I. Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III. La línea recta
IV. Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI. La parábola
VII. La elipse
VIII. La hipérbola












Introducción
Segmento rectilíneo dirigido
Sistema coordenado lineal
Sistema coordenado en el plano
Carácter de la Geometría Analítica
La distancia entre dos puntos
División de un segmento en una razón dada
La pendiente de una recta
Significado de “condición necesaria y suficiente”
El ángulo entre dos rectas
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Resumen de fórmulas
 E s el estu d io d e la g eo m etría
u san d o lo s p rin cip io s d el
álg eb ra.
 E s la u n ió n d e la g eo m etría
y el álg eb ra
Ecuaciones
en dos
variables
Figuras
geométricas
en el plano
Ecuaciones
en x e y
Figuras en
el plano
4x  2 y  5
4x  2 y  5 
 3 x  y  4 xy  2 x  y  5
5
3
2
 3 x  y  4 xy  2 x  y  5
5
3
2
3 x  y  4 xy  2 x  y  7  0
2
2
3 x  y  4 xy  2 x  y  7  0
2
2
7x  3y  2x  y  7
2
2
7x  3y  2x  y  7
2
2
Los aspectos históricos presentados ha
continuación han sido obtenidos en su
totalidad de la Wikipedia en español:
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C
3%ADa_Anal%C3%ADtica
E l sistem a co o rd en ad o q u e caracteriza a la
G eo m etría A n alítica fu e in tro d u cid o p o r
p rim era vez en 1 6 3 7 p o r el m atem ático
fran cés R en é D escartes (1 5 9 6 -1 6 5 0 ).
P o r esta razó n , la G eo m etría A n alítica
se co n o ce tam b ién co n el n o m b re d e
G eo m etría C artesian a.
P or la parte que tom a en la unificación
de las diversas ram as de las m atem áticas ,
la introducción de la G eom etría A nalític a
representa uno de los adelantos m ás
im portantes en el desarrollo de las
m atem áticas.
E xiste una cierta controversia sobre la verdadera
paternidad de este m étodo. Lo único cierto es que
se publica por prim era vez com o " G eom etría
analítica ", en un apéndice al D iscurso del m étodo
de D escarte s.
S e sabe que P ierre de Ferm at conocía y u tilizaba
el m étodo antes de su publicación por D e scartes.
A unque O m ar K hayyam ya en el siglo X I
utilizara un m étodo m uy parecido para
determ inar ciertas intersecciones entre
curvas, es im posible que alguno de los
citados m atem áticos franceses tuvieran
acceso a su obra.
E l nom bre de geom etría analítica corrió parejo al de geom etría
cartesiana, y am bos son indistinguibles.
H oy en día, paradójicam ente, se prefiere denom inar geom etría
cartesiana al apéndice del D iscurso d el m étodo , m ientras que se
entiende que geom etría analítica com prende no sólo a la
geom etría cartesiana (en el sentido que acabam os de citar, es
decir, al texto del apéndice del D iscurso del m étodo ), s i no
tam bién todo el desarrollo posterior de la geom etría que se basa
en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las
figuras m ediante funciones — algebraicas o no.
H oy en día, paradójicam ente, se prefiere denom inar geom etría
cartesiana al apéndice del D iscurso del m étodo .
S e dice "paradójicam ente" porque se usa
precisam ente el térm ino "geom etría carte siana"
para aquello que el propio D escartes bau tizó
com o "geom etría analítica".
E l problem a es que durante ese periodo n o existe
una diferencia clara entre geom etría ana lítica y
análisis m atem ático — esta falta de diferencia se
debe precisam ente a la identificación he cha en la
época entre los conceptos de función y curva— ,
por lo que resulta a veces m uy difícil intentar
determ inar si el estudio que se está rea lizando
corresponde a una u otra ram a.
L a g eo m etría d iferen cial d e cu rvas sí p e rm ite
u n estu d io m ed ian te u n sistem a d e co o rd e n ad as,
ya sea en el p lan o o en el esp acio trid im en sio n al.
P ero en el estu d io d e las su p erficies, e n g en eral,
ap arecen serio s o b stácu lo s. G au ss salva d ich o s
o b stácu lo s crean d o la g eo m etría d iferen c ial, y
m arcan d o co n ello el fin d e la g eo m etría an alítica
co m o d iscip lin a. E s co n el d esarro llo d e la
g eo m etría alg eb raica cu an d o se p u ed e certificar
to talm en te la su p eració n d e la g eo m etría an alítica .
En este curso, de
Geometría Analítica Plana,
nos limitaremos a:
Las líneas rectas
Las secciones cónicas, que son:
La elipse (y la circunferencia como caso especial)
La parábola
La hipérbola
Las líneas rectas en el plano
Las ecuaciones lineales en dos variables .
E s decir, todas las ecuaciones de la for m a
ax  by  c  0
donde a , b y c son núm eros reales y a  0 ó b  0
Las cónicas o casos degenerados
de ellas en el plano

