Dinámica de Sistemas
Charles Nicholson
Department of Applied Economics and
Management, Cornell University
Un Sistema Dinámico Simple: conejos




Suponer una población de 100 conejos en un
bosque
La tasa de nacimientos en esta área es un
10% por mes
La vida promedio de estos conejos es 18
meses
En una hoja de papel, dibujar la evolución en
tiempo de la población de conejos en el
bosque
La población crece exponencialmente
Poblacion de Conejos
1,000
750
500
250
0
0
5
Población de conejos : Exponencial
10
15
20
25
Time (Month)
30
35
40
45
50
Conejo
La tasa de nacimientos > la tasa de muertes
Tasas de nacimiento y de muerte
100
75
50
25
0
0
5
10
Tasa de nacimientos : Exponencial
Tasa de muertes : Exponencial
Tasa neta de nacimientos : Exponencial
15
20
25
Time (Month)
30
35
40
45
50
Conejo/Mes
Conejo/Mes
Conejo/Mes
Tasas de nacimiento y muerte

Tasa de nacimientos (conejos/mes) =



Tasa de muertes (conejos/mes) =



(Población)*(tasa fraccional)
(Población)*(0.10)
(Población)/(largo de vida promedio)
(Población)/(18) = (Población)(0.055)
Tasa neta de nacimientos (conejos/mes)


(Población)*(tasa de nacimiento – tasa de muerte)
(Población)*(0.045) > 0 → crecimiento exponencial
¿Los sistemas pueden crecer para siempre?


No
Excepciones ostensibles hasta la fecha:



Generalmente, algún recurso es limitante


Población (disminución en crecimiento)
Crecimiento económico (algunos países)
Ej., disponibilidad de alimento
Existe una capacidad de carga

Con base en un recurso renovable
Conejos con un limitante de alimentación

Suponer que los recursos alimenticios disponibles
son suficientes para 500 conejos

Suponer los mismos valores iniciales de tasa de
nacimiento y longevidad

Al incrementar la población de conejos, el alimento
por conejo disminuye, lo cual



Disminuye la tasa de nacimientos (en tiempo)
Disminuye la vida promedio de un conejo
En una hoja de papel, dibujar la evolución en tiempo
de la población de conejos en este bosque
Crecimiento sigmoide de la población
Poblacion de conejos
1,000
750
500
250
0
0
5
Población de conejos : Sigmoidal
Recurso renovable : Sigmoidal
10
15
20
25
Time (Month)
30
35
40
45
50
Conejo
Conejo
El patrón poblacional depende de…


Cómo responden las tasas de nacimiento y
muerte a la disminución del recurso
alimenticio
Una suposición razonable es ….


Tasa neta de nacimientos = 0 cuando
la población = 500
Suponer que las tasas son funciones de

La relación entre el tamaño de la población y la
capacidad de carga
Tasa de nacimientos = f(población/capacidad
de carga)
Sigmoidal
Función Lookup TNF
1
0.75
0.5
0.25
0
0
0.50
1
-X-
1.50
2
Convergen las tasas de nacimiento y muerte
Tasas de nacimiento y de muerte
40
30
20
10
0
0
5
10
Tasa de nacimientos : Sigmoidal
Tasa de muertes : Sigmoidal
Tasa neta de nacimientos : Sigmoidal
15
20
25
Time (Month)
30
35
40
45
50
Conejo/Mes
Conejo/Mes
Conejo/Mes
¿Si se puede acabar el recurso?

Las mismas suposiciones como en el caso previo



Tasa de uso del recurso renovable (unidades/mes)


Población inicial, tasa de nacimientos, vida promedio
Respuestas en la tasa y longevidad al recurso disponible
(conejos)(0.50 unidades/conejo/mes)
Tasa de renovación de recurso (unidades/mes)

25% por mes
Crecimiento del recurso = (recurso)(0.25)

Si la renovación > el uso, suponer recurso constante

Una población con un recurso renovable



En una hoja de papel
Dibujar la evolución en tiempo de la
población de conejos en este bosque
Dibujar la evolución en tiempo del recurso en
este bosque
La población y el recurso
Poblacion de conejos
1,000
750
500
250
0
0
5
10
Población de conejos : Recurso variable
Recurso renovable : Recurso variable
15
20
25
Time (Month)
30
35
40
45
50
Conejo
Conejo
Uso del recurso y su regeneración
Uso Neto del Recurso
200
150
100
50
0
0
5
10
Consumo del recurso : Recurso variable
Regeneración del recurso : Recurso variable
15
20
25
Time (Month)
30
35
40
45
Unidad Recurso/Mes
Unidad Recurso/Mes
50
Tasas de nacimiento y muerte
Tasas de nacimiento y de muerte
80
40
0
-40
-80
0
5
10
Tasa de nacimientos : Recurso variable
Tasa de muertes : Recurso variable
Tasa neta de nacimientos : Recurso variable
15
20
25
Time (Month)
30
35
40
45
50
Conejo/Mes
Conejo/Mes
Conejo/Mes
¿Cuál es el mensaje de este sencillo ejemplo?


