Slides Prepared by
JOHN S. LOUCKS
St. Edward’s University
© 2002 South-Western /Thomson Learning
Slide 1
Capítulo 4
Introducción a la probabilidad





Experimentos, espacio de una muestra y reglas de
conteo
Eventos y su probabilidad
Algunas relaciones básicas de probabilidad
Probabilidad condicional
Teorema de Bayes
Slide 2
Probabilidad (Pág. 127)





La probabilidad es una medida numérica de que un
evento ocurra.
Los valores de probabilidad de se asignan siempre en
una escala de la 0 a1.
la probabilidad cercana a 0 indica que un evento es
muy poco probable que ocurra .
La probabilidad cercana a 1 indica que es casi seguro
que un evento ocurra.
la probabilidad de 0.5 indica que la ocurrencia del
evento es tan probable de que ocurra como de que no
ocurra.
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La probabilidad como medida numérica de la
certeza de su ocurrencia (Pág. 128)
Incrementando la Certeza Occurrence
Probabilidad:
0
.5
1
La ocurrencia de un evento
tiene uncerteza de que ocurra
como de que no ocurra.
Slide 4
4.1. Experimento, Espacio de una Muestra y
Reglas de Conteo (Pág. 127)

Un experimento es cualquier proceso que genere
resultados bien definidos.

El espacio muestral para un experimento es el
conjunto de todos los resultados experimentales,
posibles.

El punto muestral es un elemento del espacio de
muestral, cualquier resultado experimental
particular.
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Ejemplo: Inversiones Bradley
Bradley han invertido en dos acciones, Aceites
Markley y Minera Collins. Bradley ha determinado
que los resultados posibles de estas inversiones, tres
meses de ahora son como sigue .
Aumento o pérdida de la inversión
en 3 meses (en $000)
Aceites Markley
Minera Collins
10
8
5
-2
0
-20
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Una regla de conteo para experimentos de etapas múltiples
(Pág. 128)


Si un experimento consiste en una secuencia de k
pasos en los cuales hay n1 resultados posibles para el
primer paso, n2 resultados posibles del para el
segundo paso, y así sucesivamente, entonces el
número total de resultados experimentales es dado
por (n1)(n2) . . . (nk).
Una representación gráfica provechosa de un
experimento de etapas múltiples es un diagrama del
árbol.
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Ejemplo: Inversiones Bradley

Una regla de conteo para experimentos de
etapas múltiples
Las Inversiones de Bradley se pueden ver como
experimento de dos etapas; implica dos acciones,
cada uno con un conjunto de resultados
experimentales posibles. .
Aceite Markley:
Minera Collins:
Número total de
resultados
experimentales:
n1 = 4
n2 = 2
n1n2 = (4)(2) = 8
Slide 8
Ejemplo: Inversiones Bradley

Diagrama del árbol
Aceites Markley Minera Collins
(Etapa 1)
(Etapa 2)
Gana 8
Gana 10
Gana 8
Gana 5
Empata
Pierde 20
Pierde 2
Pierde 2
Gana 8
Resultados
Experimentales
(10, 8)
Gana $18,000
(10, -2)
Gana $8,000
(5, 8)
Gana $13,000
(5, -2)
Gana $3,000
(0, 8)
Gana $8,000
Pierde 2 (0, -2)
Gana 8
(-20, 8)
Pierde 2
Pierde $2,000
Pierde $12,000
(-20, -2) Pierde $22,000
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Regla de Conteo para Combinaciones (Pág. 130)
Otra regla de conteo útil nos permite contar el
número de resultados experimentales posibles
cuando n objetos van a ser seleccionados de un
conjunto Nde objetos.
Número de combinaciones de N objetos tomando n
a la vez
N
Cn
N!
 N
  
 n  n !( N  n )!
where N! = N(N - 1)(N - 2) . . . (2)(1)
n! = n(n - 1)( n - 2) . . . (2)(1)
0! = 1
Slide 10
Regla de Conteo para Permutaciones (Pág. __)
Un tercera útil regla de conteo nos permite contar el
número de resultados experimentales posibles cuando n
objetos son seleccionado de un conjunto de N objetos y
donde es importante el orden de la selección.
 Número de permutaciones de N objetos tomados n a
la vez
N
Pn
N!
 N
 n !  
 n  (N  n )!
Slide 11
4.2. Asignando Probabilidades (Pág. 133)