Las ecuaciones de segundo grado en dos v ariables.
E s decir, todas las ecuaciones de la form a
A x  B xy  C y  D x  E y  F  0
2
2
donde A , B , C , D , E y F son núm eros reales y
alguno de los num eros A , B , C es distinto d e cero.
¡N o toda ecuación de
segundo grado en dos
variables tiene asociada
una curva!
M ás adelante verem os
algunos ejem plos.
La porción de una línea recta com prendid a entre
dos de sus p untos se llam a segm ento recti líneo o
sim plem en te segm ento.
l
A
B
La porción de una línea recta com prendid a entre dos de sus
puntos se llam a segm ento rectilíneo o sim plem ente segm ento.
l
A
B
Los dos puntos se llam an extrem os del
segm ento y lo denotam os com o A B
La porción de una línea recta com prendid a entre dos de sus
puntos se llam a segm ento rectilíneo o sim plem ente segm ento.
l
A
B
L a lo n g itu d d el seg m en to A B
la d en o tarem o s co m o A B
l
A
B
P ara los fines de la G eom etría A nalítica agregarem os
el concepto de sentido ó dirección. D esd e este punto
de vista el segm ento A B es generado por un punto
que se m ueve a lo largo de la línea l de A hacia B .
E ntonces el segm ento A B está dirigido de A a B y se
indica por m edio de la flecha A B .
E l punto A es el origen o punto inicial y B es el
extrem o o punto final.
S e p u ed e o b ten er el m ism o seg m en to
d e recta d irig ién d o se d e B a A.
E l p u n to B es el o rig en y A es el
ex t rem o , este seg m en to se d esig n a
p o r B A.
E l sen tid o d e u n seg m en t o d irig id o
se in d ica escrib ien d o p r im ero el o rig en .
E n G eom etría A nalítica si la longitud
del segm ento A B es positiva entonces
la longitud del segm ento B A es negativa:
AB   BA
Considerando 3 puntos sobre una línea recta:
A
B
C
B
A
B
C
C
A
AB  BC  AC
BA  AC  BC
CB  BA  CA
Considerando 3 puntos sobre una línea recta:
A
B
C
C
C
A
B
A
B
AC CB  AB
BC CA  BA
CA  AB  CB
Son 3!=3*2*1=6 posibles combinaciones:
A
B
C
A
B
C
B
A
B
C
C
A
C
C
A
B
A
B
AB  BC  AC
BA  AC  BC
CB  BA  CA
AC CB  AB
BC CA  BA
CA  AB  CB
S e puede dem ostrar, que todas
estas relaciones están incluidas
en la relación fundam ental :
AB  BC  AC
A
B
C
AB  BC  AC
S e puede dem ostrar que todas esas relaciones
estan incluidas en la relación fundam ental :
AB  BC  AC
V eam o s, p o r ejem p lo , A C  C B  A B :
Y a vim o s q u e C B   B C ,
d e m an era q u e p o d em o s escrib ir A C  C B  A B
co m o
AC  BC  AB
A rreg lan d o lo s térm in o s
AC  AB  BC
S e puede dem ostrar que todas esas relaciones
estan incluidas en la relación fundam ental :
O tro ejem p lo ,
AB  BC  AC
CA  AB  CB :
Y a vim o s q u e C A   A C y C B   B C ,
d e m an era q u e p o d em o s escrib ir C A  A B  C B
co m o
 AC  AB   BC
A rreg lan d o lo s térm in o s o b ten em o s
AC  AB  BC
En el artículo anterior hemos introducido
los conceptos de dirección y signo con
respecto a los segmentos rectilíneos.
Ahora vamos a dar un paso más
introduciendo la idea de correspondencia
entre un punto geométrico y un número
real.
C onsiderem os en la figura una recta X X '
cuya dirección positiva es de izquierda
a derecha.
S ea O un punto fijo sobre esta linea.
T o m em o s u n a lo n g itu d co n ven ien te
co m o u n id ad d e m ed id a: S i A es u n
p u n to d e X X ' d istin to d e O y
situ ad o a su d erech a, la lo n g itu d O A
p u ed e co n sid erarse co m o u n id ad d e
lo n g itu d .
S i P es u n p u n to cu alq u iera d e X X ', situ ad o
a la d erech a d e O , y tal q u e el seg m en to
d irig id o O P , d e lo n g itu d p o sitiva, co n tien e
x veces a la u n id ad ad o p tad a d e lo n g itu d ,
en to n ces d irem o s q u e el p u n to P
co rresp o n d e al n ú m ero p o sitivo x .
A n álo g am en te, si P ' es u n p u n to cu alq u iera
d e X X ' situ ad o a la izq u ierd a d e O y tal q u e
el seg m en to d irig id o O P ' ten g a u n a lo n g itu d
n eg ativa d e x ' u n id ad es, en to n ces d irem o s
q u e el p u n to P ' co rresp o n d e a1 n ú m ero
n eg ativo x '.
D e esta m anera, cualquier núm ero real x p uede representarse
por un punto P sobre la recta X X '. Y recip rocam ente,
cualquier punto dado P situado sobre la r ecta X X ' representa
un núm ero real x , cuyo valor num érico es igual a la longitud
del segm ento O P y cuyo signo es positivo ó negativo según
que P esté a la derecha o a la izquierda de O .
D e acuerdo con esto , hem os construido u n
esquem a por m edio del cual se establece u n a
correspondencia biunivoca entre puntos d e
una recta y los núm eros r eales.
T al esquem a se llam a un sistem a coorde nado.
E n el caso particular considerado,
com o todos los puntos estan sobre
la m ism a r ecta , el sistem a se llam a
sistem a unidim ensional o sistem a
coordenado li neal.
L a recta X X ' se llam a eje y el p u n to O
es el o rig en d el sistem a co o rd en ad o lin e al.
E l n ú m ero real x co rresp o n d ien te al p u n to
P se llam a co o rd en ad a d el p u n to P y se
rep resen ta p o r
 x .
E videntem ente , de acuerdo con
las convenciones adoptadas,
el origen O tiene por coordenada
0 
y el punto A tiene por coordenada 1  .
E l punto P con su coordenada
x
es la repre sentación
geom étrica o gráfica del núm ero real x , y la coordenada
