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MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 14: Probabilidad
ACTIVIDAD
Probabilidad
El cálculo de probabilidades se aplica
para estudiar fenómenos en los que
interviene el azar, como los accidentes
de tráfico, los incendios, los temporales
que amenazan las cosechas y la
inseguridad económica. Las
aseguradores calculan así las primas
apropiadas a cada caso.
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Unidad 14: Probabilidad
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La ciencia en la Inglaterra de la primera mitad del siglo XVIII
Busca en la Web
Enlace a una biografía de
De Moivre
Enlace a información
sobre el cometa Halley
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Unidad 14: Probabilidad
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Esquema de contenidos
Probabilidad
Experimentos aleatorios
L
Espacio muestral
Sucesos compatibles
Diagramas de árbol
Operaciones con sucesos
Unión
Intersección
Complementario
Definición de probabilidad
Regla de Laplace
Aplicaciones
Frecuencia y probabilidad
Ley de los grandes números.
Propiedades de la probabilidad
Suceso seguro e imposible
Propiedad de la unión
Propiedad del contrario
Clasificación en dos caracteres
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Unidad 14: Probabilidad
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La probabilidad de la unión de sucesos
La unión de dos sucesos, AB, recoge todos los elementos que pertenecen a cada
uno. Se puede representar gráficamente mediante un diagrama - llamado de Venn -,
en el que los sucesos vienen representados por superficies que tienen zonas en
común y zonas no comunes.
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Unidad 14: Probabilidad
ACTIVIDAD
La probabilidad de la unión de sucesos
La unión de dos sucesos, AB, recoge todos los elementos que pertenecen a cada
uno. Se puede representar gráficamente mediante un diagrama - llamado de Venn -,
en el que los sucesos vienen representados por superficies que tienen zonas en
común y zonas no comunes.
AB
1
2
AB
3
4
En total, hay cuatro zonas: AB (zona 1), la parte de A que no tiene elementos de B
(zona 2), la parte de B que no tiene elementos de B (zona 3) y la zona exterior que no
tiene elementos de A ni de B (zona 4).
Son zonas disjuntas, esto es, que un elemento del conjunto general sólo puede estar
en una de ellas.
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ACTIVIDAD
La probabilidad de la unión de sucesos
En total, hay cuatro zonas: AB (zona 1), la parte de A que no tiene elementos de B
(zona 2), la parte de B que no tiene elementos de B (zona 3) y la zona exterior que no
tiene elementos de A ni de B (zona 4). Todas las zonas son disjuntas.
Podemos resolver diversos problemas gracias a este diagrama.
En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el
18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué
probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
AB
2
1
AB
3
4
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el
18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué
probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
Un habitante de esta ciudad sólo puede
estar en una de las cuatro zonas disjuntas.
Comenzamos obligatoriamente por la
zona común, 1 . En el enunciado se
dice el porcentaje de habitantes que se
incluyen en ella.
AB
2
1
AB
3
4
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el
18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué
probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
AB
2
3
4
Un habitante de esta ciudad sólo puede
estar en una de las cuatro zonas disjuntas.
Comenzamos obligatoriamente por la
zona común, 1 . En el enunciado se
dice el porcentaje de habitantes que se
incluyen en ella.
Leen los dos periódicos el 10 % de la
población.
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el
18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué
probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
Un habitante de esta ciudad sólo puede
estar en una de las cuatro zonas disjuntas.
AB
2
10 %
Seguimos con las zonas 2 y 3 . Sus
porcentajes se obtienen restando el 10 %
común a los datos del enunciado.
3
4
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el
18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué
probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
Un habitante de esta ciudad sólo puede
estar en una de las cuatro zonas disjuntas.
AB
Seguimos con las zonas 2 y 3 . Sus
porcentajes se obtienen restando el 10 %
común a los datos del enunciado.
10 %
Para la zona 2 , 25 %  10 % = 15 %
%.
4
Para la zona 3 , 18 %  10 % = 8 %
%.
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el
18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué
probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
Un habitante de esta ciudad sólo puede
estar en una de las cuatro zonas disjuntas.