Muchas veces es difícil pronosticar la dinámica de
sistemas simples sin una estructura formal (modelo)

Modelos de simulación dinámicos pueden ser útiles

Estos modelos ayudan a evitar consecuencias no
deseados
Es más difícil con sistemas bio-económicos
complejos

Ejemplo: tecnología nueva en sistemas con ganado ovino
Dinámica de sistemas

Un método dinámico de simulación


El comportamiento se deriva de la estructura del
sistema



Aplicable a un amplio rango de sistemas biológicos y
sociales
Enfoque: factores internos del sistema
No necesariamente los choques externos
Especificar la estructura para comprender el
comportamiento (las respuestas)


Se observa un comportamiento pasado
Se pronostica un comportamiento futuro
Estructura del sistema: reservas

Las reservas son acumulaciones




Pueden ser contadas en un momento dado
Ejemplo: número de personas en este salón
También llamado estados o niveles
Sólo cambian a través de los flujos


Los flujos constituyen el único factor directo que
afecta las reservas
Muchas variables pueden afectar los flujos
Estructura del sistema: flujos

Los flujos son cantidades durante un
intervalo de tiempo




Ejemplo: Número de personas que abandonaron
el salón en los últimos 5 minutos
No pueden ser medidos en forma instantánea
Tienen que ser medidos a través de algún
intervalo de tiempo
Tambíen llamados tasas
Reservas y flujos del ejemplo de conejos

Reservas:



Número de conejos
Capacidad de carga (alimento disponible, kg)
Flujos:


Tasas de nacimiento y muerte (conejos/mes)
Consumo de recurso y su regeneración (kg/mes)
Representación gráfica
Flujo
Tasa de
nacimientos
Reserva
Flujo
Población
Tasa de
muertes
Representación gráfica
Flujo
Tasa de
Reserva
Flujo
Población
muertes
nacimientos
Flujo
Tasa de
Reserva
Flujo
Recurso
Tasa de
regeneración
renovable
Tasa de
consumo
Prueba: ¿Reserva o flujo?
Cantidad
Borregos en un
rebaño
Consumo de MS
Venta de
animales
Mortalidad
Tamaño de finca
Unidad
¿Reserva o
flujo?
Prueba: ¿Reserva o flujo?
Unidad
¿Reserva o
flujo?
número
reserva
kg/día
flujo
Venta de
animales
número/mes
flujo
Mortalidad
número/mes
flujo
ha
reserva
Cantidad
Borregos en un
rebaño
Consumo de MS
Tamaño de finca
Otros elementos del sistema
Otras variables que
Otras variables que
influye a la tasa de
influye a la tasa de
nacimientos
muertes
?
Flujo
Tasa de
nacimientos
Reserva
Flujo
Población
?
Tasa de
muertes
¿Cuáles factores también influyen a las tasas de nacimiento o muerte?
Las tasas en un modelo simple

Tasa de nacimientos (conejos/mes) =



(Población)*(tasa fraccional de nacimientos)
(Población)*(0.10)
Tasa de muertes (conejos/mes) =


(Población)/(longevidad promedio)
(Población)/(18) = (Población)(0.055)
Representación gráfica
Flujo
Tasa de
Reserva
Flujo
Población
Tasa de
muertes
nacimientos
Longevidad
Tasa fraccional de
promedio
nacimientos
Reserva
El TFN y la LP son variables auxiliares (ni reservas, ni flujos)
El tamaño de la población también determina las tasas en este caso
Redondel o lazo de retroalimentación






El tamaño de la población determina la tasa de
nacimientos (de muertes)
La tasa (nacimientos, muertes) determina el tamaño
de la población
Existe una causalidad de doble-vía a través del
tiempo
Esto se llama retroalimentación
Los modelos de DS son estructuras con reservas,
flujos y redondeles o lazos de retroalimentación
La retroalimentación es vital para la comprensión
del comporamiento del sistema
Retroalimentación…
Suponer que alguién se encuentra con dos tipos de problemas que
se ilustran mediante losas. ¿Solución obvia? ¿Empujar una de las
losas?
…a veces causa resultados inesperados
La causalidad circular implícita en este proceso con
retroalimentación demuestra que ciertas “soluciones”
resultan en deterioros importantes.
Representación gráfica
-
+
Tasa de
nacimientos
Tasa de
Población
Nacimientos
+
Muertes
+
muertes
Este sistema simple tiene dos redondeles.
Estos operan conjuntamente para producir el comportamiento del
sistema.
Polaridad de la relación

Para una relación específica entre elementos de la
estructura


Si A aumenta, ¿qué pasa con B?



