UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y
EXACTAS
SECCION DE FISICA
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Capacitancía y dieléctricos
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
4.1 Introducción
Unidad
IV
4.2 Objetivo general
4.3 Objetivos específicos
4.4 Capacitancía
4.5 Combinación de capacitores
4.6 Energía almacenada en un capacitor cargado
4.7 Densidad de energía en un campo
4.8 Dieléctricos
4.9 Capacitores con dieléctrico
4.10 Una descripción atómica de los dieléctricos
4.11 Dipolo eléctrico en un campo eléctrico
4.12 Auto- evaluación
4.13 Solucionarlo
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En Introducción
electrostática, todo conductor se caracteriza por un
4.1
potencial eléctrico constante en todos sus puntos y dentro
de el. La diferencia de potencial entre dos conductores
cargados pueden acelerar cargas de prueba, y es por eso
que el sistema almacena energía. Un capacitor es un
dispositivo de este tipo; almacena energía por que
almacena carga.
En este capitulo, estudiaremos como afecta a los
capacitores la geometría y los materiales dieléctricos.
También vamos a describir la estructura microscópica de
los dieléctricos y con ello ampliaremos el conocimiento
fundamental del comportamiento de la materia.
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U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Dotar
al estudiante
de los fundamentos teóricos
4.2 Objetivo
general
necesarios para poder aplicar y utilizar la energía
almacenada en un campo electroestático, así como de
herramientas para calcular capacitancias de diferente
geometría y para obtener la capacitancia neta de sistemas
de capacitores serie y paralelo.
Dimensionar la importancia del efecto de un dieléctrico
sobre la capacitancia, la carga, la diferencia de potencial
y la intensidad del campo eléctrico en un capacitor de
placas paralelas.
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Estar
en capacidad
de interpretar la influencia que tiene
4.3 Objetivos
específicos
un dieléctrico (material no conductor) dentro del
capacitor en variables como: la intensidad del campo
eléctrico, la capacitancia, la carga y la diferencia de
potencial.
Proyectar la aplicabilidad temática al estudio de una
lámpara de destello, de un sintonizador de frecuencia de
radio, de filtros para suministro de energía eléctrica o en
circuitos electrónicos en donde los voltajes y corrientes
varían con el tiempo.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un capacitor se compone de dos conductores aislados
eléctricamente uno del otro y de sus alrededores. Una vez
4.4 Capacitancia
que el capacitor se carga, los dos conductores adquieren
cargas iguales pero de signo contrario, es decir, existe un
desequilibrio de carga, por tanto, hay una diferencia de
potencial y un campo eléctrico entre los conductores.
-
+
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Carga
Se
comprueba
de un capacitor
experimentalmente que la diferencia de
potencial es directamente proporcional a la carga en el
capacitor V a Q entonces: C = V / Q
FARADIO = VOLTIO / COULOMB.
La capacitancia C del capacitor depende del arreglo
geométrico de los conductores, la capacitancia de un
dispositivo es la capacidad para almacenar carga y
energía potencial eléctrica.
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Cuando
en un capacitor inicialmente descargado se
Ejemplo 4.1
transfieren 1*1012 electrones de una placa a la otra, la
diferencia de potencial es de 20 voltios. ¿cuál es su
capacitancia?
Como la carga esta cuantizada:
Qt = N*e, donde N es el numero de electrones y e la
carga del electrón 1.6*10-19C,
entonces:
Qt = 160*10-9 C. Como
Q = V*C
Luis F Millán B
\
C = Qt / V = 8 nC
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Consta
conductor de
esférico
aislado
de de
radio
r yR
Ejemplode
4.2un
Capacitancía
una esfera
aislada
radio
carga Q. (el segundo conductor puede considerarse como
una esfera conductora concéntrica de radio infinito)
Q+
r
C = r / K = r (4* p *eo)
La capacitancia
Q/V
Entonces,
C = Q /C( =KQ
r)
la diferencia de potencial V = KQ / r
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Consta
placas (rectangulares,
Ejemplode
4.3 dos
Capacitancia
de un capacitorcirculares,
de placas etc.)
planas
y paralelas separadas una distancia
paralelas
- d y un campo
eléctrico uniforme +entre ellas
+
E
C
=
e
o
A
/
d
+
d
La capacitancia C del capacitor, la diferencia de potencial
V y el campo eléctrico entre las placas es:
C=Q/V
V=E*d
V = (Q/A)*d / eo
Luis F Millán B
E = s / eo \ V = (s / eo)*d
C = Q / ((Qd) /(A eo))
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Un capacitor
cilíndrico consiste
en un conductor
central
Ejemplo
4.4 Capacitancía
de un capacitor
cilíndrico
b una densidad lineal de carga +l una
de radio a, con
longitud
l
-Q
r
a
+Q
r
Er = l / (2pe0 r) ^
b
bb
bes/un
b
La
Para
Elcapacitancia
segundo
unaCsuperficie
conductor
es:
C
cilíndrica
=
Q
V,
cascaron
y
de
la
radio
diferencia
cilíndrico
aLn<
r de
</a)
bpotencial
el
decampo
radio
b
=
Q
/
V
=
Q
/
{l
/
(2
p
e
0
)}
(b
C
=
2p
e
0
l
/
Ln
(b
/a)
VVbVb-b–VVV
=-b-l
-l/(2p
dr
e=-o0l-)dlLn(b/a)
r(2p
dr
or)
dr
a=aV
=V
/-ra(2p
V
V
=
/
e
0e
)Ln
r
b aV
a –
=

E
=

E
r=
dr
aE
aal/(2p
a de
a
a
V entre el cilindro
de radio
es radial
alineal
y elhacia
cilindro
fuera
b >eléctrico
a y densidad
de carga
–lradio b se
C = Q / V = Q / {(Q/l) / (2 p e0)} Ln (b /a)
define como:
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Consta de
cascaron conductor
esféricoesférico
de radio b y
Ejemplo
4.5un
Capacitancia
de un capacitor
carga -Q
r
b
a
-Q
y una esfera concéntrica conductora de radio
a<b y
carga+Q
+Q
r
Er = KQ / r2 ^
C = a*b / (K (b – a))
Para
lacalcular
superficieelesdeCcampo
radio
<lar <diferencia
b el campo
a una
distancia
es
La Capacitancía
= Q / aV,eléctrico
de eléctrico
potencial
V
rentre
tal que
a < r <deb radio
seradial
construye
una
fuera
superficie
de
la esfera
a yhacia
la esfera
de radio esférica
b se define
radio r
b como:bb
b
b
b
2(b
bV
=

E
dl
=

E
r)r2–
dr
Por
V
aaV
=
KQ
/
(1/r)
V
=
=
/
kQ
{KQ
(1/b
–
1/a)
a) –/ (a*b)}
Como
aC
bbE
V
aaQ
–
V
b(dr/r
=
KQ
(1/a
1/b)
b>
V
a
=
-KQ

VV
btanto
-bV–V
aV
=
Q
r
dr
=

(KQ
/
)dr
V
–-=a–V
V
=
KQ(b
a)
/
(a
*
b)
a
a
a
a
a
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Si se considerara
la tierra como un inmenso capacitor
Ejemplo
4.6
¿cuál sería su capacitancia considerándola como una
esfera conductora aislada de radio r = 6.37*10*106 m.
