PROGRESIONES
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Progresiones aritméticas
Similar a los ejercicios 6, 7 y 8 propuestos
Similar a los ejercicios 9, 10 y 11 propuestos
Similar a los ejercicios 12, 13, 14 y 15 propuestos
Similar al ejercicio 16 propuesto
Progresiones geométricas
Similar a los ejercicios 18, 19 y 20 propuestos
Similar a los ejercicios 21 y 22 propuestos
Similar a los ejercicios 23, 24 y 25 propuestos
Similar a los ejercicios 26 y 27 propuestos
Fin
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Si el tercer término de una progresión aritmética es –50 y la diferencia es 6, ¿cuáles
son los diez primeros términos de la progresión? Escribe el término general.
___ , –56
___ , –50 , –44
___ , –38
___ , –32
___ , –26
___ , –20
___ , –14
___ , ___
–62
–8 , …
Hay que ir sumando 6 para obtener los términos siguientes
–50 + 6 = –44
–44 + 6 = –38
–38 + 6 = –32
–32 + 6 = –26
–26 + 6 = –20
–20 + 6 = –14
–14 + 6 = –8
Hay que ir restando 6 para obtener los términos anteriores
–50 – 6 = –56
–56 – 6 = –62
Término general: an = a1 + (n–1)d
an = –62 + (n–1)6
an = –62 + 6n – 6
an = –68 + 6n
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Sabiendo que el cuarto término de una progresión aritmética es 15 y que el décimo
es 36, obtén los diez primeros números que forman la progresión. ¿Cuál es el
término general de esta progresión?
___
4´5 , ___
8 ,11´5
___ , 15 , 18´5
___ , ___
22 , 25´5
___ , ___
29 , 32´5
___ , 36 , …
Hay que calcular la diferencia:
Como se conocen a4 y a10 podemos escribir a10 = a4 + (10 – 4)d
36 = 15 + (10 – 4)d
36 = 15 + 6d
36 – 15 = 6d
21 = 6d
21/6 = d
3´5 = d
A partir del número 15 vamos sumando 3´5 y completando la progresión.
Los primeros términos se obtienen a partir del 15 restando 3´5.
Término general: an = a1 + (n–1)d
an = 4´5 + (n–1)3´5
an = 4´5 + 3´5n – 3´5
an = 1 + 3´5n
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En una progresión aritmética el cuarto término es 11 y el noveno 31. Calcula la suma
de los 150 primeros términos de la progresión.
a4 = 11
Primero se calcula d:
Ahora se calcula a1:
Ahora se calcula a150:
a9 = 31
a9 = a4 + (9 – 4)d
a4 = a1 + (4 – 1)d
a150 = a1 + (150 – 1)d
31 = 11 + 5d
31 – 11 = 5d
20 = 5d
20/5 = d
4=d
11 = a1 + 3·4
11 = a1 + 12
11 – 12 = a1
-1 = a1
a150 = –1 + 149·4
a150 = –1 + 596
a150 = 595
(a1 + a150)·150 (–1 + 595)·150
Ya se puede calcular la suma: S150 = –––––––––––– = ––––––––––––
2
2
594·150
89100
S150 = ––––––– = –––––– = 44550
2
2
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¿Cuántos números se han sumado de una progresión aritmética si el resultado ha
sido 855, el primero era 8 y el último 30?
(a1 + an)·n
Sn = 855
Sn = –––––––––
2
a1 = 8
(8 + 30)·n
an = 30
855 = –––––––––
2
38·n
855 = ––––
2
855·2 = 38·n
1710 = 38·n
1710
––––– = n
38
45 = n
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Escribe los seis primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que la
razón es 2 y que el tercer término es 12. ¿Cuál es el término general?
24 , ___
96 , …
___
48 , ___
3 , ___
6 , 12 , ___
Hay que ir multiplicando por 2 para obtener los términos siguientes
12 · 2 = 24
24 · 2 = 48
48 · 2 = 96
Hay que ir dividiendo por 2 para obtener los términos anteriores
12 : 2 = 6
6:2=3
Término general: an = a1 · rn–1
an = 3 · 2n–1
2n
an = 3 · –––
21
3
an = –– · 2n
2
n
an = 1´5 · 2
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Sabiendo que el segundo término de una progresión geométrica es 36864 y que el
quinto es 15552, encuentra los nueve primeros términos de la progresión. ¿Cuál es
el término general?
_____ , 36864 , _____
49152
27648 , _____
20736 , 15552 , 11664
_____ , _____
8748 , _____
6561 , 4920´75
______ , …
Hay que calcular la razón:
Como se conocen a2 y a5 podemos escribir a5 = a2 · r5 – 2
3
15552 = 36864 · r
15552 3
––––– = r
36864
0´421875 = r3
3
0´421875 = r
0´75 = r
A partir del número 36864 vamos multiplicando por 0´75 y completando la progresión.
El primer término se obtienen a partir del 36864 dividiendo por 0´75.
n–1
Término general: an = a1 · r
an = 49152 · 0´75n – 1
0´75n
an = 49152 · –––––
0´751
49152
an = ––––– · 0´75n
0´75
an = 65536 · 0´75n
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Averigua cuánto suman los veinticinco primeros términos de una progresión
geométrica sabiendo que el primer término es 5 y que el cuarto es 40.
a1 = 5
a4 = 40
Primero se calcula r:
4–1
Ahora se calcula a25:
25 – 1
a4 = a1 · r
a25 = a1 · r
40 = 5 · r3
a25 = 5 · 224
40 3
–– = r
5
a25 = 5 · 16777216
a25 = 83886080
8 = r3
3
8=r
2=r
a25 · r – a1
83886080 · 2 – 5
Ya se puede calcular la suma: S25 = ––––––––– = ––––––––––––––
r–1
2–1
167772160 – 5
S25 = ––––––––––––– = 167772155
1
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Suma todos los términos de una progresión geométrica sabiendo que el primer
término es 21 y que el tercer término es 3´36.
a1 = 21
a3 = 3´36
Primero se calcula r:
3–1
a3 = a1 · r
3´36 = 21 · r2
3´36
–––– = r2
21
Ahora se calcula la suma:
a1
S∞ = ––––
1–r
21
21
S∞ = –––––– = –––– = 35
1 – 0´4
0´6
0´16 = r2
0´16 = r
0´4 = r
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