AB
15 %
10 %
Para la zona 4 , tenemos que tener en
cuenta que el porcentaje de los que leen
uno o dos diarios es:
15 % + 8 % + 10 % = 33 %.
8%
4
Luego, en esta zona pondremos
100 %  66
33 %
% = 66 %.
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el
18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué
probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
Un habitante de esta ciudad sólo puede
estar en una de las cuatro zonas disjuntas.
AB
15 %
10 %
8%
Para la zona 4 , tenemos que tener en
cuenta que el porcentaje de los que leen
uno o dos diarios es:
15 % + 8 % + 10 % = 33 %.
Luego, en esta zona pondremos
100 %  66
33 %
% = 66 %.
Podemos contestar ya a las dos preguntas.
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el
18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué
probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?
La primera ya ha sido contestada: leen
alguno de los diarios el 33 % que es la
suma de los porcentajes que aparecen en
el interior de los sucesos.
AB
15 %
10 %
8%
66 %
Leen solamente uno de ellos el 23 % de los
ciudadanos, que es la suma de 15 % y 8 %,
correspondientes a las zonas adecuadas del
gráfico.
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La probabilidad de la unión de sucesos
La misma situación la podemos interpretar con 3 diarios, A, B y C.
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el
16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen
los tres periódicos el 9 %.
Se elige un ciudadano al azar y se desea saber:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que lea algún periódico?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea A y B pero no C?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo lea el periódico B?
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de
Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y
el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que
leen los tres periódicos el 9 %.
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de
Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
Se observa que ahora hay ocho “zonas”.
Lo importante es que un habitante de
esta ciudad sólo puede estar en una sola
de ellas.
2
1
4
7
Ha de empezarse obligatoriamente por
la zona común, 7 . En el enunciado se
dice el porcentaje que la forman.
6
5
3
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8
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y
el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que
leen los tres periódicos el 9 %.
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de
Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
Se observa que ahora hay ocho “zonas”.
Lo importante es que un habitante de
esta ciudad sólo puede estar en una sola
de ellas.
Ha de empezarse obligatoriamente por
la zona común, 7 . En el enunciado se
dice el porcentaje que la forman.
2
1
4
6
5
Los tres periódicos los leen el 9 % de
la población.
3
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y
el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que
leen los tres periódicos el 9 %.
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de
Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
Se sigue con las zonas comunes a dos
diarios, es decir las zonas, 4 , 5 y 6 .
2
1
¿Puedes determinar los porcentajes de
cada una a partir del enunciado?
4
9%
6
5
3
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y
el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que
leen los tres periódicos el 9 %.
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de
Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
Se sigue con las zonas comunes a dos
diarios, es decir las zonas, 4 , 5 y 6 .
2
1
Para la zona 4 , 14 %  9 % = 5 %.
4
Para la zona 5 , 13 %  9 % = 4 %.
9%
6
5
Para la zona 6 , 11 %  9 % = 2 %.
3
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8
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y
el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que
leen los tres periódicos el 9 %.
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de
Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
Se sigue con las zonas comunes a dos
diarios, es decir las zonas, 4 , 5 y 6 .
2
1
Para la zona 4 , 14 %  9 % = 5 %
%.
Para la zona 5 , 13 %  9 % = 4 %
%.
9%
Para la zona 6 , 11 %  9 % = 2 %
%.
3
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y
el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que
leen los tres periódicos el 9 %.
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de
Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
Seguimos ahora con las zonas 1 , 2 ,
y 3 .
2
1
¿Puedes hallar los porcentajes que quedan
para cada zona?
5%
4%
9% 2%
3
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En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y
el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que
leen los tres periódicos el 9 %.
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de
Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
Seguimos ahora con las zonas 1 , 2 ,
y 3 .
Para la zona 1 , 30 % 5%9%4% =12 %.
5%
4%
Para la zona 2 , 20 % 5%9%2% = 4 %.
9% 2%
Para la zona 3 , 16 % 2%9%4% = 1 %.
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y
el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que
leen los tres periódicos el 9 %.
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de
Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
Finalmente, completamos la distribución de
porcentajes con la zona 8 , que es la de los
que no leen ningún diario.
