Fz
F R  ( F x iˆ  F y ˆj )  F z kˆ
F R  F co s  iˆ  F co s  ˆj  F co s  kˆ
F R  F (co s  iˆ  co s  ˆj  co s  kˆ )
ˆ  (co s  iˆ  co s  ˆj  co s  kˆ )
M o d u lo
FR 
Fx  F y  Fz
2
2
2
VII. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
3. DIRECCIONES DE LA FUERZA EN EL ESPACIO
cos  
Fx
cos  
Fy
F
F
cos  
Fz
F
VIII. FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS
PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN
En algunos casos la fuerza está definida por su modulo y dos
puntos de su línea de acción. En este caso
VIII. FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS
PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN
MN
ˆ
F  F  F
MN
F  F
F  F
 x 2  x1  iˆ   y 2 
 x 2  x1 
2
  y 2  y1    z 2  z1 
2
d x iˆ  d y ˆj  d z kˆ
d d d
2
x
2
y
y1  ˆj   z 2  z1  kˆ
2
z
 F
2
d x iˆ  d y ˆj  d z kˆ
d
EJEMPLO
Expresar la fuerza F de 36 kN en función de los
vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre el
eje x
EJEMPLO
Sabiendo que la tensión en el cable AB es 1425 N,
determine las componentes de la fuerza sobre la placa
ejercida en B
EJEMPLO
Encontrar la magnitud y la dirección de las dos fuerzas
mostradas en la figura, sabiendo que
P = 400 N y
Q = 300 N
EJEMPLO
Expresar la fuerza F de 400 N en función de los
vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre la
recta OA.
EJEMPLO
Sabiendo que la tensión en el cable AB es de 510 lb y en el
cable AC es de 425 lb. Determine la magnitud y la dirección
de la resultante de las fuerzas en el punto A ejercida por lo
dos cables
EJEMPLO
Calcular las componentes rectangulares de la fuerza
de 110 N, representada en la figura, una es paralela a
AB y la otra es perpendicular a esta línea.
IX. MOMENTO DE UNA FUERZA
• En mecánica newtoniana, se denomina momento de una
fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud vectorial,
obtenida como producto vectorial del vector de posición del
punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual
se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se
le denomina momento dinámico o sencillamente momento.
IX. MOMENTO DE UNA FUERZA_2
 El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un
punto O viene dado por el producto vectorial del vector de posición OP
por el vector fuerza F; esto es
 El momento es un vector perpendicular al plano de r y F.
 La magnitud del momento esta dado por
 El sentido del momento se determina mediante la regla de la mano
derecha.
 Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el
momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación
sobre su recta de acción o directriz.
IX.
INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA
FUERZA- CON….
 El momento de una fuerza con respecto a un punto o a un eje
nos da una medida de la tendencia de la fuerza a causar que
el cuerpo rote con respecto a in punto o eje
IX.
INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA
FUERZA- CON….
 El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el
cual se aplica y es una magnitud característica en elementos
que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de
maquinaria) o a flexión (como las vigas
9.2.
COMPONETES RECTANGULARES DEL
MOMENTO
•El momento de la
fuerza respecto a O es
9.3. COMPONETES RECTANGULARES DEL
MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO
CUALQUIERA
9.4.
COMPONETES RECTANGULARES
DEL MOMENTO EN EL PLANO
Ejemplo
• Determine el momento de la fuerza de 100 N
con respecto al punto A
Ejemplo
• Una fuerza P de 13,2 N se aplica a la palanca
que controla la barrena de un soplador de
nieve. Determine el momento de P respecto a A
cuando  es igual a 30 °.
Ejemplo
• Determine el momento de las tres fuerzas
respecto a: (a) punto A y (b) punto B de la viga
Ejemplo
• Encuentre el momento de la fuerza F con
respecto al punto O
Ejemplo
• Una tabla de madera AB,
que se utiliza como un
apoyo temporal para
apoyar a un pequeño
tejado, ejerce en el punto
A del techo una fuerza
de 228 N dirigida a lo
largo de BA. Determinar
el momento con respecto
a C de esa fuerza.
Ejemplo
• Una manga del soporte puede proporcionar un
momento de máxima resistencia de 125 N· m sobre
el eje "x". ¿Cómo determinar la magnitud máxima
de F antes de que ocurra el giro alrededor del eje
x?
Ejemplo
Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al
extremo de una palanca que está unida a un
eje en O. Determine:
(a) el momento de la fuerza de 100 lb con
respecto al punto O,
(b) el módulo de la fuerza horizontal que
aplicada en A produce el mismo momento
produce el mismo momento respecto a O,
(c) la menor fuerza que aplicada en A
produce el mismo momento respecto a O,
(d) a que distancia del eje debe aplicarse
una fuerza vertical de 240 lb para que
produzca el mismo momento respecto a O
•SOLUCIÓN
Parte (a) La magnitud del momento de
la fuerza de 100 lb se obtiene
multiplicando la fuerza por el brazo de
palanca esto es
M O  Fd
d   24 in.  cos 60   12 in.
M O  100 lb 12 in. 
M O  1200 lb  in
La dirección de Mo es perpendicular al
plano que contiene F y d y su sentido se
determina mediante la regla derecha
•SOLUCIÓN
Parte (b) La fuerza que aplicada
en A produce el mismo momento
se determina en la forma
siguiente
d   24 in.  sin 60   20 . 8 in.
M O  Fd
1200 lb  in.  F  20 . 8 in. 
F 
1200 lb  in.
20 . 8 in.
F  57 . 7 lb
•SOLUCIÓN
Parte (b) Debido a que M = F d. el
mínimo valor de F corresponde al
máximo valor de d. Eligiendo la fuerza
perpendicular a OA se encuentra que d
= 24 in; entonces
M O  Fd
1200 lb  in.  F  2 4 in. 
F 
1200 lb  in.
2 4 in.
F  50 lb
•SOLUCIÓN
Parte (b). En este caso Mo = Fd
obteniendo
M O  Fd
1200 lb  in.   240 lb d
d 
1200 lb  in.
 5 in.
2 40 lb
OB cos60   5 in.
OB  10 in.
Ejemplo
• Una fuerza de 450 N se
aplica en A. Determine:
(a) el momento dela
fuerza de 450N con
respecto al punto D, (b)
la fuerza más pequeña
que aplicada en B, crea
el mismo
Ejemplo
• Determine el momento resultante de las cuatro
fuerzas con respecto al punto O
Ejemplo
• Una fuerza Q de 450 N se aplica en C. Determine
el momento de Q: (a) con respecto al origen de
coordenadas del sistema y (b) con respecto al
punto D
Ejemplo
• La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y
por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es
200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la
fuerza ejercida por el alambre en C
•SOLUCIÓN
•El momento MA de la
fuerza F ejercida por el
alambre
es
obtenido
evaluando
el producto
vectorial
SOLUCIÓN

