UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Teoría de juegos:
Juegos dinámicos
(información perfecta)
Rafael Salas
marzo de 2015
Juegos dinámicos
1. Juegos secuenciales. Está claro el orden en que
mueven los jugadores
Información perfecta
Información imperfecta
Información incompleta
2. Juegos estáticos que se juegan un número
repetido de veces: juegos repetidos
Juegos dinámicos con informacón
perfecta
Ejemplo 4-1 (secuencial):
Dos empresas rivales
consideran la posibilidad de entrar o no en el mercado.
Si entran las dos empresas tienen unas pérdidas de 10.
Si sólo entra una y la otra, no; tienen beneficios de 50 y
0, respectivamente. Para hacerlo dinámico, la empresa 2
observa lo que hace la 1 antes de tomar la decisión.
Es un juego dinámico con información perfecta.
Antes habíamos resuelto este mismo juego como un
juego estático. ¿Existirá algún cambio de
comportamiento al hacerlo secuencial?¿Quién sale
ganando?
Versión estática
En forma estratégica.
EMP 2
F
E
0
F
0
50
0
EMP 1
0
-10
E
50
-10
.
Versión dinámica
En forma extendida.
1
E
F
2 
F

(0, 0)
 2
E
F

E

(0, 50) (50, 0) (-10,-10)
.
Versión dinámica
En forma estratégica.
EMP 2
FF
EE
0
F
0
FE
50
0
EF
50
0
0
0
EMP 1
0
-10
-10
0
E
50
-10
-10
50
.
Conceptos de equilibrio
• Tenemos que definir los conceptos de equilibrio
apropiados y estudiar sus implicaciones
• En todo caso, las soluciones de equilibrio tienen que ser
algún equilibrio de Nash del juego (refinamientos del
EN)
Teorema previo
• Teorema de Zermelo (1913) o de Kuhn (1953)
Todo juego finito en forma extensiva, con información perfecta,
tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias puras
• La demostración se obtiene por inducción hacia atrás
(backward induction)
Inducción hacia atrás
Solución:
nos situamos en los nodos anteriores a los
terminales y optimizamos. Luego, plegamos y proseguimos...
1
E
F
2 
F

(0, 0)
1
F
 2
E
F

E
2 
(0, 50)
E
 2
(50, 0)

(0, 50) (50, 0) (-10,-10)
.
Inducción hacia atrás (IHA)
Solución:
1
E
F
2 
F

(0, 0)
 2
E
F

E

(0, 50) (50, 0) (-10,-10)
La solución por inducción hacia atrás es (E,EF) o si se quiere la jugada
[E,F] con pagos (50,0). Demostrado: siempre existe.
.
Juego de las monedas con
información perfecta
No siempre gana el jugador 1:
1
CR
CA
2 
 2
CA
CR CA
CR



(1, -1)
(-1, 1) (-1, 1)
(1,-1)
La solución de este juego trivial, en el que gana 2 es doble (CA,CRCA)
y (CR,CRCA) si se quiere las jugadas [CA,CR] ó [CR,CA] con pagos (1,1).
.
Práctica
(1) Solucionad por inducción hacia atrás los ejercicios
6 y 7 (distintas versiones) que se plantearon al
principio del curso.
NOTA: Cuando aparece la incertidumbre, se aplica la
optimización en cada nodo de acuerdo con la utilidad
esperada.
(2) Juegos de supermercados de Selten:
Un monopolio (emp 1) existente gana 5. Otra empresa
(emp 2), que está pensando entrar, gana 1 si decide no
entrar y si decide entrar, el monopolio puede: inundar
el mercado, en cuyo caso las dos empresas obtendrían
un beneficio de 0 ó repartirse el mercado, en cuyo caso
las dos empresas obtendrían un beneficio de 2.
Resolved por inducción hacia atrás.
.
Ejemplo 6
1
d
i
2 
 2
I
D

I
M
D
 2  
(1, -1) (-1, 1) I
(1, -1) (1, -1)
D

1
i

(-1, 1)
d (1, -1)

(1, -1)
Propiedades de la IHA
• La solución por inducción hacia atrás es un EN del
juego, pero no todo EN es la solución por inducción
hacia atrás (es un refinamiento del EN).
Véase el ejemplo 4-1.
• La solución por inducción hacia atrás incorpora el
concepto de racionalidad secuencial.
• Excluye las amanazas no creíbles, pues eventualmente
nunca serían realizadas por agentes racionales.
Refinamiento del EN
En el ejemplo 4-1 existen 3 EN: (E,FF),(F,EE) y (E,EF)
EMP 2
FF
EE
0
F
0
FE
50
0
EF
0
0
50
0
EMP 1
0
-10
-10
0
E
50
-10
-10
50
Sólo (E,EF) es el que se consigue por inducción hacia
atrás
.
Ejemplos
• Disuasión a la entrada
• Modelo de Stackelberg
• Modelo de negociación salarios con empresarios o
sindicatos monopolistas
• Disuasión a la entrada: Teoría del precio límite de Bain
(1956)
Disuasión a la entrada
Juego de los supermercados:
2
E
F