Método clásico
Asigna probabilidades basadas en la suposición
de resultados igualmente probables.
Método de la frecuencia relativa
Asigna probabilidades basadas en
experimentación o datos históricos.
Método subjetivo
Asigna probabilidades basadas en el juicio del
asigandor.
Slide 12
Método Clásico (Pág. 134)
Si un experimento tiene n resultados posibles, este
método asignará una probabilidad de1/n para cada
resultado .
 Ejemplo
Experimento:
Rodar un del dado
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilidades:
Cada punto de la muestra
tiene una probabilidad de
ocurrir de 1/6.
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Ejemplo: Alquiler de Herramienta de Lucas

Método de la Frecuencia Relativa
Lucas quisiera asignar probabilidades al número
de pulidores de piso que alquila por día. Los
expedientes de la oficina muestran las siguientes
frecuencias de rentas diarias para los 40 últimos días.
Número de
Pulidores Rentados
0
1
2
3
4
Número
de Días
4
6
18
10
2
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Ejemplo: Alquiler de Herramienta de Lucas

Método de la frecuencia relativa
Las asignaciones de la probabilidad se obtienen
dividiendo las frecuencias de los numero de días
entre la frecuencia total (número total de días).
Número de
Pulidores Rentados
0
1
2
3
4
Número
de Días
4
6
18
10
2
40
Probabilidad
.10 = 4/40
.15 = 6/40
.45 etc.
.25
.05
1.00
Slide 15
Método Subjetivo (Pág. 135)



Cuando las condiciones económicas y las
circunstancias de una compañía cambian
rápidamente puede ser inadecuado asignar
probabilidades basadas solamente en datos
históricos.
Podemos utilizar cualquier dato disponible así como
nuestra experiencia e intuición, pero un valor de la
probabilidad debe expresar, en última instancia,
nuestro grado de creencia de que ocurra el resultado
experimental ocurrirá.
Las mejores estimaciones de la probabilidad son
obtenidas a menudo combinando las estimaciones
del procedimiento del método clásico o de la
frecuencia relativa con las estimaciones subjetivas.
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Example: Bradley Investments
Aplicando el método subjetivo, un analista hizo las
siguientes asignaciones de probabilidad.
Resultado del experimento
( 10, 8)
( 10, -2)
( 5, 8)
( 5, -2)
( 0, 8)
( 0, -2)
(-20, 8)
(-20, -2)
Ganancia/Perdida Neta
$18,000
$8,000
$13,000
$3,000
$8,000
$2,000
$12,000
$22,000
Ganancia
Ganancia
Ganancia
Ganancia
Ganancia
Perdida
Perdida
Perdida
Probabilidad
.20
.08
.16
.26
.10
.12
.02
.06
Slide 17
Eventos y sus Probabilidad (Pág. 138)



Un evento es una coleccion de puntos muestrales.
The probabilidad de un evento es igual a la suma de
las probabilidades de los puntos muestrales en el
evento.
Si podemos identificar todos los puntos mustrales de
un experimento y asignar una probabilidad a cada
uno de ellos, entonces podemos calcular la
probabilidad de un evento.
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Ejemplo: Inversiones Bradley

Eventos y sus probabilidades
Evento M = Aceites Markley Rentable
M = {(10, 8), (10, -2), (5, 8), (5, -2)}
P(M) = P(10, 8) + P(10, -2) + P(5, 8) + P(5, -2)
= .2 + .08 + .16 + .26
= .70
Evento C = Minera Collins Rentable
P(C) = .48 (found using the same logic)
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Algunas Relaciones Básicas de Probabilidad (Pág. 142)