M

rC
A
A

 rC
A

F




 rC  r A   0 . 3 m i   0 . 08 m  j



rC
F  F    200 N 
rC
  200 N 
D
D



  0 . 3 m i   0.24 m  j   0 . 32 m k
0 .5 m



  120 N  i  9 6 N  j  128 N k

M
A


i

j

k
0 .3
0
0 . 08
 120
96
 128
Ejemplo
La tensión en el cable AB es 150 N. Determine la tensión en
AC y CD tal que la suma de los momentos alrededor del origen
debido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es
cero.
Ejemplo
9.5.
MOMENTO DE UNA FUERZA
CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR
EL ORIGEN
• Sabemos
que
el
momento de la fuerza F
respecto al punto O.
9.5.
MOMENTO DE UNA FUERZA CON
RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL
ORIGEN
• El momento de la fuerza F con
respecto al eje OL es la proyección
ortogonal de Mo sobre el eje OL.




M O L  ˆ .M 0 ˆ   ˆ . r . F  ˆ


• El momento MOL de F alrededor del
eje OL mide la tendencia de la
fuerza F a impartir al cuerpo rígido
rotación alrededor del eje OL
12.6. MOMENTO DE UNA FUERZA CON
RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR UN PUNTO
CUALQUIERA
• El momento de una fuerza
alrededor de un eje
cualquiera es




M O L  ˆ .M B ˆ   ˆ . rA / B . F  ˆ


rA / B  rA  rB
• El
resultado
es
independiente del punto B
Ejemplo
• Sobre un cubo de arista a
actúa una fuerza P, como se
muestra en la figura.
Determine el momento de P:
(a) con respecto a A,
(b) con respecto a la arista
AB.
(c) Con respecto a la
diagonal AG
•SOLUCIÓN



