MODELOS DE DEMANDA
LICENCIATURA EN ECONOMÍA
4º CURSO
Profesora:
Concepción Román
Despacho: D2-19
Tel: 928 45 17 96
E-mail: [email protected]
TEMA 3
LOS MODEOS DE DEMANDA
DESAGREGADOS
3.1 La teoría de la utilidad aleatoria (sesión 1)
3.2 El modelo Logit multinomial (sesión 2)
3.3 El modelo Logit jerárquico (sesión 3 y 4)
3.4 El modelo Probit (sesión 5)
3.5 Modelos avanzados (el modelo Logit mixto)
3.4 El modelo Probit multinomial
• El modelo Probit multinomial se caracteriza porque los
errores se distribuyen según una Normal Multivariante
de media el vector 0 y matriz de covarianza arbitraria Σ
• En general no se puede establecer de forma sintética y
sencilla el valor de la probabilidad ya que la integral no
se puede resolver.
• Ventajas del modelo Probit:
– Este modelo permite tratar cualquier correlación entre
alternativas
– Permite tratar el problema de variación aleatoria en los gustos
ya que los parámetros pueden interpretarse como variables
aleatorias.
• Desventajas:
– Es difícil de estimar y hay que recurrir a simulación
 Si los errores (  1 ,  2 ,
conjunta es:
f ( 1 ,  2 ,
 n ) son independientes la función de densidad
n) 

exp  
n

1
n
2
( 2 )  1   2 
n
1
2

 i  i
i

2
1



 Si los errores (  1 ,  2 ,  n ) no son independientes la función de
densidad conjunta en el caso de n=2 es:
f ( 1 ,  2 ) 
1
2  1 2 1  
2

exp 

1
1
2 1  2

 1  1
1
 
2

2  2
2

2
 2
 1  1  2   2
1
2



En el caso de 2 alternativas:
U 1  V1   1
U 2  V2   2
con (  1 ,  2 )  N (0,  ) y  i  N (0,  i )
La probabilidad de elección de la alternativa 1 es:
P1  P1 (U 1  U 2 )  P (V1   1  V 2   2 )  P (  2   1  V1  V 2 )
Si  1 y  2 son normales  2 -  1 es normal:
 2 -  1  N (0,  1   2  2   1  2 )
2
2
Por lo tanto:
P1  P (  2   1  V1  V 2 )  P

 2  1
 1   2  2  1  2
2
2

Esta integral no tiene una forma explícita.
En este modelo, los parámetros
1


1
 1   2  2  1 2
2
2
V1  V 2
 1   2  2  1  2
2
2
aparecen
 
 F
V1  V 2
 1   2  2  1  2
2
2
escalados

por
Comparación del Probit independiente e idéntico con el Logit
multinomial.
Sea  i el verdadero valor del parámetro de un atributo dado.
En el modelo Probit no obtenemos  i sino:
i 
P
i

En el caso de un modelo Probit iid  1   2   y   0 . Por lo tanto:
    1   2  2  1  2  2
2
2
2
 
2
2
Por lo que:

P
i
i

(1)
2
En el modelo Logit obtenemos:
i 

L

6
i
(2)
Combinando (1) y (2) podemos establecer la siguiente relación entre los
parámetros estimados por ambos modelos:
De (1) obtenemos:  i   iP 2
i 
L
De (2).obtenemos:  i 
6

Igualando:
i 
L
i
P
2 
i
L
i 
P

3
6
3

i 
P
o
i 
L
3
Por tanto podemos establecer una equivalencia entre ambos modelos
La variación en los gustos y el modelo Probit
El modelo Probit permite tratar el problema de la variación aleatoria en los
gustos, ya que los parámetros pueden interpretarse como variables
aleatorias.
Sea U iq    k x ikq   iq co n (  1 q , ,  n q )  N (0,  )
k
Supongamos que  k so n v.a. N ( b k ,  k ) , entonces se pueden representar
por:
 k = b k   k  k d o n d e  k  N (0,1)
Entonces:
U iq 
 (b
k
  k  k ) x ikq   iq 
k

b
k
x ikq   k  k x ikq   iq 
k
norm al
norm al
Con  iq variables normales de media 0.
norm al
b
k
k
x ikq   iq
3.5 El modelo Logit Mixto
•
El modelo Logit mixto es un modelo muy flexible que
permita aproximar cualquier modelo de Utilidad
aleatoria. Este modelo permite resolver 3 limitaciones
importantes del modelo Logit multinomial:
– Variación aleatoria en los gustos
– Correlación arbitraria entre alternativas
– Correlación entre los errores en el tiempo (muy útil en Datos PD
donde un individuo da lugar a varias observaciones y es
esperable que exista correlación)
•
Partiendo del comportamiento maximizador de la
utilidad, existen 2 interpretaciones del modelo Logit
Mixto que son equivalentes:
a) Modelo Logit Mixto con parámetros aleatorios
b) Modelo Logit Mixto con componentes de error
a) El modelo Logit Mixto con parámetros aleatorios
Esta formulación del modelo Logit Mixto se utiliza cuando se trata de
analizar la variación en los gustos de los individuos.
Sea:
U iq   q x iq   iq
donde:
es el vector de atributos relativos a la alternativa y al individuo
 q es el vector de coeficientes para el individuo q. estos representan los
gustos de la persona y se representan por variables aleatorias que tienen
una función de densidad f ( q ) que depende de un conjunto de
parámetros poblacionales ( b , W ) que pueden ser por ejemplo el vector
de medias y la matriz de covarianza.
x iq
 q  f ( q
 iq son v.a. iid Gumbel(0,  ) .
b ,W
)
El individuo conoce  q y  iq y elige la alternativa de máxima utilidad.
El investigador no conoce  q . Si lo conociera, la probabilidad
condicionada sobre  q de elegir la alternativa i tendría la forma Logit:
L iq  q  L iq ( q ) 
e

 q x iq
e
 q x jq
j
Pero  q no es fijo, es una v.a. que toma distintos valores en la
población, por tanto, la probabilidad de elegir la alternativa i se obtiene
a partir del valor esperado de Liq ( q ) y es igual a:
Piq 

e
 q x iq
e
 q x jq
f ( q
b ,W
)d q
j
Esta integral depende de los parámetros poblacionales (b,W) a estimar.
El investigador debe especificar una distribución para el vector  q . Las
distribuciones más usuales son:
- Normal
- Uniforme
- Log-Normal
b) El modelo Logit Mixto con componentes de error
Esta versión del modelo se utiliza cuando se trata de analizar patrones
de sustituibilidad (correlación) arbitrarios.
En este caso se especifica la utilidad de la alternativa i como:
U iq    x iq   q z iq   iq
donde:
y z iq son vectores de varables observadas
 es un vector de coeficientes fijos
 q es un vector de coeficientes aleatorios con media 0 y covarianza W
 iq son v.a. iid Gumbel(0,  ) .
y  q y  iq son independientes.
Con esta formulación el término aleatorio es:
x iq
 iq   q z iq   iq
Se puede comprobar que con esta formulación existe correlación entre
cualquier par de alternativas:
cov( iq , iq )  E   q z iq   iq  E   q z jq  
jq


2
 z iq W z iq    I  0 si z iq  0
La probabilidad de elección se puede obtener de forma similar al caso
anterior condicionando por el valor de  q .
Como no hay garantía de poder resolver la integral, la probabilidad se
obtiene por simulación.
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