INVESTIGACION DE
OPERACIONES
PROF.: FELIPE LILLO V.
ING. CIVIL INDUSTRIAL
[email protected]
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Programa del Curso
DESCRIPCION
El curso trata principalmente sobre la aplicación de los modelos usuales de Investigación de
Operaciones en la solución de problemas reales, tales como modelos de Programación Lineal,
Problemas de Transporte y Asignación, Simulación y Teoría de Inventarios.
OBJETIVOS
Aplicar modelos cuantitativos en la resolución de problemas de administración.
Optimizar soluciones usando la Investigación de Operaciones.
Conocer el potencial que presenta la simulación en el diseño de procesos.
Conocer los sistemas de manejo de inventarios basados en demanda conocida.
METODOLOGÍA
Clases expositivas para conceptos teóricos con discusiones sobre cada tema.
Practicas en laboratorio , donde se conocerán diversos software de apoyo a la I.O.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Programa del Curso
CONTENIDOS
.Introducción a la Investigación de Operaciones
Definición de I.O.
Historia de la I.O.
Campos de aplicación.
2.Formulación matemática
Metodología para la generación de modelos.
Formulaciones matemáticas típicas presentes en la P.L.
3.Programación Lineal
Definición de P.L.
Métodos de Resolución:
Método gráfico
Método algebraico (simplex)
Análisis de sensibilidad.
Problemas especiales de P.L:
Problemas de transporte
Problemas de asignación
4. Introducción a la Simulación
Definición de la simulación
Guìa para proyectos de simulacìón.
Simulacìón de Monte Carlo
Modelos con incrementos de tiempo discretos
Modelos con incrementos de tiempo variable.
Softwares de Simulación
5.Teoría de Inventarios
Modelos con demanda real conocida:
Modelo General.
Sistema de revisión continua.
Sistemas de revisión periódica.
Nota Final = 0.25*P1+25*P2+0.2T+0.30*PG
P1 / P2: Notas pruebas parciales
T: Promedio trabajos practicos.
PG: Prueba global
FECHAS
Prueba 1: 02 de Octubre del 2003
Prueba 2: 27 de Noviembre del 2003
P. Global: 04 de Diciembre del 2003
BIBLIOGRAFIA
Titulo: “Investigación de Operaciones”
Autor: Hamdy Taha
Editorial: Prentice Hall / sexta edición.
Año: 1998
Titulo: “Administración de Operaciones”
Autor: Roger Schroeder
Editorial: Mc Graw Hill. / 3ª edición / Año: 1999
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Definición:
Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas aplicable a diversos
sistemas con el fin de mejorarlos, buscando las mejores alternativas de
acción; esto mediante el modelamiento matemático de los problemas en
estudio.
Sistemas v/s Procesos
• Proceso: Conjunto de Actividades que crean una Salida
o Resultado a partir de una o más Entradas o Insumos.
• Sistema: Un Conjunto de Elementos interconectados
utilizados para realizar el Proceso. Incluye subprocesos
pero también incluye los Recursos y Controles para llevar
a cabo estos procesos.
• En el diseño de Procesos nos enfocamos en QUÉ se
ejecuta.
• En el diseño del Sistemas el énfasis está en los detalles
de CÓMO, DÓNDE Y CUÁNDO.
Sistemas v/s Procesos
Reglas de
Operación
(Controles)
Sistema
Entidades
que Entran
Actividades
Recursos
Entidades
que Salen
Modelos
• Con el propósito de estudiar científicamente un sistema
del mundo real debemos hacer un conjunto de
supuestos de cómo trabaja.
• Estos supuestos, que por lo general toman la forma de
relaciones matemáticas o relaciones lógicas, constituye
un Modelo que es usado para tratar de ganar cierta
comprensión de cómo el sistema se comporta.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Clasificación de los modelos
Existen múltiples tipos de modelos para representar la realidad. Algunos son:
•Dinámicos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado varía con el
tiempo.
•Estáticos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado es invariable a
través del tiempo.
•Matemáticos: Representan la realidad en forma abstracta de muy diversas
maneras.
•Físicos: Son aquellos en que la realidad es representada por algo tangible,
construido en escala o que por lo menos se comporta en forma análoga a esa
realidad (maquetas, prototipos, modelos analógicos, etc.).
•Analíticos: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el
sistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de
ecuaciones).
