CLASE 4
FORMAS DE EXPRESAR FUNCIONES BOOLEANAS
Forma POS (Suma de productos)
Suma (OR) de términos productos (AND), formadas por varias
variables complementadas o no.
f(a,b,c) = a’bc + ab’c’ + abc + c
Formas de
representación
Términos producto
Forma POS (Producto de sumas)
Productos (AND) de términos sumas (OR) formados por
varias variables complementadas o no.
f(a,b,c) = (a + b + c) (a + b’ + c) (c’ + a)
Términos suma
FORMAS CANONICAS
• En una expresión en forma canónica, cada variable aparece en cada termino.
Mintermino: Termino de producto en el
cual cada variable aparece una sola vez
en su forma verdadera o complementada
pero no ambas.
Maxtermino: Termino de suma en el cual
cada variable aparece una sola vez en su
forma verdadera o complementada, pero
no en ambas.
FORMAS CANONICAS
F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B’+C)(A’+B+C)
= M0.M2.M5
f(a,b,c) = A’B’C+A’BC+AB´C+ABC’+ABC
= m1 + m3 + m5 + m6 + m7
Por teorema de Demorgan es posible observar que:  ′ =  y  ′ = 
m1’ = (A’B’C)’ = (A + B + C’) = M1
CONVERSION ENTRE FORMAS CANONICAS
f(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz +
x’yz’ + xy’z
SOP
estándar
POS
estándar
f(x,y,z)=(x+y+z’)(x’+y+z)
(x’+y’+z)(x’+y’+z’)
Pasos:
1. Evaluar en que valores binarios se representa la SOP estándar
f(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz + x’yz’ + xy’z
000
0
2.
011
3
101
5
010
2
Determinar los números binarios no incluidos en el paso 1.
Al tenerse 3 variables (x, y, z) serán 8 (23 ) posibles combinaciones, si se observa la
anterior expresión los números faltantes son: 1,4,6,7  001, 100,110,111.
3.
Escribir los términos suma equivalentes para los valores encontrados
en el paso 2 y expresarlos en POS.
f(x,y,z) = (x + y + z’)(x’ + y + z)(x’ + y’ + z)(x’ + y’ + z’)
EJERCICIOS DE REPASO
1.
Convierta a SOP estándar la siguiente función:
f(x,y,z,w) = xy + zw’ + x’w’
2.
Convierta a POS estándar:
f(x,y,z,w) = (x + y’)(z + w’)(x + w)
3.
Exprese la función en forma SOP y POS estándar:
f(x,y,z,w) = (x + y’ + w)(y’ + z + w’)(x + y’ + z’ + w)
SIMPLIFICACION DE CIRCUITOS LOGICOS
• Algebra booleana:
 Buen conocimiento de las reglas.
 Habilidad para aplicar las reglas.
• Mapas de Karnagh:
 Método de simplificación grafico.
 Basado en teoremas booleanos, pero de mayor facilidad al utilizarlo.
• Mapas de Karnagh:
 Método de simplificación tabular.
 Directo, sistemático y no importa el numero de variables.
 No lo vamos a tratar en el curso.
SIMPLIFICACION POR ALGEBRA BOOLEANA
Para la siguiente tabla de verdad encuentre las dos formas canónicas, la SOP, el POS y
la forma no estándar mínima. Además represéntela en términos de su
implementación en compuertas.
S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc
=
(, , , )
POS canónica

S = (x+y+c)(x+y’+c’)(x’+y+c’)(x’+y’+c)
=
(, , , )
SOP canónica
Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc
 =

(, , , )
POS canónica
Co = (x’+y+c)(x+y’+c)(x+y+c’)(x+y+c)
 =
(, , , )
SOP canónica
SIMPLIFICACION POR ALGEBRA BOOLEANA
Para llevar la forma canónica a una forma no estándar simplificada se usa algebra
booleana.
S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc
= c(x’y’+xy)+c’(x’y+xy’)
= (x⊕y)’c + (x⊕y)c’
= (x ⊕ y) ⊕ c
Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc
= x’yc + xy’c + xyc’ + xyc + xyc
= x’yc + xy’c + xy(c’ + c) + xyc + xyc
= yc(x’+x) + xc(y’+y) + xy
= xy + yc +xc
Para su implementación en puertas lógicas se
aprovecha uno de los XOR de la suma.
Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc
= xy(c+c’)+c(x’y+xy’)
= xy + c(x ⊕ y)
MAPAS DE KARNAUGH
• Es una representación gráfica de una tabla de verdad, ya que muestra todos los
posibles valores de las variables de entrada y los valores de salida de las respectivas
combinación de entradas.
• Un mapa de Karnaugh puede mapear 2 posibles minterminos de una función
booleana de n variables.
• Para una función booleana de n variables, un mapa de Karnaugh será:
 Si n es par: Un cuadrado de 2/2  ∗ 2/2  .
 Si n es impar: Un rectángulo de 2(−1)/2  ∗ 2(+1)/2  .
MAPAS DE KARNAUGH
• Los Mapas de Karnaugh se utilizan para hacer simplificación de funciones lógicas
de 2, 3, 4, 5 y 6 variables como máximo.
• Cada celda representa un mintermino.
BC
A
0
1
01
00
0
1
0
4
1
0
11
1
5
1
1
10
3
7
0
1
2
6
MAPAS DE KARNAUGH
• Los mapas de Karnaugh utilizan código gray en la numeración de las celdas,
esto hace que solo cambie una sola variable entre celdas adyacentes.
C
AB
00
01
BC
A
0
1
ABC’
01
00
0
1
0
4
1
0
11
1
5
1
1
11
10
3
7
0
1
0A’B’C’ 1
1
0
1
2
10
6
1
0
2
6
4
AB’C’
0
1
1
0
1
3
7
5
AB’C
SOP EN MAPAS DE KARNAUGH
Se dibuja el mapa y se coloca un 1 en las celdas que corresponden a los mintérminos
de la función. Si se tiene una función SOP no estándar, ésta debe completarse y una
vez hecho esto se ubican todos los mintérminos en el mapa de Karnaugh.
 1,3,4,5 = ′ ′  + ′  + ′ ′ + ′ 
 , ,  =
BC
A
01
00
0
11
1
BC
10
3
A
2
0
0
4
1
5
7
6
1
01
00
0
1
0
4
1
1
11
1
5
1
0
10
3
7
0
0
2
6
SOP EN MAPAS DE KARNAUGH
 , , ,  =
CD
00
AB
01
0
1
 0,3,4,5,9,12,15
11
CD
00
AB
10
3
2
00
00
4
5
7
6
01
01
12
13
15
11
10
9
11
1
14
11
8
1
10
10
1
01
0
1
4
11
10
3
2
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
1
1
1
1
SOP EN MAPAS DE KARNAUGH
¿Qué sucede cuando una función booleana no esta dada en forma canónica?
Supóngase que de da la siguiente función que no esta escrita en forma estándar:
 , ,  =  + 
Paso 1. Completar a forma canónica:
 , ,  =   +  +   +  =  +  +  +  
Paso 2. Encontrar los minterminos (Aunque la posición de los 1 se puede deducir a
partir la forma canónica).
 , ,  =
(0,2,3,7)
Paso 3. Ubicar en el mapa
BC
A
0
1
01
00
1
11
0
1
4
5
1
1
10
3
7
1
2
6
POS EN MAPAS DE KARNAUGH
El procedimiento consiste en dibujar el mapa y ubicar 0s en las celdas correspondientes
a los maxtérminos de la función. Es necesario completar los términos cuando no estén
en forma estándar y luego identificar los maxtérminos.
 , ,  = ( +  + )( +  + )( +  + )( +  + )
 , ,  =
(0,2,5,6)
BC
A
0
1
01
00
0
11
10
0
1
3
4
5
7
0
0
0
2
6
POS EN MAPAS DE KARNAUGH
 , ,  =
CD
00
AB
01
0
1
11
CD
00
AB
10
3
2
00
01
0
5
7
6
01
13
15
14
11
2
4
5
7
6
12
13
15
14
9
11
11
8
9
11
10
10
0
10
3
0
01
12
11
1
00
4
10
(1,7,8,10,11,13,14)
8
0
0
0
0
0
10
SIMPLIFICACION DE SOP Y POS
Reglas de simplificación:
• Agrupar celdas adyacentes. Se agrupan 1s (minterm) o 0s (maxterm) de
acuerdo al tipo de funciones lógicas.