C = r (4*p*eo) = 707 mF
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Se tiene 4.7
un capacitor de placas paralelas separadas una
Ejemplo
distancia de 2 cm. Si la placas son discos y la
capacitancia es de 72*10-12 F = 72 PF ¿cuál es el radio de
las placas?
+
-
+
-
+
-
+
-
C = eo A / d, entonces. A = Cd / eo
= p r2 = Cd / eo \r =(Cd / (eo p))
r = 0.228 m = 22.77 cm
d
Luis F Millán B
como A
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¿cuál es 4.8
la capacitancia por unidad de longitud de un
Ejemplo
capacitor cilíndrico de radio a = 5 cm y radio b = 10 cm?
C = 2pe0 l / Ln(b /a), entonces,
a
C / l = 2 p e0 / Ln (b /a)
C = 7.52 PF/m
b
-
l
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¿cuál es la
Ejemplo
4.9capacitancia de un capacitor esférico de radio
a de 5 cm y radio b de 10 cm?
a
b
+Q
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C = a * b / (K(b – a)) = 11.11 PF
C = 11.11*10-12 F
-Q
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Se tiene
Carga
en una
un capacitor
batería,
unos conductores, un capacitor de
4.5
Combinación
de capacitores
placas paralelas C descargado y un interruptor.
+
-
+
-
+
-
Cuando el interruptor se cierra cada placa adquiere la
misma cantidad de carga Q pero de signo contrario, y una
diferencia de potencial V.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Se tienen dos capacitores
Capacitores
en serie
en serie
C1 y C2, inicialmente
descargados, una+ batería,
un interruptor
+
- y unos
conductores.
+
+
+
-
+
-
Los dos capacitores conectados en serie tiene cargas
iguales de signos opuestos.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
Para
Esto
hace
un circuito
que– elVcerrado
se
suma
comporte
de los
como
potenciales
si=fuera
un
es
las
placas
exteriores
inducen
la
misma
cantidad
de
carga
entonces
V
1sistema
–
V
2 la
=
0
como
C
Q
/
V
Cuando se cierra el interruptor las placas de los extremos
solo
capacitor.
de
signo
contrario
las
placas
interiores.
igual
a cero
SV a=
0Q1/C
reemplazando
Q/C
–cantidad
1 – Q
2/C2carga
= 0. La
carga
cada
obtienen
idéntica
de
pero
deensigno
contrario,
positiva
a la \
izquierda
y negativa
capacitor es
la misma
1/C = 1/C
1 + 1/C2 a la derecha.
Luis F Millán B
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Conclusiones
Para
un cada
circuito
con capacitores
Para
capacitor
conectadoen
enserie
serieellainverso
carga esdelala
capacitancia equivalente
es igual a la suma de los
misma
de cada
de ellos = Qn.
Q1 = Qinversos
2 =...............
= Qiuno
=..................
1/Ce = 1/C1 + 1/C2 + ................. + 1/Ci +............... + 1/Cn
Para un circuito de capacitores
conectados en serie el
n
=  1/C
i suma de los voltajes
voltaje de entrada1/C
es eigual
a
la
i=1
individuales
la capacitancia equivalente
es el reciproco de la ecuación
V = V1 – V2 –...........
– Vi –...................... – Vn
anterior,
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Se tienen4.10
tres capacitores conectados en serie con una
Ejemplo
batería de 100 V. Si C1 = 30mF, C2 = 40mF, C3 = 24mF.
¿cuál es la capacitancia equivalente y cual es el voltaje en
cada capacitor?
1 / Ce = 1/ C1 + 1/ C2 + 1/ C3 ; 1 / Ce =1 / (10mF).
entonces, Ce = 10 mF y Qe = V*Ce = 1000 mC = 1*10-3 C
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
C1
C2
C3
Luis F Millán B
Como la carga es la misma
para capacitores en serie,
y Q = V* C, entonces,
V1 = Q / C1 = 33.33 V
V2 = Q / C2 = 25.00 V
V3 = Q / C3 = 41.64 V
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+
-
+
-
Capacitores en paralelo
e tienen dos capacitores
Se
conectados
en paralelo C1 y C2,
f
+
La carga
total
cierra el
inicialmente descargados, una Cuando
batería,
unse interruptor
y
Qt = SQi los
= Qcapacitores
1 + Q2
interruptor
unos conductores.