M
 rF A  P of P
• Moment
A


 

rF about
 a i  A,
a j  a i  j 
A



 
P  P  2 i  2 j   P 2 i  j 

 
 
M A  a i  j   P 2 i  j 

M
A
 aP
  
2 i  j  k 
•La magnitud del momento respecto a AB es
 
M
 i  M of
• Moment
AB
A P

  
about
aP 2 i  j  k 
 i AB,
M
AB
 aP
2
•SOLUCIÓN
•(c) La magnitud del momento respecto a AG es


M AG    M A




 rA G
ai  aj  ak
1   
i  j  k 
 


rA G
a 3
3

M
M
A
AG
aP 
i 

2
1 
i 

3

aP
6
M
 
jk
  aP   
i  j  k 
j  k 
2
1  1  1 
AG
 
aP
6
Ejemplo
• Se aplica una tensión T de
intensidad 10 kN al cable
amarrado al extremo
superior A del mástil rígido
y se fija en tierra en B.
Hallar e momento Mz de T
respecto del eje Z que
pasa por la base O del
mástil.
Ejemplo
• La fuerza F tiene una
intensidad de 2 kN y está
dirigida de A hacia B.
Determine : (a) La
proyección FCD de La
fuerza F sobre la recta CD
(b) el ángulo que θ que
forma la fuerza F y la recta
CD y (c) si el modulo del
momento F respecto a la
recta CD es de 50 N. m,
halle el módulo de la
fuerza
Ejemplo
• La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento
alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A.
Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de
la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de
fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB
Ejemplo
• Una barra doblada está rígidamente fijada a una pared en el
punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud F = 7 lb actúa en su
extremo libre con una línea de acción que pasa por el origen,
como se muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la
fuerza respecto al punto P, (b) el momento respecto a la línea
l que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz.
Ejemplo
• La cadena CB mantiene a
la puerta abierta a 30°. Si
la tensión en la cadena es
FC = 250 N. Determine:
(a) La expresión vectorial
de la fuerza , (b) el
momento de fa fuerza
con respecto a la bisagra
en A, (c) el momento de la
fuerza con respecto al eje
a-a que pasa por las
bisagras de la puerta.
Ejemplo
• Una fuerza es aplicada al extremo de una llave
para abrir una válvula de gas. Determine la
magnitud del omento de dicha fuerza con respecto
al eje z
Ejemplo
• Determine el momento producido por la la fuerza F
el cual tiende a hacer rotar al tubo alrededor del eje
AB
9.7. PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de
Varignon
Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre
un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la
fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado
mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras
individuales respecto al mismo punto. Es decir:
9.8. CUPLA O PAR DE FUERZAS
•La cupla o par de fuerzas es un sistema formado por dos
fuerzas F y –F que tiene la misma magnitud, líneas de acción
paralelas separadas por una distancia perpendicular pero de
sentidos opuestos.
9.8. CUPLA O PAR DE FUERZAS
• El momento de la cupla es,
•El vector momento de la cupla es un vector
independiente del origen o es decir es un
vector libre perpendicular al plano que
contiene la fuerzas
9.8. DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL
PAR
• La cupla es un vector libre perpendicular al plano
de la cupla y su sentido se determina mediante la
regla de la mano derecha
9.8. CUPLA O PAR DE FUERZAS
• Dos cuplas tendrán igual momento si:
a)
b) Las dos cuplas se encuentran
ubicadas en planos paralelos
c) La dos cuplas tienen el mismo
sentido o la misma tendencia a
causar rotación y la misma dirección
Ejemplo de cupla
• Determine el momento de la cupla mostrada en la
figura y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas
Ejemplo de cupla
Dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos son F1 = (-70i
- 120j - 80k)lbf y F2 = (70i +120j + 80k)lbf y actúan en los
puntos A y B del cuerpo mostrado en la figura. Determine
