Seminario: Todo
Prof. Eduardo Alejandro Barrio
1er cuatrimestre de 2006
Facultad de Filosofía y Letras, UBA.
Seminario: Todo
“(...) para trazar un límite al pensamiento tendríamos que ser capaces de
pensar ambos lados de este límite, y tendríamos por consiguiente que
ser capaces de pensar lo que no se puede pensar”.
Wittgenstein Prefacio del Tractatus Logico-Philosophicus
“in order to be able to set a limit to thought, we should have to find both sides
of the limit thinkable (i.e. we should have to be able to think what
cannot be thought)”
Wittgenstein Preface to Tractatus Logico-Philosophicus.
Seminario: Todo
I.- La paradoja de Orayen:
1.- El lenguaje de la teoría de conjuntos trata acerca de todos los conjuntos.
Por eso,
2.- El dominio de un modelo que capture la interpretación pretendida del
lenguaje de la teoría de conjuntos tendría que consistir en todos los
conjuntos.
Sin embargo,
3.- El dominio de un modelo es un conjunto y de acuerdo a las teorías de
conjuntos axiomatizadas no existe el conjunto de todos los conjuntos.
Por tanto,
4.- ningún modelo puede capturar la interpretación pretendida del lenguaje de
la teoría de conjuntos.
Seminario: Todo
II. Argumento de Cartwright:
argumenta que podemos cuantificar sobre algunas cosas sin que haya
ninguna cosa singular de la cual ellas sean integrantes. Cartwright
1994, pp. 7-8.
Él critica el "All-in-One Principle" (p. 7): que para cuantificar sobre
ciertos objetos se tiene que presuponer que esos objetos constituyen
una colección o colección completa, una única cosa de la cual esos
objetos sean miembros.
El critica la idea de que "we cannot speak of the cookies in the jar
unless they constitute a set ..." (p.8)”
¿Cómo dar una definición de verdad en un modelo sin utilizar una
entidad (Dominio) que reuna los valores semánticos?
III.- El Argumento Semántico
Estructura del Argumento Semántico
Versión se Glanzberg
Ya que las interpretaciones no necesitan ser conjuntos, es perfectamente
posible definir los Rs tales que sean todos y sólo los objetos o tales que o
no sea una interpretación en la cual P se aplica a o. Entonces hay una I(R ).
Pero I( R) no puede estar en el dominio de la interpretación dada por I (R ).
Porque si así fuera, tendríamos que de acuerdo a I(R ), en el caso de que o
= I ( R):
P se aplica a o ssi P no se aplica a o.
El argumento prueba que no podemos cuantificar sobre absolutamente
todo. Si tenemos un candidato plausible que juegue el papel de D, siempre
es plausible encontrar otro objeto que, si se supone parte del D, provoca
una contradicción. La paradoja muestra que los Ds no pueden ser
exhaustivos y bien determinados. El proceso de interpretación genera
objetos (o instrucciones para generar objetos) los cuales deben caer fuera
de cualquier D dados por la interpretación.
III.- El Argumento Semántico
Estructura del Argumento Semántico
Versión Linnebo:
Supongamos que L es un lenguaje de primer orden.
(ii) Optimismo semántico: podemos especificar la semántica de L sin
imponer ninguna restricción arbitraria sobre el rango de los
cuantificadores.
(iii) Supongamos que la cuantificación irrestricta es posible.
(iv) Para especificar la semántica de L, necesitamos generalizar sobre
interpretaciones de las constantes primitivas no lógicas de L.
(v)
Sea `P´ un predicado monádico de L.
(vi)
Sea F cualquier predicado significativo del metalenguaje.
(vii)
Debe ser posible interpretar P como significando F
Por ejemplo, si el metalenguaje es el español, un caso de este tipo consiste
x (IF es un interpretación bajo la cual P se aplica a x ssi x es un
hombre) (donde x tiene un rango irrestricto)
(1)
x (IF es un interpretación bajo la cual P se aplica a x ssi x es un
F)
El Argumento Semántico: Versión Linnebo
Sem 1: una I es un objeto.
Sem 2: Podemos definir un predicado R tal que
(2)
(2) x (IF es una interpretación bajo la cual R se aplica x ssi x no es una
interpretación bajo la cual P se aplica a x )
We put R for F in (1) y aplicamos la definición de R en (2) para obtener:
(3)
(3) x (IR es un interpretación bajo la cual P se aplica a x ssi x no es una
interpretación bajo la cual P se aplica a x)
Ya que x en (3) es absolutamente irrestricto, podemos instanciarlo para I R para obtener
(4)
(4) IR es una interpretación bajo la cual P se aplica I R ssi IR no es una
interpretación bajo la cual P se aplica IR
(4)es una contradicción. De lo cual se sigue que debemos rechazar que la cuantificación es
irrestricta
El Argumento Semántico: Versión Rayo
Imaginemos que alguien caracteriza un nuevo tipo de modelo: digamos, los
modelos M *.