•Numéricos: Se tiene el comportamiento numérico de las variables
intervinientes. No se obtiene ninguna solución analítica.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Clasificación de los modelos
•Continuos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son graduales. Las
variables intervinientes son continuas.
•Discretos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son de a saltos. Las
variables varían en forma discontinua.
•Determinísticos: Son modelos cuya solución para determinadas condiciones es
única y siempre la misma.
•Estocásticos: Representan sistemas donde los hechos suceden al azar, lo cual
no es repetitivo. No se puede asegurar cuáles acciones ocurren en un
determinado instante. Se conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribución
probabilística. (Por ejemplo, llega una persona cada 20 ± 10 segundos, con una
distribución equiprobable dentro del intervalo).
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Clasificación de los modelos
•Es interesante destacar que algunas veces los modelos y los sistemas no
pertenecen al mismo tipo.
Por ejemplo:
•El estudio del movimiento del fluido por una cañería (Fluidodinámica)
corresponde a sistemas continuos. Sin embargo si el fluido se lo discretiza
dividiéndolo en gotas y se construye un modelo discreto por el cual circulan
gotas de agua (una, dos, diez, cien, mil) se está representando un sistema
continuo por un modelo discreto.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Clasificación de los modelos
•La obtención del área bajo la curva representada por f(x,y)=0 para el rango 0 <=
x <= 1 con 0 <= y <= 1 en todo el intervalo, es un problema determinístico. Sin
embargo, para un número N, suficientemente grande de puntos, de coordenadas
x,y generadas al azar (0 <= x <= 1; 0 <= y <= 1) el área de la curva, aplicando el
método de Monte Carlo, es igual a:
•En este caso, mediante un modelo estocástico se resuelve un sistema
determinístico.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Clasificación de los modelos
El azar en computadora es pseudo azar:
•Mediante un algoritmo matemático se generan números al azar con una
distribución aleatoria similar a la real. Se los puede utilizar en los modelos
estocásticos obteniendo similares resultados a los que se obtienen en el sistema
real. Sin embargo, este azar es repetitivo (cualquiera que conoce el algoritmo
puede predecirlo) lo cual contradice a lo que sucede en un proceso aleatorio.
•En este caso, un sistema estocástico es representado por un modelo
pseudoazar (determinístico).
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Clasificación de los modelos según la
I.O.
Modelo Matemático
Es aquel modelo que describe el comportamiento de un sistema a través de
relaciones matemáticas y supone que todas las variables relevantes son
cuantificables. Por ende tiene una solución optima.
Modelo de Simulación
Es un modelo que imita el comportamiento de un sistema sobre un periodo de
tiempo dado, esta basado en observaciones estadísticas. Este tipo de modelo
entrega soluciones aproximadas.
Modelo Heurístico
Es una regla intuitiva que nos permite la determinación de una solución mejorada,
dada una solución actual del modelo, generalmente son procedimientos de
búsqueda. Este tipo de modelo también entrega soluciones aproximadas.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Tópicos relacionados
•Análisis Estadístico
•Simulación
•Programación Lineal
•Sistema de Redes
•Líneas de Espera
•Problemas de Inventario
•Programación No - Lineal
•Programación Dinámica
•Programación Entera
•Teoría de Decisiones
•Teoría de Juegos
INVESTIGACION DE OPERACIONES
El Arte del Modelado
La I.O debe ser considerada como una ciencia y la vez como un arte.
• Una ciencia por el uso de técnicas matemáticas para la resolución de los
problemas.
• Un arte ya que la formulación del modelo depende en gran parte de la
creatividad y la experiencia delas operaciones del equipo investigador.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Etapas para puesta en práctica
1. Definición del problema:
• Alternativas de decisión (vars. de decisión).
• El objetivo de estudio (Función Objetivo).
• Identificación de las restricciones del sistema que se modela.
2. Construcción del modelo:
• Traducir el problema a relaciones matemáticas que incluyan las vars. decisión,
la Función Objetivo y las restricciones.
3. Solución del modelo:
• Uso de algoritmos de optimización.
• Se encuentran los valores de las vars. decisión.
4. Validación del modelo:
• ¿El modelo entrega una predicción razonable del comportamiento del sistema
estudiado?
5. Puesta en práctica:
• Traducir los resultados del modelo en instrucciones de operación.