C1 y C
en
Q2 =conectados
C*V
paralelo tienen el mismo
+
V*Ce=Vya
1*Cque
1+V2la
*C2línea
potencial
d
c
+
ace es Vuna
y
= Vequipotencial
1 = V2
la línea
otra
C e =bdf
C1 +hace
C2
equipotencial.
b
a
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Conclusiones
Para un circuito de capacitores en paralelo la carga total
es igual es igual a la suma de las cargas individuales
Qt = SQi = Q1 + Q2 + Q3 + ........... + Qi + ............... + Qn
Para un circuito de capacitores en paralelo la capacitancia
equivalente es igual a la suma de las capacitancias
individuales
Ce = SCi = C1 + C2 + C3 +.................. + Ci +.........+ Cn
Para un circuito de capacitores en paralelo el voltaje es
igual para cada capacitor
V1 = V2 = V3 = ....................... = Vi = ...................... = Vn
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Se tienen4.11
tres capacitores conectados en
Ejemplo
paralelo con una batería de 100 V .Si
C1 = 1mF, C2 = 2mF, C3 = 3mF.¿cuál es la
capacitancia equivalente y cual es la carga en
cada capacitor?.
La capacitancia equivalente es:
Ce = C1 + C2 + C3 = 6mF \ Qt = VCe = 600
mC como el voltaje es el mismo en cada
capacitor, y Q = VC, entonces,
Q1 = VC1 = 100 mC
Q2 = VC2 = 200 mC
Q3 = VC3 = 300 mC
Luis F Millán B
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+ + -
C1
+ + -
C2
+ + -
C3
Como C1con
y C2un
Se
tiene 4.12
un
C1 = 1mF, en paralelo
Ejemplo
+ capacitor
capacitor C2 = 2 mF, y un capacitor C3 = están
6 mF en paralelo
serie con
+ C1 - conectados a una fuente
los dos anteriores,
la Capacitancía
de 24 Voltios
¿cuál es la +carga y el voltaje en cada capacitor?
equivalente
C4 = C1 + C2
+
C4 = 3 mF
C3
+
-
+ C2 -
V
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los capacitores C4 y C3 están en serie la capacitancia
equivalente es
1/C5=1/C4+1/C3
1/C5 = 1/(3mF) + 1/(6mF) entonces, C5 = 2 mF
+
-
+
-
+ C4
-
+ C3
-
+
-
+
-
V
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
La carga Q5 = V * C5 = 24V * 2mF = 48 mC
+
-
-
+ C5
-
-
+
-
-
teniendo la carga y la capacitancia
equivalente, nos regresamos encontrando
los voltajes y las cargas en cada capacitor
V
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Como la carga de capacitores en serie es la misma
Q5 = Q4 = Q3 = 48 mC \
V4 = Q4 / C4 = 48mC / 3 mF = 16 voltios
V3 = Q3 / C3 = 48mC / 6 mF = 8 voltios
+
-
+
-
+ C4
-
+ C3
-
+
-
+
-
En un circuito cerrado la suma de los
potenciales es igual a cero
SV = 0 entonces 24 V – 16 V – 8 V = 0
V
Luis F Millán B
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+
-
V1 = V2 = V4 = 16 voltios
+ C1 +
V3 = 8 voltios
+
C3
+
+ C2 -
Luis F Millán B
-
Q1 = V1 * C1 = 16 mC
Q2 = V2 * C2 = 32 mC
VQt = Q1 + Q2 = 48 mC
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+1 mF +16 V +16 mC +3 mF 8V
+48 mC -
2 mF
16 V +
32 mC
24 V
Luis F Millán B
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C
Luis F Millán B
V
Q
C1
1 mF 16 V 16 mC
C2
2 mF 16 V 32 mC
C3
6 mF 8 V 48 mC
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
4.6 Energía almacenada en un capacitor cargado
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
50 VOLTIOS
Al continuar
Entre
Una
Un
capacitor
los
partícula
dos moviendo
conductores
se positiva
carga tomando
cargas
que
de unadicionales
se
una
capacitor
mueve
carga cargado
positiva
dq
eni, las
dirección
cargas
hay
dq, un
de
campo
un
existentes
conductor
eléctrico,
en y los
pasándolo
y ese
conductores
camporealiza
al puede
otro un
se
conductor.
acelerar
opondrán
una
Elcarga
aDUde
la
contraria
al campo
eléctrico
trabajo
DW
=primer
prueba. Así,
conductor
transferencia
tiene
un
de una
mas
capacitor
carga
carga+dq
cargado
y tenemos
y el segundo
es capaz
que efectuar
una
de carga
realizar
un–
trabajo,para
dq.
trabajo
y debe
mover
contener
cada energía.
carga adicional.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
-
+
50 VOLTIOS


Q
El trabajo
En cualquier
efectuado
instante
la/cuando
diferencia
iniciamos
C)
dq =cargado
½ de
Q2 potencial
/ es
C con cero
La
energía
de
Wtotal
= dW
= un(qcapacitor
q /UC= ½ entonces
Vdq
cargasVy=terminamos
Q2con
/ C0 las
= ½cargas
CdW
V2 =
=Q
½ Q=
V q / C dq
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Se tienen4.13
tres capacitores conectados en serie con una
Ejemplo
batería de 100 V. Si C1 = 30mF, C2 = 40mF, C3 = 24mF.
¿cuál es la energía en cada capacitor y cual es la energía
de todo el sistema?.
1 / Ce = 1/ C1 + 1/ C2 + 1/ C3 ;
+ -
+ -
+ -
+ -
C1
C2
Luis F Millán B
1 / Ce =1 / (10mF). entonces,
Ce = 10mF y Qe = V * Ce = 1000 mC
Ut = ½ Qe V = 50 mJ
+ U1 = ½ Q12/C1 = 16.66 mJ
2/C2 = 12.5 mJ
U
2
=
½
Q
2
+ U3 = ½ Q32/C3 = 20.83 mJ
Ut = U1 + U2 + U3 = 50 mJ
C3
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Se tienen4.14
tres capacitores conectados en
Ejemplo
paralelo con una batería de 100 V .Si
C1 = 1mF, C2 = 2mF, C3 = 3mF.¿cuál es la
energía total y cual es la energía en cada
capacitor?.
