Aplicaciones de la Integral
Volúmenes
Longitudes de Arco
Áreas de Superficies
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Resumen de Fórmulas
t
Volúmenes por secciones
V 
2

At dt , At= área de la sección
t
1
b
Longitud
de arco
l 


1  f x
2
dx
a
Longitud de una curva en
paramétricas
t
l 
2

   y  t  dt
x t
2
2
t
1
b
Área de un cuerpo de revolución
A  2


f x
a
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.

1  f x
2
dx
Resumen de Fórmulas
Área limitada por la gráfica de una función
y el eje X.
Área entre las gráficas de las funciones
f(x) y g(x)
b
A 
  dx

f x
a
b
A 
    dx

f x g x
a
b
Volumen de un cuerpo de revolución
V  
 f x 
2
dx
a
Volumen de un cuerpo de revolución haciendo
girar el área entre dos gráficas f y g positivas
alrededor del eje X
b
V  

   g x 
f x
a
b
Volumen por conchas
V  2
x
a
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
2
  dx
f x
2
dx
Listado de Problemas 1/2
1
La parte inferior de un sombrero es un disco de radio r con centro en el
origen. Cada intersección del sombrero con un plano perpendicular al eje
x es un semicírculo. Calcular el volumen del sombrero.
2
Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar el
área que encierra la gráfica de la función f(x) = x − x2 y el eje X, sobre
dicho eje.
3
Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene
al girar la función del Problema2 alrededor del eje Y.
4
Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene girando el
círculo (x − 2)2 + y2 =1 alrededor del eje X.
5
Calcular el volumen de un casquete de la pelota de ecuación
x2 + y2 + z2 ≤ r2 que se encuentra por encima del plano
z=r − h.
6
Calcular el volumen de la intersección entre los
cilíndros x2 + z2 ≤ 1 y y2 + z2 ≤1.
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Listado de Problemas 2/2
7
Determinar la longitud del arco de la gráfica de la función cosh(x)
en el intervalo [-1,1].
8
C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a
9
C a lc u la r la lo n g itu d d e la c u rv a
 ex  1 
y  ln  x
 ,1  x  2.
e

1


x
y 
10
11

t
4
 1 dt,1  x  3.
2
1
C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a
x
3
2
 y 3  1.
Calcular el área de la superficie obtenida al girar la curva
0 ≤ x ≤ 1, alrededor del eje X.
12 C a lcu la r e l á re a d e la su p e rficie o b te n i d a a l g ira r y 
a lre d e d o r d e l e je X .
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
x
2
y = x3 ,
 1, 0  x  1,
Cálculo de volúmenes
Problema 1
La parte inferior de un sombrero es un disco de
radio r con centro en el origen. Cada intersección
del sombrero con un plano perpendicular al eje x es
un semicírculo. Calcular el volumen del sombrero.
Este sombrero es una semiesfera de radio r. Por lo tanto el
volumen es la mitad del de una esfera de radio r
Para calcular el volumen del sombrero por
x
integración, cortamos con planos perpendiculares
al eje x como se indica en la imagen.
Solución
La sección es un semicírculo de radio (r2-x2) ½.
El área de dicha sección es A(x)= π(r2-x2)/2.
r
Conclusión
V 

r

 r  x
2
2

dx
r x
2

2
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
 x 
3

r
 
2 3 
r
2 r
3
3
Cálculo de volúmenes
Problema 2
Solución
Calcular el volumen del cuerpo de revolución que
se obtiene al girar el área que encierra la gráfica de
la función f(x) = x − x2 y el eje X, sobre dicho eje
El dibujo muestra la función y el cuerpo de revolución.
El volumen se puede calcular
directamente con la fórmula.
Los límites de integración se
obtienen resolviendo la
ecuación x – x2 = 0.
Para integrar desarrollamos el producto
1
Conclusión
V 
  x  x
0
2
 dx
2

x
5
5

Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
x
2
4
x 
3

1

 
3 
30
0
Cálculo de volúmenes
Problema 3
Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenido al
girar la función del Problema 2 alrededor del eje Y.
Solución 1
Podemos calcular el volumen de dos maneras: con la
fórmula básica y la fórmula de las conchas(más fácil).
El dibujo nos muestra la función que gira y el cuerpo de revolución.
D e sp e ja m o s x e n fu n ció n
de y en y  x  x
x 
1
2