4%
12 %
5%
4%
¿Qué porcentaje corresponde a esta zona?
9% 2%
1%
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En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y
el 16 % leen el C.
Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que
leen los tres periódicos el 9 %.
Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de
Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.
Finalmente, completamos la distribución de
porcentajes con la zona 8 , que es la de los
4%
12 %
5%
4%
9% 2%
1%
que no leen ningún diario.
La suma de todos los porcentajes del
gráfico da: 12 + 5+ 9+ 4+ 4+ 2 +1 = 39 %.
Por tanto, el porcentaje de los que no
leen es del 100 %  39 % = 61 %
%.
Es fácil contestar ya a las preguntas del
problema.
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el
16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %,
mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
Se elige un ciudadano al azar y se desea saber:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que lea algún periódico?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea A y B pero no C?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo lea el periódico B?
¿Puedes reconocer sobre la figura la zona
o zonas que constituyen la respuesta a
cada pregunta?
4%
12 %
5%
4%
9% 2%
1%
61 %
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La probabilidad de la unión de sucesos
En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el
16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %,
mientras que leen los tres periódicos el 9 %.
Se elige un ciudadano al azar y se desea saber:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que lea algún periódico?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea A y B pero no C?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo lea el periódico B?
a) La probabilidad de seleccionar un
ciudadano que haya leído algún periódico es
39 %, suma que ya había sido obtenida.
4%
12 %
5%
4%
b) La respuesta es 5 %, que está en la
zona común a A y B, pero no a C.
9% 2%
c) La respuesta es 4 %.
1%
61 %
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ACTIVIDAD
Regla de Laplace
La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los
elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un
suceso A viene dada por la expresión:
P ( A) =
Número de casos favorables a A
Número de casos posibles
Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral
E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él.
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ACTIVIDAD
Regla de Laplace
La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los
elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un
suceso A viene dada por la expresión:
P ( A) =
Número de casos favorables a A
Número de casos posibles
Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral
E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él.
Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras.
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Regla de Laplace
La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los
elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un
suceso A viene dada por la expresión:
P ( A) =
Número de casos favorables a A
Número de casos posibles
Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral
E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él.
Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras.
Una resolución incorrecta sería la que considerase que hay 5 posibilidades (“Salir 4
caras”, “Salir 3 caras y una cruz”, “Salir 2 caras y 2 cruces”, “Salir 1 cara y 3 cruces” y
“Salir 4 cruces”), De ellas, las dos primeras son aquellas en las que hay mayoría de
caras. Luego - razonaríamos erróneamente-, hay 2 casos de 5 y, por tanto, la
probabilidad sería 2/5 = 0,4 = 40 %.
¿Por qué es errónea esta manera de razonar?
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Regla de Laplace
La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los
elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un
suceso A viene dada por la expresión:
P ( A) =
Número de casos favorables a A
Número de casos posibles
Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral
E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él.
Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras.
Una resolución incorrecta sería la que considerase que hay 5 posibilidades (“Salir 4
caras”, “Salir 3 caras y una cruz”, “Salir 2 caras y 2 cruces”, “Salir 1 cara y 3 cruces” y
“Salir 4 cruces”), De ellas, las dos primeras son aquellas en las que hay mayoría de
caras. Luego - razonaríamos erróneamente -, hay 2 casos de 5 y, por tanto, la
probabilidad sería 2/5 = 0,4 = 40 %.
¿Por qué es errónea esta manera de razonar?
El espacio muestral de casos posibles es inadecuado porque, por ejemplo, es mucho
más probable “Salir 3 caras y una cruz” que “Salir 4 caras” que sólo puede salir de
una manera, todas las monedas caras.
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ACTIVIDAD
Regla de Laplace
Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras.
