TEMAS DE CÁLCULO INTEGRAL
El método de los
casquetes
cilíndricos
por Aquiles Páramo Fonseca
Departamento de Matemáticas- Universidad de Los Andes
Bogotá – Colombia - Junio del 2004
Temas
Introducción
Planteamiento general
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo final
◙
Introducción
Cebollas y troncos de
madera
¿Qué es el método de los casquetes cilíndricos?
Es un método de cálculo integral que permite
evaluar volúmenes de sólidos de revolución.
En ciertas situaciones es el único método viable.
El método de las secciones transversales no
siempre es fácil de aplicar y a veces no puede
aplicarse en absoluto.
Por ejemplo…
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera
al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el
primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y
la vertical x = 3.
El método de las secciones transversales
Para calcular el volumen
se podría pensar en
utilizar el método de las
secciones transversales.
En este caso serían
secciones horizontales.
Pero…
y=
−x3
+
4x2
− 3x + 1
x=?
Las secciones transversales
son, en unas zonas del
sólido, discos completos y,
en otras, arandelas, es decir,
discos con hueco.
Además es necesario
expresar tanto el radio de
los discos como el radio
interior y exterior de las
arandelas en función de la
variable y, lo que no es fácil
de lograr en este caso.
En cambio…
El método de los casquetes
cilíndricos funciona muy
bien en este caso.
Consiste en dividir el sólido
de revolución en una serie
de casquetes cilíndricos que
se incrustan los unos dentro
de los otros y en integrar
luego los volúmenes de
estos casquetes para obtener
el volumen total.
Cebollas y troncos de madera
Es importante entender bien la estructura geométrica
involucrada en el método de los casquetes cilíndricos.
Cebollas y troncos de madera
Cebollas y troncos de madera
Otros nombres del método
de las “capas” cilíndricas.
de los “cascarones” cilíndricos.
de las “cáscaras” cilíndricas
de las “envolturas” o “envolventes” cilíndricas.
En inglés: “cylindrical shells”
◙
Planteamiento general
El método de los
casquetes cilíndricos
Antes que nada…
El volumen de un
casquete cilíndrico se
calcula restando el
volumen del cilindro
interior al volumen del
cilindro exterior:
V  V 2  V1
  r2 h   r1 h
2
2
Así que…
V  V 2  V1
  r2 h   r1 h
2
2
  ( r2  r1 ) h
2
2
  ( r2  r1 )( r2  r1 ) h
 r2  r1 
 2 
 ( r2  r1 ) h
 2 
 2  rh  r
El volumen de un casquete cilíndrico
V  2  rh  r
V = (circunferencia)(altura)(grosor)
El volumen de un casquete cilíndrico
V  2  rh  r
V = (circunferencia)(altura)(grosor)
El problema general
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera
al hacer girar alrededor del eje y la región que está
comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x
y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.
El problema general
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera
al hacer girar alrededor del eje y la región que está
comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x
y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.
El problema general
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera
al hacer girar alrededor del eje y la región que está
comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x
y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.
El método de los casquetes cilíndricos
Dividimos el intervalo [a, b]
en n subintervalos todos del
mismo ancho.
Sea xi* el punto medio del
subintervalo i-ésimo.
Consideramos el rectángulo
Ri construido sobre el
subintervalo i-ésimo con
una altura de f (xi*).
Lo hacemos girar en torno
del eje y.
El método de los casquetes cilíndricos
Se produce un casquete
cilíndrico que tiene como
volumen:
V i  (2  x i *) f ( x i *)  x
El método de los casquetes cilíndricos
Se ponen n casquetes
cilíndricos de éstos, los
unos dentro de los otros.
Se suman todos sus
volúmenes:
n
V 
n
 V   (2 x *) f ( x *)  x
i
i 1
i
i 1
i
El método de los casquetes cilíndricos
La aproximación al
volumen del sólido será
mejor entre más grande
sea n, el número de
casquetes cilíndricos.
Se puede mostrar que:
n
V  lim
n 
 (2 x *) f ( x *)  x  
i
i 1
b
2  x f ( x ) dx
i
a
Regla general
El volumen del sólido de revolución que se genera al
hacer girar alrededor del eje y la región que está
comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje
x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b,
está dado por la integral:
V 

b
2  x f ( x ) dx
a
◙
Ejemplo 1
El problema del
comienzo
Recordando…
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera
al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el
primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y
la vertical x = 3.
Recordando…
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera
al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el
primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y
la vertical x = 3.
El método de los casquetes cilíndricos
Dividimos el sólido de
revolución en una serie
de casquetes cilíndricos
que se incrustan los unos
dentro de los otros.
El método de los casquetes cilíndricos
La altura de los casquetes
cilíndricos varía de
acuerdo a la función:
f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1
La integral para el volumen es:

3
2  x f ( x ) dx 
0
 2
 2


3
x (  x  4 x  3 x  1) dx
3
2
0
3
(  x  4 x  3 x  x ) dx
4
3
2
0
3
 x
x 
99
4
3
 2  
x x 