¿Es la relación positiva o negativa?
Si incrementa B, la polaridad es positiva
Si B disminuye, la polaridad es negativa
¿Se pueden calificar las polaridades individuales?


Si aumenta la poplación, se incrementa la tasa de
nacimientos
Polaridad positiva
Representación gráfica
-
+
Tasa de
nacimientos
Tasa de
Población
Nacimientos
+
Muertes
+
muertes
La población incrementa la tasa de nacimientos, lo cual incrementa
la población.
La población incrementa la tasa de muertes, lo cual disminuye la
población.
Polaridad del redondel


Considerar todas las relaciones (de
retroalimentación) en un redondel
¿Un aumento en cualquier variable produce
un incremento adicional después de contar
con todas las relaciones en el redondel?


Si es afirmativo, esto constituye un redondel
positivo o redondel de refuerzo
Los redondeles positivos causan crecimiento
en las reservas
Población y el redondel de nacimientos
+
Población
Tasa de
nacimientos
Nacimientos
+
Incrementar la población aumenta los nacimientos, lo cuál aumenta
la población.
Esto constituye un redondel positivo, lo cuál causaría crecimiento en
la población.
¿Redondel de población y muertes?
-
Tasa de
Población
Muertes
+
muertes
¿Redondel de población y muertes?
-
Tasa de
Población
Muertes
+
muertes
La población incrementa la tasa de muertes, lo cuál DISMINUYE la
población.
Esto es un redondel NEGATIVO o de BALANCEO
Resumen de redondeles

Redondeles positivos




Incrementar una variable causa un aumento
adicional
Causa el crecimiento
“Redondel de refuerzo”
Redondeles negativos



Incrementar una variable causa una disminución
contrarestante en la variable
Causa deterioro (disminución)
“Redondel de balanceo”
Práctica en redondeles
Hambre
?
?
Consumo de
alimentos
?
Práctica en redondeles: balanceo
Hambre
-
B
Consumo de
alimentos
+
Práctica en redondeles
Ahorros
?
?
Interés
?
Práctica en redondeles: de refuerzo
Ahorros
+
R
Interés
+
Modelos de DS son constituidos por una
combinación de redondeles
-
+
nacimientos
T asa de
Pob l ación
T asa de
N a cim ie nt os
+
M ue r t e s
+
muer tes
+
+
T asa fr accional
de nacimientos
-
E fe ct o R e c s ob r e T N
+
R el ación
p ob l ación
E fe ct o R e c s ob r e T M
+
T asa
fr accional de
muer tes
r ecur so
Este modelo contiene dos nuevos redondeles negativos—esto frena
el crecimiento.
En un modelo completo, ¡hay muchos!
+
Con sum o d el
R e curs o
-
+
nacim ie nt os
Consu mo por
c one j o
T as a de
P oblació n
Ta s a de
N a cim ie nt os
+
m ue r t es
M ue r t e s
+
+
+
C ons umo R e cur s o
E fe c to R e c s obr e T N
T as a fr ac cio nal
de nac im ie ntos
E fe cto R e c s obr e TM
+
-
R e lac ión
población
-
-
R e curs o
+
Ta s a
fr ac cio nal de
m ue r t es
r e cur s o
R e novabl e
+
+
R e s G en
R e ge ne r ación
de l R e cur s o
T as a fr acc ion al de
r e gene r ación
Con más redondeles es más
difícil que nuestra intuición
sea correcta.
La matemática de modelos DS



Un sistema de ecuaciones diferenciales
Se resuelve por integración numérica

St = ∫(ingreso-egreso) ds + S0

Ingreso = f(S, otras variables)

Egreso = f(S, otras variables)
Muchos programas (software) disponibles

Vensim® es bueno para propósitos de
investigación
Modelo poblacional de Vensim


Un vistazo al modelo…
Version gratis de Vensim PLE está disponible:
www.vensim.com/freedownload.html
Población de conejos en el bosque
Número de conejos
300
200
100
0
0
12
24
Mes
36
48
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