• Los grupos son potencias de 2, es decir se busca unir 2, 4, 8 (1s o 0s) que
estén en celdas consecutivas.
• Para encontrar la ecuación lógica resultante de los mapas de Karnaugh se
observan las variables que no cambian dentro del grupo.
SIMPLIFICACION DE MAPAS DE KARNAUGH
Reglas de simplificación:
• Agrupar celdas adyacentes. Se agrupan 1s (minterm) o 0s (maxterm) de
acuerdo al tipo de funciones lógicas.
• Los grupos son potencias de 2, es decir se busca unir 2, 4, 8 (1s o 0s) que
estén en celdas consecutivas.
• Para encontrar la ecuación lógica resultante de los mapas de Karnaugh se
observan las variables que no cambian dentro del grupo.
MINIMIZACION USANDO MAPAS DE KARNAUGH
Método general
1. Convierta la función de la
ecuación a la forma POS.
2. Coloque los 1s en la celda
del mapa apropiada para
cada termino.
3. Cubra todos los 1s al dibujar
la menor cantidad de
círculos grandes, con cada 1
incluido en al menos uno;
escriba el correspondiente
termino para cada circulo.
4. Hacer un OR de los términos
resultantes para crear la
función minimizada.
MAPAS DE KARNAUGH DE DOS VARIABLES
Algunos tips:
• Llene cada celda con el
correspondiente valor de F.
• Dibuje los círculos alrededor
de los 1s adyacentes.
(Grupos de 1, 2 o 4).
• Los círculos indican
oportunidad de
optimización (se puede
remover una variable).
• Obtener la función OR de
todos los términos
contenidos en los círculos.
 ,  =
y
x
1
1
1
0
1
0
(0,2)
0
0
2
0
 ,  =
y
x
0
1
1
y’
3
 ,  = ′
(0,2,3)
1
0
1
1
0
2
0
1
1
3
y’
x
 ,  = ′ + 
MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES
Recuerde: un K-map gráficamente
coloca los minterminos uno
próximo a otro solo cuando ellos
difieren en una sola variable
MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES
Algunos tips:
• Los círculos pueden cruzar los
lados derecho o izquierdo, esto
por que los ejes son
adyacentes.
• Los círculos deben tener 1, 2, 4
o 8 celdas. 3, 5 o 7 no son
permitidas.
• Cuando se llenan todas la
celdas la función es igual a 1.
MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES
MAPAS DE KARNAUGH DE TRES VARIABLES
MAPAS DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES
MAPAS DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES
Algunos tips:
• Los K-maps de 4 variables
siguen el mismo principio:
 Adyacencia
derecha/izquierda.
 Adyacencia arriba/abajo.
• Adyacencia implica diferencia
en una sola variable:
 Dos 1s adyacentes
significa que una variable
puede ser eliminada.
 Cuatro 1s adyacentes
significa que 2 variables
pueden ser eliminadas.
 Ocho 1s adyacentes
significa que 3 variables
pueden ser eliminadas.
MAPAS DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES
SIMPLIFICACION DE SOP
CD
00
AB
00
01
11
10
1
1
1
01
0
10
3
2
5
7
6
12
13
15
8
9
4
1
1
1
1
11
1
1
11
1
1
14
10
f ( A , B , C , D )  A C  B D  A B D  B C D  ABC
SIMPLIFICACION DE SOP
CD
00
AB
01
0
00
4
01
11
10
1
1
1
1
1
5
12
13
8
9
1
11
1
1
1
1
10
3
2
7
6
15
14
11
1
1
10
f ( A , B , C , D )  A D  AC  A D  A B
SIMPLIFICACION DE POS
CD
00
AB
01
0
00
0
1
4
5
12
13
8
9
01
11
10
0
11
0
0
0
0
10
3
0
2
7
6
15
14
11
0
10
f ( A , B , C , D )  C  D  A  B  D  A  B  C
 A  B  D 
SIMPLIFICACION DE POS
CD
00
AB
00
01
11
10
0
0
0
01
0
11
10
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
0
0
0
0
0
10
f ( A , B , C , D )   A  C  D  A  B  D  A  B  D B  C  D  A  B  C  D 
ESTADOS DON’T CARE EN MAPAS K
Algunas veces se producen combinaciones de las variables de entrada que no
están definidas, es decir que no tienen un valor asignado para una combinación
de entradas en especifico. Estas combinaciones se marcan con una X y pueden
tomar el valor tanto de “1” ó “0” según la utilidad que presten en la
simplificación de la función lógica.