Para resolver correctamente el problema, supongamos las 4 monedas diferentes. Por
ejemplo, llamémoslas A, B C y D. Los casos posibles (observa que todos tienen las
mismas posibilidades) pueden observarse en la siguiente tabla (C es cara, K es cruz),
que no es un diagrama de árbol expresado de otra manera:
Moneda A
C
C
C
C
C
C
C
C
K
K
K
K
K
K
K
K
Moneda B
C
C
C
C
K
K
K
K
C
C
C
C
K
K
K
K
Moneda C
C
C
K
K
C
C
K
K
C
C
K
K
C
C
K
K
Moneda D
C
K
C
K
C
K
C
K
C
K
C
K
C
K
C
K
Número
de caras
4
3
3
2
3
2
2
1
3
2
2
1
2
1
1
0
Como puedes observar, hay 16 casos posibles. De ellos, hay mayoría de
caras en 5 casos. Por tanto, según la regla de Laplace:
P( A ) 
Número de casos favorables a A 5

 0,3125  31,25%
Número de casos posibles
16
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ACTIVIDAD
Problemas con dados
Los dados típicos son cúbicos, aunque hay juegos que utilizan dados de otras formas:
tetraedros, octaedros, dodecaedros...
Si se lanzan dos o más de ellos, tenemos que considerar espacios muestrales que se
ajusten a la Regla de Laplace, es decir, que todos los casos tengan las mismas
posibilidades de salir.
Una manera de conseguir esto es considerar los dados de distinto color. Aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
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Unidad 14: Probabilidad
ACTIVIDAD
Problemas con dados
Los dados típicos son cúbicos, aunque hay juegos que utilizan dados de otras formas:
tetraedros, octaedros, dodecaedros...
Si se lanzan dos o más de ellos, tenemos que considerar espacios muestrales que se
ajusten a la Regla de Laplace, es decir, que todos los casos tengan las mismas
posibilidades de salir.
Una manera de conseguir esto es considerar los dados de distinto color. Aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que
aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
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Unidad 14: Probabilidad
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Problemas con dados
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que
aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el
rojo, 2 en el azul.
Escribiremos el total de los 36 casos que pueden presentarse:
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Problemas con dados
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que
aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el
rojo, 2 en el azul. Escribiremos el total de los 36 casos que pueden presentarse:
11
12
13
14
15
16
21
22
23
24
25
26
31
32
33
34
35
36
41
42
43
44
45
46
51
52
53
54
55
56
61
62
63
64
65
66
Ahora, llevaremos cada caso a cada uno de los sucesos del enunciado.
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Problemas con dados
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que
aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el
rojo, 2 en el azul.
11
12
13
14
15
16
21
22
23
24
25
26
31
32
33
34
35
36
41
42
43
44
45
46
51
52
53
54
55
56
61
62
63
64
65
66
“Sacar número máximo el 1”
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Problemas con dados
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que
aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el
rojo, 2 en el azul.
12
13
14
15
16
21
22
23
24
25
26
31
32
33
34
35
36
41
42
43
44
45
46
51
52
53
54
55
56
61
62
63
64
65
66
“Sacar número máximo el 1” =11
“Sacar número máximo el 2”
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Problemas con dados
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que
aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el
rojo, 2 en el azul.
13
14
15
16
“Sacar número máximo el 1” =11
23
24
25
26
“Sacar número máximo el 2” =12,21,22
“Sacar número máximo el 3”
31
32
33
34
35
36
41
42
43
44
45
46
51
52
53
54
55
56
61
62
63
64
65
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Problemas con dados
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que
aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el
rojo, 2 en el azul.
14
15
16
“Sacar número máximo el 1” =11
24
25
26
“Sacar número máximo el 2” =12,21,22
34
35
36
“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33
“Sacar número máximo el 4”
41
42
43
44
45
46
51
52
53
54
55
56
61
62
63
64
65
66
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Problemas con dados
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que
aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el
rojo, 2 en el azul.
15
16
“Sacar número máximo el 1” =11
25
26
“Sacar número máximo el 2” =12,21,22
35
36
“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33
45
46
“Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44
51
52
53
54
55
56
61
62
63
64
65
66
“Sacar número máximo el 5”
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ACTIVIDAD
Problemas con dados
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que
aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el
rojo, 2 en el azul.
16
“Sacar número máximo el 1” =11
26
“Sacar número máximo el 2” =12,21,22
36
“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33
46
“Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44
56
61
62
63
64
65
66
“Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55
“Sacar número máximo el 6” =
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Problemas con dados
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que
aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el
rojo, 2 en el azul.