La capacitancia equivalente es:
Ce = C1+C2+C3 = 6mF \ Qt = VCe = 600 mC
Ut = ½ Qe V = 30*10-3 J
U1 = ½ C1 V2 = 5*10-3 J
U2 = ½ C2 V2 = 10*10-3 J
U3 = ½ C3 V2 =15*10-3 J
Ut = U1 + U2 + U3 = 30 mJ
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+ + -
C1
+ + -
C2
+ + -
C3
Ejemplo
4.15el
Se cierra
interruptor
a b
Considérese el circuito de la
figura donde C1 = 2 mF. C2
= 4 mF y e = 24 voltios. El
capacitor C1 se carga
e
primero
llevando
el
C2 interruptor a a, el capacitor
C1
cargado se conecta al
capacitor descargado C2
pasando el interruptor a b.
Calcule a) la carga inicial del capacitor C1 y su energía
inicial, b) la carga final de cada capacitor, la energía
final y el voltaje en cada capacitor. c) la variación de la
energía.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
a
b
e
C1
C2
La carga Qt cuando se lleva el interruptor a a
Qt = C1 * V = 2 mF * 24 V = 48 mC
y su energía Ui = ½ Qt2 / C1 = 576 mJ
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
a
b
e
C1
Cuando el interruptor se lleva
de a, a b, la carga Qt se
redistribuye con el capacitor
dos, el capacitor uno cede
una carga Q al capacitor dos.
C2 La nueva carga de C1 y C2 es:
Q1 = Qt – Q y de C2 es Q =
Q2.
Como
La energía
DU
el voltaje
= Ude
i - en
C
U1f es
=
paralelo
576
: U1mJ=es
-½192
elQmismo;
12mJ
/ C=1 384
= 64VmJ
1mJ
= V2 ;
2//C
calor
o enmJ
La
de C
2 se
es
: U2 =V½
2en
128
V1 energía
=Esta
(Qt energía
– Q)
/C
1 ;transformo
2 =QQ
C22=entonces,
La1)/C
energía
total
ondas
f = Utelectromagnéticas
1 *+C
U22/=(C192
(Qt – Q
1 forma
= Q/C
2de
\U
Q=Q
1+CmJ
2) = 32 mC = Q2;
Q1=Qt – Q=16 mC; V1= Q1/C1 = 8V.; V2 =Q2/C2 = 8 V
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
La capacitancia
un capacitor
C de eléctrico
placas paralelas, la
4.7
Densidad de de
energía
en un campo
diferencia de potencial entre las placas de un capacitor y
la energía de un capacitor cargado es: es:
C = eo A / d
;
V=Ed
;
U = ½ C V2 ;
U = ½(eoA/d ) (E d )2 = ½ eo (A*d) E2
Como el volumen v = A*d, entonces,
La densidad de energía o la energía por unidad de
volumen es :
Luis F Millán B
UE = U/ v = ½ eo E2
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En un capacitor
de placas paralelas las placas tienen un
Ejemplo
4.16
área de 40 cm2 y están separadas 2.5 mm. El capacitor se
conecta a una batería de 24 voltios. Encuentre a) La
capacitancia; b) la energía almacenada; c) el campo
eléctrico; d) la densidad de energía en el campo eléctrico.
A = 40*10-4 m2; d = 2.5*10-3 m
a) La capacitancia; C = eo A / d = 14.15 PF
C = 14.15*10-12 F
b) La energía almacenada; U = ½V2C = 8.15 nJ
U = 8.15*10-9 J
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En un capacitor de placas paralelas las placas tienen un
área de 40 cm2 y están separadas 2.5 mm. El capacitor se
conecta a una batería de 24 voltios. Encuentre a) La
capacitancia; b) la energía almacenada; c) el campo
eléctrico; d) la densidad de energía en el campo eléctrico.
A = 40*10-4 m2; d = 2.5*10-3 m
c) El campo eléctrico; V = Ed \
= V/d = 9600 V/m
La energía en la unidad de volumen
(densidad de energía); UE = ½ eo E2 = 407.4 mJ
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
E
d)
Un Dieléctricos
dieléctrico es un material no conductor, como el
4.8
caucho el vidrio o el papel encerado , etc. Cuando un
material se inserta entre las placas de un capacitor
aumenta la capacitancia, Si el dieléctrico llena por
completo el espacio entre las placas, la capacitancia
aumenta en un factor k adimensional, conocido como
constante dieléctrica.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
4.9 Capacitores con dieléctrico
0.0 VOLTIOS
Cerramos el
interruptor
Supongamos que tenemos una
batería, un voltímetro, unos cables
de conexión y un capacitor
descargado de placas paralelas
separadas una distancia d y de área A
e
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
150 VOLTIOS
+
-
+
-
+
-
Abrimos el
interruptor
Cargado el capacitor genera un
campo eléctrico (Eo) y una diferencia
de potencial (Vo). La capacitancia
inicial Co = (e0*A / d). Las placas
adquieren cargas iguales (Qo) pero
de diferente signo, entonces,
Qo = Vo * Co ; Vo = Eo * d
e
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
150 VOLTIOS
100
+
-
+
-
+
-
e
Luis F Millán B
ComoConclusiones
: 1) Qo = Vo * Co ;
El voltaje V2)
o se
Vohace
= Eok*veces
d
menor
Cuidadosamente
con dieléctricoinsertamos
Vo / k = V en el
3) Qo un
= Vdieléctrico
* C ; 4) V
= que
E * dhaya
capacitor
sin
La capacitancia Co se hace k veces
fuga de mayor
cargas,
el capacitor
Dividiendo
con
dieléctricotendrá la
misma 1carga
Qoo,* una
diferencia
de
y
3;
V
C
o
=
V
*
C
C = Co k = k (e0*A / d)
potencial
V,
un Vcampo
E
2
y
4;
o /V = Eeléctrico
o/E
El campo eléctrico Eo es k veces
Qo = V * C ; Vpor
= Etanto
* d.
