FUNCIONES
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
UNA FUNCIÓN f REAL DE VARIABLE REAL, es una correspondencia
entre dos conjuntos reales A y B, que asocia a cada elemento x de A un solo
elemento y de B. Y se simboliza por:
Si una función
viene
definida
solamente
por su ecuación y = f(x), el
f
:
A

B
:
x

y
=
f
(x)
DOMINIO de f, será el conjunto más amplio de los números reales, para
los cuales está definida f
A los elementos x  A, se le denomina VARIABLE INDEPENDIENTE, y a
los elementos y  B VARIABLE DEPENDIENTE.
La ECUACIÓN de la FUNCIÓN y = f(x), es la relación algebraica entre x e
y, donde:
Dominio de f = D f = { x  A : existe y  B tal que y = f(x) }
Imagen o recorrido de f = R f = { y  B : existe x  A tal que y = f(x) }
Si x es tal que y = f (x), y es la IMAGEN de x, y x es la ANTIMAGEN de y
Ejemplo:
1.  f
f
x 
x
x  1, no es una función, pues para cada x m ayor que  1,
tiene dos valores (por ejem plo f  3  =  2).
S in em bargo:
f
x  
x  1., si es una función, cuyo D O M IN IO de f es:
D om f =
  1 ,+  
puesto que es el conjunto para el cual está definida la raíz cuadrada,
y el R E C O R R ID O o IM A G E N de f será:
Im f =  0,+   .
P or ejem plo la IM A G E N de 3, es f  3    3  1  2,
2.- S i f :   10 ,10  
 0,100  : x 
la A N T IM A G E N de 9 =
f ( x)  x ,
  3,+ 3
2
ya que f (  3)  (  3)  9  (  3)  f (  3)
2
2
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Dada una función real f (x), al conjunto de puntos del plano Cartesiano:
{ ( x , f(x) ) : x  D f }
Se le denomina GRÁFICA de la función f.
Es decir, la GRÁFICA de una función son todos los puntos del plano
cartesiano, cuyas coordenadas son (x , f(x) ) “ ó ( x, y ) donde y = f(x) “.
El conjunto de la abscisas lo compone el Domino de f, y el conjunto de
las ordenadas el Recorrido de f
Ejemplo:
La gráfica de la función f ( x ) 
 x  3
2
será :
(0, f(0) ) = ( 0 , 9 )
(-5, f(-5) ) = ( -5 , 4 )
Eje de
abcisas
(-3, f(-3) ) = ( -3 , 0 )
Eje de
ordenadas
PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES
Una función f(x) es MONÓTONA CRECIENTE en un intervalo (a,b)
cuando para cada x, y  (a,b) si x < y, entonces f (x) < f (y).
Una función f (x) es MONÓTONA DECRECIENTE en un intervalo (a,b)
cuando para cada x, y  (a,b) si x < y, entonces f (x) > f (y).
Una función f(x) es MONÓTONA en un intervalo (a,b) cuando es
MONÓTONA CRECIENTE ó MONÓTONA DECRECIENTE.
Una función f(x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en un punto M, cuando
existe un intervalo (a,b) tal que M  (a,b) y para cada x  (a,M) o 
(M,b) será f(x) < f(M)
Una función f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en un punto M, cuando
existe un intervalo (a,b) tal que M  (a,b) y para cada x  (a,M) o 
(M,b) será f(x) > f(M)
Ejemplo. La siguiente función
Es monótona creciente en (0,2) y en (5,8) y monótona decreciente en (2,5). Tiene
un máximo relativo en x = 2, y x = 8, y tiene un mínimo relativo en x = 5.
PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES
Una función f(x) es PAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE OY,
cuando para cada x se cumple que f (x) = f (-x).
Una función f(x) es IMPAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN
DE COORDENADAS, cuando para cada x se cumple que f (x) = - f (-x).
Una función f(x) es CONTINUA en un intervalo, si su gráfica es continua
en dicho intervalo.
Los puntos en los que se interrumpe la gráfica, se denominan PUNTOS de
DISCONTINUIDAD.
Ejemplo.
La función
Es una función PAR
La función
Es una función IMPAR
Ejemplo. La siguiente función
Es continua en (-3,0) y en [0,1) y es discontinua en x = 0
FUNCIONES POLINÓMICAS ELEMENTALES.
Las funciones polinómicas son de la forma:
f (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0
Donde, a n , a n - 1 , … , a 2 , a 1 , a 0 son números reales.
La función f(x) = a, con a un número real, se denomina función
CONSTANTE.
La función f (x) = a x (html), con a un número real, se denomina función
LINEAL (html).
La función f (x) = a x + b (html), con a y b números reales, se denomina
función AFÍN (html).
La función f (x) = a x 2 + b x + c, con a, b y c números reales, se denomina
función CUADRÁTICA (html).
PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Ejemplos Gráficos de funciones polinómicas
FUNCIONES RACIONALES ELEMENTALES.
Las funciones racionales son de la forma:
P(x)
f(x) = ------ con P(x) y Q(x) (“grado(Q)  1”) polinomios.
Q(x)
Estas funciones se define para todos los números reales que no se anule el
denominador.
Ejemplos:
1 .  f (x ) =
2 .- g (x ) =
1
, t ien e p o r D O M I N I O : D f = ¡
x 1
2x  3
x
2
 4
, t ien e p o r D O M I N I O : D g = ¡
 {1 }
 { 2 ,2 }
FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.
Las funciones de proporcionalidad inversa, son funciones racionales de la
forma:
k
f(x) = ------ con k un número constante.
x
Estas funciones tiene por DOMINIO todos los números reales salvo el 0.
Ejemplo:
L a fu n ció n f
x 
1
,
x
tien e p o r G R Á F IC A
u n a h ip erb o la eq u ilatera.
TRASLACIÓN DE FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.
Las gráfica de la función de proporcionalidad inversa, de la forma:
k
f(x) = b + ------ con k un número constante.
x-a
Es la traslación de la gráfica de la función k/x mediante el vector (a,b)
Ejemplo:
L a fu n ció n
f
x 
2
1
x 1
=
2x  1
x 1
tien e p o r G R Á F IC A .
Gráfica en Geogebra de:
k
f(x) = b + -----x-a
se puede variar a, b y k.
,
FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS
En ocasiones, nos interesa estudiar funciones definidas por intervalos.
Ejemplo:
L a fu n ció n
— x+1