(5, 1)
 1
L

(0, 0)
A

(2, 2)
Por inducción hacia atrás sale (A,E) con pagos (2,2)
Disuasión a la entrada (2)
No obstante existen 2 EN en forma estratégica:
EMP 2
F
E
1
L
5
0
0
EMP 1
1
2
A
5
2
Por inducción hacia atrás sale (A,E) con pagos (2,2)
Nos da a pensar en las propiedades de la inducción
hacia atrás
.
Racionalidad secuencial
• La solución por inducción hacia atrás incorpora el
concepto de racionalidad secuencial:
Todas las soluciones de equilibrio deben ser mejores respuestas en
cada nodo de decisión. Garantizado por la inducción hacia atrás
Implica una cierta consistencia dinámica, pues se excluyen
las estrategias o acciones que no son óptimas en cada
nodo de decisión, que son difíciles de justificar en términos
de los jugadores no tengan incentivos a desviarse de esa
acción en equilibrio
Racionalidad secuencial (2)
• Implicaciones de la racionalidad secuencial:
Los EN que salen de la inducción hacia atrás la cumplen y
los que no, no la cumplen. Es lo que justifica el adoptar este
refinamiento de los EN en los juegos secuenciales
• Otra:
Este principio excluye la posibilidad de que los jugadores empleen
estrategias o amenazas no creíbles
Amenazas no creíbles
En el juego de los supermercados había 2 EN:
EMP 2
F
E
1
L
5
0
0
EMP 1
1
2
A
5
2
Por inducción hacia atrás sale (A,E) con pagos (2,2)
Podemos entender el otro EN (L,F) como una amenaza
no creíble por parte de la empresa 1...
.
Amenazas no creíbles (2)
En rojo representamos en EN que sale por IHA:
2
E
F

(5, 1)
 1
L

(0, 0)
A

(2, 2)
En azul representamos el otro EN (L,F) con pagos (5,1)
L es una amenaza no creíble. Llegado el juego al nodo
segundo, la empresa 1 nunca llegaría a ejercer la
amenaza, que va en su perjuicio
Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos
(ENPS)
• El procedimiento de inducción hacia atrás solo se
pueden aplicar a juegos dinámicos finitos y con
información perfecta.
El tratar de generalizarlos a juegos infinitos o con información
imperfecta requiere definir conceptos de equilibrio más
generales.
• ENPS (Selten 1965)
Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos
(ENPS)
• Subjuegos:
Todo juego que empiece en un conjunto de información que
contiene un solo nodo e incluye a todos sus sucesores.
De existir conjuntos de información con más de un nodo, un
subjuego debe incluir todos los nodos (no puede romper esos
conjuntos de información)
• ENPS: Son EN en todos los subjuegos
• ENPS es un refinamiento:
• ENPS implica EN de todo el juego
• No todo EN del juego completo es ENPS
Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos
(ENPS)
• Mantienen la racionalidad secuencial que vimos para los
resultados que salían del algoritmo de inducción hacia
atrás.
• Si hay equilibrios múltiples, hay que definir el algoritmos
de IHA generalizado: en el caso de que en un subjuego
haya un eq. múltiple, hay que repetir el procedimiento
para cada equilibrio.
Ejemplo:
1 Entrante potencial y 2 Monopolio existente
1
E
F

A
(0,2)
1 L
2 
 2
L
A
L
A




(-3,-1)
(1,-2)
(-2,-1)
(3,1)
Ejemplo:
1 Entrante potencial y 2 Monopolio existente
1
E
F

A
(0,3)
1 L
2 
 2
L
A
L
A




(-1,-1)
(1,1)
(-1/2,-1)
(1/2,-1)
Otros ejemplos
• Modelo de Stackelberg
• Votación con veto
• El juego de las ruedas
• El juego del ultimátum
• Juegos de negociación
Práctica
(3) Modelo de Stackelberg:
Dos empresas que producen producto homogéneo,
compiten en cantidades. La demanda agregada es
P=a-X, donde X=X1+X2 y los costes Ci=c Xi, donde a y
c>0. La empresa 1 es la empresa líder o dominante y
fija primero las cantidades y la empresa 2, que es la
seguidora, las fija una vez que observa lo que hace la
líder.
NOTA: Es parecido al modelo de Cournot, pero con
esta estructura secuencial
.
Práctica
(4) Votación con veto:
Primero, el jugador 1 veta a uno de los candidatos
{A,B,C,D}. Después, el jugador 2 veta a otro de los
restantes. Por último el jugador 3 veta a otro de los
restantes y el que queda sale elegido. Las preferencias
de los tres jugadores es:
U1(D)>U1(C)>U1(B)>U1(A)
U2(C)>U2(D)>U2(A)>U2(B)
U3(C)>U3(A)>U3(B)>U3(D)
Resuelve por inducción hacia atrás
.
Práctica
(5) Juego de las ruedas:
Primero, el jugador 1 elige una de las tres ruedas y la
hace girar. Después, y antes de que pare, el jugador 2
elige una de las restantes. Gana el que saque el número
más alto.
9
4
2
8
6
7
1
5
3
¿Quién tiene ventaja en este juego?
.
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Teoría de juegos:
Juegos dinámicos
(información perfecta)
Rafael Salas
Marzo de 2015
Descargar

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento …