Kriging
Consideremos
Z u   ,   1, 2 ,  N
puntos en los cuales se tiene
la
información de determinada propiedad en el yacimiento y
estimación de
a partir de los puntos Z u  
Z u 

Kriging
Existen diversos métodos para obtener
• Vecino más cercano
• Interpolación estándar
• Regresión lineal
• Métodos basados en Splines
...
No toman en cuenta la información aportada por el variograma !
Kriging
• El vecino más cercano
X (Kilometer)
0.
X (Kilometer)
0.
10.
20.
30.
40.
5.96
11.11
7.69
6.60
7.52
6.87
20.
Y
20.
7.36
10.
2.46
3.81
11.22
9.84
12.12
10.
4.32
10.21
9.22
7.26
0.
0.6.26
9.43
9.59
10.
20.
30.
X (Kilometer)
7.18
40.
0.
(Kilometer)
30.
9.43
30.
40.
>=20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
<0
N/A
9.38
40.
40.
5.96
10.31
11.11
11.04
30.
11.54
7.69
30.
9.43
6.60
7.52
6.87
20.
20.
7.36
10.
2.46
3.81
11.22
9.84
12.12
10.
4.32
10.21
9.22
7.26
0.
9.439.59
0. 6.26
10.
20.
X (Kilometer)
30.
7.18
40.
0.
Y (Kilometer)
11.04
Y
(Kilometer)
40.
30. 11.54
20.
40.
9.38
10.31
10.
Kriging
X (Kilometer)
0.
• Distancia inversa
10.
20.
30.
40.
9.38
40.
40.
5.96
(Kilometer)
10.31
11.11
11.04
Y
7.69
30.
9.43
6.60
7.52
6.87
20.
Y
20.
2.46
7.36
10.
3.81
11.22
9.84
12.12
(Kilometer)
30. 11.54
10.
4.32
10.21
9.22
7.26
0.
0.
40.
10.
X (Kilometer)
20.
30.
30. 11.54
30.
6.60
7.52
6.87
20.
7.36
10.
2.46
3.81
10.21
0. 6.26
11.22
9.84
12.12
10.
4.32
7.26
9.43
9.59
10.
20.
30.
X (Kilometer)
9.22
7.18
40.
0.
X (Kilometer)
0.
X (Kilometer)
5.96
7.69
30.
6.60
7.52
6.87
Y
20.
20.
7.36
2.46
3.81
10.
11.22
9.84
12.12
4.32
10.
10.21
9.22
7.26
9.43
9.59
0.
7.18
6.26
0.
10.
20.
30.
X (Kilometer)
40.
0.
(Kilometer)
9.43
40.
>=13
12.45
11.9
11.35
10.8
10.25
9.7
9.15
8.6
8.05
7.5
6.95
6.4
5.85
5.3
4.75
4.2
3.65
3.1
2.55
<2
5.96
40. 10.31
40.
11.11
11.04
11.54
7.69
30.
9.43
30.
6.60
7.52
6.87
20.
20.
7.36
2.46
3.81
10.
11.22
9.84
12.12
4.32
10.
10.21
9.22
7.26
9.43
9.59
0.
7.18
6.26
0.
10.
20.
30.
N/A
X (Kilometer)
40.
0.
(Kilometer)
11.54
30.
Y
11.04
Y
(Kilometer)
40.
11.11
30.
20.
40.
9.38
40. 10.31
10.
9.38
30.
(Kilometer)
20.
Y
10.
N/A
11.04
20.
0.
0.
40.
7.69
9.43
0.
7.18
40.
40.
5.96
11.11
30.
X (Kilometer)
9.38
10.31
9.43
9.59
10.
20.
0.6.26
>=20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
<0
>=13
12.45
11.9
11.35
10.8
10.25
9.7
9.15
8.6
8.05
7.5
6.95
6.4
5.85
5.3
4.75
4.2
3.65
3.1
2.55
<2
N/A
Kriging
Planteamiento básico de la estimación por Kriging:
Considerar la estimación de
como una combinación lineal de las
observaciones disponibles
y escoger los pesos bajo un criterio en el cual se considera que dicha
estimación es óptima. Este es que el estimador sea insesgado y que

var Z u   Z
*
u 
sea mínima
Kriging Simple
KRIGING SIMPLE
El caso más simple se denomina kriging simple y la hipótesis básica es la
estacionaridad junto con el hecho de que se asume que la media de la función
aleatoria es conocida. Esto es,
E  Z u    m
y m es conocida
1° CASO. m = 0
Bajo esta condición se asegura que el estimador de kriging es insesgado, ya
que
Kriging Simple
Ahora sólo resta hallar los pesos para que la condición de varianza mínima se
satisfaga.
Considérese primero el caso en que se cuenta con una sola observación
Entonces

var Z u   Z
*
u 
 1

 var     Z u  
  0

 0  1,       , u 0  u
  0 var  Z u 0    1 var  Z u 1   2  0  1 cov  Z u 0 , Z u 1 
2

2
2
 1 
2
2
 2  1 cov u  u 1 
Kriging Simple
Derivando respecto al parámetro e igualando a cero se tiene

 var Z u   Z
*
u 
 1
 2 1
2
 2 cov u  u 1   0
Con lo cual
1 
cov u  u 1 

2
  u  u 1 
Es decir, el estimador de kriging simple es igual al valor conocido de la variable
multiplicado por la correlación que existe entre la variable en el punto objetivo y la
variable en el punto de observación.
Kriging Simple
Utilizando el valor del parámetro se obtiene que:

var Z u   Z
*
u    2 1   2 u  u1 
Este tipo de resultado generalmente se utiliza para determinar el error asociado
a la estimación.
Debe ser usado con cautela porque no depende directamente de los datos si no
de la continuidad espacial de estos !
Utilizando la forma del estimador de kriging se puede demostrar que:

var Z
*
u    2  2 u  u1    2
 var Z u 
Kriging Simple
Considérese ahora el caso en que se cuenta con dos observaciones:

var Z u   Z
*
u 
 2

 var     Z u  
  0

 0  1,       , u 0  u
  0 var  Z u 0   1 var  Z u 1    2 var  Z u 2 
2
2
2
+
2 1  2 cov u1  u 2   2 1 cov u 0  u1   2  2 cov u 0  u 2 
Kriging Simple
Ahora hay dos parámetros desconocidos y por lo tanto hay que calcular dos
derivadas e igualarlas a cero

 var Z u   Z
*
u 
 1

 var Z u   Z
 2
*
u 
 1
2
  2 cov u 1  u 2   cov u 0  u 1   0
  2
2
 1 cov u 2  u 1   cov u 0  u 2   0
De esta manera se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que
se puede escribir en forma matricial como:
C 0 


 C u 2  u 1 
C  u 1  u 2 

C 0  
  1   C u 0  u 1  

 


C
u

u

0
2 
 2 
Kriging Simple
Utilizando el hecho de que los parámetros resuelven el sistema de ecuaciones se
obtiene que:

var Z u   Z
*
u   
2

2
  1 C u 0  u 1    2 C u 0  u 2 
2
    C u 0  u 

 1
Nuevamente, el error no depende directamente de los datos si no de la
continuidad espacial de estos.
Kriging Simple
Utilizando el hecho de que los valores ’s resuelven el sistema de ecuaciones se
puede demostrar que:
Cov Z u   Z u  , Z u   0
*
*
Es decir, el estimador de kriging simple es ortogonal al error. Esto es una
propiedad muy importante que solo satisface el kriging simple.
Utilizando este resultado se tiene que
var Z u   var Z u   Z
*
u  
Lo que muestra que:

var Z
*

var Z
u   var Z u 
*
u 
Kriging Simple
El caso general se obtiene de manera análoga:

var Z u   Z
*
u 
 N

 var     Z u  
  0

N


 0
  var  Z u 
2
 0  1,       , u 0  u
      
cov u   u 

 
Derivando respecto a cada uno de los parámetros e igualando a cero se
obtiene un sistema de N ecuaciones con N incógnitas
Kriging Simple
Relación entre las observaciones
Relación de las
observaciones con el
punto a estimar
o equivalentemente
N

j 1
j
C u i  u j   C u i  u 
i  1, 2 ,  , N
Kriging Simple
La varianza del error o varianza del kriging es entonces:

var Z u   Z
*
u   
N
2
    C u 0  u 

 1
Nuevamente, el error no depende directamente de los datos si no de la
continuidad espacial de estos.
Kriging Simple
2° CASO. m  0
En este caso se consideran nuevas funciones aleatorias de media cero para
aplicar el caso de kriging simple estudiado anteriormente.
Y  u  : Z  u   m
La nueva función aleatoria es estacionaria y tiene media cero, por lo cual el
estimador de kriging simple es:
Kriging Simple
Que ocurre si todos los valores observados son no correlacionados
entre si ?
Y la solución es
 
C u  u 

2

  u  u 

El estimador de kriging simple es entonces una combinación lineal de los valores
observados, donde los pesos de cada observación corresponden a la correlación
entre dicha observación y el punto a estimar.
Kriging Simple
Que ocurre si todos los valores observados son no correlacionados
con el punto a estimar ?
Como la matriz es invertible la solución es:   0   1, 2 ,  , N
Y el estimador de kriging simple es entonces:
Z
*
u   m
Kriging Simple
Que ocurre si el punto a estimar está fuera del rango de la función de
covarianza ?
Kriging Simple
Una propiedad muy importante del kriging simple es la siguiente: Si la
función aleatoria Z(x) es gaussiana entonces:
E  Z u  / Z u 1  , Z u 2  ,  , Z u N   Z u 
*
Es decir, el valor esperado de la propiedad en el punto u dado los
valores observados es el valor del kriging simple !
Esta propiedad es fundamental para obtener simulaciones estocásticas
de propiedades, como se estudiará más adelante.
Kriging Ordinario
KRIGING ORDINARIO
Generalmente el valor de la media m es desconocido y por lo tanto no
se puede utilizar el kriging simple.
El kriging ordinario establece una condición adicional al sistema de
ecuaciones del kriging simple para filtrar el valor desconocido de la
media.
Al igual que antes el estimador propuesto es de la forma
Kriging Ordinario
Para que el estimador sea insesgado debe ocurrir
De esta forma, como
debe ocurrir que:
Kriging Ordinario
En kriging ordinario el problema de minimización de la varianza del error
es distinto al caso de kriging simple.
No es suficiente buscar los valores ’s que minimizan la varianza.
Hay que buscar los valores ’s que minimizan la varianza y que
satisfagan que su suma sea igual a 1, para garantizar la condición de
insesgamiento.
Este tipo de problema de minimización con restricciones se resuelve
utilizando una técnica denominada multiplicadores de Lagrange
La idea es establecer un sistema de ecuaciones que incluya la
restricción sobre los valores ’s
Kriging Ordinario
Considérese una nueva función  de la forma siguiente:

 1 ,  ,  N ,    var Z u   Z
*
u 

 2  1 

N

i 1

i 

El punto donde la nueva función alcanza un mínimo contiene los valores
de los ’s que minimizan la varianza y cuya suma es igual a 1.
Para minimizar a la función  no existen restricciones, por lo que sólo
hay que calcular las derivadas e igualarlas a cero.
   1 ,  ,  N ,  
 j
   1 ,  ,  N ,  