2
f  x    —x +1
 x+2

si
— 3  x<1
si
1 x  2
si
2 x 5
tien e p o r G R Á F IC A .
TASA DE VARIACIÓN
MEDIA DE FUNCIONES.
PROPIEDADES DE
LAS FUNCIONES
OPERACIONES DE LAS FUNCIONES.
Si f y g son funciones reales de variable real, tales que tiene el mismo
dominio, podemos definir las siguientes operaciones que definen a su vez
una función:
Suma f + g , que se define como (f+g) (x) = f(x) + g(x)  x  D f = D g
Resta f - g , que se define como (f-g) (x) = f(x) - g(x)  x  D f = D g
Producto f g , que se define como (f g) (x) = f(x) g(x)
xDf=Dg
Cociente f / g , que se define como (f /g) (x) = f(x) / g(x)  x  D f = D g
Siempre que sea g(x)  0  x  D f = D g
Ejemplo:
Si f

x 
x  3 y g  x   x  3.
fg   x   f
2
 x g  x   x  3  x2
fg vien e d ad a p o r:
 3 
 x  3x  3x  9  x  3x  x  
3
2
3
2
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dada las funciones reales:
f :A B y g :B  C
Definimos, la composición de funciones (g  f ) a la función:
(g  f ) : A  C
Tal que (g  f ) (x) = g(f(x))  x  D f “ f(x)  D g ”
Ejemplo:
Si f
f

x 
g
f
 f
g
x  3, g  x    3 x  1 y h  x   x  3 .
2
h vien e d ad a p o r:
 g h  x   f  g  x  3 
 3   1  f   3 x       3 x     3   3 x
hx  f
 3  x
2
2
2
2
2

FUNCIONES INVERSAS
f :A B y g :B A
Dada las funciones reales:
Definimos, que f y g son funciones inversas si se cumple:
(g  f ) (x) = x
(f  g) (y) = y
Donde f(x) = y
Si g es la función inversa de f, g se representa por f -1
Ejemplo:
Si f
x 
y 
x—2
x 1
x—2
x 1
, d en o m in an d o y  f
x
co m o :
 y  x  1   x — 2  yx  y  x — 2
 yx — x  — y — 2
 x —
O b ten em o s q u e f
—1
y2
y —1
x 
—
x2
x —1
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/
msadaall/geogebra/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/m
atematicas.htm)
En la siguiente diapósitiva
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