 
2 0
5
 5
5
2
◙
Ejemplo 2
El volumen de un cono
El problema del cono
Demostrar, empleando el
método de los casquetes
cilíndricos, que el volumen
de un cono de altura h y
con radio r en su abertura
está dado por:
V 
1
3
 r h.
2
Generando el cono
El cono puede ser visto como el sólido que se produce al
hacer girar, alrededor del eje y, la región triangular cuyos
vértices son (0,0), (r,0) y (0,h), donde h y r son números
reales positivos.
Generando el cono
La ecuación de la recta que pasa por los puntos (r,0)
y (0,h) es y = ( −h/r ) x + h, puesto que su pendiente
es m = − h/r y su intercepto con el eje y es el punto
(0,h).
El método de los casquetes cilíndricos
Construimos el cono
mediante una serie de
casquetes cilíndricos,
incrustados los unos
dentro de los otros.
h
r
Los radios varían de 0 a r
y las alturas de 0 a h.
El método de los casquetes cilíndricos
Los casquetes cercanos al
centro son altos y su
radio es pequeño,
mientras que los que se
sitúan más al exterior
tienen un radio amplio
pero su altura es pequeña.
El método de los casquetes cilíndricos
La altura de los casquetes
cilíndricos está dada por
la recta
y = ( −h/r ) x + h.
La integral para el volumen es:
V 

r
(2  x ) f ( x ) dx
0
 2

 2 h
r
x  (  h r ) x  h  dx
0

r
0
r
x
1 2
x 


 x  x  dx  2  h 

r
2
3
r



0
2
3
 r2 r3 
1
2  1 
2
 2 h 


2

r
h


r
h
 

3r 
6 3
 2
◙
Ejemplo 3
Una región delimitada por
dos curvas
Una región delimitada por dos curvas
Hallar el volumen del sólido de
revolución que se genera al hacer
girar, alrededor del eje y, la
región que está delimitada por la
parábola y = − x2 + 4x − 3, por la
cúbica y = x3 − 6x2 + 12x − 5 y
por las verticales x = 1 y x = 3.
El sólido de revolución
Dos funciones involucradas
En este caso, a diferencia de
los ejemplos anteriores, hay
dos funciones involucradas
que son:
g ( x)  x  6 x  12 x  5
3
2
f (x)   x  4 x  3
2
El método de los casquetes cilíndricos
Consideremos que este
sólido está formado por
una serie de casquetes
cilíndricos incrustados
los unos dentro de los
otros.
La altura de un casquete cilíndrico
Esta vez, los casquetes no sólo
varían en cuanto a su radio y a
su altura, sino que varían
además en cuanto a su
ubicación respecto del eje x:
Arriba: y = x3 − 6x2 + 12x − 5
Abajo: y = − x2 + 4x − 3
La altura de un casquete cilíndrico
En este caso, un casquete
cilíndrico de radio x tiene
como altura:
g ( x)  f ( x)
 ( x  6 x  12 x  5)  (  x  4 x  3)
3
2
 x  5 x  8 x  2.
3
2
2
La integral para el volumen es:

3
2  x  g ( x )  f ( x )  dx 
1
 2



3
2  x  x  5 x  8 x  2  dx
3
2
1
3
x
5x
8x
2
 x  5 x  8 x  2 x  dx  2   5  4  3  x 

1
5
4
1

3
3
4
3
2
3
292
12 x  75 x  160 x  60 x  
.


1
30
15
5
4
3
2
◙
Ejemplo final
La región gira alrededor de
una vertical distinta al eje y
El problema
Hallar el volumen del sólido de revolución que se produce
al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1, la región
que está comprendida entre el eje x, la curva y = f (x) y las
rectas verticales x = 2, x = 3, donde
f ( x)  2 
x  2x.
2
El sólido de revolución
f ( x)  2 
x  2x.
2
Lo especial de este ejemplo
El radio de un casquete
cilíndrico cualquiera, que tiene
como altura f (x), es x − 1, y no
x como en los casos anteriores,
porque el sólido tiene como eje
de rotación a la recta x = 1.
La integral del volumen
En este caso, la integral del
volumen es:
V 

3

2  ( x  1) 2 
2

x  2 x dx
2
La integral del volumen
V 


3
2  ( x  1) 2 
2
 4

3
( x  1) dx  2 
2

x  2 x dx
2

3
( x  1) x  2 x dx
2
2
La primera integral no tiene problema. Para evaluar la
segunda podemos hacer la sustitución u = x2 − 2x.
Por lo tanto, du = 2(x − 1)dx.
Los límites de integración: si x = 2, entonces u = 0 y si
x = 3, entonces u = 3. Así:
La integral del volumen
V  4

3
( x  1) dx  
2
3

3
u
1 2
du
0
3
x

2 3 2
 4 
 x  
u
 6   2 3


3
0
 2
2
2
◙
FIN
Bibliografía y créditos
Edwards, Henry - Penney, David. Calculus: Early
Transcendetals Version, Sixth Edition, Prentice-Hall,
2003, Chapter 6.3. Volumes by the Method of
Cylindrical Shells, p. 419-427.
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, Fifth
Edition, Brooks/Cole, 2003, Chapter 6.3: Volumes by
Cylindrical Shells, p. 455-459.
Swokowski, Earl. Cálculo con geometría analítica,
Grupo Editorial Iberoamérica, 1989, Capítulo 6.3.
Determinación de volúmenes mediante envolventes
◙
Descargar

Volumen de un casquete cilíndrico