“Alternativa de un parámetro de
suavización en el filtro Hodrick-Prescott”
Ponente: Miguel Ángel Ramírez Hernández
Series de tiempo: retrospectiva, definición
y componentes.

El
filtro Hodrick-Prescott (1997) y críticas al
parámetro de suavización (λ).
Propuesta,
simulación y evidencia empírica.
Referencias.
Miguel Ángel Ramírez Hernández
2
“Every kind of periodic
fluctuation, whether daily,
weekly, monthly, quarterly, or
yearly, must be detected and
exhibited, not only as a subject of
study in itself, but because we
must ascertain and eliminate such
periodic variations before we can
correctly exhibit those which are
irregular or non-periodic, and
probably of more interest
importance”1
William Stanley Jevons
1862
1Jevons,
W.S. (1884). Investigations in
currency and finance. London: Macmillan
and Co. page 4.
Miguel Ángel Ramírez Hernández
3

Mitad del siglo XIX: W.S. Jevons (1862) pionero en el
análisis de series temporales.

Inicios del siglo XX Hooker (1901). Concepto
tendencia.

Primera mitad del siglo XX
Estudio de los ciclos económicos:
Kitchin (1923) y Frickey (1934).
Formalización de modelos cíclicos:
Kuznets (1929); Frisch (1933); Samuelson (1939);
Kaldor (1940); Metzler (1941) y Tinbergen
(1939,1940, 1942).



1950-1960: periodo de “estado estacionario” a nivel
intelectual sobre ciclos económicos.
Miguel Ángel Ramírez Hernández
4
1970-1980:
década de distinción de ciclos
económicos, ciclos de crecimiento y ciclos económicospolíticos, Nordhaus(1975).
Simultáneamente, Lucas (1975) con diferencias
notables: Ciclo Económico General (CEG).
A
partir de CEG se suscitaron derivaciones con
expectativas racionales Desarrollo de los modelos
“RBC”.
Kydland-Prescott (1982): prototipo RBC
Long y Plosser (1983).
1980-1990:
especial interés en la descomposición de
series temporales: ciclo-tendencia. Harvey (1985) y;
 Hodrick-Prescott (1997). Amplio uso en modelos RBC.
Miguel Ángel Ramírez Hernández
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Definición de serie de tiempo
Sea (  ,  , P ) un espacio de probabilidad.
“y” variable aleatoria, función real definida en
para cada número real “a”:

tal que
Aa  w   | y ( w )  a   
Así, para cada “a”:
F : R  0,1 
F ( a )  P ( Aa )
Ergo, un vector aleatorio o vector de variables aleatorias de
dimensión K es una función “y” de 
en el espacio
euclidiano Rk
y  w    y1  w ,..., y k  w ´
a  ( a1 ,..., a k )´ R
k
Aa  w | y1 ( w )  a1 ,..., y k | ( w )  c k   
Miguel Ángel Ramírez Hernández
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F :R
k
 0,1 
F ( a )  P ( Aa )
Función de distribución de y
Si suponemos un conjunto índice Z que contenga números
enteros no negativos, un proceso estocástico discreto es una
función real:
t  Z, y ( t , w )
y:Z   R
Generalmente, la variable aleatoria correspondiente a “t”
se denota como {yt}.
Finalmente, una serie de tiempo se define como una
realización subyacente al proceso estocástico discreto y cuya
indización se ordena a una frecuencia equidistante.
Miguel Ángel Ramírez Hernández
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
Persons (1919) identificó 4 componentes de las series de
tiempo:
1)
Un desarrollo de largo plazo (tendencia).
2)
Un componente cíclico con periodos superiores a t+1
(ciclo).
3)
Un componente que contiene fluctuaciones ascendentes
y descendentes dentro de un año (ciclo
estacional/estacionalidad).
4)
Un componente con movimientos excluidos en 1), 2) y
3). (residual/irregular).
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
Definen una serie de tiempo yt como la suma de un
componente de “crecimiento” y un componente cíclico:
y t  g t  ct

para t  1, 2 ,3,..T
Proceso de optimización particular: minimizar la varianza
del componente cíclico y la varianza de la segunda
diferencia del componente de “tendencia”.
2
T
T




2
minT   c t     g t  g t 1   ( g t 1  g t  2 )  
 g t t   1  t 1

t 1



Factor de suavizado: λ
1
2
 
2
2
Fuente: Elaboración propia con base en Hodrick y Prescott (1997).
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
La evidencia y pertinencia de los factores de suavizado λ
que sugieren los autores para datos anuales es 100 y
1,600 para datos trimestrales.

Sin embargo, el parámetro λ presenta una serie de
inconsistencias esbozadas principalmente por: Cogley y
Nason (1995); Guay, ST-Amant (2005).

