Se considera que las cifras significativas
de un número son aquellas que tienen
significado real o aportan alguna información.
Las cifras no significativas aparecen
como resultado de los cálculos y no
tienen significado alguno.
Las cifras significativas de un número
vienen determinadas por su error.
Son cifras significativas aquellas que ocupan
una posición igual o superior al
orden o posición del error.
El velocímetro y el odómetro de un automóvil ejemplifica
el concepto de cifras significativas.
La exactitud se refiere a que tan cercano
está el valor calculado o medido del valor
verdadero. La precisión se refiere a qué tan
cercano está un valor individual medido o
calculado respecto a los otros.
La inexactitud se define como un alejamiento
sistemático de la verdad. La imprecisión,
sobre el otro lado, se refiere a la magnitud
del esparcimiento de los valores.
Los métodos numéricos deben ser lo
suficientemente exactos
para que cumplan los requisitos de
un problema particular.
Un ejemplo de puntería ilustra los conceptos de exactitud y precisión.
a) Inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso;
b) c) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.
Los errores numéricos surgen del uso de
aproximaciones para representar operaciones
y cantidades matemáticas exactas.
Éstas incluyen los errores de truncamiento
que resultan del empleo de aproximaciones
como un procedimiento matemático exacto,
y los errores de redondeo que se producen
cuando se usan números que tienen un límite
de cifras significativas para representar
números exactos.
Para ambos tipos de errores, la relación entre
el resultado exacto, o verdadero, y el aproximado está dada por:
(1)
Reordenando la ecuación (1) se encuentra que el
error numérico es igual a la diferencia entre
el valor verdadero y el valor aproximado, es decir:
(2)
Donde se usa para denotar el valor exacto del error.
El subíndice t indica que se trata del error “verdadero” (true).
Una manera de tomaren cuenta las magnitudes de las
cantidades que se evalúan consiste en normalizar el
error respecto al valor verdadero, es decir error verdadero
donde, como ya se mencionó en la ecuación (2),
error = valor verdadero – valor aproximado. El error relativo también
se puede multiplicar por 100% para expresarlo como:
Los errores de redondeo se originan debido a que
la computadora emplea un número
determinado de cifras significativas
durante un cálculo. Los números tales
como π, e no pueden expresarse
con un número fijo de cifras significativas.
Por lo tanto, no pueden ser representados
exactamente por la computadora.
Además, debido a que las computadoras
usan una representación en base 2,
no pueden representar exactamente
algunos números en base 10. Esta diferencia
por la omisión de cifras significativas
se llama error de redondeo.
Este error se comete al sustituir un proceso
de cálculo infinito o infinitesimal por uno finito,
mientras que el error de redondeo se produce
al representar y luego operar los números con
menos cifras que las que realmente poseen.
Este tipo de error ocurre al trabajar con una
calculadora o con una computadora debido
a la capacidad finita de su memoria, pero
también está presente al efectuar cálculos
manuales aproximados.
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