 0
0
j  1, 2 ,  , N
Kriging Ordinario
   1 ,  ,  N ,  
 j

   1 ,  ,  N ,  


 var Z u   Z
*
u 
 j

 21 

 2

  
 1

N
Igualando a cero las derivadas se tiene que:

 var Z u   Z
 j
*
u 
 2
j  1, 2 ,  , N
j  1, 2 ,  , N
Kriging Ordinario
Sabemos que:

 var Z u   Z
 j
*
u 
N
 2    cov u   u j   2 cov u  u j 
 1
Y por lo tanto se obtiene que:
N
2    cov u   u j   2   2 cov u  u j 
 1
j  1, 2 ,  , N
Kriging Ordinario
El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como:
C u 1  u 2 
 C 0 

 u 2  u 1 
C 0 





 C u N  u 2  C u N  u 2 

1
1


C u 1  u N 
1

C u 2  u N 
1




C 0 
1
1
1
0
Condición para filtrar el valor desconocido de la media
   1   C u  u 1  

 

2
C u  u 2 

 

  



 




C
u

u
N 
 N  
    

1

 

Kriging Ordinario
Ahora la varianza del error es:

var Z u   Z
*
u   
N
2
    C u 0  u    
 1
Nuevamente, el error no depende directamente de los datos si no de la
continuidad espacial de estos.
Kriging Ordinario
Kriging ordinario usando el variograma
Usando la relación usual entre el variograma y la covarianza
C  h   C 0     h 
   C 0    u 
N

 u j     C 0    u  u j 
j  1, 2 ,  , N
 1
N
    u 
 u j      u  u j 
j  1, 2 ,  , N
 1
Y el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial es entonces
Kriging Ordinario
0
 u 1  u 2 


 u  u 
0
 2 1




  u N  u 2   u N  u 2 

1
1


 u 1  u N 
1

 u 2  u N 
1




0
1
1
1
0
   1    u  u 1  
  

2
 u  u 2 
  

  


  





u

u
N 
 N 
   

1
  

Y por lo tanto los resultados obtenidos serán exactamente iguales.
Esta propiedad no es cierta en el caso del kriging simple. Esto es, el
sistema de ecuaciones del kriging simple sólo debe ser escrito usando
la función de covarianza y NO el variograma.
Kriging Ordinario
Que ocurre si todos los valores observados son no correlacionados
entre si ?
0
 C 0 

0
C 0 

 


0
 0
 1
1


0

0



C 0 
1
1
1    1   C u  u 1  

 

1
2
C u  u 2 

 


   


 

1    N   C u  u N 

0      
1

 j C 0     C u  u j 
 j   u  u j  

C 0 
j  1, 2 ,  , N
j  1, 2 ,  , N
Kriging Ordinario
Utilizando la condición de insesgamiento se puede obtener el valor del
parámetro de Lagrange:
C 0   N  
N
 C u  u 
j
j 1
 
C 0 
N

1
N
C 0  

1 
N 
N
 C u  u 
j
j 1

N
  u  u 
j
j 1

Kriging Ordinario
Si además los valores son no correlacionados con el punto a estimar
entonces:
 u  u j   0  j
Y por lo tanto
 
C 0 
N
j 
1
j  1, 2 ,  , N
N
Y el estimador de kriging ordinario es
Kriging Ordinario
Relación entre el Kriging ordinario y el kriging simple
Una idea tentadora es estimar el valor promedio utilizando kriging
ordinario y tomar esta valor como el verdadero valor de la media para
usar kriging simple.
Este procedimiento produce como resultado una estimación que es
exactamente igual a la estimación de kriging ordinario.
La demostración de este hecho se conoce como el teorema de adición
Kriging Ordinario
1°) La estimación de la media mediante kriging ordinario se obtiene
resolviendo el sistema de ecuaciones:
N
j
j 1
N

j 1
m


C ui  u j   m
j  1, 2 ,  , N
 mj  1
2°) El valor estimado de la media se utiliza en la ecuacion del kriging
simple
Kriging Ordinario
Por lo tanto el estimador de kriging simple es:
 j
La solución del kriging ordinario es única, por lo tanto si se demuestra
que los valores ' resuelven el sistema de ecuaciones del kriging
ordinario se tendrá que
Z sk u   Z ok u 
*
*
Kriging Ordinario
3°) La condición de insesgamiento es:
N