1 4y
2
x
1
2

1 4y
2
x
1
2

1 4y
2
:
.
2
Para calcular el volumen utilizamos la fórmula despejando x en función de
y. Calculamos primero el volumen del cuerpo que se obtiene haciendo girar
la curva azul entre el eje X, el eje Y, y la recta y=1/4 alrededor del eje Y. A
lo obtenido hay que restarle el volumen obtenido al girar la curva roja.
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Cálculo de volúmenes
Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenida al
girar la función del Problema 2 alrededor del eje Y.
Problema 3
Solución 1
(continuación)
Calculamos el volumen en dos pasos.
Primero calculamos V1 obtenido al girar el dominio que hemos
descrito antes sobre el eje Y. Después le restamos V2 que
corresponde al volumen engendrado al girar la curva roja.
1
1
V1     
2
0
4
1
2
1 4y 
 dy
2

1
V2     
2
0
4
1 4y 
 dy
2

V  V1  V 2
1
1
   
2
0
4
2
1 4y 
 dy 
2

1
1
 2 

0
4
2
2
1 4y 
 dy
2

Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Cálculo de volúmenes
Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenida al
Problema 3 girar la función del Problema 2 alrededor del eje Y.
Solución 1
(continuación)
Se tiene que:
1
1
V  V1  V 2     
2
0
4
1
2
1 4y 
 dy 
2

1
 2 

0
4
1 4y 
 dy
2

Para simplificar desarrollamos los productos y
combinamos las integrales. Se obtiene
1
4
V 

0
 1  4 y 
3 2
1  4 y dy
 
6
1
 4
  

6
0
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
2
Cálculo de volúmenes
Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenida al
girar la función del Problema 2 alrededor del eje Y.
Problema 3
Usando la Fórmula de las conchas el
cálculo es mucho más fácil :
Solución 2 (por
conchas)
1
V  2

x f  x  d x  2
0
1

x x  x
2
 dx
0
x
x 
 2 


4 
 3
3
4
1
0
1
 2
x
0
 1 1 
 2    
6
 3 4
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
2
x
3
 dx
Cálculo de volúmenes
Problema 4 Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se
obtiene girando el círculo (x − 2)2 + y2 =1 alrededor del
eje Y.
Solución
El primer paso es hacer un buen dibujo del
cuerpo del que queremos calcular el volumen.
A la izquierda
vemos el círculo
que va a girar
alrededor del eje Y
creando la figura de
la derecha (toro)
El volumen se puede calcular de dos maneras. Aquí vamos a
utilizar el método del volumen por secciones.
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Cálculo de volúmenes
Problema 4
Solución
(continuación)
Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se
obtiene girando el círculo (x − 2)2 + y2 =1 alrededor del
eje Y.
Cortamos el cuerpo por planos z = t, -1 ≤ t ≤ 1.
El corte creado en
el toro es el anillo
amarillo que se ve
a la derecha.
t
1 t
2
1
En el plano XZ, el plano z = t corresponde a
la línea azul de la derecha. La porción de la
línea azul dentro del círculo rojo es el ancho
del anillo amarillo . Usando esto podemos
calcular el área de la sección.
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Cálculo de volúmenes
Problema 4
Solución
(continuación)
Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene
girando el círculo (x − 2)2 + y2 =1 alrededor del eje Y.
Cortamos el toro por planos, z = t, -1 ≤ t ≤ 1.
t
1 t
1 t
2
2
2
1 t
2
1
2
La línea azul es la
intersección de
z=t con el plano
XZ.
Á rea de la sección
E l a n illo tie n e ra d io in te rio r
2 

  2 
1t
1 t
2

2
2
y ra d io e x te rio r 2 

 2 
1t
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
2

2
2
1  t .
 8 1  t
2
Cálculo de volúmenes
Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene
girando el círculo (x − 2)2 + y2 =1 alrededor del eje Y.
Problema 4
Para obtener el volumen V del toro, simplemente
integramos el área de una sección arbitraria.
Solución
(continuación)
Á re a d e la s e c c ió n
 8 1  t
1 t
1
V o lu m e n

