Instituto Tecnológico de Costa Rica
REGLAS DE SIMPSON
Métodos Numéricos
AGENDA

Regla de Simpson




Introducción
De 1 / 3
De 3 / 8
Desarrollo de problemas


Manualmente
Mediante Matlab
Regla de Simpson



Es un método para estimar el resultado de una
integral.
Es una mejor aproximación a la regla
Trapezoidal, sin incurrir en un mayor número
de subdivisiones.
Ajusta una curva de orden superior en lugar
de una línea recta como en la regla
trapezoidal
Regla Trapezoidal
Polinomio de primer orden
Error
o
o
a
b f(x) dx  ( b  a ) f (a )  f ( b )
a
2
b
= ancho* altura promedio
Regla Trapezoidal
o
o
o
a
b
Dos segmentos
Regla Trapezoidal
o
o
o
o
o
o
o
a
b
Tres segmentos
o
Regla de Simpson (1/3)
Aproximación a la Regla trapezoidal.
Polinomio de Segundo orden
o
Regla trapezoidal
o
o
a
a
b
b
b f(x) dx  h f ( x 0 )  4f ( x 1)  f ( x 2 )=
a
3
ancho* altura promedio
Regla de Simpson (3/8)
Polinomio deRegla
tercer
orden
trapezoidal
o
o
o
o
o
a
3h
b
f ( x 0 )  3f ( x 1)  3f ( x 2)  f ( x 3 )
a f(x) dx 
8
o
a
o
o
b
b
= ancho* altura promedio
Problemas

“Descripción del problema 1”
Se tiene un sistema magnético en un transformador, en
donde la energía se almacena en la inductancia.
Recordemos que la energía en este caso está relacionada
con el enlazamiento de flujo λ y sabemos que la corriente en
función de los enlazamientos de flujo es: i(λ) = (λ/2-10)5.
Determine la energía almacenada en la inductancia desde
λ=20, hasta λ=25Wb. Además encuentre el error estimado
usando la regla de Simpson.
Problemas

“Solución Matemática problema 1”
La energía está dada por la siguiente ecuación:
w


id 
0
Sustituyendo la ecuación anterior en la integral:
w 


0
(  / 32  25  / 8  125   2500   25000   100 k ) d 
5
4
3
2
Problema 1
Utilizando el método de Simpson 1/3, hacemos la siguiente aproximación:
w  (b  a )
i  0   4 i 1   i (  2 )
(2)
6
Determinación de puntos:
i  0   i  20   0
i  1   i  22 . 5   9 . 9603 
i  2   i  25  
3125
3125
 3 . 05176
1024
 97 . 6563
32
Sustituyendo en (2)
w  ( 25  20 )
 3125   3125 
0  4


 1024   32 
6
Problema 1
w  91 . 55273437
El error de truncamiento o error estimado en este ejemplo está dado por la ecuación:
Et  
(b  a )
5
 f
4
2880
 
(3)
Hacemos la siguiente aproximación:
b
i
(4)
  
i
(4)
 d 
(4)
a
ba
Problema 1
Derivando la expresión:
i (  )   / 32  25  / 8  125   2500   25000 x  100000
5
4
3
2
i ' (  )  5  / 32  25  / 2  375   5000   25000
4
3
2
i ' ' (  )  5  / 8  75  / 2  750   5000
3
2
1
i ' ' ' (  )  15  / 8  75   750
2
i
(4)
(  )  15  / 4  75
Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (4) y colocando los límites de integración se
obtiene:
i
(4)
  
75
8
 9 . 375
Problema 1
Ya obtenido el valor anterior sustituimos en la ecuación (3) para encontrar el error.
Et 
( 25  20 )
2880
5

75
8
Et  10 . 1725
Si derivamos de manera analítica la solución es: 81.3802083333.
Si restamos el valor real menos el aproximado obtenido con la regla de SImpson se obtiene: .
91 . 55273437
 81.3802083
En este caso se concluye que el error es el mismo.
333  10 . 1725
Problemas

“Descripción del problema 2”
Utilice la regla de 1/3 Simpson para evaluar la doble integral.
a d (x)
I 
  sin(
x  y ) dydx
b c(x)
Los límites de integración son: a=1, b=3, c(x)= ln(x), d(x)= 3 + exp(x/5).
Problema 2

“Solución matemática problema 2”
Para aplicar la regla de Simpson puede hacer la siguiente sustitución:
3  exp(x/5)
 sin(
f ( xi ) 
xi  y ) dy
ln(x),
Por lo que se obtiene:
3
I 

f ( xi ) dx
1
Aplicando la regla de Simpson se obtiene:
I  (b  a )
f  x 0   4 f  x1   f ( x 2 )
6
Problema 2
Los puntos son los siguientes:
X0 = 1; X1= 2 ; X2=3
Por lo tanto sustituyendo (*) en (**). Obtenemos:
3  exp(x/5)
 sin(
I  (b  a )
3  exp(x/5)
 sin(
xi  y ) dy  4
ln(x),
3  exp(x/5)
 sin(
xi  y ) dy 
ln(x),
xi  y ) dy
ln(x),
6
3  exp(1/5)
 sin( 1 
I  ( 3  1)
ln(1),
3  exp(2/5)
y ) dy  4
 sin(
3  exp(3/5)
2  y ) dy 
ln(2),
 sin(
ln(3),
6
3  y ) dy
Problema 2
4 . 2214
I1 
 sin( 1  y ) dy
 0 . 06458
0,
3  exp(2/5)
I2 
 sin(
4 . 4918
ln(2),
4 . 8211
 sin( 3 
ln(3)
I  ( 3  1)
2  y ) dy   2 . 1086
0.6931
3  exp(3/5)
I3 
 sin(
2  y ) dy 
y ) dy 
 sin( 3 
y ) dy   0 . 67454
1.0986
0 . 064581  4 (  2 . 1086 )   0 . 67454
6
I   3 . 0148
Problemas

“Solución en Matlab problema 2”
Problemas

“Descripción del problema 3”
El circuito de la figura 1 corresponde al de un amplificador
operacional conectado como integrador. La ecuación que relaciona
el voltaje de salida con el voltaje de entrada es la siguiente:
V sal  
1
R1  C f
t
V
S
 dt  Vc f ( 0 )
0
Si , R1 = 100 kohm, Cf = 4.7uF
y Vc = 2V. Calcule el voltaje
de salida en t de 0 a 0.8
segundos.
Figura 1 Amplificador operacional
conectado como un integrador.
Problema 3
a) Solución del problema en forma analítica:
V sal  
0 .8
1
100000  ( 4 . 7  10
6
)
 5  sen ( 2 t ) dt
0
0 .8
 5  sen ( 2 t ) dt
 2 . 573
0
V sal   7 . 47447
2
Problema 3
b) A continuación se muestra la solución del problema utilizando la Regla de Simpson:
Determinación de los puntos
f ( 0 )  5  sen ( 2  0 )  0
f ( 0 . 2 )  5  sen ( 2  0 . 2 )  1,94709171
f ( 0 . 4 )  5  sen ( 2  0 . 4 )  3,58678045
f ( 0 . 6 )  5  sen ( 2  0 . 6 )  4,66019543
f ( 0 . 8 )  5  sen ( 2  0 . 8 )  4,99786802
Problema 3
Si n = 4, para obtener la integral se utiliza la regla de Simpson 1/3, aplicación múltiple.
La primera sumatoria va de i=1,3,5 a n-1 y la segunda de j=2,4,6 a n-2
I  (b  a )
f ( x0 )  4   f ( xi )  2 f ( x j )  f ( xn )
3n
I  ( 0 .8  0 )
0  4  (1 . 94709171  4 . 66019543 )  2  ( 3 . 58678045 )
34
I  2 . 57337183
Por lo tanto el voltaje de salida es:
V sal   2 . 12766  I  2
V sal   7 , 47526
Problema 3
El error exacto es:
Et 
 7 . 47447  (  7 . 47526 )
 7 . 47447
 100  0 . 01 %
El error estimado se calcula como:
Et  
Como
f
(4)
1
f
 f
(4)
( ) 
( ) h
5
90
 80 sen ( 2 x )
b

(4)
0 .8
f
(4)
 80  sen ( 2 x )  dx
( x )  dx
a
ba

0
0 .8  0
 51 . 46
Problema 3
Así:
Et  
1
90
 51 . 46  0 . 4   0 . 005855
5
Problemas

“Solución en Matlab problema 3”
Regla de Simpson 3/8
Por cálculos
Programado

Problema # 1
Datos tabulados

Para los datos de
máximo punto del
volumen en un
tanque, tabulados en
una fábrica de jugos y
medidos por un
sensor cada cierto
tiempo
t
f(t)
1,6
4,593
1,8
6,05
2
7,389
2,2
9,025
2,4
11,023
2,6
13,464
2,8
16,445
3
20,066
3,2
24,533
3,4
29,964
Integrar con trapecio de segmentos
múltiples




n-1
I = (b-a)[2∑ f(xi) + f(xn)]/2n
i=1
I = (3,4-1,6) 4,593+2*(108,015 +29,964)
2*18
I = 25,0547
Aplicando Simpson 3/8







I1 = (0,6)*4,593+3(6,050)+3(7,389)+9,025
8
I1 = 4,045125
I2 = (0,6)*9,025+3(11,023)+3(13,464)+16,445
8
I2 = 7,4198
I3 =(0,6)*16,445+3(20,086)+3(24,533)+29,964
8
I3 = 13,1449
I = 24,6099
Problema # 2 –Chapra
Con la regla de
Simpson de 3/8
integre la función
f(x)= 0,2+25x200x2+675x3900x4+400x5.
Desde a = 0 hasta
b= 0,8.

Resolución del problema



n = 3 → h = 0,8-0 = 0,2667, entonces,
3
f(0) = 0,2 f(0,2667)= 1,433
f(0,5333) = 3,487 f(0,8) = 0,232
I = 0,8*0,2+3(1,432724+3,487177+0,232
8
I = 1,519170.
Errores en el problema






Error de truncamiento:
Et = 1.640533 – 1,519170 = 0,1213630
Et = 7,4%
Para un error estimado de:
Ea= -(0,8)2*(-2400)
6480
Ea = 0,1213630.
Problema #3 - programado
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
<iostream.h>
<iostream.h>
<stdlib.h>
<stdlib.h>
<stdio.h>
<conio.h>
<math.h>
int Lee_Datos(void);
int
Nseg;
float a,b;
double Xi;
float X[10];
float Fx[10];
int main (void)
{
int
i;
float Base;
double Area;
double SumMulti = 0;
double SumResto = 0;
Lee_Datos();
Base = (b-a)/Nseg;
Xi = a;
Encabezados
printf("\nDatos Tabulados.......");
printf("\n-------------------------");
printf("\n| i | Xi | Funcion");
printf("\n-------------------------");
printf("\n| 0 | %.2f | %.4lf",a,Fx[0]);
Inicia Proceso (Calculo de Sumatorias)
for ( i=1; i<Nseg; i++)
{
Xi += Base;
if ( i == (i/3)*3 )
SumMulti += 2*Fx[i];
else
SumResto += 3*Fx[i];
printf("\n| %2d | %.2f | %.4lf",i,Xi,Fx[i]);
}
printf("\n| %2d | %.2f | %.4lf",Nseg,b,Fx[i]);
Aplicación de la Fórmula
Area = 3*(b-a)/(8*Nseg)*( Fx[0] + SumMulti +
SumResto + Fx[Nseg]);
printf("\n------------------------------------------");
printf("\n Area bajo La Curva es =>
%.8lf",Area);
getche();
}
*
int Lee_Datos(void)
{
printf("\n Numero de Segmentos (Multiplo de 3)
=");
scanf("%d",&Nseg);
printf("\n Valor de a =>");
scanf("%f",&a);
printf("\n Valor de b =>");
scanf("%f",&b);
Cambiar valores aqui
X[0] = 0;
F x[0]= 0;
X[1] = 2;
F x[1]= 4;
X[2] = 4;
F x[2]= 16;
X[3] = 6;
F x[3]= 36;
X[4] = 8;
F x[4]= 64;
X[5] = 10; F x[5]= 100;
X[6] = 12; F x[6]= 144;
Descargar

Presentación Método