PROGRAMACIÓN LINEAL
PROGRAMACION LINEAL
FORMULACION MATEMATICA
PROBLEMA GENERAL
METODO GRAFICO
METODO ALGEBRAICO
(SIMPLEX)
PROBLEMAS ESPECIALES
PROBLEMAS DE TRANSPORTE
PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN
PROGRAMACIÓN LINEAL
Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de
optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre
actividades que compiten, de la forma mas optima posible.
Supuestos de la P.L.
•Proporcionalidad
•Aditividad
•Divisibilidad
•Certidumbre
•Objetivo único
•No negatividad
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
PROBLEMA DE LA MEZCLA DE PRODUCTOS
Una compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos: transistores y
bobinas.
Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de ensamble,
dos minutos de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto de
tiempo en empaque.
Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo
en Control de Calidad y dos minutos en empaque.
Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y 400
minutos en Empaque disponibles cada día.
Tanto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la utilidad.
La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la
utilidad total.
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Maximizar las utilidades de la compañía (U).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X….Cantidad de transistores a fabricar por día {unds./día}
Y….Cantidad de bobinas a fabricar por día {unds./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Tiempo disponible en el depto. de Ensamble por día 300 min.
R2) Tiempo disponible en el depto. de C. Calidad por día de 400 min.
R3) Tiempo disponible en el depto. de Empaque por día de 400 min.
R4) No Negatividad.
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
MAX { U = X + Y }
Sujeto a :
R1) X + 2Y  300
R2) 2X + Y  400
R3) X + 2Y  400
R4) X , Y  0
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
EJERCICIO PROPUESTO
El departamento de rayos X de un hospital tiene dos máquinas, A y B, que
pueden utilizarse para revelar radiografías. La capacidad de procesamiento diaria
de estas máquinas es A=80 y B=100 radiografías. El departamento debe planear
procesar al menos 150 radiografías por día. Los costos de operación por
radiografía son $4 para la máquina A y $3 para la máquina B. ¿Cuántas
radiografías por día debe procesar cada máquina para minimizar costos?
Se pide:
Formular como un problema de P.L. identificando claramente la función objetivo y
las variables de decisión.
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar los costos de procesamiento (C).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X….Cantidad de radiografías a procesar en máquina A al día {rad./día}
Y…. Cantidad de radiografías a procesar en máquina B al día {rad./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Capacidad de procesamiento de rad. en la maquina A de 80.
R2) Capacidad de procesamiento de rad. en la maquina B de 100.
R3) Capacidad mínima del departamento de 150 rad. por día.
R4) No Negatividad.
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
M IN { C = 4X + 3Y }
Sujeto a :
 80
R1) X
Y
 100
R3) X + Y
 150
R2)
R4) X , Y  0
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
PROBLEMA DE LA DIETA
La compañía OF utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial.
El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes
composiciones.
libra componente por libra de alimento ganado
A. ganado
Proteinas
Fibra
Maíz
Similla Soya
0.09
0.60
0.02
0.06
Costo
US$/lb
0.30
0.90
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Los requerimientos dietéticos diarios de alimento especial estipulan por lo menos
un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. OF desea determinar el
costo mínimo diario de la mezcla de alimento.
¿….?
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar el costo diario total de la mezcla de alimento(C).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X….libras de maiz en la mezcla diaria {lb./día}
Y…. Libras de semilla de soya en la mezcla diaria {lb./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Requerimientos de alimentos de por lo menos 800 lbs.al día
R2) Requerimiento de proteínas de por lo menos un 30%
R3) Requerimientos de fibra de cuando mucho un 5%.
R4) No Negatividad.
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
M IN { C = 0.3X + 0.9Y }
Sujeto a :
R1) X + Y
 800
R2) 0.09X + 0.6Y
 0.3(X + Y)
R3)0.02 X + 0.06Y
 0.05(X + Y)
R4) X , Y
 0
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Paso 4.1: Construcción del modelo matemático (ORDENADO)
F.Objetivo
M IN { C = 0.3X + 0.9Y }
Sujeto a :
R1) X + Y
 800
R2) 0.21X - 0.30Y
 0
R3)0.03 X - 0.01Y
 0
R4) X , Y
 0
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
PROBLEMA DE TRANSPORTE
Considere el problema que enfrenta el departamento de planificación de la
compañía DALLAS S.A. ,que tiene tres plantas y cuatro almacenes regionales.