 8
1t
2
2
2
dt
1 t
2
1
1
 8

1
1t
2
dt  8 

2
 4
2
U tiliz a n d o la o b se rv a ció n d e q u e
2

1
1
u n se m icírcu lo d e ra d io 1 . P o r ta n to
1 t

1
1
2
d t e s e l á re a d e
1 t
2
dt 

2
.
Esta integral se puede resolver con un cambio de variable (t=senu)
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
2
Cálculo de volúmenes
Problema 5
Calcular el volumen del casquete de una pelota
x2 + y2 + z2 ≤ r2 que se encuentra por encima del
plano z=r − h.
Solución
El volumen que nos interesa es el
que está por encima del corte de la
pelota con el plano z = r − h.
Cortamos el cuerpo por planos
paralelos al rojo del dibujo.
El corte por el plano z = t es un disco de radio (r2-t2)1/2. Por
tanto el área de la sección es π(r2 − t2).
r
r
Conclusión
V 
 
 r t
r h
2
2
dt
3
3
t 
h
2
 r t  
  rh 

3 
3
r h
2
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Cálculo de volúmenes
Problema 6
Calcular el volumen de la intersección de los
cilindros x2 + z2 ≤ 1 y y2 + z2 ≤1.
El dibujo de la derecha nos muestra la
figura de la que queremos calcular el
volumen.
La clave para poder calcular el
volumen es cortar los cilindros de
forma adecuada.
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Cálculo de volúmenes
Problema 6
Calcular el volumen de la intersección de los
cilindros x2 + z2 ≤ 1 y y2 + z2 ≤1.
Solución
Cortamos el cuerpo por planos z = t como se muestra en el dibujo.
El corte de uno de los cilindros por el plano
rojo es una banda de anchura 2(1 − t2)1/2.
Las bandas correspondientes a los dos
cilindros son perpendiculares, y su intersección
es un cuadrado de lado 2(1 − t2)1/2.
Por tanto el área de una sección es 4(1 − t2).
1
Conclusión
V 
 4 1  t
1
2
dt
1
t 
16
 4t  4  
3 
3
1
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
3
Cálculo de longitudes de arco
Determinar la longitud del arco de la gráfica de la función
cosh(x) en el intervalo [-1,1].
Problema 7
Solución
Es una aplicación directa de la fórmula la longitud del arco.
L a lo n g itu d d e l a rco ro jo e s
1
L 

1
1
L 

2
 d co sh (. x ) 
1 
 dx
dx



  dx
1  s in h x
2
1
1

 c o s h x d x
1
1
1

 s in h x
 s in h 1  s in h 1  e 
 1
e


Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
 
Cálculo de longitudes de arco
Problema 8
Solución
 ex  1 
y  ln  x
 ,1  x  2.
e

1


C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a
Esta es una aplicación directa de la fórmula.
La longitud la da la integral
2
L 

1

1  D


  ex  1  
 ln  x
  
e

1

 
2
dx.
Vamos a tratar primero la expresión bajo la raíz cuadrada.
  ex  1 
 ex  1
1
D  ln 
D
  x

x
x
e  1  e  1
  e  1 

e
x
 1 e
x
e 1
x
e 1
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
x

e
x
x
x

1 e  e
1
2
e
x
1

Cálculo de longitudes de arco
Problema 8
C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a
Simplificando la expresión de la raíz cuadrada
Solución
(continuación)
  ex  1 
D  ln 

x
  e  1 

e
2x
e
 ex  1 
y  ln  x
 ,1  x  2.
e

1


x

e e
2x
x
x
1
e
  ex  1 
1  D  ln 

x
e

1



2
e
 1 e
x

e
x
x


e
x
x
x

1 e  e
e 1
e
1
x
2 e
x
1
1

x
1

2
x
e

x
2 e
1 
 ex  1 ex  1


e
x
1





2

e


Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
x
  4 e 
e  1 e  1 
1
e
x
x
2
1
x
x
2
2
Cálculo de longitudes de arco
Problema 8
Solución
(continuación)
C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a
Simplificando la expresión dela raíz cuadrada.
  e  1 
1  D  ln 

x
  e  1 
x
2
e


x
  4 e 
e  1 e  1 
1
2
2x
x
e
x
e   2 e  1  4 e 


e  1 e  1 
2x
 ex  1 
y  ln  x
 ,1  x  2.
e

1


x
x
2
2
x
2
1
x
2
2
x
e  2e 1


e  1 e  1 
2x
x
2
e
2x
x
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
2

e
x
2x
1
1
e
x

2
1

2
Cálculo de longitudes de arco
Problema 8
C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a
 ex  1 
y  ln  x
 ,1  x  2.
e