x
es la representación analitica del punto P .
O rdinariam ente escribirem os el punto P y su coord enada
juntos, tal com o sigue: P  x 
E s im portante hacer notar que la corresp ondencia
establecida por el sistem a coordenado lineal es única.
E s decir, a cada núm ero corresponde uno y
solam ente un punto sobre el eje, y a cad a punto
del eje co rrespode uno y solam ente un núm ero real.
En la línea recta X'X, la dirección positiva
es de izquierda a derecha.
O es un punto fijo
A está a la derecha de O
OA es la unidad.
A este esquema se le llama sistema coordenado.
El caso tratado, en el cual todos los puntos están sobre una
línea recta, se llama sistema coordenado lineal.
La recta X'X se llama eje
Al punto O se le llama origen
El número real x que corresponde al punto P se le
llama coordenada del punto P y se representa por (x)
El origen O tiene coordenada (0) y el punto A -
unidad- tiene coordenada (1).
V am os a determ inar ahora la longitud del
segm ento que une dos puntos dados
cualesquiera , tales com o P1 ( x1 ) y P2 ( x 2 )
de la figura.
La longitud de un segmento que une dos puntos
cualesquiera tales como P1(x1) y P2(x2) es
O P1  P1 P2  O P2
p ero , O P1  x1
y
O P2  x 2
P o r tan to , x1  P1 P2  x 2
d e d o n d e,
P1 P2  x 2  x1
En cualquier caso, la longitud de un segmento
dirigido se obtiene restando la coordenada del
punto inicial de la coordenada del punto final.
P1 P2  x 2  x1
Teorema.- En un sistema coordenado
lineal, la longitud del segmento dirigido
que une dos puntos dados se obtiene, en
magnitud y signo, restando la coordenada
del origen de la coordenada del extremo.
Teorema.- En un sistema coordenado lineal, la longitud del
segmento dirigido que une dos puntos dados se obtiene, en
magnitud y signo, restando la coordenada del origen de la
coordenada del extremo.
L a d istan cia en tre d o s p u n to s se d efin e co m o
el valo r n u m érico o valo r ab so lu to d e la
lo n g itu d d el seg m en to rectilín eo q u e u n e eso s
d o s p u n to s.
d  P1 P2  x1  x 2
d  P2 P1  x 2  x1
P odem os establecer una relación
entre conjuntos de puntos en un
sistem a coordenado lineal (una
dim ensión) y ecuaciones con
una sola variable.
P odem os establecer una relación entre co njuntos de puntos en un sistem a
coordenado lineal (una dim ensión) y ecua ciones con una sola variable.
L a ecu ació n
x  3  5x  1
rep resen ta al p u n to
x  
1
2
X '
X
x  
1
2
O
P odem os establecer una relación entre co njuntos de puntos en un sistem a
coordenado lineal (una dim ensión) y ecua ciones con una sola variable.
L a ecu ació n
x  x6  0
2
rep resen ta a lo s p u n to s
x  2 y x  3
X '
X
x  2
O
x  3
P odem os establecer una relación entre co njuntos de puntos en un sistem a
coordenado lineal (una dim ensión) y ecua ciones con una sola variable.
L a relació n
x    1,1 
rep resen ta a to d o s lo s p u n to s
en tre -1 y 1 , in clu yen d o lo s
X '
X
x  1
O
x 1
E n u n sistem a co o rd en ad o lin eal, cu yo s p u n to s
están restrin g id o s a estar so b re u n a rec ta, el eje,
es evid en te q u e estam o s ex trem ad am en te
lim itad o s en la in vestig ació n an alítica d e las
p ro p ied ad es g eo m étricas.
E s, p o r ejem p lo , im p o sib le estu d iar las
p ro p ied ad es d e lo s p u n to s d e u n a
circu n feren cia.
P ara ex ten d er la u tilid ad d el m eto d o an a litico ,
co n sid erarem o s ah o ra u n sistem a co o rd en a d o en
el cu al u n p u n to p u ed e m o verse en to d as las
d ireccio n es, m an ten ien d o se siem p re en u n p lan o .
E ste se llam a sist em a co o rd en ad o -b id im en sio n al
o p l an o , y es el sistem a co o rd en ad o u sa d o en la
G eo m etría A n alítica P l an a.
E l prim er ejem plo que estudiarem os de un o de
estos sistem as, y adem ás el m ás im portan te, es el
sistem a
coordenado
rectangular.
E ste sistem a, indicado en la figura, con sta de dos rectas
dirigidas X X ' e YY ', llam adas ejes de coorde nadas ,
perpendiculares entre si.
La recta X X ' se llam a eje X
YY ' es el eje Y
E l punto de intersección O ,
el origen .
E stos ejes coordenados dividen a1 plano en cuatro
regiones llam adas cuadrantes, num erados tal com o
se indica en la figura.
La dirección positiva del eje X es hacia la derecha;
la dirección positiva del eje Y , hacia a rriba.
T odo punto P del plano puede localizarse por m edio del
sistem a rectangular.
E n efecto, se traza P A
perpendicular a1 eje X
y P B perpendicular a1
eje Y .
L a lo n g itu d d el seg m en to
d irig id o O A se rep resen ta
p o r x y se llam a la
ab scisa d e P .
L a lo n g itu d d el seg m en to
d irig id o O B se rep resen ta
p o r y y se llam a
o rd en ad a d e P .
Los dos núm eros reales, x e y , se llam an
coordenadas de P y se representan por
 x, y  .
Los dos núm eros reales, x e y , se llam an
coordenadas de P y se representan por
Las abscisas m edidas
sobre el eje X
a la derecha de O
son positivas
y a la izquierda
son negativas.
 x, y  .
Los dos núm eros reales, x e y , se llam an
coordenadas de P y se representan por
Las ordenadas m edidas
sobre Y arriba de O
son positivas
y abajo son
negativas.
 x, y  .
Los signos de las coordenadas en los cua tro
cuadrantes están indicados en la figura.