Hay algunas relaciones básicas de probabilidad que
pueden se usadas para calcular la probabilidad de
un evento sin conocimiento de las probabilidades de
los puntos maestrales.
• Complemento de un evento
• Unión de dos eventos
• Intersección de dos eventos
• Eventos mutuamente exclusivos
Slide 20
Complemento de un evento (Pág. 142)



El complemento de un evento A es definido como el evento
consistente de todos los puntos muestrales que no están en
A.
El complemento de A se denota por Ac.
El Diagrama de Venn abajo ilustra el concepto de
complemento.
Espacio muestral S
Event A
Ac
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Unión de Dos Eventos (Pág. 143)



La unión de dos eventos A y B es el evento que
contiene todos los puntos muestrales que están en A
y B o en ambos.
La unión se denota por A B.
La unión de A y B se ilustra abajo.
Espacio muestral S
Evento A
Evento B
Slide 22
Ejemplo: Inversiones Bradley

Unión de Dos Eventos
Evento M = Aceites Markley Rentable
Evento C = Minera Collins Rentable
M C = Aceites Markley Rentable
o Minera Collins Rentable
M C = {(10, 8), (10, -2), (5, 8), (5, -2), (0, 8), (-20, 8)}
P(M C) = P(10, 8) + P(10, -2) + P(5, 8) + P(5, -2)
+ P(0, 8) + P(-20, 8)
= .20 + .08 + .16 + .26 + .10 + .02
= .82
Slide 23
Intersección de Dos Eventos (Pág. 144)



La intersección de los eventos A y B es el conjunto de
puntos muestrales que están en ambos A y B.
La intersección se denota por A B.
La intersección de A y B es el área donde se traslapan
en la ilustración abajo.
Intersection
Event A
Sample Space S
Event B
Slide 24
Ejemplo: Inversiones Bradley

Intersección de Dos Eventos
Evento M = Aceites Markley Rentable
Evento C = Minera Collins Rentable
M C = Aceites Markley Rentable
y
Minera Collins Rentable
M C = {(10, 8), (5, 8)}
P(M C) = P(10, 8) + P(5, 8)
= .20 + .16
= .36
Slide 25
Ley de Adición (Pág. 144)


La Ley de Adición provee de una forma de calcular las
probabilidad de ocurrencia de un evento A o B o ambos.
La ley se describe así:
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A  B
Slide 26
Ejemplo: Inversiones Bradley

Addition Law
Aceites Markley o Minera Collins Rentables
Sabemos: P(M) = .70, P(C) = .48, P(M C) = .36
Entonces: P(M  C) = P(M) + P(C) - P(M  C)
= .70 + .48 - .36
= .82
Este resultado fue definido antes utilizando lka
definición de probabilidad de un evento.
Slide 27
Eventos Mutuamente Exclusivos (Pág. 146)

Se dice que dos eventos son mutuamente exclusivos
si los eventos no tienen puntos muestrales en comun.
Esto es, dos eventos son mutiamente exclusivos si,
cuando un evento ocurre, el otro no puede ocurrir.
Espacio
muestral S
Event A
Event B
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Eventos Mutuamente Exclusivos (Pág. 146)

Ley aditiva para eventos mutuamente exclusivos
P(A B) = P(A) + P(B)
Slide 29
4.5. Probabilidad Condicional (Pág. 148)



La probabilidad de un evento dado que otro evento a
ocurrido se llama probabilidad condicional.
La probabilidad condicional de A dado B se denota
por P(A|B).
Una probabilidad condicional se calcula como sigue:
P ( A| B ) 
P( A  B)
P( B)
Slide 30
Ejemplo: Inversiones Bradley

Probabilidad Condicional
Minera Collins Rentable dado que
Aceites Markley es Rentable
P (C | M ) 
P (C  M )
P( M )

. 36
. 51
. 70
Slide 31
Ley Multiplicativa (Pág. 152)