el momento de la cupla y la distancia perpendicular entre
las dos fuerzas
Ejemplo de cupla
En la figura se muestra a dos cuplas actuando sobre el
soporte. (a) Descomponga las fuerzas en componentes x e y.
(b) Encuentre el momento producido por dichas cuplas
Ejemplo de cupla
En la figura se muestra una cupla o par de fuerzas actuando
sobre un sistema de tuberías. Si la magnitud de las fuerzas es
de 35 N. Determine el momento del par de fuerzas actuando
sobre la tubería en coordenadas cartesianas
Ejemplo de cupla
Determine el momento de la cupla que actúa sobre la tubería.
El segmento AB está dirigido 30° hacia abajo del plano xy.
Ejemplo de cupla
Determine el momento de la cupla que actúa sobre la tubería.
La magnitud de cada una de las fuerzas es de 25N
Ejemplo de cupla
En la figura se muestra un sistema compuesto por dos cuplas
actuando sobre una viga. Si el momento resultante es nulo.
Determine las magnitudes de las fuerzas P y F así como la
distancia d
Ejemplo de cupla
En la figura se muestra un par de fuerzas de 15 N de
magnitud actuando sobre un sistema de tuberías. Determine
el momento de la cupla
X.
EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARES
Dos sistemas de fuerzas son equivalentes (es decir producen el mismo efecto
sobre un sólido) si pueden transformarse el uno en el otro mediante una o
varias de las operaciones siguientes:
a)
Sustituyendo dos fuerzas que actúan sobre la misma partícula por su
resultante;
b)
Descomponiendo una fuerza en dos componentes y
c)
Anulando fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la misma partícula
d)
Aplicando a una partícula dos fuerzas iguales y opuestas
e)
Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte
XI. SISTEMAS FUERZA- PAR
Cualquier fuerza F aplicada a un sólido rígido puede ser
trasladada a un punto arbitrario B, sin más que añadir una
cupla cuyo momento sea igual al momento de F respecto de B
•No hay cambio en el
efecto externo
•Cupla
XI. SISTEMAS FUERZAPAR
Ejemplo
Remplace la fuerza de 350 N por una fuera y una cupla en el
punto B- Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas
solución
•Se trazan dos fuerzas en B
como se ve en la figura . La
expresión vectorial de F es
•El momento C será
Ejemplo
Remplace la fuerza de 600 N mostrada en la figura por una
fuera y una par en el punto A. Exprese su respuesta en
coordenadas cartesianas
Ejemplo
La tensión en el cable sujeto al extremo C del botalón
ajustable ABC es de 1000 N. Sustituir la fuerza que el cable
ejerce en C por un sistema fuerza-par equivalente : (a) en A ,
(b) en B
Ejemplo
• Una fuerza de 700 N es aplicada en el punto A de un
miembro estructural. Sustituirla por: (a) un sistema fuerza –
par equivalente en C, (b) un sistema equivalente compuesto
por una fuerza vertical en B y una segunda fuerza en D
Ejemplo
La fuerza horizontal P actúa como se muestra sobre la palanca
acodada. (a) sustituir P por un sistema fuerza-par equivalente en B.
Determinar las dos fuerzas verticales en C y D equivalentes al par
hallado en la parte (a)
XII.
COMPOSICIÓN DE FUERZAS
CONCURRENTES
Consideremos un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo
como se muestra en la figura.
F1  F1 x iˆ  F1 y ˆj  F1 z kˆ ; F2  F2 x iˆ  F2 y ˆj  F 2 z kˆ ; ........
Fi  Fix iˆ  Fiy ˆj  Fiz kˆ ; .........; F2  Fnx iˆ  Fny ˆj  Fnz kˆ ;
Para encontrar la resultante de las fuerzas se descompone cada
una de ellas en componentes i, j, k. es decir
XII.
COMPOSICIÓN DE FUERZAS
CONCURRENTES
La resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas esto es
R  F1  F 2  ....  Fi  ....  Fn
R  ( F1 x iˆ  F1 y ˆj  F1 z kˆ )  ( F 2 x iˆ  F 2 y ˆj  F 2 z kˆ )  ........
 ( Fix iˆ  Fiy ˆj  Fiz kˆ )  .........  ( Fnx iˆ  Fny ˆj  Fnz kˆ ).
R  ( F1 x  ...  Fix  ...  Fnx ) i  ( F1 y  ...  Fiy  ...  Fny ) ˆj
 ( F1 z  ...  Fiz  ...  Fn z ) kˆ
 n
ˆ  n
 ˆ  n
 ˆ
R    Fix  i    Fiy  j    Fiz  k
 i 1