Y
X
Y
Ordenada
Abscisa
X
Ordenada
P
y
Abscisa
x
Ordenada
Cuadrante II
Cuadrante I
Abscisa
Cuadrante III
Cuadrante IV
Ordenada
Cuadrante II
Cuadrante I
(-,+)
(+,+)
Abscisa
Cuadrante III
(-,-)
Cuadrante IV
(+,-)
D adas las coordenadas
 x, y  , x
 y,
quedan determ inados dos puntos,
uno de coordenadas
 x, y 
y otro de coordenadas
que son dife rentes .
 y, x 
D ad as las co o rd en ad as
 x, y  ,
x  y , q u ed an
d eterm in ad o s d o s p u n to s, u n o d e co o rd en a d as
 x, y 
y o tro d e co o rd en ad as
 y, x 
q u e so n d ifere n tes.
D e aquí que sea im portante escribir las
coordenadas en su propio orden, escribie ndo la
abscisa en el prim er lugar y la ordenada en el
segundo. P or esta razón, un par de coord enadas
en el plano se llam a un par ordenado de
núm eros reales.
E n vista d e n u estra d iscu sió n an terio r,
p o d em o s d ecir q u e
el sistem a co o rd en ad o rectan g u lar en
el p lan o estab lece u n a co rresp o n d en cia
b iu n ívo ca en tre cad a p u n to d el p lan o y
u n p ar o rd en ad o d e n ú m ero s reales.
La localización de un punto
por m edio de sus coordenadas
se llam a trazado del punto.
La localización de un punto por m edio de sus
coordenadas se llam a trazado del punto.
P or ejem plo, para trazar el punto
  5,  6  ,
señalarem os prim ero el punto A , sobre el eje X ,
que está 5 unidades a la izquierda de O ;
después , a partir de A , sobre una parale la al
eje Y , m edirem os seis unid ades hacia abajo del
eje X , obteniendo así e1 punto P   5,  6  .
La localización de un punto por m edio de sus
coordenadas se llam a trazado del punto.
S i consideram os solam ente aquellos punto s cuyas
ordenadas son cero , verem os que todos e llos
están sobre el eje X , y el sistem a coorde nado
plano se reduce a1 sistem a coordenado lineal.
P or lo tanto, el si stem a coordenado lineal es,
sim plem ente, un caso especial del sistem a
plano .
O tro sistem a plano m uy utilizado
es el sistem a de coordenadas polares.
Las coordenadas polares se estudiarán
en otro curso.
E n los sistem as coordenados que han
sido estudiados, se establece una
correspondencia entre los puntos y el
conjunto de los núm eros reales.
N o se ha hecho m ención de los núm eros
com plejos.
E n este curso n o se considerarán.
5
4
(x3,y3)
3
(x1,y1)
2
1
(x2,y2)
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
-1
(x4,y4)
-2
-3
-4
-5
(x5,y5)
5.00
5
4
(-3,3)
3
(2,2)
2
1
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0
0.00
(0.5,0.5)
1.00
2.00
3.00
4.00
-1
(-3,-1)
-2
-3
-4
-5
(4,-3)
5.00
La G eom etría E lem ental, se llam a G eom etr ía pura
para distinguirla de la G eom etría A nalít ica.
P or m edio de un sistem a coordenado es po sible
obtener una correspondencia biunivoca en tre
puntos y núm eros reales. E sto, com o verem os, nos
perm itirá aplicar los m étodos del A nális is a la
G eom etría , y de ahí el nom bre de G eom et ria
A nalítica.
A l ir avanzando en nuestro estudio verem os, por
ejem plo , cóm o pueden usarse, ventajosam ente,
los m étodos algebraicos en la resolución de
problem as geom étricos.
R eciprocam ente, los m étodos de la G eom et ría
A nalítica pueden usarse para obtener una
representación geom étrica de las ecuacio nes y
de las relaciones funcionales.
E l sistem a coordenado que caracteriza a la G eom etría
A nalítica fue introducido por prim era ve z en 1637 por
el m atem ático francés R ené D escartes (15 96-1650).
P or esta razón, la G eom etría A nalítica s e cono ce
tam bién con el nom bre de G eom etría C arte siana.
P or la parte que tom a en la unificación de las diversas
ram as de las m atem áticas , la introducción de la
G eom etría A nalítica representa uno de lo s adelantos
m ás im portantes en el desarrollo de las m atem áticas.
E n G eom etría pura, generalm ente es nece sario
aplicar un m étodo especial o un artifici o, a la
solución de cada problem a; en la G eom etr ía
A nalítica, por el contrario, una gran va riedad
de problem as se pued en resolver m uy
fácilm ente por m edio de un procedim iento
uniform e asociado con el uso de un siste m a
coordenado.
S e debe tener siem pre presente que se es tá
siguiendo un curso de G eom etría A nalític a
y que la solución de un problem a geom étrico
no se ha efectuado por G eom etría A nalítica
si no se ha em pleado un sistem a coordenado.
S egún esto, un buen plan para com enzar la
solución de un problem a es trazar un
sistem a de ejes coordenados propiam ente
designados.
Lo anterior es de particular im portancia en los prim eros
pasos de la G eom etría A nalítica, porque un defecto
m uy com ún del principiante es que si el problem a
que trata de resolver se le dificulta, e stá propenso a
caer en los m étodos de la G eom etría pura .
S e debe hacer un esfuerzo para evitar es ta tendencia
y para adquirir el m étodo y el espíritu analitico lo
m ás pronto posible.
139. D efinición. D os triángulos son sem e jantes
139. D efinición. D os triángulos son sem e jantes
cuando tienen sus ángulos respectivam ente
cuando tienen sus ángulos respectivam ente
iguales y sus lados proporcionales.
E l signo de sem ejanza es
.
iguales y sus lados proporcionales.
S í  A   A ,  B   B  y  C   C 
AB
AB 

