Funciones Racionales.
Una función racional tiene la forma:
P( X )
y
Q( X )
Donde P y Q son polinomios. Se supone que P(x)
Y Q(x) no tienen factor en común. Aunque las
funciones racionales se construyen de polinomios,
sus graficas se ven bastante diferentes de las
graficas de funciones polinomiales.
El dominio de una función racional consiste en los números reales x excepto
aquellos para los que el denominador es 0. Al graficar una función racional, se
debe poner atención especial al comportamiento de la grafica cerca de esos
valores, debido a que poseen asintotas.
En términos informales, una asíntota
de una función es una línea a la que
la grafica de la función se aproxima
cada vez mas cuando se va a lo
largo de esta línea.
Ejemplo Gráfico.
xa
La recta
donde a es un cero del denominador es una asíntota
vertical de la función y=f(x) si y tiende a mas o menos infinito cuando x tiene a
a por la derecha o por la izquierda. Una función racional tiene asíntotas
verticales donde la función no esta definida, es decir donde el denominador es
cero.
yb
La recta
es una asíntota horizontal de la función y= f(x) si y se
aproxima a b cuando x se aproxima a mas menos infinito.
2
y
x 3
Asíntota
horizontal
y=0
Asíntota
vertical x=3
Transformaciones de
1
y
x
Se utiliza para graficar funciones racionales de la forma:
ax  b
y
cx  d
Se utiliza debido a la capacidad de desplazar,
alargar o reflejar.
Ejemplo: Grafique la función racional:
2x2  7x  4
y 2
x  x2
Solución: Se factoriza el numerador y el denominador, se determinan las
intersecciones y asíntotas y se bosqueja la grafica.
Factorizar:
y
(2 x  1)(x  4)
( x  1)(x  2)
Intersecciones con el eje x: Las intersecciones x son los ceros
del numerador, para este caso x=1/2 y x=-4.
Intersecciones con el eje y: Para hallar la intersección y, se sustituye x= 0
en la forma original de la función. Para este caso daría que la intersección
y= 2
Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador
es cero, es decir, donde la función no esta definida. De la forma factorizada se
puede observar que las asíntotas verticales son las rectas x=1 y x= -2.
Comportamiento de las asíntotas verticales: Específicamente es para
saber si es + o -, por tanto se usa el proceso del cementerio.
y
(2 x  1)(x  4)
( x  1)(x  2)
 2
 2
( )( )
( )()
( )( )
( )( )
(  )( )
( )( )
(  )( )
(  )( )
-
+
-
+
1
1

Asíntota horizontal: Los grados del numerador y el denominador
son los mismos y
Coeficiente principal del numerador
Coeficiente principal del denominador
2/1= 2 así la asíntota horizontal es la recta y=2
Por ultimo se grafica.
Asíntota inclinada y comportamiento extremo.
Si
y
P( x) es una función racional en la que el grado del numerador
Q( x)
es uno mas que el grado del denominador, se puede usar el algoritmo de la
división para expresar la función en la forma
R( x)
y  ax  b 
Q( x)
Donde el grado de R es menor que el grado de Q y a es diferente de 0. Esto
significa que cuando x tiende a infinito, R(x)/Q(x) tiende a 0, por lo tanto los
valores grandes de lxl, la grafica de y= r(x) se aproxima a la grafica de la recta
y= ax+b. En esta situación se dice que y= ax+b es una asíntota inclinada o
una asíntota oblicua.
Aplicaciones.
Las funciones racionales ocurren con frecuencia en aplicaciones
científicas de algebra, los ejemplos mas comunes son las teorías de
electricidad. (resistencia eléctrica)
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