Preparado por: Roberto O. Rivera Rodríguez
Coaching de matemática
Escuela Eduardo Neumann Gandía
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
Sistema de ecuaciones
Def. Un sistema de ecuaciones lineales es un
conjunto de dos o más ecuaciones lineales en
las mismas variables. La solución de un
sistema de ecuaciones es la intersección de los
conjuntos de soluciones de cada una de las
ecuaciones del sistema.
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
2
Con frecuencia es necesario determinar una solución
común a dos o más ecuaciones lineales. Nos referimos a estas
ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales en las
mismas variables. La solución de un sistema de ecuaciones es la intersección de los
conjuntos de soluciones de cada una de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo,
3x + 2y = - 3
¾y – 4x = 0
sistema de ecuaciones lineales.
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
3
Una solución de un sistema de ecuaciones es un par
ordenado (o pares) que satisfacen todas las
ecuaciones del sistema
y =x + 5
-2x + y = 4
(1,6)
y =x + 5
(1,6)
-2x + y = 4
6=1 +5
6=6 verdadero
-2(1) +6 = 4
-2 + 6 =4
4=4
verdadero
El par ordenado (1,6) satisface ambas ecuaciones y es la
solución del sistema de ecuaciones.
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
4
Resolver gráficamente
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con
dos variables de manera gráfica, grafique todas las
ecuaciones del sistema en el mismo sistema de
coordenadas. La solución del sistema será el par o
pares ordenados comunes a todas las rectas del
sistema.
solución
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
5
Cuando graficamos dos rectas , existen tres
situaciones posibles ; si las rectas se intersecan en
exactamente un punto, tiene exactamente una
solución y el sistema es CONSISTENTE.
Solución
Consistente
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
6
Si las rectas son paralelas, el sistema no tiene
solución y decimos que el sistema es
INCONSISTENTE.
No tiene solución
INCONSISTENTE
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
7
Si las ecuaciones representan la misma recta,
entonces cada punto de la recta satisface a ambas
ecuaciones . Este sistema tiene un número infinito
de soluciones y se conoce como un sistema
DEPENDIENTE.
Infinitas soluciones
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
8
Resuelva el siguiente sistema de
ecuaciones en forma gráfica
y – x =2
Y+x=4
Solución (1,3)
Sistema consistente
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
(1,3)
9
Resuelve gráficamente
2x – y = -5
gráficamente
x + 2y = 0
(-2,1)
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
10
Resolver por el método de
SUSTITUCIÓN
Principio de sustitución: Si a = b, entoces a puede
intercambiarse por b o vice versa en cualquier
expresión.
Si y=3x + 6 y 2y – 4x = -2, entonces 2(3x + 6)-4x=-2
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
11
El método de SUSTITUCIÓN
1. Resuelva una de las ecuaciones respecto de
una variable en términos de la otra.
2. Sustituya la expresión hallada para la
variable del paso 1 en la otra ecuación.
Con esto obtendrá una ecuación con una
sola variable.
3. Resuelva la ecuación obtenida en el
paso 2 para determinar el valor de esta
variable.
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
12
Continuación
4. Sustituya el valor encontrado en el paso 3
en la ecuación del paso 1. Resuelva la
ecuación para determinar la variable
restante.
5. Compruebe su solución en todas las
ecuaciones del sistema.
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
13
y – 2x = 5
Y + 4x = 2
y=2x + 5
2x + 5 + 4x = 2
6x + 5 =2
6x = - 3
y –2(-½) = 5
y+1=5
x = -½
y =5-1
y=4
La solución es (-½,4)
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
14
2x + y – 11=0
x + 3y = 18
x + 3y = 18
2(-3y + 18) + y – 11=0
X +3(5)=18
x = -3y + 18
-6y + 36 + y – 11=0
x + 15 =18
-5y + 25 =0
-5y = -25
x =18-15
x=3
y=5
La solución es el par ordenado (3,5).
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
15
Si al resolver un sistema de ecuaciones ya sea por
sustitución o por el método de suma, se llega a una
ecuación falsa, como 5=6 ó 0=3, el sistema es
inconsistente y no tiene solución.
Si se obtiene una ecuación verdadera, como 7=7 o
0=0, el sistema es dependiente y tiene un número
infinito de soluciones.
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
16
Un tercer método (y con frecuencia el más sencillo)
para resolver un sistema de ecuaciones es el
método de la SUMA o de eliminación.
El objetivo de este proceso es obtener dos
ecuaciones cuya suma sea una ecuación con una
sola variable.
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
17
Método de la SUMA
1.En caso necesario, reescriba la ecuación el la
forma general ( ax + by = c).
2. Si es necesario, multiplique una o ambas
ecuaciones por una constante ( o constantes) para
que al sumar las ecuaciones, la suma contenga
sólo una variable.
3. Sume los lados respectivos de las ecuaciones.
Con esto se obtiene una sola ecuación con una
variable.
Continuación18
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
Continuación
4. Despeje la variable en la ecuación obtenida en el
paso 3.
5. Sustituya el valor determinado en el paso 4 en
cualquiera de las ecuaciones originales. Resuelva
esa ecuación para determinar el valor de la
variable restante.
6. Compruebe su solución en todas las ecuaciones
del sistema.
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
19
Resuelva el (los) siguientes ejemplos:
x+y=6
2x – y = 3
x+y=6
2x – y = 3
3x + 0 = 9
x + y =6
3+y=6
y=3
3x = 9
x=3
La solución es (3,3)
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
20
2x + y = 11
x + 3y = 18
2x + y = 11
-2[x + 3y = 18]
2x + y = 11
-2x – 6y =-36
2x + y = 11
2x + y = 11
-2x – 6y =-36
0 – 5y =-25
2x + 5 =11
y=5
2x = 6
x=3
La solución es (3,5).
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
21
2x + 3y =7
5x – 7y = -3
-5[2x + 3y =7] -10x + -15y =-35
2[5x – 7y = -3]
10x – 14y = -6
 41 
2x  3 
  7
 29 
2x 
123
7
29
2x 
203
29

