Ejemplo de solución de sistemas de
ecuaciones por el método de gauss
jordan
Ing. Marcel Ruiz Martínez
Resolver el siguiente sistema de
ecuaciones por el método de gauss jordan
x  2y  z  3
Este es el sistema
de ecuaciones a
resolver
Paso 1. Se forma la
matriz aumentada
NOTA
IMPORTANTE: El
objetivo del
método es lograr
formar una matriz
identidad de esta
forma.
2x  5y  z  4
3x  2 y  z  2
1

2
3

1

0
0

2
1
5
1
2
1
0
0
1
0
0
1
3

4
2 
a

b
c 
Donde el sistema
tiene la siguiente
solución:
x=a
y=b
z=c
Solución por el método de gauss jordan
1
2
1
3
Paso 1. Se forma la


2
5

1
4
matriz aumentada


Paso 2. Como se busca obtener
una
diagonal
de “1” en el primer renglón ya
3 2 1 2 


tenemos un número 1. Nuestro
objetivo ahora
será hacer obtener ceros
debajo de este número “1”
Al numero “1” de la diagonal se le denomina “elemento pivote”; sobre
éste vamos a apoyarnos para hacer ceros los números arriba y debajo de
dicho numero con operaciones de eliminación renglón
Solución por el método de gauss jordan
Identificamos
Renglón, Columna
y elemento pivote
1

2
3

2
1
5
1
2
1
3

4
2 
Elemento pivote
Columna pivote
Seleccionamos el
renglón pivote
Seleccionamos un
renglón diferente
al renglón pivote
[ 1

2
3

0
Renglón pivote
2
1
5
1
2
1
3 ]

4
2 
Como el objetivo es hacer “0” el número
debajo del renglón pivote ¿Por qué número
debemos multiplicar el renglón pivote?
Solución por el método de gauss jordan
Modificamos el
segundo renglón
con la operación
de eliminación
renglón
1

2
3

1
5
1
2
1
2
1
5
1
2
1
2
1
5
-2
1
-1
2
1
(-2) [ 1

2
3

0
Ahora modificamos
el tercer renglón
¿Por qué número
multiplicamos el
renglón pivote
ahora?
¿Cómo queda la
nueva matriz?
1
(-3) [ 1

32
3

0
1

0
0

3

4
2 
2
3

4
2 
-3
-8
2
1
1
3
8
4
]
-2
-4
3

42
2 
-7
3 

2 
 7 
]
Solución por el método de gauss jordan
Ya transformamos la
 11
primera columna, ahora

0
vamos con la segunda;
0
afortunadamente ya

hay un “1” como nuevo
elemento pivote
(-2) [ 0
1
¿Qué hacemos
ahora? Hay que
transformar en
ceros los números
arriba y abajo del
nuevo elemento
pivote
Se repite la
eliminación
renglón
La siguiente matriz
queda:
2
1
11
3
8
4
1
3 

2 
 7 
2
-3
1
-2 ]
3
0
7
7
(8) [ 0 1
0 -8
-3
-4
-2 ]
-7
1
0
1

0
0

0 -28 -23
0
7
1
3
0
 28
7 

2 
 23 
Nuevo renglón pivote
Solución por el método de gauss jordan
El siguiente elemento
pivote es “28”; el cual
debe ser
transformado en “1”
sin alterar la ecuación
¿Cómo lo hacemos?
En otras palabras:
Cada renglón
representa una
ecuación, si dividimos
todo el renglón entre
-28 obtenemos el “1”
que estamos
buscando
 11 0
7

1 3
0 1
 0 0  28

1
1

0
0

0
7
11
3
0
1
7 

2 
 23 


2 
23 / 28 
7
Convertimos el
elemento pivote en
“1” para facilitar las
operaciones;
dividimos todo el
renglón entre el
número pivote (-28)
obteniendo el
siguiente resultado
Solución por el método de gauss jordan
Realizamos la
operación de
eliminación renglón
Finalmente la matriz
queda
1

0
0



2 
23 / 28 
0
7
1
3
0
1
(-7) [ 0
0
1 23/28 ]
1
0
7
7
1
0
0
5/4
(3) [ 0
0
1 23/28 ]
1

0
0

7
0
1 -3
0
1
0
0
0
1
0
0
1
Nuevo renglón pivote
-2
13/28
5/4 

13 / 28 
23 / 28 
Leyéndose el siguiente resultado: x = 5/4
y = 13/28
z = 23/28
Solución por el método de gauss jordan
Sistema de
ecuaciones original
x  2y  z  3
2x  5y  z  4
3x  2 y  z  2
Respuestas: x = 5/4
y = 13/28
z = 23/28
Puede
confirmar
dicho
Puedes
comprobar
las
resultado
concon
el siguiente
soluciones
el siguiente software en línea
software
WIRS: en línea:
http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
Maths for More S.L. Rambla de Prat 21, 1r 1a
08012 Barcelona Spain
CIF: B 62019716
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