BC
B C 

CA
C A 
E l signo de sem ejanza es
e ntonces  A B C
 A  B C 
.
S í  A   A  ,  B   B  y  C   C ,
139. D efinición. D os triángulos son sem e jantes
cuando tienen sus ángulos respectivam ente
y
AB
AB 
BC


E l signo de sem ejanza es
.
S í  A   A ,  B   B  y  C   C 
B C 
AB
AB 

BC
B C 

CA
C A 
e ntonces  A B C
entonces
CA
iguales y sus lados proporcionales.
ABC
C A 
 A  B C 
 A  B C 
P ara asegurar la sem ejanza de dos triáng ulos no es
necesaria la com probación de todas estas condiciones,
pues el hecho de tener algunas nos determ ina todas
las dem ás, con las diferencias que im plique cada caso.
1 4 0 . L ad o s h o m ó lo g o s. S o n lo s lad o s q u e
se o p o n en a lo s án g u lo s ig u ales.
E n la fig u ra so n lad o s h o m ó lo g o s:
A B y A  B ;
B C y B C ;
C A y C A 
1 4 1 . P ro p ied ad es d e la sem ejan za d e triá n g u lo s
1 ) Id en tid ad . T o d o trián g u lo es sem ejan t e a si
m ism o .  A B C
ABC
2 ) R ecip ro cid ad . S i u n trián g u lo es sem e jan te
a o tro , éste es sem ejan te al p rim ero .
Si ABC
 A  B C  tam b ién  A  B C 
ABC
3 ) D o s trián g u lo s sem ejan tes a u n tercer o , so n
sem ejan tes en tre sí.
Si ABC
en to n ces
 A  B C  y  A  B C 
ABC
 A  B C 
 A  B C 
D os triángulos son sem ejantes cuando
tienen sus ángulos respectivos iguales
y sus lados son proporcionales.
D os triángulos rectángulos son sem ejante s
cuando tienen un ángulo agudo igual
E n un triángulo rectángulo la sum a de
los cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa
a b c
2
2
2
a
c
b
E n un triángulo rectángulo la sum a de
los cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa.
a b c
2
2
2
a
c
b
D e la sem ejanza entre los triángulos A B C y A H C ,
b
b´

c
b
, lo cual im plica que b  b´c
2
D e la sem ejan za en tre lo s trián g u lo s A B C y B H C ,
a
a´

c
a
, lo cu al im p lica q u e a  a´ c
2
a  a ´c
2
b  b´c
2
A sí q u e
a  b  a ´c  b´c  c  a ´ b´ 
2
2
p ero a ´ b´ c , así q u e
a b c
2
2
2
S ean P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) d o s p u n to s d ad o s
cu alesq u iera.
V am o s a d eterm in ar la d istan cia d en tre
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ),
sien d o
d  P1 P2
P or P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) tracem os las
perpendiculares P1 A y P2 D a am bos ejes
coordenados, com o
se indica en la figura,
y sea E su punto de
intersección.
P o r el teo rem a d e P itág o ras ten em o s:
d
2
 P1 P2
2
 P2 E
2
 E P1
2
L as co o rd en ad as d e lo s p ies d e las p erp e n d icu lares
a lo s ejes co o rd en ad o s so n A ( x1 , 0 ), B (0, y1 ),
C ( x 2 , 0 ) y D (0, y 2 ).
P o r lo tan to ,
P2 E  C A  x1  x 2
y
E P1  D B  y1  y 2
d
2
 P1 P2
2
 P2 E
P2 E  C A  x1  x 2
2
 E P1
2
E P1  D B  y1  y 2
T en em o s en to n ces
d
2

 x1 
x 2  +  y1  y 2 
2
2
q u e trivialm en te n o s d a
d 
 x1 
x 2  +  y1  y 2 
2
2
T eorem a 2. La distancia d , entre dos
puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ), está dada
por la form ula: d 
 x2
 x1    y 2  y1 
2
2
T eo rem a 2. L a d istan cia d en tre d o s p u n to s
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) está d ad a p o r la fo rm u la:
d 
 x2
 x1  
2
 y2
 y1 
2
Notas:
1. El resultado del teorema es completamente
general e independiente de la posición de los
puntos.
2. La distancia es positiva, por esa razón no se toma
en cuenta el signo negativo del radical.
http://www.licim
ep.org/geometria
analitica.htm
T eo rem a 3 : S i P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) so n lo s
ex trem o s d e u n seg m en to P1 P2 , las
co o rd en ad as ( x , y ) d el p u n to P q u e d ivid e
a este seg m en to en u n a razó n d a d a
r  P1 P : P P2
x 
x1  r x 2
1 r
so n :
y
y 
y1  ry 2
1 r
con r   1
D em ostración: P or los puntos P1 , P , P2 , trace m os
perpendiculares a los ejes coordenados, com o se
indica en la figura
P or G eom etría elem ental , las tres recta s paralelas
P1 A1 , P A y P2 A2 , intersectan segm entos
proporcionales sobre las dos transversales P1 P2 y A1 A2 .
P or lo tanto,
podem os escribir
P1 P
P P2

A1 A
A A2
Las coordenadas de los pies de las perpe ndiculares
a1 eje X son A1 ( x1 , 0), A ( x , 0), A2 ( x 2 , 0).
P or tanto,
es claro,
por lo que ya vim os,
que
A1 A  x  x1
A A2  x 2  x
P1 P
r 
P P2
r 

A1 A
A A2
A1 A  x  x1
x  x1
x2  x
de donde
x 
x1  rx 2
1 r
siem p re q u e r   1
A A2  x 2  x
P ara las o rd en ad as ten em o s
P1 P
P P2
r 