1


Solución
(continuación)
Conclusión:
  e  1 
1  D  ln 

x
  e  1 
x
2
e  1



.
e  1 e  1  e   1
e
x
2x
1
x
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
x
x
2
2
Cálculo de longitudes de arco
Problema 8
C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a
Solución
(continuación)
Entonces se tiene que:

2
  e  1 
1  D  ln 
  dx 
x
  e  1 
x
2
1
sustituyendo:
x
 ex  1 
y  ln  x
 ,1  x  2.
e

1


e   1 dx
e   1
x

2
1
x
t  e , dt  e dx , dx 
x
dt
.
2

1
2
t
2
x  1  t  e, x  2  t  e .
Nuevos límites de integración:
2
2
  ex  1 
1  D  ln 
  dx 
x
  e  1 

e
2
e
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
2
t  1 dt
2
t 1 t
.
Cálculo de longitudes de arco
 ex  1 
y  ln  x
 ,1  x  2.
e

1


Problema 8
C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a
Solución
(continuación)
Descomponemos en fracciones simples:
2
t 1

2
t t 1
2


t 1


t t 1 t t 1


A
t

B
t 1


C
t 1
t  1  B t t  1  C t t  1 



t t  1 t  1 
A t  1 t  1  B t t  1  C t t  1 
t 1

t t  1 t t  1 
t t  1 t  1 
A t 1
2
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Cálculo de longitudes de arco
Problema 8
 ex  1 
y  ln  x
 ,1  x  2.
e

1


C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a
Solución
(continuación)
Descomposición en fracciones simples:
2
t 1


t t 1 t t 1
t
2

1
t t  1 t t  1

 A 1


B C  0

 AB C 1
A  1
B  C



A t 1
A
 B  C t
2
 B  C  t  A
t t  1 t  1
B 1
1  2B  1
t  1  B t t  1  C t t  1 
t t  1 t  1 
C 1
2
t 1

2
t t 1
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.


1
t 1

1
t 1

1
t
Cálculo de longitudes de arco
Problema 8
Solución
C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a
Conclusión:
2

2
1
 ex  1 
y  ln  x
 ,1  x  2.
e

1


  ex  1 
1  D  ln 
  dx 
x
  e  1 

e
e
2
2
t  1 dt
2
t 1 t
e
  ln t  1  ln t  1  ln t 

e

 ln e
2
 
 1  1
2



e
e
2
 1
1
1

  dt

t 1 t 1 t
2
 


 
 ln e  1  ln e  1  2  ln e  1  ln e  1  1
Respuesta
2
La longitud de la curva es ln(e2 + 1) − 1.
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Cálculo de longitudes de arco
Problema 9
C a lc u la r la lo n g itu d d e la c u rv a
x
y 

t
4
 1 dt,1  x  3.
1
Solución
Por el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene:
y 
x
4
 1.
P o r ta n to ,
3
3
L o n g itu d d e a rco

2
1  y  dx 

1

1
1
x
3
x 
1
2


9


8

3 
3
3
1
3
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
 dx   x
2
4
1
3
1
2
dx
Cálculo de longitudes de arco
2
x
2
Problema 10
C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a
Solución
Observemos que la curva es simétrica con respecto
a los ejes X e Y. La representación de la curva
puede hacerse a través de un sistema informático
(CAS).
3
 y 3  1.
2
L a p a rte a z u l d e la cu rv a e s la g rá fica d e la
2
x3  y3  1
3
fu n ció n
f x 
2


3
1  x  .


La expresión de f se obtiene despejando y en función de x de la
ecuación de la curva.
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Cálculo de longitudes de arco
2
Problema 10
Solución
(continuación)
C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a
x
3
2
 y 3  1.
La fórmula de longitud de arco nos da una integral
cuyo resultado es la longitud del arco azul.
2
1
L 

2
x3  y3  1
2
1  f  x  dx
0
3
donde f  x  
2


3
1  x  .