La Ley multiplicativa se usa para calcular la
probabilidad de una inteseccion de dos eventos.
La ley se escribe así:
P(A  B) = P(B)P(A|B)
Slide 32
Ejemplo: Inversiones Bradley

Ley Multiplicativa
Aceites Markley y Minera Coillins Rentables
We know: P(M) = .70, P(C|M) = .51
Thus: P(M  C) = P(M)P(M|C)
= (.70)(.51)
= .36
Este resultado es el mismo que se obtuvo usando la
definicion de probabilidad de un evento.
Slide 33
Eventos Independent ies (Pág. 152)

Eventos A y B son independientes si P(A|B) = P(A).
Slide 34
Eventos Independent ies (Pág. 153)

Ley Multiplicativa para Eventos Independientes
P(A  B) = P(A)P(B)

La ley multiplicativa tambien puede ser usada copmo
prueba de si dos eventos son independientes.
Slide 35
Ejemplo: Inversiones Bradley

Ley Multiplicativa para Eventos Independientes
¿son M y C independientes?
Es
P(M  C) = P(M)P(C) ?
Sabemos que: P(M  C) = .36, P(M) = .70, P(C) = .48
Pero: P(M)P(C) = (.70)(.48) = .34
.34 .entonces M y C no son independientes.
Slide 36
4.6. Teorema de Bayes (Pág. 156)




A menudo iniciamos el analisis probabilistico con
probabilidades a priori o iniciales.
Luego, de una muestra, reporte especial, o una
prueba de producto obtenemos información
adicional.
Dadas esta información, calculamos las
probabilidades a posteriori o revisadas.
El teorema de Bayes provee los medios para revisar
las probabilidades a priori.
Probabilidades
a priori
Nueva
Información
Aplicación
del teorema
de Bayes’
Probabilidades
A Posteriori
Slide 37
Ejemplo: L. S. Clothiers

Un centro comercial propuesto dara una fuerte
competencia a los negosios como L. S. Clothiers. Si el centro
comercial es construido, el dueño de L. S. Clothiers siente que
lo mejor sera relocalizarse.
El centro comercial no puede ser construido a menos que
un cambio de uso del suelo se apruebe por el cabildo. El consejo
de planeación debe hacer primero una recomendación, a favor o
encontra del cambio del uso del suelo, dirijida al cabildo. Sea
A1 = El cabildo aprueba el cambio de uso del suelo
A2 = El cabildos desaprueba el cambio del uso del suelo
Probabilities a priori
Usando juicio subjetivo: P(A1) = .7, P(A2) = .3
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Ejemplo: L. S. Clothiers


Nueva información
El consejo de planeación a recomendado en
contra del cambio de uso del suelo. Sea B el evento de
una recomendación negativa por el consejo de
planeación
Dado que B a ocurrido, ¿deberia L.S. Clothiers
revisar las probabilidades que el cabildo apruebe o
desapruuebe el cambio de uso del suelo?
Probabilidades Condicionales
La historia pasada con el consejo de planeación
indica lo siguiente
P(B|A1) = .2
P(B|A2) = .9
Slide 39
Ejemplo: L. S. Clothiers

Diagrama de arbol
P(B|A1) = .2
P(A1  B) = .14
P(Bc|A1) = .8
P(A1  Bc) = .56
P(B|A2) = .9
P(A2  B) = .27
P(Bc|A2) = .1
P(A2  Bc) = .03
P(A1) = .7
P(A2) = .3
Slide 40
Teorema de Bayes (Pág. 159)

Para encontrar las probabilidades posteriores de que
el evento Ai occurra dado que el evento B ha
occurido aplicamos el Teorema de Bayes.
P ( Ai | B ) 

P ( Ai ) P ( B| Ai )
P ( A1 ) P ( B| A1 )  P ( A2 ) P ( B| A2 ) ...  P ( An ) P ( B| An )
El teorema de bayes es aplicable cuando los eventos
por los cuales queremos calcular las probabilidades
posteriores son mutuamente exclusivas y su union es
el total del espacio muestral
Slide 41
Ejemplo: L. S. Clothiers

