Capas de Ekman
• Capas de Ekman
• Transporte de Ekman
• Surgencia costera
Capa de Ekman
 Se examina un modelo sencillo de la capa de Ekman.
 ui
t
1

 u   ui  f ui   P 

1



     u i u k 
k 1, 2 , 3 

 En un balance entre la fuerza de Coriolis, el gradiente de presión y la
fricción, las ecuaciones se reducen a:
 f ui
i

 i

  P 

z  
1
  u iw  



Az  u i

z
 En la capa de Ekman, a menudo se aproxima como K  Az/ .
Ecuaciones de Ekman
 Las ecuaciónes de viento térmico o balance geostróficos para el viento son:
ug  
1 p
 f y
; vg 
1 p
 f x
 Reescribiendo las ecuaciones de movimiento
K
K
1
 u
2
 f z
1
2
 v
2
 f z
2
 f  v  vg   0
 f u  ug   0
Condiciones de frontera (atmósfera)
 Las condiciones de frontera para la superficie y la atmósfera :
 u = 0 y v = 0 en z = 0 (para una capa de Ekman ideal), y
 u  ug y v  vg en la atmósfera fuera de la capa de Ekman.
 Resulta en (Hacer de tarea)
u = u g éê1 - e
ë
v = vg e
- gz
gz
co s ( g z )ùú
û
sin ( g z )
1/ 2
w h ere g = ( f / 2 K )
 El flujo es paralelo al flujo gradiente cuando z =  /  . Este nivel es
considerado el límite de la capa de Ekman.
 En la atmósfera la capa del Ekman es del orden de 1 km
 K es estimado como 5 m2 s-1.
 En modelos más complejos
la frontera inferior es determinada

ajustando u y  u /  z .
Capa de Ekman del océano
 Los supuestos son diferentes que en la atmósfera
 Se separa la ecuación geostrófica de la de Ekman (supuesto de linealidad)
 El esfuerzo del viento está en balance con la fuerza de Coriolis.
1  x
 z
1  y
 z
f v
 f u
 Integrando hasta la profundidad en que el esfuerzo superficial es
despreciable.
x   f M
y
y  f Mx
-1 m-1 = N m-2 s-1]
[kg
s
x
y
 M es el transporte de masa (o flujo horizontal de momento)
w here M

