Potencial eléctrico


F  qE


Fa   q E

El trabajo realizado por la fuerza aplicada en un desplazamiento dl
dl


dW  F a  d l  F a dl cos 

Fa


dl
será:
Luego el trabajo realizado por la fuerza aplicada (externa) en un
desplazamiento desde un punto A a un punto B es:
B

Wa 
B


 
Fa d l    q E d l
A
A
Supongamos que traemos, en línea recta, una carga desde el infinito hasta
una distancia rB de una carga puntual Q; el trabajo realizado por la fuerza aplicada será:
Wa  q

qQ
Q
4  o
1
4  0 rB
rB
dr
r

2
rB
qQ  1 

 
4  o  r  
Se trata de un trabajo positivo, es decir,
se le entrega energía a la carga q
para que se acerque a Q, siempre que
ambas tengan el mismo signo.
Para mover la carga desde A hasta B se requiere un trabajo:
Wa  q

qQ
(
Q
4  o
1
4  0 rB
Potencial eléctrico:

V 
rB
dr
r
2
rA
1
rA
rB
qQ  1 

 
4  o  r  r A
)  U B U
1V 
U
V 
 U
diferencia de energía potencial
1J
Volt
1C
q
Diferencia de potencial:
A
Unidad de potencial eléctrico:
U
q
Volt
1V 
1J
1C
Unidad de campo eléctrico:
J
N
V
m
1


C
C
m
eV es la energía que un electrón gana cuando es acelerado a través de la diferencia
de potencial de 1volt
1eV  1 . 6  10
 19
C  Volt  1, 6  10
 19
J
rA
 
V A    Edl

rB
 
VB    Edl

rB
 
V  VB  V A    Edl 

rB
 
   Edl 



rA
rA

 
Edl

r
B
 
 
Edl    Edl
rA
Diferencia de potencial
+
En estas
partes no se
realiza trabajo.
laa
Problema 5
Considere el campo eléctrico
 1 2
E  y xˆ  xy yˆ
2
i) ¿Es conservativo?
ii) Encuentre la ecuación para las líneas de campo en el plano x-y.
iii) Encuentre la ecuación para las líneas equipotenciales en el plano x-y.
iv) Esquematice las líneas anteriores en un plano x-y.
Protón en un campo eléctrico uniforme.
Se suelta desde A:
E
+
A
B
B
 
V    Edl   E xB  x A 
Cambio en el potencial eléctrico
entre los puntos A y B.
A
Cambio de energía potencial del protón:
U  q pV
Velocidad del protón en B
Problema 2
La figura muestra un protón en reposo en presencia de dos regiones con sus

respectivos campos eléctricos: E  E xˆ
,

E 1  E 1 yˆ

E
y

E1
0
+
b
d
x
Si en t=0 soltamos el protón:
i) Encuentre la posición y la velocidad del protón cuando x=b
ii) Encuentre la posición y la velocidad del protón cuando x=b+d
Energía potencial eléctrica
q3
r13
q1
r12
r23
q2
 q1 q 2 q1 q 3 q 2 q 3
U  k e 


r13
r23
 r12




Para N cargas discretas:
i  1,..., N
qi
U 
1
N
N
i 1
j 1
ji


2
qiq j
rij
A partir del potencial eléctrico se puede obtener el campo eléctrico
 
dV   E  d s   E x dx  E y dy  E z dz
pero:
dV 
luego:
Ex  
V
x


E   V
,
V
x
dx 
Ey  
V
y
V
y
,
dy 
V
z
Ez  
dz
V
z





eˆ1 
eˆ 2 
eˆ3
x
y
z
operador gradiente
Ilustración:
Obtengamos el campo eléctrico a partir del potencial de una carga puntual.
V  ke

q
r
r  x  y z
V
x
V
y
V
z
2
2
 keq
1
 keq
1
 keq
1

2 1 2
2x
2 x 2  y 2  z 2 
3 2
2y
2 x 2  y 2  z 2 
3 2
2z
2 x 2  y 2  z 2 
3 2
luego:

1
2 x eˆ1
E  keq
3 2
2 x 2  y 2  z 2 
 keq
1
 keq
1
2 y eˆ 2
2 x 2  y 2  z 2 
3 2
2 z eˆ 3
2 x 2  y 2  z 2 
3 2
1
q 
q
 k e q 3  x eˆ1  y eˆ 2  z eˆ3   k e 3 r  k e 2 rˆ
r
r
r
Teorema de Kelvin-Stokes (Teorema del rotor)
Def: Rotor de un vector en coordenadas cartesianas:
eˆ1
eˆ 2
eˆ3
 
 F  x
y
 z   y F z   z F y eˆ1  ...
Fx
Fy
Fz
Teorema de Kelvin-Stokes:
  
   F  da 
S
curva

S
 
 F  ds


rot F  Lim
S  0

F
 
 F  dr

dr
S
Esta curva es para determinar
una de las componentes del rotor.
Para determinar las otras debemos
tomar otras dos superficies
perpendiculares a esta y
perpendiculares entre sí.
(Explicarlo en clase)
Explicar en clase la noción
del teorema del rotor.
Calculemos el rotor del campo eléctrico de una carga:
 

q 
  E    ke 3 r
r
Consideremos la componente x de este vector:
 
z
y
(   E ) x   y E z   z E y  k e q (  y ( 3 )   z ( 3 ))
r
r
 k e q ( z (  3r
5
y )  y ( 3r
5
z ))  0
De manera análoga las otras componentes también se anulan, luego:
 
E  0
Entonces, por el teorema de Stokes:
  
   E  da  0 
S
 
 E  ds

B
B
 
 E  ds 
1
 
 E  ds 

2
B


A
B

 
E  ds 
A , 1
B
 
E  ds 
A , 1
A , 1


 
E  ds
A , 2
 
 E  ds
B , 2
 
E  ds  0
A , 2
B
A
indica el
camino
que hay
que usar
B

 
E  ds 
A , 1
B

 
E  ds
A , 2
es decir, la integral es dependiente del camino, o sea el campo es conservativo
y entonces es posible definir una función potencial eléctrico.
Ejemplo: Potencial eléctrico de un anillo cargado uniformemente con carga Q.
dq

a

r
P

rP
0
x
dq
dq

V (r )  ke 
 ke  

r
rP  a
Calculemos este potencial en el punto

rP  x eˆ x
Calculemos este potencial en el punto
V ( x eˆ x )  k e 
 ke

rP  x eˆ x
dq
dq
  ke  2
2
x eˆ x  a
x a 0

1
x
2
a
2

dq


El campo eléctrico en ese punto se calcula usando:


E   V
x
k eQ
2
a


2 12
1 2

r
 x eˆ x
Ejemplo: Disco con carga uniforme. Potencial en el punto
Aprovechamos el resultado del anillo
a
V 
 dV

k e 2  rdr
 x
0
2
r
 2  k e (( x  a )
2
2 12

2 12
 x)
x
El campo eléctrico en ese punto se calcula usando:


E   V
Ejemplo: potencial eléctrico de una esfera aislante con carga uniforme Q
r
 
V    E  ds

R
Caso i)
Fuera de la esfera.
r
r
 
dr
Q
V    E  ds   k eQ  2  k e
r
r


r  R
Caso ii) Sobre la esfera.
V (R)  ke
Q
R
Caso iii) Dentro de la esfera.
V (r )  V ( R )  
k eQ
R
3
r
 rdr 
R
k eQ
2R
3
R
2
r
luego:
k eQ 
r
 3  2
V (r ) 
2R 
R
2



r R
2

V
3k eQ
2R
0
R
r
Ejemplo: Esfera conductora de radio R
V 
+
k eQ
+
R
+ +
E 0
 k eQ
E  2
r
V 
k eQ
r
V
E
k eQ
k eQ
k eQ
R
r
r
R
r
R
2
r
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Diapositiva 1