UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Microeconomía Superior II:
Optimización (2)
Rafael Salas
Dos problemas equivalentes
Empresa
Producción
Optimización
Problema
primal
Estática
comparativa
Problema
Problema
dual
dual
primal
Empresa
y
mercado
Problema dual (primera etapa)

Elegimos un nivel de productoY
Tomamos como dados los precios de los
inputs w (y del output P)


Maximizamos beneficios...

...minimizando los costes
m
Si=1 wi zi
Definimos la isocoste

Dado un vector de precios w...
éste es el conjunto de puntos z en el espacio
de los inputs...

...que consiguen un nivel de costes de los
factores C determinado.



Forman un hiperplano (línea recta)...
C=wizi
Líneas isocostes
z2
w1z1 + w2z2 = c"
w1z1 + w2z2 = c'
w1z1 + w2z2 = c (constante)
Usamos ésto
para derivar el
óptimo
z1
Minimización de costes
z2

¿Qué
condiciones
cumple z*?
z*
z1
Dados los inputs i y j ...
RMST
Fi(z)
_____
Fj(z)
Obtenemos la misma
CPO (condición de
tangencia) que con el
problema primal
w
__i
=
wj
¿Qué sucede si
alteramos la tecnología?
En la práctica
La solución general...
obtenemos los valores de los inputs que
minimizan el coste para cada input...


...a través de los multiplicadores de Lagrange...

...y, por supuesto, el valor del coste mínimo.
Ambos valores pueden escribirse como funciones
de los precios (w) y del output (Y).
Veamos...

Las funciones de demanda de
factores condicionada
z1* = z1
...
...
zm* =
c (Y,w
,...,w
)
m
1
...
c
zm (Y,w1 ,...,wm )
Nivel de producto
especificado
vector de
precios de los
inputs



Las funciones de demanda
condicionada de factores
La f. de demanda condicionada de factores es no
creciente en sus precios


Homogéneas de grado 0 en w
Las funciones de costes
Si introducimos z1c (Y,w1 ,w2 ) y z2c (Y,w1 ,w2 ) en la definición
de los costes obtenemos la función de costes:
C (Y,w1 ,w2 ) = w1z1c (Y,w1 ,w2 ) + w2 z2c (Y,w1 ,w2 )
Indica el mínimo coste obtenible, dados los precios de
los factores y un nivel de producto (es análoga a la f. de
gasto en el problema dual del consumidor)
La función de costes
C(w, Y) :=
min S wi zi
{G(z) Y}
vector de
precios de los
inputs
Nivel de producto
especificado
La función de costes va a
ser un concepto útil


Dado que es una función de óptimo...
...tiene propiedades interesantes.
Lo cual es cierto para todas las funciones de
producción F.

Como veremos en aplicaciones a lo largo del
Veamos...
curso

La f. de costes es no decreciente en wi
C
C(w, Y)
wi
La f. de costes es creciente en Y
C
C(w, Y+DY)
C(w, Y)
wi
La f. de costes es cóncava en precios
C
D
B
A
Coste en D > 1/2 [Coste en A + Coste en B]
w1
La f. de costes es homogénea de grado 1 en w
z2
C(tw,Y) = t Siwi zi* = tC(w,Y)
Mínimo coste dado tw,
y dados Y
Mínimo coste dado w,
y dado Y

z*
z*

z1
Lema de Shephard
Pendiente = z1*
C
C(w, Y)
_______
= zi*
wi
wi
Práctica
Deriva la demanda condicionada de factores y la
función de costes de:
Y= z11/2 z2 1/2
Y= (z11/2 + z2 1/2)2
Y= L1/2 K 1/2, K=25
Comprueba el lema de Shephard
Deriva la demanda condicionada de factores
dada la función de costes siguiente:
C= A w1a w2 b Y
.
Práctica
Calcule las funciones de costes correspondientes
a:
Y=a z1 + b z2
Y=min(z1/a , z2/b)
Y= a z1 2 + b z2 2
donde a y b > 0
¡Cuidado con los casos no difereciables y con el
último caso!
·Indique los rendimientos a escala que poseen a
partir de la función de costes.
.
Problema dual (segunda etapa)
Una vez resuelto el problema de minimización de
costes


Tomamos el precio del output P como dado.
Usamos la función de costes C(w,Y) para plantear la
maximización del beneficio.
P=PY- C(w,Y)


Derivamos de esta forma Y que maximiza beneficios...
Derivamos de nuevo la oferta de producto y la
demanda de factores

Maximización de beneficios: oferta de producto
Solución:
 P/  Y = 0

P = C(w,Y)/Y
 P =Cmg Y
Maximización de beneficios: demanda de factores
Solución:
 P /  z1 = 0

P Y/z1 = w1
 P /  z2 = 0

P Y/z2 = w2
 P Pmg z1 = w1
 P Pmg z2 = w2
Las funciones de oferta de
producto y demanda de factores
P = dC (w, Y)/dY
“Precio igual al coste marginal”
Se deduce la oferta de
producto Ys (w,P)
P dY/dz1=w1
“Valor de la productividad igual al
precio del factor”
Se deduce la demanda de
factores z1d (w,P)
Práctica
Deriva la oferta de producto y la demanda de
factores, a partir de las funciones de costes, de:
Y= z11/2 z2 1/2
Y= (z11/2 + z2 1/2)2
Y= L1/2 K 1/2, K=25
.
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Microeconomía Superior II:
Optimización (2)
Rafael Salas
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11 October 2001