“Sacar número máximo el 1” =11
“Sacar número máximo el 2” =12,21,22
“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33
“Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44
“Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55
“Sacar número máximo el 6” =16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66
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Problemas con dados
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que
aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el
rojo, 2 en el azul.
“Sacar número máximo el 1” =11
“Sacar número máximo el 2” =12,21,22
“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33
“Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44
“Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55
“Sacar número máximo el 6” =16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66
¿Puedes dar ya las probabilidades de cada suceso?
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Problemas con dados
Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que
aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo
sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.
Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el
rojo, 2 en el azul.
“Sacar número máximo el 1” =11
1
“Sacar número máximo el 2” =12,21,22
3
“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33
5
“Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44
7
“Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55
“Sacar número máximo el 6” =16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66
36
36
1
12
36
36
9 1
36
4
11
36
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ACTIVIDAD
Problemas con dos criterios de clasificación
En ciertos casos de la vida corriente, se presentan situaciones en las que hay dos
criterios de clasificación y se desean conocer ciertas probabilidades. Una tabla
(denominada “de contingencia”) aclara la situación por completo.
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Unidad 14: Probabilidad
ACTIVIDAD
Problemas con dos criterios de clasificación
En ciertos casos de la vida corriente, se presentan situaciones en las que hay dos
criterios de clasificación y se desean conocer ciertas probabilidades. Una tabla
(denominada “de contingencia”) aclara la situación por completo.
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230
son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de
esa localidad.
a) Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria. ¿Cuál es la
probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de
secundo ciclo?
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Unidad 14: Probabilidad
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Problemas con dos criterios de clasificación
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230
son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de
esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de
Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de
secundo ciclo?
Los datos se colocan en la tabla de doble entrada siguiente:
De
Villanueva
De fuera
TOTALES
De 1er ciclo
De 2.º ciclo
TOTALES
SIGUIENTE
¿Puedes ponerlos tú?
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Problemas con dos criterios de clasificación
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230
son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de
esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de
Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de
secundo ciclo?
Los datos se colocan en la tabla de doble entrada siguiente:
De
Villanueva
De fuera
TOTALES
230
De 1er ciclo
60
De 2.º ciclo
TOTALES
250
400
SIGUIENTE
A partir de los totales (en vertical y horizontal) es fácil
completar las restantes casillas de la tabla.
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Problemas con dos criterios de clasificación
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230
son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de
esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de
Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de
secundo ciclo?
Los datos se colocan en la tabla de doble entrada siguiente:
De
Villanueva
De fuera
De 1er ciclo
140
90
230
De 2.º ciclo
110
60
170
TOTALES
250
TOTALES
400
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En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230
son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de
esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de
Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de
secundo ciclo?
De
Villanueva
De fuera
De 1er ciclo
140
90
230
De 2.º ciclo
110
60
170
TOTALES
250
TOTALES
Resulta ahora fácil contestar a las
preguntas:
400
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Problemas con dos criterios de clasificación
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230
son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de
esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de
Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de
secundo ciclo?
De
Villanueva
De fuera
De 1er ciclo
140
90
230
De 2.º ciclo
110
60
170
TOTALES
250
TOTALES
Resulta ahora fácil contestar a las
preguntas:
a) De un total de 400 alumnos,
hay 110 que cumplen la
condición. La probabilidad es:
110/400 = 0,275 = 27,5 %
400
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Problemas con dos criterios de clasificación
En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230
son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de
esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de
Villanueva?
b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de
secundo ciclo?
De
Villanueva
De fuera
De 1er ciclo
140
90
230
De 2.º ciclo
110
60
170
TOTALES
250
TOTALES
400
Resulta ahora fácil contestar a las
preguntas:
a) De un total de 400 alumnos,
hay 110 que cumplen la
condición. La probabilidad es:
110/400 = 0,275 = 27,5 %
b) El total es ahora 150, los alumnos
de fuera. Cumplen la condición 60
de ellos. Luego, la probabilidad es:
60/150 = 0,4 = 40 %
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Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números
Dirección: http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/
En esta dirección tenemos acceso a la
comprobación experimental de ciertas
paradojas de probabilidad.
Para conocerlo, sigue este enlace.
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