m




 j
j 
N
 j 
j 1
j 1
N

j
N
 
j 1
j
j 1
1
m
j 1
N

j
 
Kriging Ordinario
4°) El sistema de ecuaciones es:
N

 j C u i  u
m






 j
j
j  C u i  u j 
N
j 1
j 1
N


 j C u i  u
j 1
N
m




 j C u i  u j 
j
j 1
 C u  u i    m
Y por lo tanto
N
  j C u i
j 1
Lo cual completa la prueba
uj
     C u  u i 
Kriging Ordinario
Finalmente, si se asume que la media es conocida procediendo como
antes se puede demostrar que:
2
2
2
 *
 ok   sk   var m
Es decir, la varianza del kriging ordinario es la varianza del kriging
simple (cuando en realidad se conoce la media) más un factor
asociado a la estimación de la media.
Asimismo, se observa que:
2
2
 ok   sk
Kriging Ordinario
La pendiente de la regresión lineal
La pendiente de la regresión de Z utilizando la estimación de kriging
simple es
b 

cov Z u , Z sk u 
*

*
var( Z sk ( u ))
Utilizando las ecuaciones del kriging simple se obtiene que el
numerador y el denominador son iguales y por lo tanto la pendiente es
igual a 1. Esto significa que el kriging simple es condicionalmente
insesgado
Z
Z sk
Kriging Ordinario
En el caso de kriging ordinario se tiene que
*
b 
cov( Z ( u ), Z ok ( u ) )
*
cov( Z ( u ), Z ok ( u ))  
Y por lo tanto el estimador de kriging ordinario no es condicionalmente
insesgado.
Z
Z sk
Kriging Ordinario
X (Kilometer)
0.
10.
20.
30.
Imagen original
40.
>=20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
<0
9.38
40.
5.96
10.31
11.11
11.04
7.69
30.
9.43
6.60
7.52
6.87
20.
Y
20.
2.46
7.36
10.
3.81
11.22
9.84
12.12
(Kilometer)
30. 11.54
Y
(Kilometer)
40.
10.
4.32
10.21
9.22
7.26
0.
9.43
9.59
10.
20.
0.6.26
30.
7.18
40.
0.
N/A
X (Kilometer)
Kriging ordinario
Inverso de la distancia
X (Kilometer)
20.
30.
40.
40.
20.
Y
20.
10.
0.
10.
0.
10.
20.
30.
X (Kilometer)
40.
0.
N/A
20.
30.
40.
9.38
5.96
40. 10.31
40.
11.11
11.04
11.54
7.69
30.
9.43
30.
6.60
7.52
6.87
20.
20.
7.36
2.46
3.81
10.
11.22
9.84
12.12
4.32
10.
10.21
9.22
7.26
9.43
9.59
0.
7.18
6.26
0.
10.
20.
30.
X (Kilometer)
40.
0.
(Kilometer)
30.
(Kilometer)
30.
>=20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
<0
10.
Y
Y
(Kilometer)
40.
0.
(Kilometer)
10.
Y
0.
X (Kilometer)
>=13
12.45
11.9
11.35
10.8
10.25
9.7
9.15
8.6
8.05
7.5
6.95
6.4
5.85
5.3
4.75
4.2
3.65
3.1
2.55
<2
N/A
1F
Dado un conjunto cualquiera F, se define su función indicadora como:
1 si x  F