 i 1

 i 1

R  R x iˆ  R y ˆj  R z kˆ
XII.
COMPOSICIÓN DE FUERZAS
CONCURRENTES
La magnitud y dirección de la resultante son
R 
cos  
Rx
R
R R R
2
x
; cos  
2
y
Ry
R
2
z
; cos  
Rz
R
Ejemplo
• A un punto de u cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma
que se indica en al figura. Determine: (a) El módulo
dirección y sentido de la fuerza resultante R; (b) El ángulo
α que forman las fuerzas F1 y F2.
Ejemplo
Determine la magnitud y dirección de la fuerza
resultante R del sistema de fuerza concurrentes
mostrado en la figura
COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS A UN CUERPO
RIGIDO
Cuando las fuerzas no se aplican al mismo punto sino que
actúan en un cuerpo rígido, es necesario distinguir dos
efectos:
(a) Traslación: la misma que se encuentra definida por la
suma vectorial de la fuerzas (la resultante R).
R  F1  F2  ....  Fi  ....  Fn 
F
i
(b) Rotación: El cual queda determinado por la suma
vectorial de los momentos.
M  M 1  ...  M i  ....  M n   M i
XIII.
COMPOICIÓN DE FUERZAS APLICADAS A UN
CUERPO RIGIDO
 Parece lógico suponer que el punto de aplicación de la
resultante R debe ser tal que el momento o torque debido a
R sea igual a M.
 Esta situación se cumple para fuerzas concurrentes.
 En estas condiciones la resultante sustituye en todos su
efectos al sistema.
 Sin embargo, esto no es posible, ya que el torque de R es
un vector perpendicular a R y en muchos casos esto no se
cumple.
 Un ejemplo de estos lo constituye la cupla o par de fuerzas
XIV.
COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO
CONCURRENTES
Consideremos el sistema de fuerzas en el plano mostrado
 Debido a que las fuerzas están en el plano, la resultante
también lo estará.
 Si los momentos se evalúan respecto a cualquier punto del
plano, los vectores de posición de los puntos de aplicación
de las fuerzas también lo estarán en el plano
XIV. COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO
CONCURRENTES
 Esto nos indica que los momentos de cada una de las
fuerzas así como el de la resultante son perpendiculares al
plano. Es decir son vectores paralelos.
 Esta es la condición necesaria para que los vectores sean
iguales . Es decir
M
R

M
i
n
rR xR 
 ( r xF )
i
i 1
i
XIV.
COMPOSICIÓN DE FUERZAS COPLANARES NO
CONCURRENTES
 Debido a que los vectores fuerza, el vector fuerza
resultante; los vectores de posición de cada fuerza y el de
la resultante están en el plano por ejemplo el plano xy,
entonces el momento o torque tendrá una sola componente
entonces, tenemos
( xR y  yR x ) kˆ 
n

( x i F yi  y i F xi )kˆ
i 1
 Conociendo las fuerzas y sus puntos d aplicación , se
puede determinar las componentes de la resultante y por
tanto su punto de aplicación
Ax  By  C
Ejemplo
Las fuerzas representadas en la figura tienen las
magnitudes siguientes: F1 = 130 kN, F2 = 200 kN y F3 =
100 kN. Calcule y localice la fuerza resultante del sistema
de fuerzas considerado
Ejemplo
Hallar la fuerza resultante R de las tres fuerzas y los dos
pares representados. Determine la abscisa en el origen x
de la recta soporte de R.
Ejemplo
La fuerza de 200 kN representada en la figura es
la resultante del par de 300 kN-m y tres fuerzas,
dos de las cuales están definidas en el diagrama.
Determine la otra fuerza y localícela con respecto
al punto A.
Ejemplo
Encuentre: (a) La fuerza resultante equivalente y el momento
de un par actuando en A. (b) La localización de una sola
fuerza equivalente actuando con respecto a A
Ejemplo
• Remplace las tres fuerzas que actúan sobre el
tubo por una sola fuerza equivalente R.
Especifique la distancia x desde el punto O por
donde pasa la línea de acción de R.
Ejemplo
• Para ensayar la resistencia de una maleta de 25 por 20 pulg
se le somete a la acción de las fuerzas representadas . Si P
= 18 lb. (a) hallar la resultante de las fuerzas aplicadas y (b)
Ubicar los dos puntos en donde la recta soporte de la
resultante corta al canto de la maleta.
Ejemplo
• Para el sistema de fuerzas y momentos que actúan sobre la
viga. Determine La fuerza resultante equivalente y el par
actuando en A
Ejemplo
 Determine la resultante de las cuatro fuerzas y una cupla
que actúan sobre la placa
XV. RESULTANTE DE FUERZAS
PARALELAS
Consideremos un sistema de fuerzas paralelas mostrado en
la figura
eˆ
XV. RESULTANTE DE FUERZAS
PARALELAS
 Cada una de las fuerzas puede expresarse
Fi  Fi eˆ
donde Fi puede ser positivo o negativo y
unitario paralelo a las fuerzas..
es un vector
eˆ
eˆ
 La resultante del sistema será
R  F1  F2  ....  Fi  ....  Fn 
 La magnitud de la resultante es
R 
F
i
F
i