123
29
x 
80

29
x 
-10x + -15y =-35
10x – 14y = -6
-29y = -41
y 
1
41
29
2
40
29
La solución es 
40 41 
,
.
29
29


Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
22
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
23
Determinante
• Asociado a cada sistema de ecuaciones
cuadrado hay un número que se conoce
como el determinate de ese sistema. El
símbolo para denotar al determinante de la
matriz A es A o det (A). Por ejemplo si
entonces el 5 x  10 y  4
0.5 x  3 y  2
determinante del sistema se denota como
det A 
5
10
0.5
3
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
24
Definición de determinante de orden 2
Sea
ax  by  eel
determinante está dado por
cx  dy  f
det A 
a
b
c
d
 ad  bc
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
25
Ejemplos:
Halla los siguientes determinantes:
1)
2)
3
3 5
5
1
4
B
A
4
2
Solución:
1) (3)(2) – (4)(-5) = 6 + 20 = 26
2) (3)(4) – (1)(5) =12 – 5 = 7
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
26
Regla de Cramer para matrices 2 x 2
Considera las siguientes matrices con sus
determinantes e inversas:
 3
M 
4
 1

2 
 5
B  
2
7 

3 
¿Puedes
det( M )  2
det( B )  1
ver alguna razón entre la
determinante y su inversa?
M
1

1
 
2

1
2

3
2 
3 7
B  

2
5

matriz original,
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
su
27
Regla de Cramer para matrices 2 x 2
• A continuación se verá cómo surgen los detereminantes de
manera natural en el proceso para resolver sistemas de
ecuaciones lineales. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
de la forma tradicional.
2x  3y  7
3x  y  7
• Luego, halla los siguientes determinantes:
•
2
3
7
3
2
7
3
1
7
1
3
7
¿Existe alguna relación entre la solución al sistema de ecuaciones y los
determinates hallados?
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
28
Regla de Cramer para matrices 2 x 2 (cont.)
• Dado el sistema de ecuaciones ax  by  e
cx  dy  f
y el determinante a
b
c
d
0
entonces la solución
al sistema está dado por
x
e
b
f
d
D
y
y 
a
e
c
f
D
Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera
Rodríguez
29
Ejercicios
Instrucciones: Utiliza la regla de Cramer para hallar
la solución a los siguientes sistemas de ecuaciones:
1)
2x  y  1
5x  3y  2
2)
2 x  y  3
x  3y  4
Solución:
1) x = 1
y = -1
2) x = -1
y=1
Preparado
por:
Roberto
Preparado por:
Prof.
RobertoO.
O.Rivera
Rivera
Rodríguez
Rodríguez
30
Descargar

File - Matemáticas en la Escuela Eduardo Neumann