menor con dieléctrico Eo / k = E
Vo / V = C / Co = Eo / E = k
donde k es la constante dieléctrica
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Suponga 4.17
que tenemos un capacitor de placas paralelas de
Ejemplo
área A y separadas una distancia d, se introduce dentro
del capacitor dos dieléctricos en serie de constante
dieléctrica k1 y k2. Cada uno tiene área A y ocupa la mitad
k2
A
k1 las placas.
de la distancia entre
a) Cual es la nueva
capacitancia del capacitor. b) si la separación entre las
placas es 2 cm, el área de las placas de 10 cm2, un
d de constante dieléctrica k1 =
dieléctricoLa
es capacitancia
vidrio pyrex
equivalente en serie es:
5.6, el otro dieléctrico
de1+C
constante
dieléctrica
Ce = es
C1*teflón
C2 / (C
2)
k2 = 2.1 y cual es la capacitancia del capacitor
C1 = k1 (e0*A) / d/2 ; C2 = k2 (e0*A) / d/2
Ce = {k1e0A / d/2 * k2e0A/d/2} / {k1e0A/d/2 + k2e0A/d/2}
Ce = (2e0A/ d)*(k2 k1/ k2+ k1)) = 1.35 PF
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Suponga
que tenemos un capacitor de placas paralelas
Ejemplo 4.18
separadas una distancia d y de área A, se introduce dentro
del capacitor dos dieléctricos en paralelo de constante
dieléctrica k1 ky1 k2. Cada
A uno ocupa la distancia d y la
mitad del área. a) Cual es la nueva capacitancia del
2 la separación entre las placas es 2 cm, el
capacitor. b)kSi
área de las placas de 10 cm2, el primer dieléctrico es
d constante
La Capacitancía
equivalente
vidrio pyrex
de
dieléctricaenk1paralelo
= 5.6, eles:segundo
Ce =
C1 + C2 dieléctrica k2 = 2.1.
dieléctrico es teflón de
constante
¿cuál es
C1la=capacitancia
k1 (e0*A/2) del
/ d capacitor?.
; C2 = k2 (e0*A/2) / d
Ce = k1e0* (A/2) / d + k2 e0* (A/2) / d
Ce = (e0*A / (2d) * (k1 + k2) = 1.70 PF
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Supongamos
que tenemos
batería,
un interruptor,
4.10
Una descripción
atómicauna
de los
dieléctricos
unos cables de conexión, un capacitor de placas paralelas
y un dieléctrico.
e
En un dieléctrico los dipolos se orientan aleatoriamente
en ausencia de un campo eléctrico. Si las moléculas del
dipolo poseen momento del dipolo eléctrico permanente
en ausencia de un campo eléctrico se denominan
moléculas polares (el agua).
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+
-
+ Ei
-
+
+
e
Eo
Cuando
La
diferencia
se aplica
de potencial
un campoVeléctrico
o y el campo
externo
eléctrico
Eo seexterno
ejerce
Eo se
un
momento
reducendeuntorsión
factor sobre
k veces
los cuando
dipolos,selointroduce
que origina
un
dieléctrico
que
estos queden
en el capacitor
parcialmente
Vo /alineados
k = V y con
Eo /elk campo.
= E.
Esta
El
grado
relación
de alineamiento
puede comprenderse
aumenta conadvirtiendo
la reducciónque
de la
es
posible que un
temperatura
y con
dieléctrico
el aumento
este de
polarizado.
la intensidad del campo
eléctrico.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+
-
+ Ei
-
+
+
e
Eo
Si las moléculas del dipolo eléctrico no poseen un
momento del dipolo permanente un campo eléctrico
externo Eo produce cierta separación de carga y un
momento de dipolo inducido.
Luis F Millán B
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+
-
+ Ei
-
+
+
e
Eo
Los dipolos alineados parcialmente producen un campo
eléctrico interno Ei que se opone al campo externo Eo
causando una reducción en el campo eléctrico neto
E = Eo - Ei
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+
-
+ Ei
-
+
+
e
Eo
El campo eléctrico externo Eo en el capacitor esta dirigido
hacia la derecha y ejerce fuerzas sobre las moléculas del
material dieléctrico, bajo la influencia de estas fuerzas,
los electrones en el dieléctrico se mueven desde sus
posiciones de equilibrio hacia la izquierda.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+
-
+ Ei
-
+
+
e
Eo
Por tanto el campo eléctrico aplicado polariza el
dieléctrico.
Luis F Millán B
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s - si
+
si - s
-
+ Ei
-
+
+
Eo
El campo eléctrico externo Eo y el campo eléctrico
inducido Ei se relacionan con la densidad superficial de
carga como, Eo = s / e0 y Ei = si /
campo E con dieléctrico es E = Eo / k,
Luis F Millán B
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e0. puesto
que el
s - si
+
si - s
-
+ Ei
-
+
+
Eo
entonces, el campo neto,
E = Eo – Ei ; (Eo/k) = Eo – Ei,
por tanto,
Ei = Eo (1 – 1/k) si / e0 = s / e0 (1 - 1/k) la densidad
superficial de carga inducida es si = s (1 - 1/k)
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
El área de4.19
unas placas paralelas es de 1000 cm2 y tienen
Ejemplo
una separación de 2 cm. La diferencia de potencial inicial
entre ellas sin dieléctrico es Vo = 2000 voltios y
disminuye hasta V = 500 voltios cuando se inserta una
lamina de dieléctrico entre las mismas. Encuentre:
A = 0.1 m2, d = 2*10-2 m. Vo = 2000 V, V = 500 V,
a) La capacitancia inicial:
Co = (e0*A / d) = 44.21*10-12 F
b) La carga Q de cada placa:
Qo = Q = CoVo = 88.42*10-9 C
c) La capacitancia: C después de insertar el dieléctrico:
C = Q / V = 176.84*10-12 F
d) La constante dieléctrica: k = C / Co = Vo / V = 4
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
El área de unas placas paralelas es de 1000 cm2 y tienen
una separación de 2 cm. La diferencia de potencial inicial
entre ellas sin dieléctrico es Vo = 2000 voltios y
disminuye hasta V = 500 voltios cuando se inserta una
lamina de dieléctrico entre las mismas. Encuentre:
e) la permisividad: e = ke0 = 35.37*10-12 C2/(Nm2)
f) la carga inducida en cada cara del dieléctrico:
Como si = s (1 - 1/k) , pero, si = Qi/A y s = Q/A,
entonces, Qi/A = Q/A(1 -1/k), cancelando,
Qi = Q(1 -1/k)= 66.32*10-9 C
g) El campo eléctrico sin dieléctrico Eo y con dieléctrico E
Eo = Vo / d = 1*105 V/m y E = V/d = 25000 V/m
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
4.11
Dipolo eléctrico
eléctrico
Un dipolo
eléctrico enconsta
de dos
cargas iguales y
+un campo
P
opuestas separadas una distancia 2a
2a
Se define el que
Supongamos
momento
se coloca
del eldipolo
dipoloeléctrico
eléctrico deen esta
un
configuración
campo
eléctrico
como
uniforme
el vector P que esta dirigido de –Q a
+Q a lo largo de la línea que une las cargas, y cuya
magnitud es 2aQ (P = 2aQ)
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
F-
b
a
- a
+
aa b
F+
E
t=P E
El
deEl
torsión
(cargas
t) de
debido
a igual
una
de
lascampo.