Mientras cada modelo sea un individuo, es posible probar que hay asignaciones
posibles de significado que no corresponden a ningún modelo.
La prueba es como sigue.
Consista en lo que consista ser G, hay una asignación posible de
significados para L de acuerdo con la cual el predicado “P” es verdadero de
la pareja <x, x > si y sólo si x es G.
Por tanto, si toda asignación posible de significados para L corresponde a
algún modelo* tiene que ser cierto lo siguiente:
(1)
Hay un modelo* MG de acuerdo con el cual, para todo individuo x, “P” es
verdadero de la pareja <x, x > si y sólo si x es G.
El Argumento Semántico: Versión Rayo
Pero, dado que los modelos* son individuos, podemos definir un nuevo predicado, “R”, como
sigue:
(2) Para todo individuo x, x es R si y sólo si x no es un modelo* de acuerdo con el cual “P” es
verdadero de la pareja <x, x >.
Reemplazando “G” por “R” en (1) y utilizando (2) obtenemos:
(3) Hay un modelo MR de acuerdo con el cual, para todo individuo x, “P” es verdadero de la
pareja <x, x > si y sólo si x no es un modelo* de acuerdo con el cual “P” es verdadero de la
pareja <x, x >.
Una instancia de (3) es la siguiente:
(4) Hay un modelo MR de acuerdo con el cual “P” es verdadero de la pareja < M R , MR > si y sólo
si MR no es un modelo de acuerdo con el cual “P” es verdadero de la pareja <M R , MR >.
El Argumento Semántico: Evaluación
¿Qué prueba el argumento semántico?
-
El argumento no depende de que las interpretaciones sean conjuntos o
entidades conjuntistas. Tampoco emplea las nociones de dominio o dominio
standard. Sólo depende de que sean objetos. El papel de las interpretaciones es
crucial en el argumento.
Si Argumento semántico, o se abandona sem 1 (Boolos, Cartwright, Lewis, Uzquiano,
Rayo – Williamson) o la cuantificación irrestricta no es posible (Glanzberg Linnebo)
El Argumento Semántico: Evaluación
Salidas al argumento
Usar lógica de orden superior para rechazar Sem 1. Si las interpretaciones no fueran
objetos, no podríamos usar cuantificadores de primer orden para hablar acerca
de ellas.
Sea I una variable de segundo orden. Bajo I un predicado del lenguaje objeto P se
aplica a un objeto x ssi I P , x. La definición del predicado russelliano R en Sem
2 debe rechazarse sobre el fundamento de que confunde variables de primer y
segundo orden.
Modificación del argumento semántico: el argumento se puede generalizar a otros
ordenes.
Pluralistas (Boolos – Rayo) vs Conceptualistas (Williamson)
El Argumento Semántico: Evaluación
Conceptualismo de Williamson:
Los cuantificadores de segundo orden tienen como rangos conceptos que toman objetos como
argumentos y los de tercer orden conceptos de tales conceptos.
Williamson acepta el argumento semántico, la absoluta universalidad, rechaza la lectura plural
de los cuantificadores de segundo orden y defiende el conceptualismo.
Rayo acepta el argumento semántico, la absoluta universalidad, rechaza que las
interpretaciones sean objetos y defiende una interpretación plural de los cuantificadores de
orden superior.
Linnebo acepta el argumento semántico, rechaza la interpretación plural de los cuantificadores
de orden superior y desarrolla una teoría de conjuntos y propiedades que puede ser usada
para dar una explicación de cómo es posible que nuestros cuantificadores sean irrestrictos.
El Argumento Semántico: Evaluación
Glanzberg: ¿podemos, tal como hacemos con la paradoja de Russell, tomar
como estrategia, rechazar la existencia de ese objeto universal interpretativo?
P21
Tenemos condiciones de identidad. Noción lógica de objeto. Para que salga la
paradoja lo que necesitamos es ser capaces de nominalizar el proceso de
interpretación.
Las verdades lógicas tienen la propiedad de ser persistentes: son insensibles a la
expansión indefinida de los D (situación inevitable por el argumento semántico).
El Argumento Semántico: Evaluación
Boolos, G. “To be is to be the value of a variable (or to be some values of some
variables).”
Cartwright, R. “Speaking of everything”
Glanzberg, M. “Quantification and Realism”
Linnebo, O “Sets Properties and Unrestricted Quantication”
Rayo, A. Nota crítica sobre la paradoja de Orayen”
Williamson, T “Everything”
El Argumento Semántico: Evaluación
Boolos, G. “To be is to be the value of a variable (or to be some
values of some variables).”
Cuenta una historia que en el final de su vida Hilary Putnam le preguntó,
"And tell us, Mr. Boolos, what does the analytical hierarchy
have to do with the real world?" Unhesitating,
Boolos replied, "It's part of it".
G Boolos (1940 – 1996)
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El argumento semántico