Cada mes se requiere de una lista de requerimientos de cada almacén y se
conocen, tambien las capacidacdes de producción de las plantas. Ademas se
conoce el costo de transporte de cada planta a cada almacén. El problema es
determinar qué plantas deben abastecer a que almacenes de manera que
minimicen los costos totales de transporte. Consideremos que los costos de
transporte entre dos ciudades cualquiera, son proporcionales a las cantidades
embarcadas. Supongase que las capacidades mensuales de cada planta son 70,
90 y 180 respectivamente. Los requerimientos de cada almacén para el mes de
Marzo son: 50, 80, 70 y 140. Los costos unitarios de transporte son los que se
muestran en la tabla siguiente:
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Planta
1
2
3
1
19
70
40
Se pide:
Formular como un PPL.
Almacén
2
30
30
8
3
50
40
70
4
10
60
20
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Paso 4.1: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
Min{C=19X11+70X21+40X31+30X12+30X22+8X32+50X13+40X23+70X33+10X14+60X24+20X34}
Sujeto a :
R1) X11+X12+X13+X14
 70
R2) X21+X22+X23+X24
 90
R3) X31+X32+X33+X34
 180
R4) X11+X21+X31
 50
R5) X12+X22+X32
 80
R6) X13+X23+X33
 70
R7) X14+X24+X34
 140
R8) Xij
 0
 i,j
Modelo General de PL
Definición de variables:
Sea xj = #.... ; j = 1, 2, 3....n
Función objetivo:
Max. o Min. z = C1X1 + C2X2 + ... + CjXj + ... + CnXn
Sujeto a restricciones: i = 1, 2, 3, ... , m
a11X1 + a12X2 + ... + a1jXj + ... + a1nXn
a21X1 + a22X2 + ... + a2jXj + ... + a2nXn
·
.
·
.
ai1X1 + ai2X2 + ... + aijXj + ... + ainXn
=
·
.
·
.
am1X1 + am2X2 + ... + amjXj + ... + amnXn
=
=
=
b1
b2
bi
bm
Condiciones de signo para variables:
toda xj  0
m = # total de restricciones,
n = # de variables de decisión (originales)
Cj, aij y bi son constantes (o parámetros) dados.
8
Métodos de Resolución
Método Gráfico
Empleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método
se basa en la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF), en las
cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el
modelo.
Método Algebraico (SIMPLEX)
Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este
método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema
heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a
funcionar.
8
Métodos de Resolución
GRAFICO
Maximize Z = 400X1 + 800 X 2
Sujeto a:
Where
3X1 + 5X 2  5,000 Fab
R1)
Z = the monthly profit from Max and Multimax
X1 +
4X 2produced
 3,000
Assy
X1 =R2)
the number
of Max
each month
X1 , Xof
 produced
0
Nonnegativity
2 Multimax
X =R3)
the number
each
month
2
8
Método de Resolución: Paso 1
Gráficar las restricciones
X2
3,000
2,000
1,000
A
0,0
Fab
R1
X1
0
1,666.7
X2
1,000
0
Assy
R2
X1
0
3,000
X2
750
0
B
1,000
C
2,000
3,000
X1
10
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar el costo total de transporte (C).{u.m/mes}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
Xij….Cantidad a enviar de la planta “i” al almacén “j” mensualmente {uds/mes}
i = 1,2,3 / j = 1,2,3,4
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Capacidad mensual de producción planta 1 de 70
R2) Capacidad mensual de producción planta 2 de 90
R3) Capacidad mensual de producción planta 3 de 180
R4) Requerimientos del almacén 1 para Marzo de 50
R5) Requerimientos del almacén 2 para Marzo de 80
R6) Requerimientos del almacén 3 para Marzo de 70
R7) Requerimientos del almacén 4 para Marzo de 140
R8) No Negatividad.
Método de Resolución: Paso 1
Gráficar las restricciones
X2
3,000
2,000
1,000
A
0,0
Fab
R1
X1
0
1,666.7
X2
1,000
0
Assy
R2
X1
0
3,000
X2
750
0
B
1,000
C
2,000
3,000
X1
11
Método de Resolución: Paso 2
Obtener la RSF
X2
3,000
2,000
1,000
A
Fab
R1
X1
0
1,666.7
X2
1,000
0
Assy
R2
X1
0
3,000
X2
750
0
B
RSF
0,0
1,000
C
2,000
3,000
X1
11
Método de Resolución:
X2
3,000
Premisa: el punto
optimo siempre se
encuentra en uno de
los vértices de la
RSF.