ESTADOS DON’T CARE EN MAPAS K
CD
00
AB
00
1
01
0
4
01
11
10
1
1
12
8
1
X
11
1
5
CD
00
AB
10
3
X
7
2
0
00
6
01
13
9
X
1
15
11
f ( A, B , C , D )  B C  A D  B D
1
1
01
14
0
4
12
11
10
8
10
0
X
0
0
11
10
1
3
5
7
13
9
0
X
X
0
2
6
15
14
11
10
f ( A , B , C , D )  C  D  A  B 
CONVERSION SOP  POS
f ( A , B , C , D )  ABCD  A BCD  A B C D  AB C D  A BCD  A B C D
BD
AD
CONVERSION SOP  POS
0
0
0
0
0
0
0
0
D
A+B
0
0
CONVERSION SOP  POS
SOP
CD
00
AB
00
1
01
0
4
1
POS
11
1
5
CD
00
AB
10
3
1
7
2
11
10
0
00
6
01
01
1
1
12
8
13
9
1
1
15
11
1
1
01
14
0
4
12
11
10
f ( A , B , C , D )  B C  AC  A D  B D
8
10
0
0
0
0
11
10
1
3
2
5
7
6
0
0
13
15
14
9
11
10
f ( A , B , C , D )  C  D  A  B 
PROCESO DE SIMPLIFICACION COMPLETO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Construya un K-map y coloque los 1s y 0s en las celdas de acuerdo a la
tabla de verdad.
Agrupe los 1s aislados los cuales no son adyacentes a otros 1s (single loops).
Agrupe cualquier par el cual contenga un 1 adyacente con solo otro 1 (loop
doble).
Agrupe cualquier octeto aun si este contiene 1 o mas 1s que ya han sido
agrupados.
Agrupe cualquier cuarteto que contenga uno o mas 1s que aun no han sido
agrupados, asegúrese de usar el mínimo numero de grupos.
Agrupe cualquier par necesario para incluir cualquier 1s que no han sido
aun agrupados, asegúrese de usar el mínimo numero de grupos.
Forme la expresión suma (OR) con todos los términos generados por cada
grupo.
PROCESO DE SIMPLIFICACION COMPLETO
MAPAS K DE 5 VARIABLES Y 6 VARIABLES
Los mapas K de 5 y 6 variables existen pero son difíciles de minimizar.
MAPAS K DE 5 VARIABLES
MAPAS K DE 5 VARIABLES
• Variables: A, B, C, D y E donde A = MSB y E = LSB.
• Se hacen 2 mapas de 4 variables, donde un mapa es para una variable y el
otro es para la misma variable pero complementada.