Probabilidades a Posteriori
Dadas las recomendaciones del consejo de planeación de
no aprobar el cambio de usos del suelo, revisamos las
probabilidades a priori como sigue:
P ( A1| B ) 

P ( A1 ) P ( B| A1 )

(. 7 )(. 2 )
P ( A1 ) P ( B| A1 )  P ( A2 ) P ( B| A2 ) (. 7 )(. 2 )  (. 3)(. 9)
= .34
Conclusión
La recomendación del consejo de planeación es una buena
noticia para L. S. Clothiers. La probabilidad posterior de que el
cabildo apruebe el cambio de uso del suelo es de .34 contra una
probabilidad a priori de .70
Slide 42
Metodologia tabular (Pág. 160)

Paso 1 Preparar las tres columnas siguientes:
Columna 1 - Los eventos mutuamente excluyentes
para los cuales se desean calcular las probabilidade
sposteriores.
Columna 2 - la probabilidades previas de los
eventos.
Column 3 - La proabilidades condicionales de la
nueva información, dado cada evento.
Slide 43
Metodologia tabular (Pág. 160)
(1)
(2)
(3)
Probabilidades Probabilidades
Eventos a Priori
condicionales
Ai
P(Ai)
P(B|Ai)
A1
A2
.7
.3
1.0
(4)
(5)
.2
.9
Slide 44
Metodologia tabular (Pág. 160)

Paso 2 En la columna 4, calcule las probailidades
conjuntas de cada evento y la nueva información
usando la ley multiplicativa.
Multiplique las probabilidades a priori en la
columna 2 por las correspondientes probabilidades
condicionales en la columna 3. Esto es, P(Ai IB) =
P(Ai) P(B|Ai).
Slide 45
Metodologia tabular (Pág. 160)
(1)
(2)
Prob
Eventos a Priori
Ai
P(Ai)
A1
A2
.7
.3
1.0
(3)
(4)
Prob
Prob
condicionales Conjuntas
P(B|Ai)
P(Ai I B)
.2
.9
(5)
.14
.27
Slide 46
Metodologia tabular (Pág. 160)

Paso 3 Sume las probabilidades conjuntas en la
columna 4. La suma es la probabilidad de la nueva
información P(B).
Vemos que hay un .14 de probabilidad de que el
Cabildo apruebe el cambio de uso del suelo y una
recomendación negativa por el consejo de
planeación. Hay un .27 de probabilidad que el
Cabildo desapruebe el cambio del uso del suelo y
una recomendación negativa del consejo de
planeación.
La suma .14 + .27 muestra la probabilidad
total de .41 de una recomendación negativa del
consejo de planeación.
Slide 47
Metodologia tabular (Pág. 160)
(1)
(2)
Prob
Eventos a Priori
Ai
P(Ai)
A1
A2
.7
.3
1.0
(3)
(4)
Prob
Prob
Condicionales Conjuntas
P(B|Ai)
P(Ai I B)
.2
.9
(5)
Prob
.14
.27
P(B) = .41
Slide 48
Metodologia tabular (Pág. 160)

Paso 4 En la columna 5, calcule las probabilidades
posteriores usando la relacion basica de probabilidad
condicional.
P ( Ai | B) 
P( Ai  B)
P( B)
Note que las probabilidades conjuntas P(Ai IB)
estan en la columna 4 y la probabilidad P(B) es la suma de
la columna 4.
Slide 49
Metodologia tabular (Pág. 160)
(1)
(2)
Eventos
Prob
a Priori
Ai
P(Ai)
A1
A2
.7
.3
1.0
(3)
(4)
Prob
Prob
Condicionales Conjuntas
P(B|Ai)
.2
.9
P(Ai I B)
.14
.27
P(B) = .41
(5)
Prob
a Posteriori
P(Ai |B)
.3415
.6585
1.0000
Slide 50
End of Chapter 4
Slide 51
Descargar

+ P(B)