2,000
1,000
A
B
RSF
0,0
1,000
C
2,000
3,000
X1
11
Método de Resolución: Paso3
Encontrar el Punto Optimo: Alternativas
Alternativa 1
Encontrar todas las combinaciones de X1 y X2 que determinan los vértices de la
RSF, luego se evalúan en la función objetivo y se elige la combinación que
maximice (o minimice) dicha función.
Alternativa 2
Gráficar la F.O. dandose en valor arbitrario de Z (depende de la escala del
gráfico), luego la recta se desplaza en forma paralela en el sentido estricto de la
optimización. El ultimo punto que “tope” la F.O al salir de la RSF corresponderá a
la solución optima.
13
Método de Resolución: Paso3
Encontrar el Punto Optimo(1)
X2
3,000
2,000
1,000
A
Z=320.000
0,0
B
1,000
C
2,000
3,000
X1
13
Método de Resolución: Paso 3
Encontrar el Punto Optimo (2)
X2
3,000
2,000
Optimal Point
1,000
A
0,0
B
1,000
C
2,000
3,000
X1
14
Método de Resolución: Paso 3
Encontrar el Punto Optimo (3)
X2
3,000
El punto optimo (B) se encuentra
en la intersección de las dos rectas
2,000
1,000
A
0,0
3X1 + 5X 2  5,000
X1 + 4X 2  3,000
B
1,000
C
2,000
3,000
X1
3X1 + 12X 2  9,000
3X1 + 5X 2  5,000
Fab
Assy
Assy
Fab
7X 2  4,000
X 2 = 571.43, or 571 Multimax
5000 - 5(571)
X1 =
 715 Max
3
15
RESULTADOS
Max Z = 400X1 + 800 X 2
Z = 400(715) + 800 (571)
Z = $286,000 + $456,800 = $742,800
X1=715
X2=571
Z =742,800.
16
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
El método símplex fue desarrollado en 1947 por el Dr. George Dantzig y conjuntamente con el
desarrollo de la computadora hizo posible la solución de problemas grandes planteados con la
técnica matemática de programación lineal.
El algoritmo denominado símplex es la parte medular de este método; el cual se basa en la
solución de un sistema de ecuaciones lineales con el conocido procedimiento de Gauss-Jordan y
apoyado con criterios para el cambio de la solución básica que se resuelve en forma iterativa
hasta que la solución obtenida converge a lo que se conoce como óptimo..
•El conjunto de soluciones factibles para un problema de P.L. es un conjunto convexo.
•La solución óptima del problema de programación lineal , si existe, es un punto extremo
(vértice) del conjunto de soluciones factibles.
•El número máximo de puntos extremos (vértices) por revisar en la búsqueda de la solución
óptima del problema es finito.
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Estándar de un PPL
La forma estándar pasa por realizar los siguientes cambios:
1º Conversión de desigualdades en igualdades (ecuaciones)
a.- Restricción menor o igual (≤)
Para transformar este tipo de restricción a una ecuación de tipo igualdad se debe aumentar
su lado izquierdo con una variable de “holgura”. Esta representa la cantidad disponible del
recurso que excede al empleo que le dan las actividades.
Ej.
6X1 + 4X2 ≤ 24
F.e
6X1 + 4X2 + h1 = 24
(h1… cantidad no utilizada de recurso)
h1 ≥ 0
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
b.- Restricción mayor o igual (≥)
Las restricciones de este tipo comúnmente determinan requerimientos mínimos de
especificaciones. En este caso se debe incorporar una variable de superávit que representa
el requerimiento mínimo del lado izquierdo, sobre el requerimiento mínimo del derecho (
cuanto falta para cumplir con lo pedido).
Ej.
X1 + X2 ≥ 800
X1 + X2 - r1 = 800
r1 ≥ 0
Sin embargo la F.E pasa por hacer un ajuste más:
F.E
X1 + X2 - r1 + t1 = 800
r1, t1 ≥ 0
t1 = variable artificial (se necesita para generar la solución inicial del simplex)
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
d.- Restricción de igualdad (=)
Aquí la estandarización pasa sólo por incorporar una variable artificial.
Ej.