B1 B
=
B B2
y  y1
y2  y
y  y1
y2  y
de donde
x 
y1  ry 2
1 r
siem p re q u e r   1
y p o r tan to ,
E n el caso particular en que P es el punt o m edio del
segm ento dirigido P1 P2 , es r  1, de m anera que los
resultados anteriores se reducen a
x
x1  x 2
2
e
y 
y1  y 2
2
C o ro lario. L as co o rd en ad as d el p u n to
m ed io d e u n seg m en to d irig id o co n
p u n to s ex trem o s ( x1 , y1 ) y ( x 2 , y 2 ) so n
x 
x1  x 2
2
e
y 
y1  y 2
2
Notas:
1.- En geometría analítica, las relaciones deben de
ser consideradas con su signo, ya que se tratan de
segmentos rectilíneos dirigidos.
2.- Es preferible no sustituir directamente en las
formulas del teorema, sino escribir directamente
los valores de las razones.
3.- Si el punto de división P es externo al segmento
dirigido P1P2, la razón r es negativa.
La trigonometría es la rama de
las matemáticas que estudia las
relaciones entre los ángulos y los
lados de los triángulos.
E s el cateto o p u esto en tre
la h ip o ten u sa:
C
sen B 
b
a
a
sen C 
b
c
a
B
c
E s el cateto adyacente entre
la hipotenusa:
C
cos B 
c
a
cos C 
a
b
b
a
B
c
E s el cateto o p u esto en tre
el cateto ad yacen te:
tan B 
C
b
c
tan C 
a
c
b
b
B
c
E s el cateto ad yacen te en tre
el cateto o p u esto :
co t B 
c
C
b
co t C 
b
a
b
c
B
c
E s la h ip o ten u sa en tre el
el cateto ad yacen te:
sec B 
C
a
c
sec C 
a
a
b
b
B
c
E s la h ip o ten u sa en tre el
el cateto o p u esto :
sec B 
C
a
b
sec C 
a
a
b
c
B
c
sen B 
co s B 
tan B 
co t B 
sec B 
csc B 
b
a
c
a
b
C
c
c
b
a
c
a
b
a
b
B
c
Dos rectas al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos
por el vértice. Por lo tanto, la expresión “el ángulo
comprendido entre dos rectas” es ambigua.
Tal ángulo puede ser a o bien su suplemento b. Para hacer
una distinción entre estos dos ángulos, consideremos que las
rectas están dirigidas.
Definición 1
Se llama ángulo formado de dos rectas
dirigidas al formado por los lados que se
alejan del vértice.
S i l1 y l 2 son paralelas, direm os que el áng ulo
com prendido entre ellas es de 0 grados c uando
tienen la m ism a dirección, y de 180 grad os
cuando tienen direcciones opuestas.
D efinición 2. S e llam a ángulo de inclinación de una recta
al form ado por la parte positiva del eje X y la recta,
cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.
D efinición 2. S e llam a ángulo de inclina ción de una recta
al form ado por la parte positiva del eje X y la recta,
cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.
D e acuerdo con las
definiciones 1 y 2,
el ángulo de
inclinación de la
recta l es a ,
y el de l ' es a '.
D efinición 2. S e llam a ángulo de inclina ción de una recta
al form ado por la parte positiva del eje X
y la recta,
cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.
E vid en tem en te,
a p u ed e ten er
cu alq u ier valo r
en tre 0 y 1 8 0 ;
es d ecir, su in tervalo
d e variació n está
d ad o p o r
0  a  180
D efinición 2. S e llam a ángulo de inclina ción de una recta
al form ado por la parte positiva del eje X y la recta,
cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.
P ara la m ayo r
p arte d e lo s
p ro b lem as d e
G eo m etria A n alítica,
em p learem o s
m ás la tan g en te d el
án g u lo d e in clin ació n
q u e el án g u lo m ism o .
D efinición 3: S e llam a pendiente
o coeficiente angular de una
recta, a la tangente del ángulo
de inclinación.
D efinición 3: S e llam a pendiente o
coeficiente angular de una recta,
a la tangente del ángulo de inclinación.
L a p en d ien te d e u n a recta se
d en o ta co m ú n m en te p o r la
letra m ; es d ecir,
m  tan a
S i a es agudo, la pendiente es positiva , recta l .
S i a ' es obtuso, la pendiente es negativa , recta l '.
C ualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y ,
será perpendicular al eje X y su pendient e no existe.
E l ángulo que form a la recta es de 90º y la tan 90 no
está definida.
T eorem a 4 : S i P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) son dos puntos
diferentes cualesquiera de una recta y x1  x 2 ,
la pendiente de la recta es :
m  tan a 
y1  y 2
x1  x 2
(recordar que x1  x 2 )
D em o stració n : C o n sid erem o s la recta P1 P2 d e la fig u ra,
d eterm in ad a p o r lo s p u n to s P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ),
y sea a su án g u lo d e in clin ació n .
Q uerem os dem ostrar
que:
m  tan a 
y1  y 2
x1  x 2
P o r P1 y P2 tracem o s las p erp en d icu lares P1 A1 y P2 A2
al eje X , y p o r P2 tracem o s u n a p aralela a1 eje X
q u e co rte a P1 A1 en B .
Q uerem os dem ostrar
que:
m  tan a 
y1  y 2
x1  x 2
E l ángulo P1 P2 B  a , y por T rigonom etría, tendre m os
m  tan a 
B P1
P2 B
Q uerem os dem ostrar
que:
m  tan a 
y1  y 2
x1  x 2
L as coordenadas de los puntos A1 , A2 y B son
A1  x1 , 0  , A2  x 2 , 0  y B  x1 , y 2  .
P or tanto, por el teorem a 1, artículo 3, tenem os
B P1  y1  y 2
y
P2 B  A1 A2  x1  x 2
Q uerem os dem ostrar
que:
m  tan a 
y1  y 2
x1  x 2
B P1  y1  y 2
y
P2 B  A1 A2  x1  x 2
D e la figura es evidente que m  tan a 
B P1
P2 B
m  tan a 
y1  y 2
x1  x 2
Q uerem os dem ostrar
que:
m  tan a 
y1  y 2
x1  x 2
así qu e
N O T A 1.
E l valo r d e m d ad o p o r la fó rm u la
m  tan a 
y1  y 2
x1  x 2
n o está d efin id o an aliticam en te p ara x1  x 2 .
N O T A 1. E l valor de m dado por la fórm ula
m  tan a 
y1  y 2
x1  x 2
no está definido analiticam ente para x1  x 2 .
E n este caso, la interpretación geom étrica es que
una recta determ inada por dos puntos diferentes
con abscisas iguales es paralela al eje Y y, por tanto,
com o se anotó anteriorm ente, no tiene pendiente.
2 . E l o rd en en q u e se to m an las co o rd en a d as en
m  tan a 
y1  y 2
x1  x 2
n o tien e im p o rtan cia, ya q u e
y1  y 2
x1  x 2