Críticas:
1.
Los componentes ciclo y tendencia presentan desviaciones
prominentes cuando el estimador λ no es consistente.
2.
Ciclos reales espurios derivados de la sobreidentificación del
orden de las series de tiempo.
3.
Varianzas del ciclo y la tendencia corresponden a series
particulares; asumir a priori factores de suavizado pueden
perturbar inferencias, por ejemplo, la tasa de desempleo y
estimaciones de la tasa natural por medio del filtro H-P.
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10
 Propuesta:
i.
Identificar puntualmente el orden de
integración de la tendencia y proceder a
utilizar la varianza correspondiente.
ii.
Considerar y ponderar el factor λ por un
coeficiente
angular”.
Donde:
 
fa   
T 
inverso
de
“frecuencia
1
2
  fa
2
2
1
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Estimación matricial
En términos de Hodrick-Prescott (1997)
Sea: y t  ( y 1 , y 2 ,..., y T ), y t  R T

gt  R
c R
T
y t  g t  ct
T
Si el factor de suavizado es no negativo, i.e. λ>0, la
descomposición de la serie y t se obtiene minimizando la
suma ponderada de cuadrados con respecto a g t :
yg
R
2
 g
2
2
T
Nota: Stata incorpora el comando hprescott.
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La solución única de la minimización se define como:
g  , y    I   Z ´ Z  y
1
Donde Z denota una matriz particular de dimensión T  2  T 
e I indica la matriz identidad.
Z T  2T
1

0

:
...

0
2
1
...
...
1
2
1
...
...
...
...
...
...
...
1
2
Miguel Ángel Ramírez Hernández
0

0

... 

1
13
Simulación en Stata
Paso 1: Definir la matriz Z.
mkmat … … … …, matrix(Z)
mat list Z
Paso 2: Estimar la matriz transpuesta de Z.
matrix Z´=Z’
mat list Z’
Paso 3: Definir la matriz identidad I.
mkmat … … …, matrix(identidad)
mat list identidad
Paso 4: Multiplicar la matriz transpuesta Z por la matriz Z.
matrix Z´Z=Z’*Z
Paso 5: Estimar el factor de suavizado λ y multiplicar dicho
escalar por el resultado de la matriz obtenida en el Paso 4.
matrix lambdaZ´Z= λ *Z´Z

Miguel Ángel Ramírez Hernández
14
Paso 6: Del resultado obtenido en el paso 5, sumar la matriz
identidad.
matrix lambdaZ´Z+I=identidad+lambdaZ´Z
mat list lambdaZ´Z+I
Paso 7: Estimar inversa de la matriz resultante en el paso 6.
matrix inversalambdaZ´Z+I=invsym(lambdaZ´Z+I)
Paso 8: Introducir la serie de tiempo
mkmat serie
matlist
Paso 9: Finalmente multiplicar el vector de la serie de
tiempo por la matriz estimada en el paso 7.
Resultado: Tendencia de la serie de tiempo.
Nota: el componente ciclo se obtiene restando a la serie de
tiempo su componente tendencial.
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
Se extrajo el tipo de cambio real efectivo de
Noruega (REER), para un periodo de frecuencia
trimestral de 1980-I a 2008-III.

Objetivo: analizar los cambios en la balanza de
bienes y servicios no factoriales de un país.
(REER-proxy)
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16
4.65
Noruega: tipo de cambio real efectivo y filtros H-P con
variaciones en el factor de suavizado, 1980-I a 2008-III.
Serie LTCR
lambda=1600
lambda=13.08159669
lambda=239.4300893
4.5
4.55
4.6
Propuesta alternativa
1980-1
1990-1
2000-1
2010-1
Fuente: Elaboración propia con base en IMF y Banco Central de
Noruega (2013).
Datos simulados en Stata.
Miguel Ángel Ramírez Hernández
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o
Cogley, T. and Nason, J.M. (1995), “Effects of the Hodrick–Prescott filter on trend
and difference stationary time series. Implications for business cycle research”,
Journal of Economic Dynamics and Control, 19, 253–278.
Frickey, E. (1934), “The problem of secular trend”, Review of Economics and
Statistics, 16, 199–206.
Frisch, R. (1933), “Propagation problems and impulse problems in dynamic
economics”, in Economic Essays in Honour of Gustav Cassel, London: George
Allen & Unwin, 171–205.
Guay, A. y St.-Amant, P. (2005). “Do the Hodrick-Prescott and Baxter-King Filters
Provide a Good Approximation of BusinessCycles. Annals of Economics and
Statistics / Annales dӃconomie et de Statistique, 77,133-155.
Harvey, A.C. (1985), “Trends and cycles in macroeconomic time series”, Journal
of Business and Economic Statistics, 3, 216–227.
Hodrick, R.J. and Prescott, E.C. (1997). “Postwar US business cycles: an
empirical investigation”, Journal of Money, Credit and Banking, 29, 1–16.
Hooker, R.H. (1901), “Correlation of the marriage rate with trade”, Journal of
the Royal Statistical Society, 64, 485–503.
Kaldor, N. (1940), “A model of the trade cycle”, Economic Journal, 50, 78–92.
Kitchin, J. (1923), “Cycles and trends in economic factors”, Review of Economics
and Statistics, 5, 10–16.
Kuznets, S. (1929), “Random events and cyclical oscillations”, Journal of the
American Statistical Association, 24, 258–275.
Continúa…
Miguel Ángel Ramírez Hernández
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Kydland, F.E. and Prescott, E.C. (1982), “Time to build and aggregate
fluctuations”, Econometrica, 50, 1345–1370.
Jevons, W.S. (1884). Investigations in currency and finance. London:
Macmillan and Co. page 4.
Long, J.B. and Plosser, C.I. (1983), “Real business cycles”, Journal of
Political Economy, 91, 39–69.
Lucas, R.E. (1975), “An equilibrium model of the business cycle”, Journal
of Political Economy, 83, 1113–1144.
Metzler, L.A. (1941), “The nature and stability of inventory cycles”,
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Economic Studies, 42, 169–190.
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the principle of the accelerator”, Review of Economics and Statistics, 21,
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A reply”, Economic Journal, 50, 141–154.
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