Unidad temática 3
Análisis de esfuerzos en un punto
Método Grafico. Circulo de Mohr
3a.Parte
Diseño de Maquinas
Posgrado
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1
3.5
Método grafico. Circulo de Mohr
Existe una interpretación grafica de las ecuaciones
anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr
(1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha
llamado Circulo de Mohr.
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3.5
Método grafico. Circulo de Mohr
Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones
paramétricas de una circunferencia. Rearreglando la
ecuación 3.1:
 
 
x
y
2
 
 
x

 
x
y
cos 2   sen 2
xy
2
y
(3.1 y 3.2)
sen 2   cos 2
2
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xy
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3
Elevando al cuadrado, sumando y simplificando,

 



x

2
y




2

2




x

2
y




2

 
2

xy
(3.11)
x, y, xy son valores conocidos que definen el estado
plano de esfuerzo, mientras que  y  son variables.
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Por lo tanto (x +y)/2 es una constante C, y el
segundo miembro de la ecuación (3.11) lo consideramos
como otra constante R. sustituyendo, la ecuación (3.11) se
transforma en:

 C 
2
2
 R
2
(3.12)
Esta ecuación es análoga a la de una circunferencia:
(x-c)2 + y 2= R2
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Por lo que la circunferencia será de radio
y centro:




R 
C 

x
x

2

y




2

 
2

xy
(3.13)
y
2
Construcción del circulo de Mohr
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La figura 3.5 representa el círculo de Mohr para el
estado plano de esfuerzos que se ha estudiado.
El centro C esta a una distancia OC del origen que
es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el
radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA.
Se puede comprobar fácilmente que las
coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las
expresiones deducidas en las ecuaciones (3.5) y (3.6), por
lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la
variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3.1) y
(3.2).
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Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional
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Construcción del circulo de Mohr
y
Dado el estado de
esfuerzos biaxial:
yx
x > y,
xy
b
a) (x , -xy )
a
x
b) (y , yx )
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a) (x , -xy )

n
b) (y , yx )
1’
Y b
o

 xy’

2
1
c
 min
 x’
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x’

21
2  120
2’
 max
21’
22
22’
a
X
 min
 max
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Problema propuesto (Método Gráfico Circulo de Mohr) :
Caso 1
1. Para el estado de esfuerzos biaxial
en el punto, Determinar :
y = 300 MPa
x= 500 MPa
xy= 100 MPa
a) Los esfuerzos componentes
x’, xy’ para  x’ = -30o
b)
Los esfuerzos principales
normales 1, 2 .
c)
Su dirección y orientación
d) Los esfuerzos principales
cortantes 1, 2 y n
e) Su dirección y orientación
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Método Gráfico: Circulo de Mohr
y = 300 MPa
b a
x= 500 MPa
xy= 100 MPa

Y b

C
o

a X

Diseño de Maquinas
1. Identificar el estado de esfuerzos
x = + 500MPa (T)
y = - 300MPa (c)
xy = - 100MPa
yx = 100MPa
2. Hacer escala 50 MPa: 1cm.
3. Pasar los puntos a(500, -100) y
b(-300, 100) a centímetros; (10,-2)
y (-6, 2).
4 Trazar los ejes  vs.  en el papel
milimétrico
5. Marcar los puntos a y b y unirlos
con una línea.
6. Indicar el eje X de Ca y el y de
Cb
7. Marcar el origen O y el centro C
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
 n,
8. Con radio R = Ca = Cb trazar el
circulo con centro en C.
identificar los ejes principales.
( n, max ,)
max
1’
Y

b
(1 ,0)
1
(2 ,0) 2 o

C
a
2’
X
min
( n ,min,)
min
9.
max

Diseño de Maquinas
Obtener el estado de los
esfuerzos principales y sus
magnitudes:
midiendo
en
el
papel
milimétrico
cada
punto
indicado en la figura a partir del
origen:
 Max =10.3cmx50=515MPa(+)
 Min = -6.3cm x50=-315MPa
 Max = 8.3cm x50= 415MPa
 Min = -8.3cm x50= -415MPa
n = 2cm x50 = 100MPa
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
( n,2max ,)
 n,
1’
max
Y
b

(1 ,0)
2

1
(2 ,0)
o
min
C
a
X
min
2’
( n ,min,)
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max
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
10. Obtención de la dirección de
los esfuerzos principales
normales y cortantes
(  1 ,  n)
1’
Y

2 1’
1 (1 ,0)
b
(2 ,0)
2
o
C
2 2

2’
2 2’
Los ángulos en el circulo
son el doble del valor real.
2 Max = +15o  1 =+ 7o
º
o
2
=
165
=
85.5

Min
2
2 1
a X 2 ’Max = + 105o  1’ =+52.5o
2 ’Min = - 75o  2’ = - 37.5o
(2 ,  n)
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11. Obtención de las orientación de
los
esfuerzos
principales
normales y cortantes.
x= 500 MPa
xy= 100 MPa
y = 300 MPa
Diseño de Maquinas
Con los ángulos anteriores se
inicia la orientación con los
esfuerzos principales normales,
representando un sistema de ejes
cartesiano X-Y , luego a partir del
eje X se representa la dirección:
1 considerando su signo y
aplicando
la
convención;
positivos en contra del reloj y
negativos a favor con respecto al
eje X……. ver orientación del
probl. Método analítico
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 = - 30
12. Obtención de las componentes de
esfuerzos x’, xy’ para x’30o y
sus correspondientes componentes
a 90o ; y’, yx’ .
x= 500 MPa
xy= 100 MPa
y = 300 MPa
Diseño de Maquinas
Se marca en el circulo a partir
del eje X el ángulo 2 trazándose
el nuevo eje X’ desde el centro del
circulo C y la intersección será el
punto cuyas coordenadas son: x’,
xy’ luego a 90 o de este eje se
encuentra el eje Y’ en cuya
intersección con el
circulo
representa
el
punto
con
coordenadas y’, yx’ .
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Calculo de: x’ , xy’ para = -30o y y’ y  xy’ para
x’ =+4.4cmx50=220MPa
’ = -30 + 90 = 60o 
 y’
y
b’
xy
b a
a) (x , -xy )
y’
y b
x

xy’ =-8cmx50=-400MPa
2’120o
o
2
1
c
 xy’
b) (y , yx )
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
a
260o

 yx’
 x’
x
a’ x’
5A-P
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