y 2  y1
x 2  x1
O JO : S e d eb e evitar, en cam b io , el erro r m u y
frecu en te, d e to m ar las o rd en ad as en u n o rd e n
y las ab scisas en el o rd en co n trario , ya q u e
esto sí cam b ia el sig n o d e m .
N os apartarem os m om entaneam ente de
nuestro estudio de la G eom etría A nalítica
para considerar el significado de una
expresión que se presenta frecuentem ente
en las M atem áticas.
La expresión particular a que nos
referim os es:
"una condición necesaria y suficien te".
V eam o s p rim ero su sig n ificad o co n u n eje m p lo .
C o n sid erem o s el sen cillo teo rem a sig u ien te d e
la G eo m et ría elem en tal :
S i u n trián g u lo es isó sceles, lo s án g u lo s o p u esto s
a lo s lad o s ig u ale s so n ig u ales.
S i un triángulo es isósceles, los ángulo s
opuestos a los lados iguales son iguales .
E ste teo rem a estab lece q u e si u n trián g u lo es
iso sceles n ecesariam en te se verifica q u e lo s
án g u lo s o p u esto s a lo s lad o s ig u ales so n ig u ales.
P o r tan to , p o d em o s d ecir q u e la ex isten c ia d e
d o s án g u lo s ig u ales es u n a co n d ició n n ecesar ia
p ara q u e el trián g u lo sea iso s celes
S i un triángulo es isosceles, los ángulo s
opuestos a los lados iguales son iguales .
P ero el recíproco de este teorem a tam bié n es
verdadero, a saber : S i dos ángulos de u n
triángulo son iguales, los lados opuesto s a
estos ángulos son tam bién iguales, y el
triángulo es isósceles.
S i dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a
estos ángulos son tam bién iguales, y el triángulo es isósceles.
E ste teo rem a estab lece q u e la ex isten cia d e d o s
án g u lo s ig u ales es su ficien te p ara q u e u n
trián g u lo sea isó sceles. D e ah i d ed u cim o s q u e
la ex isten cia d e d o s án g u lo s ig u ales es u n a
co n d ició n su ficien te p ara q u e el trián g u lo sea
isó sceles.
P odem os entonce s com binar am bos teorem as,
dire cto y recíproco, en el siguien t e enunciado
único :
U na condición n ecesaria y sufi ciente para que
un triángulo se a isósceles es que dos de sus
á n gu los sea n iguales.
U na frase de uso frecuente en lugar de
"una condición necesaria y suficiente"
es "si y solam ente si".
A s i el enuncia do precedente puede escr ibi rse :
U n triángulo es isóscele s si y solam ente si
dos d e s us ángulos son iguales.
D e una m anera m ás general, si la hipótes is A
de un teorem a im plica la verdad de una t esis B ,
entonces B es una condición necesaria pa ra A .
P or otra parte, si, recíprocam ente, B im plica
la verdad de A , entonces B es una condición
suficiente para A .
D ebem os hacer notar, sin em bargo,
que una condición puede ser
necesaria sin ser suficiente,
y viceversa.
D ebem os hacer notar, sin em bargo, que un a condición
puede ser necesaria sin ser suficiente, y viceversa.
P or ejem plo, para que un triángulo sea
equilátero, es necesario que sea isósceles;
pero la condición no es suficiente, ya q ue un
triángulo puede ser isósceles sin ser eq uilátero .
P uede haber m ás de una
condición necesaria
y suficiente para la verdad
de un teorem a.
P uede haber m ás de una condición necesaria
y suficiente para la verdad de un teorem a.
A sí, una condición necesaria y suficient e para
que un triángulo sea equilátero es que s ea
equiángulo. Y otra condición necesaria y
suficiente para que un triángulo sea equ ilátero
es la igualdad de sus tre s alturas.
A m edida que vayam os avanzando en
nuestro estudio de la G eom etría
A nalítica, tendrem os ocasiones frecuente s
de deducir condiciones necesarias y
suficientes de naturaleza analitica para
diversas propiedades geom étricas.
C onsiderem os las rectas l1 y l 2 .
S ea C su p u n to
d e in tersecció n
y A y B lo s p u n to s
en q u e co rtan al eje X .
S ean  1 y  2
lo s án g u lo s
su p lem en tario s
q u e fo rm an .
a 1 es el ángulo de l1 y m1 es su pendiente.
a 2 es el ángulo de l 2 y m 2 es su pendiente.
Los ángulos se miden en el sentido contrario a
las manecillas del reloj.
La recta a partir de la cual se mide el ángulo se llama
recta inicial, la recta hacia la cual se dirige el ángulo
se le llama recta final.
La pendientes de las rectas se les llama pendiente de
la recta inicial y pendiente de la recta final
respectivamente.
En el triángulo ABC ,  1  ángulo AC B
ya que se trata de ángulos opuestos por el vertice
C o m o lo s án g u lo s a 2 y A B C so n su p lem en tario s
ten em o s a 2   A B C  1 8 0, ó d esp ejan d o  A B C
 ABC  180  a 2
La sum a de los ángulos interiores
de un triángulo es 180.
E s decir,
en est e cas o
a 1 + 1 +  A B C  180
a 1 +  1 +  ABC  180 y  ABC  180  a 2
P o r tan to ,
a 1 +  1 +1 8 0  a 2  1 8 0
que nos da
a 1 + 1  a 2  0
y fin alm en te
1  a 2  a 1
1  a 2  a 1
D e las relaciones trigonom étricas tenem o s
tan  1  tan  a 2  a 2  
tan a 2  tan a 1
1  tan a 2 tan a 1
pero m 1  tan a 1 y m 2  tan a 2 , así qu e
t an  1 
m 2  m1
1  m 2 m1
T eo rem a 5
E l án g u lo  fo rm ad o p o r d o s rectas está d ad o
p o r la fó rm u la
tan  
m 2  m1
1  m 2 m1
,
cu an d o m 2 m 1   1
en d o n d e m 1 es la p en d ien te in icial y m 2 es la
p en d ien te fin al co rresp o n d ien te al án g u lo  .
S i d o s rectas so n p aralelas, el án g u lo fo rm ad o
es 0 g rad o s ó 1 8 0 g rad o s.
E n ese caso , la tan g en te d el án g u lo es ig u al a cero .