fuerza
Las
fuerzas sobre
las
momento
dosforma
son
de
neto
magnitud
(F
el momento
del
dipolo
untorsión
ángulo
a con
el
=
Q
por
neta
sobre
t ==2FFbb^contrarios,
,^ donde
b (b
=tanto,
a sena)
es
brazo
tn E)
=latycarga
F+de
+ tsentidos
F= 2 F (a
Sena)
= 2laEfuerza
Q el
a Sena
sobre
el dipolo
es cero,esta
lasfuerza
dos fuerzas
producen
un
de palanca
de t
lan fuerza,
tiende
a
producir
una
= (2aQ) E Sena = P E Sena
momento de torsión (t) sobre el dipolo y este tiende a
rotación
en la dirección
de el
lasmomento
manecillas
reloj.en forma
Es conveniente
expresar
de del
torsión
girar de modo tal que su eje se alinea con el campo
vectorial como el producto cruz de P y E
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Como la fuerza electrostática es conservativa el
trabajo realizado por el campo eléctrico al girar el
dipolo un ángulo q.
W =  t  dq =  PE Senq dq = PE  Senq dq :
q varia entre q y q0, entonces,
W = PE (Cosq – Cosq0 )
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Puesto que el trabajo realizado por el agente que
produce el campo externo es;
W = -DU = -{U(q) - U(q0)} = - PE (Cosq – Cosq0)
Si U(q0) = 0 , entonces U = -PE Cosq = -P E
Así la energía U es mínima cuando cuando P i E son
paralelos.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un dipolo4.20
eléctrico, que consta de dos cargas de 2 nC de
Ejemplo
diferente signo están separadas 10 mm dentro de un
campo eléctrico uniforme de 1000 N/C. a) ¿cuál es la
magnitud del momento dipolar eléctrico?. b) ¿cuál es la
diferencia de energía potencial correspondiente a las
orientaciones paralela y antiparalela del campo’.
a) P = Qd = 2*10-9 C * 10 *10-3 m = 2 *10-11 C-m
b) W = -DU = -{U(q) - U(q0)} = - PE (Cosq – Cosq0)
W = -DU = - PE (Cos0 – Cos 180)
-DU = -4 *10-8 J
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Michael
Faraday
Sus1821
En
experimentos
1833 trazó
sucedió
el campo
ena magnetismo
Davy
magnético
comole llevaron
profesor
alrededorade
de
dosun
química
descubrimientos
conductor
en esta
por
el gran
Michael
Institución.
de
que circula
importancia.
Faraday
Dosuna
(1791-1867)
años
corriente
Uno
más
fuetarde
físico
laeléctrica
existencia
ley químico
fue(laconcedida
del
existencia
británico,
diamagnetismo
una
del
hijo
pensión
campo
dey un
el
herrero,
vitalicia
otro
magnético
fue comprobar
recibió
de
había
300sido
poca
que
libras
observada
unformación
campo
anuales.
por
magnético
vez
Faraday
académica
primera
tiene
recibió
por
yfuerza
elesfísico
numerosos
para
conocido
danés
girar
principalmente
galardones
el
Hans
plano
Christian
decientíficos.
luzOersted
polarizada
por sus
en 1819).
que
descubrimientos
pasa a través de ciertos
la inducción
tipos de
electromagnética,
cristal
de
las
leyesladeinducción
la electrólisis,
también
Realizó
En
1831sus
Faraday
primeras
descubrió
investigaciones
en el electromagnética,
campo
de lademostró
química
y el
que
un
recinto
(caja
oen
jaula
decorriente
forma
bajo en
Faraday
mismo
la año
dirección
entró
demostró
en la
demetálico
Sociedad
Davy.
la inducción
Un
Real
estudio
de
1824
una
sobre
y Faraday)
al
el año
clorosiguiente
eléctrica
le
llevóuna
por
fue
al
pantalla
eléctrica
descubrimiento
nombrado
otra.
Durante
director
este
de mismo
del
doslaboratorio
nuevos
periodocloruros
de
investigó
la Institución
deloscarbono.
fenómenos
Real. También
Además
de la
Mientras
descubrió
de
electrólisis
muchos
trabajaba
elyartículos
descubrió
benceno.
de para
aprendiz
Faraday
dos publicaciones
leyes
con
investigó
fundamentales:
un encuadernador
especializadas,
nuevasque
variedades
de
la Londres,
masa
Faraday
de
leyó libros
vidrio
escribió
una
sustancia
óptico
de
Manipulación
ytemas
llevó
depositada
científicos
a cabo con
por
química
yéxito
una
realizó
una
corriente
(1827),
experimentos
serie deeléctrica
experimentos
Investigaciones
en elen
campo
una
de
de la electricidad.
licuefacción
experimentales
electrólisis
esdeproporcional
gases
en En
electricidad
comunes.