  F  eˆ
i
XV. RESULTANTE DE FUERZAS
PARALELAS
 Aplicando el teorema de omentos tenemos
M
R

M
i
n
rR xR 
 ( r xF )
i
i
i 1
rR x (  Fi eˆ ) 
 rR


n
 ( r xF eˆ )
i
i
i 1
 n

Fi   xeˆ    ( ri Fi )  xeˆ

 i 1

 De donde se tiene
n
 (r F )
i
rR 
i
i 1
F
i

r1 F1  r2 F2  ...  ri Fi  ..  rn Fn
F1  F2  ...  Fi  ..  Fn
Ejemplo
Determine y localice la resultante R de las dos fuerzas y la
cupla que actúan sobre la viga mostrada
Ejemplo
• La fuerza de 150 kN de la figura es la resultante de
un par y cuatro fuerzas , tres de las cuales están
definidas en dicho gráfico. Determine la cuarta
fuerza y localícelo con respecto al punto A.
Ejemplo
La viga mostrada en la figura se encuentra sometida a
las fuerzas que se indican. Reducir el sistema de fuerzas
dado a: (a) un sistema fuerza–par en A , (b) a un sistema
fuerza-par en B, (c) una sola fuerza o resultante
Ejemplo
Si la lámina mostrada en la figura es sometida a las tres
fuerzas que se muestran. Determine: (a) La fuerza resultante
equivalente y el par correspondiente actuando en O y (b) La
localización (x,y) de una sola fuerza resultante equivalente.
Ejemplo
• Determinar la resultante de sistema de fuerzas
mostrado en la figura si F1 = 75 kN y F2 =125 kN.
Localícela con respecto al punto al origen de
coordenadas.
Ejemplo
La placa de concreto puede soportar las cargas
mostradas en la figura. Determine la magnitud,
dirección, y el punto de aplicación de una sola fuerza
que podría ser equivalente al sistema de fuerzas dado.
Ejemplo
Halle la resultante del sistema de fuerzas paralelas que
actúan sobre la placa
•SOLUCIÓN
XVI. SISTEMAS FUERZA GENERAL
•Paso 1
•Seleccionar un
punto para
encontrar el
momento
•Paso 2
•Paso 3
•Remplazar las
fuerzas por una
fuerza y un par en
el punto O
•Sumar las fuerza y
cuplas
vectorialmente para
encontrar la
resultarte y el
momento resultante
Ejemplo
Reducir el sistema de fuerzas y momentos a una fuerza un
par actuando en A
Ejemplo
Las fuerza F1 y F2 mostradas actúan sobre el sistema de
tuberías. Determine la fuerza resultante equivalente y el par
correspondiente actuando en O
Ejemplo
Se desea establecer el
efecto combinado de
las tres fuerzas sobre
la base O, haciendo
que por ese punto
pase la resultante R.
Determine
esta
resultante
y
el
momento M del par
correspondiente.
Ejemplo
Tres cables están
sujetos a un soporte
como se indica .
Reduzca el sistema
de fuerzas dado a un
sistema fuerza par en
A.
Solución
Solución- Conti….
XVII.CENTRO DE MASA (CM) Y CENTRO
DE GRAVEDAD (CG): Objetivos
1. Entender los conceptos de centro de gravedad, centro de
masa y centroides.
2. Ser capaces de determinar la localización de estos puntos
para un cuerpo
17.1 CENTRO DE MASA (CM) Y CENTRO
DE GRAVEDAD (CG): Aplicaciones
Para diseñar estructuras para soportar tanques de agua, es
necesario conocer los pesos del tanque y el agua así como
la ubicación de la fuerza resultante de las fuerzas
distribuidas . Para diseñar vehículos
17.1 CENTRO DE MASA (CM) Y CENTRO
DE GRAVEDAD (CG):aplicaciones
En el diseño de la estructura
en forma de poste para
hacer deporte es muy
importante determinar el
peso total de la estructura y
la ubicación de su centro de
gravedad
17.2.CONECPTO DE CENTRO DE MASA
Y CENTRO DE GRAVEDAD
 El centro de gravedad (CG) es el punto donde se encuentra
localizado el peso resultante de un sistema de partículas o de
un cuerpo.
 De la definición de fuerza resultante, la suma de los momentos
debido a los peso individuales de cada partícula respecto a un
punto es igual al momento de la resultante respecto al mismo
punto.
 Similarmente, el centro de masa (CM) es el punto en el cual se
localiza la masa resultante de un sistema de partículas o
cuerpo. En general es el mismo que el CG.
17.3.Centro de gravedad para un sistema
de partículas
• Considere
el
sistema
mostrado en la figura . El peso
resultante es
• Los momentos alrededor de
los ejes x, y son.
17.3 Centro de gravedad de un sistema de
partículas
• La componente z se determina rotando los ejes
Ejemplo 01
Localice el centro de gravedad de cuatro cuerpos pequeños
(considerados partículas) que están dispuestos tal como se
muestra en la figura
17.4. Centro de masa de un sistema de
partículas
 El centro de masa es necesario cuando se estudia el
movimiento de un sistema de partículas. Es decir el
movimiento de la materia bajo la acción de una fuerza.
 La segunda ley de Newton establece que si la masa es
constante, el peso es W = mg.
 Al sustituir esta ecuación en las ecuaciones del CG se obtiene
x 
 xm
m
i
i
y 
 ym
m
i
i
z 
 zm
m
i
i
 El CM y el CG coinciden. Además el centro de masa es
Ejemplo 02
• Localice el centro de masa de los cinco puntos materiales
mostrados en la figura si mA = 2 kg, mB = 3 kg; mC = 4 kg mD
= 3 kg y mE = 2 kg
17.5 CG y CM de un cuerpo
• Consideremos un cuerpo de
cualquier tamaño y forma, cuya
masa es m.
• Si se suspende el cuerpo como
se muestra en la figura de
cualquier punto tal como A, B o
C, el cuerpo se encontrara en
equilibrio bajo la tensión en el
cable y el peso resultante.
• En cada uno de las posiciones
marcamos la línea de acción de
• En todos los casos
la resultante.
prácticos estas líneas
17.5
CG y CM de un cuerpo
• Para determinar el CG del cuerpo
se aplica el principio de momentos
al
sistema
de
fuerzas
gravitacionales paralelas.
• El momento del peso resultante W
con respecto a cualquier eje es igual
a la suma de momentos de cada
una de los pesos dW de las
partículas
• La resultante de las fuerzas
gravitacionales actuando sobre toso
los elementos es el peso del cuerpo
y esta dado por
17.5 Centro de gravedad de un cuerpo
• El centro de gravedad será entonces
17.6 Centro de masa de un cuerpo
• El centro de masa se obtiene remplazando W= mg y dW =
gdm
17.6 Centro de masa de un cuerpo
• Utilizando la definición de densidad
• Las coordenadas del centro de masa se escriben.
• Estas ecuaciones son independientes del efecto gravitacional
• Como el campo gravitacional es considerado uniforme, el
centro de gravedad es igual al centre de masa
17.7 CENTROIDE
• El centroide C es un punto el cual
define el centro geométrico de un
objeto
• El centroide coincide con el centro
de masa o el centro de gravedad
solamente si el material es
homogéneo.
• Si el objeto tiene un eje de
simetría, entonces el centroide se
encuentra fijo en dicho eje.
• En algunos casos el centroide no
se encuentra ubicado sobre el
objeto.
17.7 Coordenadas del centroide
• Sabemos que las coordenadas del centro de masa están
dadas por las ecuaciones.
• Cuando el cuerpo es homogéneo, la densidad permanece
constante. Entonces la densidad se puede cancelar en el
numerador y en el denominador, obteniendo
17.7.1Centroide de un alambre
• Consideremos un alambre de longitud L, sección
transversal uniforme A y densidad ρ.
• Para determinar el centroide se divide al alambre en
elementos de masa dm = ρdV = ρAdV y se aplica el
principio de momentos esto es
17.7.2Centroide de un Área
• Consideremos una lámina de espeso t uniforme, de área A y
densidad ρ como se muestra en la figura
• Para determinar el centroide del área se divide al área en
elementos de masa dm = ρdV = ρtdA y se aplica el principio de
momentos esto es
17.7.3 Centroide de un Volumen
• Consideremos una lámina de espeso t uniforme, de área A y
densidad ρ como se muestra en la figura
• Para determinar el centroide del área se divide al área en
elementos de masa dm = ρdV y se aplica el principio de
momentos esto es
Calculo de centroides por integración
• En las figuras se muestra las diferentes formas de cálculo
de centroides
xA 
 x el dA
  x  ydx 
yA 