Después simplificamos la expresión que está en la raíz cuadrada en
la fórmula de la longitud de arco.
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Cálculo de longitudes de arco
2
Problema 10
Solución
(continuación)
C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a

f x 
2


3
1  x 


3
x
3
2
 y 3  1.
3
2

2
3
 1  x 


2
x3  y3  1
1
2
 2  2 1 
3
3
f x 
x 3
1  x   
2 
  3


1
2

 2 1
  1  x 3  x 3



1  f x
2
2

 2
 1  1  x 3  x 3


Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
2
 x

2
3
Cálculo de longitudes de arco
2
Problema 10
Solución
(continuación)


1
0
x

C a lcu la r la lo n g itu d d e la cu rv a

1
0

1  f x
1
3
dx  lim
a 0 
3 3 a
 lim  

a 0   2
2 

Respuesta

1
a

x
3
2

.
dx 

1
0
x

2
 y 3  1.
2
3
dx
1
1
3
2
x
3
dx
2
2
x3  y3  1
3 2 
 lim  x 3 
a 0 
 2
 a
Esta es la longitud del arco azul. La longitud
total es cuatro veces la longitud del arco azul.
La longitud de la curva es seis unidades de
longitud.
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Áreas de superficies
Calcular el área de la superficie obtenia al girar y=x3,
0 ≤ x ≤ 1, alrededor del eje X.
Problema 11
Solución
Es un cálculo directo usando la fórmula del área. Se
obtiene:
1
A rea  2 
 f x 
1
  dx  2   x
1  f x
2
0
3
1  9x
0
Con el cambio de variable
t = 1 + 9x4.
10
 2

1

t
36
5 10
27

dt
1
54
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
4
dx
Áreas de superficies
C a lcu la r e l á re a d e la su p e rficie o b te n ia a l g ira r y 
Problema 12
0  x  1, a lre d e d o r d e l e je X .
Solución
Este es un cálculo sencillo utilizando la fórmula para el
área. Se tiene que:
1
Á rea  2 

2
f  x  1  f   x  d x  2
0
2
1
2

x

1  2x
0
1
 2
Simplificando


2x
1 1 
 dx
2
2 x  1 
2
dx
0
Utilizando el cambio de variable 2x2=sinh2(t).
arcsinh
 2

0
 2  co sh2
2
t dt  2  



12
4

18
12
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
ln

3 


2 
x
2
 1,
Fórmulas: Áreas y volúmenes
Área entre una curva y eje X
b
  dx

A 
f x
a
Área entre la gráfica de dos
funciones f(x) y g(x), a≤x≤b:
b
A 

    dx
b
a
f
f
g
f x g x
a
a
b
Volumen de un cuerpo de revolución obtenido al girar la región
encerrada por la gráfica de una función f, entre a y b y el eje X,
alrededor de este mismo.
b
V  
 f x 
2
dx
a
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
Fórmulas: Volúmenes
El volumen del sólido de revolución
obtenido al girar la región entre las
gráficas de las funciones no
negativas f (x) y g (x), a ≤ x ≤ b,
alrededor del eje x.
b
V  


f x
2

g x
2
f
g
a
b
El sólido está limitado por las
superficies de revolución se muestra
en la imagen.
dx
a
Volumen de un sólido de revolución
obtenido al girar la región limitado por la
gráfica de una función no negativa f (x),
0 ≤ a ≤ x ≤ b, y el eje X alrededor del
eje X.
b
V  2
 x f x dx
a
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
f
b
a
Fórumas: longitud de arco
f
La longitud del arco de la gráfica de
f, a ≤ x ≤ b:
b
l 


1  f x
2
dx
a
a
La longitud de arco de la
gráfica de la curva de
ecuaciones paramétricas
(x(t),y(t)), t1 ≤ t ≤ t2:
t
l 
2

   y  t  dt
x t
2
2
(x(t2),y(t2))
(x(t1),y(t1))
t
1
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
b
(x(t),y(t))
Fórmulas: Área de un cuerpo de revolución
f
El área de la superficie de revolución
obtenida al girar la gráfica de la
función f (x), a ≤ x ≤ b, alrededor del
eje X es:
b
A  2


f x

1  f x
2
dx
a
Longitudes, áreas y volúmenes. Problemas
resueltos.
a
b
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa
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Problemas resueltos