1812a asistió
la cantidad
(1844-1855)
a una
de serie
electricidad
e de
Investigaciones
conferencias
que pasa
impartidas
experimentales
por
el electrolito,
porlas
el
eninvestigaciones
químico
yfísica
que las
y Humphry
química
cantidades
(1859).
Davy
de ysustancias
Murió
envió ael
a Faraday
éste
25
electrolíticas
de
lasagosto
notas
Sin embargo,
que
convirtieron
en el
que
de
depositadas
1867,
tomó
cerca
enpor
esas
delaHampton
conferencias
acción de
Court
una
junto
(Surrey).
misma
una
cantidad
petición
de electricidad
de empleo.
primer
científico
experimental
de
suconépoca
las realizó
en los
Davy
son
proporcionales
lede
contrató
como
a las masas
ayudante
equivalentes
en su laboratorio
de las sustancias.
químico de la
campos
la electricidad
y el magnetismo.
Institución Real y en 1813 le llevó con él a un largo viaje por
Europa.
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
4.12 Auto- evaluación
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
En un capacitor
de placas cuadradas y paralelas, las
Ejercicio
4.1
placas están separadas una distancia de 0.8 mm; cada
placa tiene una carga 60 nC de diferente signo y entre
ellas hay un campo eléctrico de 3*104 V/m. Encuentre a)
la diferencia de potencial; b) la capacitancia; c) el área de
las placas; d) ¿cuál es el lado de la placa.?
R)
a) V = 24 V b) Q = 2.5 nF c) A = 2261.95 cm2
d) L = 47.6 cm
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un cable 4.2
coaxial recto y largo tiene un alambre interior
Ejercicio
de radio a = 1 mm y una cubierta exterior de radio b,
Cuando se aplica una diferencia de potencial de 27
voltios, la densidad de carga (l) sobre el alambre interior
es de 4 nC/m2. ¿cuánto vale el radio exterior)
R) b = 1.45 mm
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Una batería
Ejercicio
4.3 de 12 V se conecta entre dos esferas
concéntricas de un capacitor esférico. Los radios de las
esferas son de 15 y 20 cm ¿cuál es la carga sobre cada
una de ellas?
R) Q = 800 *10-12 F
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio 4.4
16.67V
16.67mC
+ + 1mF
16.67V + 33.34mC + 2mF
100mC 100mC 100mC
50V
25V 8.33V
+ - + -
+ -
+ - + - + 2mF 4mF 12mF
Se
tienen
seis
capacitores y una
batería de 100 V
como aparece en la
figura. Encuentre la
carga y la diferencia
de potencial en cada
capacitor
+ 16.67V + 50.01mC
3mF
Luis F Millán B
100 V
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Repuesta
Un
capacitor
Ejercicio
4.5 C1 = 4 mF se conecta a una batería de 20 V.
La batería se desconecta, un capacitor C2 de 6 mF se
coloca de tal forma que las placas del mismo signo se
unan ¿cuál es la diferencia de potencial final en cada
capacitor?
R)
Luis F Millán B
V1f = 8 V
y
V2f = 8 V
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Ejercicio
4.6
Dos capacitores
C1 de 3 mF y C2 de 6 m F están
conectados en serie con una batería de 30 voltios. La
batería se desconecta y las placas del mismo signo se
unen. a) Encuentre la diferencia de potencial en cada
capacitor antes y después que se conectan en paralelo y b)
¿cuál es la variación de la energía?
R)
a) Vi1 = 20 V ; Vi2 = 10 V
Luis F Millán B
b) DU= 100.4 mJ
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Las placas
Ejercicio
4.7de un capacitor de placas paralelas están
separadas 1 mm. ¿para que diferencia de potencial la
densidad de la energía será 1.8 *10-4 J/m3?
R)
Luis F Millán B
V = 6.83 V
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un capacitor
Ejercicio
4.8 de placas paralelas lleno de aire tiene una
capacitancia de 1.32 PF, la separación de las placas se
duplica y entre ellas se inserta cera. La nueva
capacitancia es de 2.57 PF. Determine la constante
dieléctrica de la cera
R) k = 3.89
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
a)
Consideremos
¿cuál es
que capacitancia
tenemos undelcapacitor
capacitor de
? b)placas
Si un
Ejercicio
4.9la nueva
paralelas dees área
dieléctrico
vidrioA pyrex
y separadas
de constante
una distancia
dieléctrica
d,
introducimos
k
1 = 5.6, el en
otro
paralelo
dieléctrico
dos dieléctricos
es teflón de
de constante
dieléctrica kk12y=k22.1
, cada
, el
unotercero
de estos
es ocupan
papel de
unaconstante
área A/2
y una distancia
dieléctrica
3.7, el d/2,
área se
de introduce
las placas luego
de 10 un
cm2 tercer
y la
dieléctrico de
separación
entre
constante
las placas
dieléctrica
es de k23 en
cm serie
¿cuálcon
es los
la
anteriores y llena
capacitancia
del capacitor?
por completo el capacitor.
R) a) Ce = (2e0*A / d)*((k1 + k2) k3) / (k1 + k2 + 2k3) y
b) Ce = 1.67 PF
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Un dipolo4.10
eléctrico, que consta de dos cargas de 5 nC de
Ejercicio
diferente signo están separadas 20 mm dentro de un
campo eléctrico uniforme de 500 N/C. a) ¿cuál es la
magnitud del momento dipolar eléctrico?. b) ¿cuál es la
diferencia de energía potencial correspondiente a las
orientaciones paralela y antiparalela del campo?.