  u dz ;
uur
1 ˆ r
M =
k´ t
f
M

  v dz
Espiral de Ekman
 Usando una viscosidad turbulenta del esfuerzo del viento
 x   Az
 y   Az
u
z
Wind
45
v
z
T hen
Az  u
2
 z
2
Az  v
 fv
2
 z
2
fu
Transporte neto
Soluciones a la Capa de Ekman
 Las soluciones a estas ecuaciones son:
u ( z ) = u ( z = 0 ) exp ( g z ) cos ( g z )
v ( z ) = v ( z = 0 ) exp (g z ) sin (g z )
 Considerando que el esfuerzo superficial de la atmósfera debe de ser
igual en el océano.
t
x
= rK
¶u
¶z
and t
y
= rK
z= 0
¶v
¶z
z= 0
 Sustituyendo en las soluciones se obtiene
t
x
= r K g u ( z = 0 ) an d t
y
= r K g u (z = 0)
Transporte de Ekman
 En el hemisferio norte, el transporte neto es a la derecha del esfuerzo
del viento. El transporte es a la izquierda en el hemisferio sur.
 Cerca de la superficie el vector de esfuerzo tiene una dirección de 45
a la derecha del esfuerzo del viento.
 Esta teoría ha sido demostrada en el movimiento de icebergs de
hielo, aunque cerca de la superficie tiene limitaciones.
 Donde el transporte de Ekman produce convergencia hay hundimiento
para remover el exceso de masa. De forma análoga, donde hay
divergencia en el transporte de Ekman hay afloramiento.
Afloramiento costero
 El viento a lo largo de la costa produce transporte a la derecha con respecot a
la dirección de movimiento del viento (en el hemisferio norte)
 If the shore is on the left, the flow of replacement water causes upwelling.
 Cuando hay una costa a la izquierda, el flujo hacia afuera de la costa
produce surgencia.
 Si la costa está a la derecha, el transporte de Ekman acumula agua en la
costa, resultando en hundimiento.
Afloramiento ecuatorial
 Cerca del ecuador el sigino del parámetro de Coriolis es crítico.
 Los viento alisios producen un transporte de Ekman hacia los polos.,
 El balance de masa resulta del afloramiento.
 Vientos hacia el este causan hundimiento.
Ejemplos de convergencia y divergencia
Movimientos verticales
Wind
Wind
Transport
Transport
Mass Divergence
Mass Convergence
Anticyclonic Flow
Mass Convergence
 Anticyclonic flows cause mass convergence and downwelling
 Cyclonic flow causes mass divergence and upwelling
Bombeo de Ekman
 Un rotacional del viento distitno de cero produce movimientos
verticales en la capa de Ekman. Estos movimientos verticales pueden
cuantificarse integrando la ecuación de continuidad en la capa de
Ekman.
0
¶w
ò
- DE
¶z
0
dz = -
ò
r
Ñ gu dz
- DE
 Considerando el lado derecho de la ecuación
0
-
ò
- DE
r
æ1
r
rö
1
1
÷ - 1 Ñ ´ tr
ˆ
ç
Ñ gu dz = Ñ gM = Ñ gç k ´ t ÷=
÷
÷
çè f
r
r
r f
ø
 Considerando el lado izquierdo de la ecuación
0
ò
- DE
¶w
¶z
dz = w ( z = 0 ) - w E = - w E
 Por lo tanto
wE =
1
r f
r
Ñ´ t
uur
1 ˆ r
M =
k´ t
f
Ekman Pumping and Mass Transport Interactions Between
Indian Ocean Tropical Cyclones
2003/042 - 02/11 at 07 :45 UTC
http://rapidfire.sci.gsfc.nasa.gov/gallery/?2003042-0211
/FourCyclones.A2003042.0745.2km.jpg
Four Tropical Cyclones in the Indian Ocean
From the west, Gerry (16S), Hape (17S), 18S, and Fiona (14S)
(Terra and Aqua 4-orbit combination, time range 04:55-09:30 UTC)
Inicio de Gerry
 El campo superficial de
viento es resultado de una
análisis objetivo de los
vientos de superficie del
QSCAT .
Onda tropical el 8 Feb a
las 0Z
 En la gráfica la
velocidad de Ekman
 Los contornos (colores)
indican movimientos
verticales
Tormenta tropical Gerry
 Tormenta tropical
Gerry a las at 02Z 11
Febrero de 2003
 Los patrones de
Ekman indican que la
tormento está mejor
organizada
Ciclón tropical Gerry
 Cyclone Gerry at 02Z 13
February
 Maximum sustained winds
are 49 m/s (110 mph)
 Vertical velocity
magnitudes are higher
 Transport vectors
indicative of a stronger
cyclone
A Decaying Cyclone
 Cyclone Gerry at 14Z 14
February
 Maximum sustained winds
at 34 m/s (75mph)
 According to forecast
discussions at this time, Gerry
has begun Extratropical
transition
Artifact of Movement?
 Plot time is 14Z on 14
February
 Black arrows indicate wind
speed and direction
 Pattern is erratic near storm
center
 Storm progression likely
still responsible for
downwelling pattern
SSTs In Gerry’s Wake
 3 day plot (11 to 14 February) made
from TMI data
 Courtesy of http://www.SSMI.com
 Cool colors indicate areas of cooler
ocean water
The Twilight Years
 Tropical Storm /
Extratropical Storm Gerry
 14Z 15 February
 Ekman pattern is more
symmetrical
 Magnitude has decreased
More than tropical…
It’s EXTRA-tropical!
 Extratropical Cyclone Gerry
 11Z 16 February
 Pattern is extremely
elongated
 Ekman magnitude has
decreased significantly
(examine transport arrows)
Gerry and Hape infancy
Feb 10, 2003
(http://cimss.ssec.wisc.edu/tropic/archive/indian.html)
Notice pattern of mass transport
Away from Gerry to Hape
Interactions
Feb 11, 2003 Tropical Storms Gerry and Hape and Fiona
Feb 13, 2003 Hape,
Gerry And pre-Isha
Movimiento inercial
 Assumes that pressure gradients, wind stress, and friction are either
negligible or cancel.
 The only ‘force’ acting on a body is the Coriolis force
du
f v
dt
dv
f u
dt
 The motion resulting from these equations is circular:
 Speed: V = (u2 + v2)0.5
 Radius: r = V / f
 Period: T = 2 / f
 There is considerable motion on these time scales (albeit probably due
to internal waves).
Examples of Inertial Motion
 Inertial currents in the North Pacific in October 1987 (days 275-300) measured by

holey-sock drifting buoys drogued at a depth of 15 meters. Positions were observed
10-12 times per day by the Argos system on NOAA polar-orbiting weather satellites
and interpolated to positions every three hours. The largest currents were generated by
a storm on day 277. Note: these are not individual eddies. The entire surface is
rotating. A drogue placed anywhere in the region would have the same circular
motion. From van Meurs (1998).
http://oceanworld.tamu.edu/resources/ocng_textbook/chapter09/Images/Fig9-1.htm
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