P ara q u e se cu m p la la ig u ald ad , el n u m erad o r
d eb e ser ig u al a cero :
0
m 2  m1
1  m 2 m1
es d ecir m 1  m 2
S i d o s rectas so n p aralelas, el án g u lo fo rm ad o es 0 ó 1 8 0 g rad o s.
E n ese caso , la tan g en te d el án g u lo es ig u al a cero .
P ara q u e se cu m p la la ig u ald ad , el n u m erad o r d eb e ser ig u al a cero :
0
m 2  m1
1  m 2 m1
e s d ecir m 1  m 2
C orolario1. La condición necesaria y suf iciente
para que dos rectas sean paralelas es qu e sus
pendientes sean iguales.
S i d o s rectas so n p erp en d icu lares,
el án g u lo fo rm ad o en tre ellas es d e 9 0 ,
p ero tan 9 0 n o esta d efin id o ,
en to n ces u sam o s co tan g en te
co t  
1  m 2 m1
m 2  m1
es d ecir m 1 m 2   1
S i d o s rectas so n p erp en d icu lares, el án g u lo fo rm ad o en tre
ellas es d e 9 0 , p ero tan 9 0 n o esta d efin id o , en to n ces u sam o s
la co tan g en te
co t( ) 
1  m 2 m1
m 2  m1
es d ecir
m1m 2   1
C orolario 2. La condición necesaria y su ficiente
para que dos rectas sean perpendiculares entre si,
es que el producto de sus pendientes sea igual a  1.
C on los resultados obtenidos en este
capítulo es posible dem ostrar m uy
fácilm ente m uchos teorem as de la
G eom etría elem ental por los
m étodos de la G eom etria analitica.
S e com prenderá el alcance de la G eom etría
analítica com parando la dem ostración
analitica de un teorem a con la dem ostrac ión
del m ism o teorem a dada en G eom etria
elem ental.
E n relación con la dem ostración analític a de
un teorem a, son necesarias ciertas preca uciones.
C om o en la dem ostración se em plea un sis tem a
coordenado , es m uy útil construir la fi gura de
m anera que se fac ilite la dem ostración.
U na figura debe colocarse siem pre
en la posición m ás sim ple; es decir,
en una posición tal que las
coordenadas de los puntos de la
figura sim plifiquen lo m ás posible
los cálculos algebraicos.
P or ejem plo, en un
teorem a relativo a un
triángulo cualquiera,
la figura puede suponerse
tal com o se indica en la
figura, teniendo los
vertices las coordenadas
que se indican.
P ero es m ás sencillo suponer el triángulo en la posición
indicada en la figura; en efecto, para esta posición
solam ente tenem os tres cantidades, a , b y c que considerar,
m ientras que si
consideram os el
tr iángulo dado en la
figura de la página
anterior serán
seis las cantidades
que entrarán en
nuestros cálculos.
U na posición análoga a la dada en la fig ura de la
página anterior es aquella en que ningún vértice
está en el origen, pero un vértice está sobre uno
de los ejes coordenados y los otros dos están
sobre el otro eje coordenado.
P o r afán d e sim p lificació n n o
se d eb e caer, sin em b arg o , en
el ex trem o o p u esto y situ ar la
fig u ra d e tal m an era q u e el
teo rem a q u ed e restrin g id o .
P or ejem plo , las coordenadas para los v ertices del
triángulo de la figura contienen solam en te dos
cantidades a y b ,
pero está figura es el caso
especial de un triángulo
rectángulo y no servirá
para la dem o stración de
un teorem a relativo a
un triángulo cualquiera.
P ara todas las variables
se deben usar letras,
sim bolos; no se deben
usar núm eros concretos.
C om o prim er paso en la dem ostración
analítica de un teorem a , se debe dibuja r
un sistem a de ejes coordenados y, despue s,
colocar la figura en una de las posicion es
m ás sim ples, sin particularizar el teore m a,
tal com o se explicó en el párrafo anterior.
A continuación todos los puntos com prend idos
por el teorem a deberán designarse por
coordenadas apropiadas m arcadas sobre la figura.
E l procedim iento a seguir después de esto
depende de la propiedad o prop iedades particulares
que van a dernostrarse y se com prenderá m ejor
por m edio de ejem plos.
L o n g itu d P1 P2 d e u n seg m en to d e recta d irig i d o ,
P1 P2 , co n p u n to in icial P1 y p u n to fin al P2 .
P1 P2 co in cid ien d o co n el eje X ; P1 ( x1 , 0 ) y P2 ( x 2 , 0 ).
P1 P2 p aralelo al eje X ; P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ), y  0 .
P1 P2  x 2  x1
P1 P2 co in cid ien d o co n el eje Y ; P1 (0, y1 ) y P2 (0, y 2 ).
P1 P2 p aralelo al eje Y ; P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ), x  0 .
P1 P2  y 2  y1
D istancia d entre dos puntos dados
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) :
d 
 x1 
x 2    y1  y 2 
2
2
C oordenadas ( x , y ) del punto P que divide a 1
segm ento rectilineo dirigido P1 P2 , con punto s
extrem o s dados P1 y P2 , en la razón dada
r  P1 P : P P2 
x
x1  rx 2
1 r
,
P1 P
,
P P2
y 
y1  ry 2
1 r
con r   1.
C oordenadas ( x , y ) del punto P m edio
del segm ento rectilineo dirigido P1 P2 ,
con puntos extrem os dados
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ),
x 
x1  x 2
2
,
y 
y1  y 2
2
P en d ien te m d e la recta q u e p asa
p o r lo s d o s p u n to s d ad o s d iferen tes
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) ,
m 
y1  y 2
x1  x 2
c o n x1  x 2
A n g u lo  fo rm ad o p o r d o s rectas
co n p en d ien te in icial m 1 y
p en d ien te fin al m 2 ,
tan  
m 2  m1
1  m1m 2
co n m 1 m 2   1
C ondición necesaria y suficiente para
el paralelism o de dos rectas dadas de
pendientes m 1 y m 2 ,
m1  m 2
C ondición necesaria y suficiente para
la perpendicularidad de dos rectas
dadas de pendientes m 1 y m 2 ,
m1 m 2   1
Descargar

Diapositiva 1