Espacio métrico
Espacio Métrico
Espacio Métrico
Espacio Métrico
Distancias entre dos puntos
 La DISTANCIA entre dos puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) es
d  P1 , P2  
 x 2  x1 
2
  y 2  y1    z 2  z1 
2
2
 Ejemplo.- Calcular la distancia entre los
puntos P(1,0,1) y Q(0,1,0)
d  P,Q  
 0  1   1  0    0  1  
2
2
2
3
Distancias de un punto a un plano
 La DISTANCIA de un punto P(a,b,c) a un plano  : A x + B y + C z + D = 0
(utilizando el producto escalar  ) se cumplirá


n A P  n  A P  cos n , A P 
 n  d  P,
 d  P,


n AP

n

 A , B , C   a  a1 , b  a 2 , c  a 3 
A B C
2

2

2
A a  B b  C c  D
A B C
2
2
2
S iendo A  a1 , a 2 , a 3  un punto del p la n o 
y de la recta perpendicular  que pasa po r P
Distancias de un punto a un plano
 Ejemplo.- Calcular la distancia del punto P(3,2,-1) a un plano  : 2x-y-2z+3=0
d  P,

2  3    1  2    2     1  3
2    1    2 
2
2
2
3
Distancias entre planos paralelos
 Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, basta con que tomemos
un punto cualquiera de un plano, y calculemos la distancia de dicho punto al
segundo plano.
 Ejemplo.- Calcular la distancia entre los planos
1 : 9x-5y-7z+15=0
2 : (x,y,z) = (3,3,3) + (1,-1,2) +  (3,4,1)
Los dos planos son paralelos, ya que sus vectores normales son
proporcionales, es decir (9,-5,-7) = (-1) . (-9,5,7) = (-1).[ (1,-1,2) x (3,4,1)].
Tomando un punto de 2, por ejemplo P(3,3,3), se cumplirá
d  1 ,  2   d  1 , P  
9  3    5   3    7   3  15
9   5    7 
2
2
2

6
155
Distancias entre recta y plano paralelos
 Para calcular la distancia entre una recta y un plano paralelos, basta con que
tomemos un punto cualquiera de la recta, y calculemos la distancia de dicho
punto al plano.
 Ejemplo.- Calcular la distancia entre la recta y el plano
r : (x,y,z) = (1,3,-4) + (2,3,10)
 : 4x + 4y - 2z -3 =0
Dado que la recta y el plano son paralelas, ya que el producto escalar del
vector director de la recta y el vector normal es cero, es decir:
(2,3,10)  (4,4,-2) = 0
Tomando un punto de r, por ejemplo P(1,3,-4), se cumplirá
d  , r   d  , P  
4 1  4  3    2     4   3
4  4   2 
2
2
2

7
2
Distancias de un punto a una recta
 La DISTANCIA de un punto P(x0,y0,z0) a la recta r de vector director u, que
pasa por un punto A(a1,a2,a3), (utilizando el producto vectorial x ) se cumplirá


u  A P  u  A P  sen u , A P 
 u  d  P, r 
 d  P, r  
u  AP

u

 u 1 , u 2 , u 3    x 0  a1 , y 0  a 2 , z 0  a 3 
u1  u 2  u 3
2
2
2
S iendo A  a1 , a 2 , a 3  un punto de la rec ta r
 Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas r y s, basta con que
tomemos un punto cualquiera de P de r y hallemos d(P,r)
Distancias de un punto a una recta
 Ejemplo.- Calcular la distancia entre la recta y el punto
r : (x,y,z) = (2,3,4) + (-1,2,1)
P(3,-3,1)
Dado que P(3,-3,1) no es un punto de r, como se puede comprobar
sustituyendo en la ecuación, Tomando A(2,3,4) se cumplirá
d  P, r  
u  PA
u

  1, 2,1     1, 6, 3 
  1  2  1
2
2
2

10
3
Distancias entre dos rectas que se cruzan
 La DISTANCIA entre dos rectas r y s, que se cruzan, (utilizando el producto
mixto [ ] ), si Pr y Ps son dos puntos cualesquiera de r y s se cumplirá

d ( r , s )  Pr Ps  cos u r  u s , Pr Ps
 Pr Ps 

u
r
u
 us
r
 us
 P P 
r
s
u r  u s  Pr Ps
 P P 
ur  us
r
s



 u r , u s , Pr Ps 


ur  us
S i r y s son coplanarias es  u r , u s , Pr Ps   0


Distancias de un punto a una recta
 Ejemplo.- Calcular la distancia entre las rectas
r:
x2

5
y3
2

z
y
s:
x2
3
 y5
2
z
3
Tomando Pr(7,-1,3) y Ps(0,6,3), será
d r, s  

 u r , u r , Pr Ps 


ur  ur

5
2
3
2
1
3
07
6    1
33
84
3   9   1
2
2

2
i
j
k
5
2
3
2
1
3
84
91

Producto vectorial
Producto vectorial
Producto vectorial
Producto mixto
Producto mixto
Perpendicular común a dos rectas que se cruzan
Perpendicular común a dos rectas que se cruzan
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Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
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