R) a) P = 100 *10-12 Cm y b) W = -DU = -1 *10-7 J
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
4.13 Solucionarlo
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 4.1
+
+
+
-
d
a) La diferencia de potencial; V = Ed = 24 V
b) La capacitancia; Q = VC, entonces, C = Q/V = 2.5 nF
c) el área, como C = e0*A / d, entonces,
A= C*d / e0 = 0.226 m22 = 2261.95 cm2
d) Como la placas es cuadrada; A = L2, entonces,
L = A = 47.6 cm
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 4.2
b
C = 2pe0 L / Ln (b /a)
a
+Q
-Q
Como la capacitancia de un capacitor cilíndrico es:
C = 2pe0 L / Ln(b /a) = Q / V
2pe0 / Ln (b /a) = (Q/L) / V = l / V
V(2pe0) / l = Ln(b/a)
; exp(V (2pe0) / l) = b / a
por tanto: b = a exp(V (2pe0) / l) = 1.45 mm
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 4.3
-Q
b
a
+Q
C = a*b / (K (b – a))
Como la capacitancia de un capacitor esférico es:
C = {a*b / (K (b – a)) = Q / V, entonces,
Q = V (a*b / (K (b – a))) = 800 PF = 800 *10-12 F
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 4.4
+ + 1mF
+ -
+ - + -
+ -
+ - + - + 2mF 4mF 12mF
2mF
+ -
+ + 3mF
Luis F Millán B
100 V
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+ + 1mF
+ -
+ - + -
+ -
+ - + - + 2mF 4mF 12mF
2mF
+ -
+ + 3mF
Luis F Millán B
100 V
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
+ -
+ -
+ 6mF
+ 1.2mF
100 V
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
100 V
100mC
+ + 1.0mF
100 V
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
100mC
16.67V
100mC
83.33V
+ -
+ -
+ 6mF
+ 1.2mF
100 V
Luis F Millán B
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
16.67V
16.67mC
+ + 1mF
16.67V + 33.34mC
+ 2mF
100mC 100mC 100mC
50V
25V 8.33V
+ - + -
+ -
+ - + - + 2mF 4mF 12mF
+ 16.67V + 50.01mC
3mF
Luis F Millán B
100 V
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
S 4.5
e
La carga inicial Q1i = VC1 = 80 mC
C1
Luis F Millán B
C2
U. AUTONOMA DE COLOMBIA
Cuando el capacitar C1 se desconecta de la batería y se
une en paralelo al capacitar C2 que se encuentra
descargado se produce una redistribución de carga, el C1
da parte de su carga (Q1i) a C2, sea Q2 la carga que recibe
C2.
Como en paralelo los voltajes son
idénticos para cada capacitor V1 = V2,
entonces, (Q1i – Q2) / C1 = Q2 / C2
e
C1
Luis F Millán B
C2
\
Q2 = Q1C2 / (C1 + C2) = 48 mC,
como, V1 = (Q1i – Q2) / C1 = 8 V
V2 = Q2 / C2 = 8 V
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S 4.6
3mF2mF6mF
30V
La capacitancia equivalente;
Ce = C1C2 / (C1+ C2) = 2 mF
la carga; Qt = CeV = 60 mC
La energía; Ut = ½Qt2 / Ce = 900 mJ
En serie la carga es la misma para cada capacitor entonces
Qi1= Qi2 = Qt = 60 mC,
Los voltajes son; Vi1= Qi1 / C1 = 20 V ; Vi2 = Qi2 / C2 = 10 V
V = Vi1 + Vi2 = 30 V
La energía en cada capacitor es
Ui1 = ½Qi12 / C1 = 600 mJ ; Ui2 = ½Qi22 / C2 = 300 mJ
Ut = Ui1 + Ui2 = 900 mJ
Luis F Millán B
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En paralelo el capacitor de mayor
capacitancia adquiere mayor carga, por
3mF
tanto, C1 tiene que cederle una cantidad de
carga (Q) a C2 y los dos capacitores
6mF
quedan al mismo voltaje V1f = V2f.
(Qt – Q) / C1 = (Qt – Q) / C2, entonces,
Q = Qt (C2 – C1) / (C2 + C1) = 20 mC, por tanto,
Q1f = (Qt – Q) = 40 mC ; Q2f = (Qt + Q) = 80 mC
V1f = Q1f / C1= 13.33 V ; V2f = Q2f / C2 = 13.33 V
U1f = ½V1f2 C1= 266.53 mJ y U2f = ½V2f2 C2 = 533.07 mJ
Uf = U1f + U2f = 799.6 mJ
La variación de la energía; DU = Ui - Uf = (900 - 799.6) mJ
DU = 100.4 mJ
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S 4.7
La densidad de energía en la unidad de volumen es
UE = ½eoE2, entonces, E = (2 UE /eo) = 6380.83 V/m,
como, V = Ed = d (2U/eo) = 6.83 V
Luis F Millán B
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S 4.8
La capacitancia del capacitor con aire es; Co = e0*A / d
La capacitancia del capacitor con dieléctrico es;
C = k*e0*A / (2d)
dividiendo las dos ecuaciones
Co / C =(e0*A/d) / {k*e0*A / (2d)}, entonces,
Co / C = 2 /k, por tanto, k = 2C / Co = 3.89
Luis F Millán B
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S 4.9
k1
k3
k2
A
C1 = k1 (e0*A/2) / (d/2) ;
C2 = k2 (e0*A/2) / (d/2)
C3 = k3 (e0*A) / (d/2) = k3 2e0*A / d
d
C12 = k1 (e0*A/2) / (d/2) + k2 (e0*A/2) / (d/2)
C12 = (e0*A / d) * (k1 + k2)
Ce = {(e0*A / d)(k1 + k2) * k3 2e0*A / d } /
{(e0*A / d)(k1 + k2) + k3 2e0*A / d }
Ce = (2e0*A / d)*((k1 + k2) k3) / (k1 + k2 + 2k3) = 1.67 PF
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S 10
a) P = Qd = 5 *10-9 C * 20E-3 m = 100 *10-12 C-m
b) W = -DU = -{U(q) - U(q0)} = - PE (Cos q – Cos q0)
W = -DU = - PE (Cos 0 – Cos 180)
W = -DU = -1 *10-7 J
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