A=0
DE
00
BC
00
1
01
0
4
1
A=1
11
1
5
DE
00
BC
10
3
1
7
2
00
6
01
11
10
1
01
1
1
8
13
9
1
1
15
11
1
1
14
11
10
10
1
1
10
0
1
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
01
12
11
1
1
1
1
1
3
1
1
2
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 5
VARIABLES
Paso 1. Identificar grupos comunes a ambos Mapas
f(A,B,C,D,E) = CE + CD + BDE +
BDE
+…
A=0
DE
00
BC
00
1
01
0
4
1
A=1
11
1
5
DE
00
BC
10
3
1
7
2
00
6
01
11
10
1
01
1
1
8
13
9
1
1
15
11
1
1
14
11
10
10
1
1
10
0
1
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
01
12
11
1
1
1
1
1
3
1
1
2
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 5
VARIABLES
Paso 2. Identificar grupos en cada mapa que agrupen a los 1s faltantes
f(A,B,C,D,E) = CE + CD + BDE + BDE + ABD + ABC + ABCDE
A=0
DE
00
BC
00
1
01
0
4
1
A=1
11
1
5
DE
00
BC
10
3
1
7
2
00
6
01
11
10
1
01
1
1
8
13
9
1
1
15
11
1
1
14
11
10
10
1
1
10
0
1
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
01
12
11
1
1
1
1
1
3
1
1
2
MAPAS K DE 6 VARIABLES
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6
VARIABLES
f(A,B,C,D,E,F)
A=0
CD
EF
00
B=0
4
1
CD
7
1
6
15
1
11
1
1
8
9
1
00
01
11
10
2
13
00 1
B=1
1
12
1
0
1
10
3
1
10 1
EF
1
5
01
11
01 11
0
00 1
A=1
01 11
1
1
1
4
5
12
13
1
8
9
1
3
14
10
10
1
7
2
6
15
1
14
11
1
10
CD
EF
00
00 1
01
11
1
10 1
CD
EF
0
1
4
1
2
5
7
1
6
12
13
15
1
14
8
9
11
1
10
1
1
01 11
0
4
01
10
3
00
00 1
01 11
1
1
1
3
5
1
7
11
1
12
13
1
10
1
8
9
1
10
1
2
6
15
1
14
11
1
10
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6
VARIABLES
A=0
CD
EF
00
00 1
DF
B=0
01
1
1
1
2
7
1
6
15
1
14
11
1
10
5
1
12
13
1
10 1
8
9
1
EF
00
00 1
01
11
10 1
0
01 11
1
1
1
4
5
12
13
1
8
9
1
10
3
11 1
CD
B=1
01 11
0
4
A=1
3
10
1
7
2
6
15
1
14
11
1
10
CD
EF
00
01 11
0
1
4
11 1
10 1
00 1
01
CD
EF
1
2
5
7
1
6
12
13
15
1
8
9
11
1
1
10 1
1
1
01 11
0
1
1
3
5
1
7
12
13
1
8
9
1
4
01
11
3
00
00 1
10
1
14
10
10
1
2
6
15
1
14
11
1
10
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6
VARIABLES
A=0
DF
CD
B=0
CD
EF
B=1
5
1
1
13
1
8
9
1
00
00 1
BC F
1
12
10 1
B DE
ADE
4
1
01 11
0
01
11
BCE
AC F
00
00 1
ACF
BE F
EF
A=1
01
11
10 1
0
4
10
3
1
2
7
1
6
1
00
00 1
01
01 11
0
1
4
1
2
5
7
1
6
15
1
11
1
1
14
11 1
12
13
11
1
10
10 1
8
9
1
5
3
10
1
7
2
CD
EF
00
00 1
6
12
13
1
15
1
8
9
1
14
11
1
10
11
1
10 1
1
1
1
3
5
1
7
12
13
1
8
9
1
4
01
1
01 11
0
1
10
3
15
01 11
1
CD
EF
14
10
10
1
2
6
15
1
14
11
1
10
SIMPLIFICACION DE LOS MAPAS K DE 6
VARIABLES
DF
ACF
BE F
BCE
B DE
BC F
AC F
ADE
AB C D
A B C DF
AB C DF
A=0
CD
EF
00
B=0
4
01
11
1
CD
5
1
1
13
1
8
9
1
00
00 1
B=1
1
12
10 1
EF
01 11
0
00 1
A=1
01
11
10 1
0
4
10
3
1
2
7
1
6
1
00
00 1
01
01 11
0
1
4
1
2
5
7
1
6
15
1
11
1
1
14
11 1
12
13
11
1
10
10 1
8
9
1
5
3
10
1
7
2
CD
EF
00
00 1
6
12
13
1
15
1
14
8
9
1
11
1
10
11
1
10 1
1
1
1
3
5
1
7
12
13
1
8
9
1
4
01
1
01 11
0
1
10
3
15
01 11
1
CD
EF
14
10
10
1
2
6
15
1
14
11
1
10
Descargar

Diapositiva 1