1F  x   
 0 si no

Este tipo de funciones indican simplemente si el punto en que se
evalúan se encuentra o no en el conjunto especificado.
x1
1 F  x1   1
x2
1F x2   0
1F
De particular interés es considerar variables indicadoras de facies.
Si se considera la facies F como un conjunto aleatorio entonces su
función indicadora es una función aleatoria que puede ser estacionaria o
no.
Si se asume que la variable indicadora de la facies F es estacionaria
entonces se tiene que:
E 1 F  x   P  x  F   Proporción de la facies F en el yacimiento
1F
Considérese el caso donde se tiene interpretación de facies en un pozo
1 si x  F



x

1F

 0 si no

Facies 1
Facies 2
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1F
1
1F
E 1F1  x  
E 1F2  x  
2
6
 75 %
8
2
8
 25 %
1F
Este concepto tan sencillo permite considerar las facies presentes en un
yacimiento como funciones aleatorias y aplicar muchas de las técnicas
estudiadas anteriormente.
El uso de variables indicadoras es la base de las curvas de proporción
vertical .
1F
Unidad 1
Unidad-4
Unidad 2
Unidad-5
1F
En el caso de variables indicadoras el variograma es:

h  
F
1
2
E 1 F  x  h   1 F  x 
2
 P( x  F y x  h  F )
Variograma
A partir de este se obtiene la continuidad espacial y la longitud promedio
en distintas direcciones de la facies en estudio.
R2
R1
Distancia
1F
Propiedades
1) E 1 F  x   P ( x  F )  p  0 ,1
var 1 F  x   p 1  p   0 . 25
El sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayor
a 0.25
2) 
F
h   0 . 5
3) Relación con la función de covarianza

F
 h   C F 0   C F  h 
C F  h   E 1 F  x  h   p  1 F  x   p 
C F 0   var 1 F  x   p 1  p   0 . 25
1F
4) Desigualdad Triangular
 F h1  h 2    F h1    F h 2 
En particular

F
2 h   2  F h 
Consecuencia :
Un variograma con comportamiento en el origen de la forma
no puede ser el variograma de una función indicadora
h
p
p 1
1F
5) Relación entre las variables indicadoras
Si se interpretan dos facies
F1 y F 2
1F  x   1F
1
en el yacimiento entonces:

x 1
2
Es decir, las facies no son independientes y además

F1
h   
F
2
h 
En el caso general,
1F  x   1F
1
2
 x    1F  x   1
N
Y por lo tanto las facies no son independientes.
1F
6) Estimación de la proporción de facies (indicator kriging)
El método de estimación por kriging puede ser usado para estimar la
proporción de una determinada facies en una localización dada.
1 F u

1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
Proporción de la facies F en
el punto u
1F
Como la proporción se asocia a la probabilidad se tiene que la estimación
por kriging es una estimación de la probabilidad de que la facies F se
encuentre en el punto u
Se pueden obtener valores mayores de 1 y menores de 0, estos valores
se deben corregir asignando 0 a los menores que cero y 1 a los mayores
que 1.
Si se estiman independientemente
necesariamente se cumple que
entonces no
1F
X (Kilometer)
0.
10.
20.
30.
40.
Canal
40.
Canal
Barra
Los resultados del indicator
kriging
son
mapas
de
probabilidades y no mapas de
propiedades.
40.
Barra
Canal
30.
Canal
20.
20.
Lutita
Barra
Canal
Barra
Y
Canal
Lutita Lutita
10.
Barra
Canal
Canal
0.
Canal
10.
Canal
Canal
Canal
X (Kilometer)
0.
10.
20.
30.
0.
10.
20.
30.
40.
40.
40.
40.
30.
30.
20.
20.
10.
10.
Y
0.
0.
10.
20.
30.
X (Kilometer)
40.
0.
(Kilometer)
Probabilidad de
facies de canal
(Kilometer)
X (Kilometer)
Y
0.
30.
(Kilometer)
?
Canal
Canal
Canal
Y
(Kilometer)
Barra
Barra
>=1.001
0.95095
0.9009
0.85085
0.8008
0.75075
0.7007
0.65065
0.6006
0.55055
0.5005
0.45045
0.4004
0.35035
0.3003
0.25025
0.2002
0.15015
0.1001
0.05005
<0
N/A
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