 y el dA

y
2
 ydx 
xA 

yA 
 x el dA

a x
2
  a  x dx 
 y el dA
  y  a  x dx 
xA 

yA 

 x el dA

1 2

cos   r d  
3
2

2r
 y el dA

1 2

sin   r d  
3
2

2r
Centroides por integración
Centroides de regiones conocidas
Centroides de alambres conocidos
Ejemplo 04
• En la figura se ha representado un alambre homogéneo
delgado cuya forma es un arco de circunferencia. (a)
Localice las coordenadas x, y de su centro de masa, (b)
Utilice el resultado anterior para determinar las
coordenadas de centro de masa en el caso de sea un
semicírculo.
Ejemplo 04
Localice el centroide de la varilla curvada delgada
mostrada en la figura
Ejemplo
• Un alambre delgado y
homogéneo de acero
se conforma como se
representa en la figura.
Localice
las
coordenadas del centro
de
gravedad
del
alambre compuesto
Solución
Solución
Ejemplo 04
Localice el centroide de la región mostrada en la figura
solución
Ejemplo 05
Localice el centroide del hemisferio mostrado en la figura
solución
Ejemplo
localice el centroide de la región sombreada
17.8. Centroide de placas y alambres
compuestos
 Cuando una placa tiene una geometría más compleja se divide
e rectángulos, triángulos o alguna de las formas conocidas.
 Las coordenadas centroidales se determina aplicando el
teorema de momentos
17.8 Centroide de placas y alambres
compuestos
 O abreviadamente
 Estas ecuaciones facilitan las coordenadas x, y de la placa
 Esto es
17.8 Centroide de placas y alambres
compuestos
 Los momentos de primer orden de las
superficies al igual que los momentos
de las fuerzas pueden ser positivos o
negativos.
 Por ejemplo una superficie cuyo
centroide se encuentra a la izquierda
del eje y tendrá un momento de primer
orden negativo respecto a ese eje .
 Además a la superficie a la superficie
Ejemplo
Localice el centroide
del trapezoide
mostrado en la figura
Ejemplo
Calcular la coordenada y del centroide de la región
mostrada en la figura
Ejemplo
Calcular las coordenadas del centroidales de la región
mostrada en la figura
Ejemplo
Calcular las coordenadas del centroidales de la región
mostrada en la figura. Las dimensiones se dan en mm
Ejemplo
Localice el centro de masa de la combinación soporte
arbol. La cara vertical es de plancha metálica, cuya masa
es de 25 kg/m2. El material de la base horizontal tiene una
masa de 40 kg/m2 y el árbol de acero tiene una densidad
de 7,83 Mg/m3.
Solución
Ejemplo
Halle las coordenadas del centro de masa
del soporte construido de chapa metálica de
espesor uniforme
Ejemplo
SOLUCIÓN
Para la superficie plana
mostrada en al figura.

Divida
a
la
región
en
un
Determine: (a) el momento de
triángulo, un rectangulo y
primer orden con respecto a
un
semicírculo
y
extraiga
los ejes x e y; (b) la ubicación
el círculo.
del centroide
 Determine los momentos
de primer orden con
respecto a cada eje.
 Encuentre el área total
considerando negativa el
área del círculo extraído
Solución……cont
•Los momentos de primer orden serán
•
Solución……cont
• Parte (b). Las coordenadas dl
centroide están dadas por
X 
 xA
A
3

3
 757 . 7  10 mm
3
13.828  10 mm
2
X  54 . 8 mm
Y 
 yA
A

3
3
3
2
 506 . 2  10 mm
13.828  10 mm
Y  36 . 6 mm
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FUERZAS ESTATICA OPTA 2010 II