X1 + X2 = 800
X1 + X2 + t1 = 800
t1 ≥ 0
Como las variables artificiales no tienen sentido, es importante que el simplex las deje fuera
al comienzo del procedimiento y esto se logra al penalizar la inclusión de las variables
artificiales en la función objetivo con un coeficiente ‘M’ muy grande que para el caso de
maximizar es ‘ M’ y para el caso de minimizar es ‘+ M’.
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
2º Cambios de variables
a.- Variables no restringidas
Algunas veces las variables de decisión pueden tomar cualquier valor real.
Xi s.r.s
Cambio de variable
Xi = Ui – Vi
Ui …. Parte positiva de Xi
Vi …. Parte negativa de Xi
Ej.
X1 + X2 ≤ 24
X1 ≥ 0, X2 s.r.s
Luego X2 = U2 – V2
F.E.
X1 + U2 – V2 + h1 = 24
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
b.- Variables negativas
Algunas veces las variables de decisión pueden tomar negativos.
Xi ≤ 0
Cambio de variable
Yi = – Xi
Donde Yi ≥ 0
Ej.
X1 + X2 ≤ 40
X1 ≥ 0, X2 ≤ 0
Luego Y2 = – X2, o bien X2 = - Y2
F.E.
X1 - Y2 + h1 = 40
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
3º Cambio en criterio de optimización
Muchas veces el objetivo no es maximizar.
MIN (Z)
Cambio de variable: Z* = -Z
MIN Z = MAX ( Z*)
Ej.
MIN [ Z = X1 + X2 ]
Z* = -Z
F.E
MAX [ Z* = -X1 – X2]
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
EJEMPLO
MIN (Z = 15X1 + 10X2 – 20X3)
S/A
R1) X1+2X2+4X3
≥ 30
R2) 5X1+5X2+3X3 = 40
R3) X1 + X2 + X3
≤ 70
R4) X1 s.r.s; X2≤0; X3≥0
Cambios de variable:
Z* = -Z
X1=U1-V1
X2=-Y2
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Estándar
Z*
+
15
5
U1
-
U1
-
U1
-
U1
-
15
5
V1
-
10
Y2
-
20
X3
V1
-
2
Y2
+
4
X3
V1
-
25
Y2
+
3
X3
V1
-
Y2
+
X3
+ M t1
-
r1 +
+
M t2
t1
=
0
= 30
+
t2
= 40
+
h1 = 70
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular
BASE
Z
U1
V1
Y2
X3
r1
t1º
t2
h1
z
1
15
-15
-10
-20
0
M
M
0
0
t1
0
1
-1
-2
4
-1
1
0
0
30
t2
0
5
-5
-25
3
0
0
1
0
40
h1
0
1
-1
-1
1
0
0
0
1
70
SOLUCION
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
U1
V1
Y2
X3
r1
t1º
t2
h1
z
15
-15
-10
-20
0
0
0
0
0
M
0
0
0
0
0
1
1
0
0
t1
1
-1
-2
4
-1
1
0
0
30
t2
5
-5
-25
3
0
0
1
0
40
h1
1
-1
-1
1
0
0
0
1
70
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO
Se una vez obtenida la F.E se esta en condiciones de iniciar el Simplex que nos permitirá
encontrar la (s) solución (es) del PPL.
Como el algoritmo se mueve de punto en punto extremo requiere que variables basicas
entren y salgan. Las reglas para seleccionar las variables de entrada y salida se conocen
como condiciones de optimalidad y factibilidad. Resumiendo:
C. Optimalidad: la variable de entrada en un problema de maximización es la variable no
básica que tiene el coeficiente mas negativo en el reglon de la F.O. los empates se rompen
arbritariamente. Se llega al optimo en la iteración donde todos coeficientes del reglon de la
F.O. de las variables básicas son positivos.
C. Factibilidad: tanto para los problemas de maximización como minimización, la variable
de salida es la variable básica asociada con la razón no negativa más pequeña entre los
“lados derecho” y los coeficientes de la columna entrante.
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO
Pasos del Simplex:
Paso 0
: determinar la solución factible inicial.
Paso 1
: seleccione la variable de entrada empleando la condición de optimalidad.
Deténgase si no hay variable de entrada.
Paso 2
: seleccione una variable de salida utilizando la condición de factibilidad.
Paso 3
: determine las nuevas soluciones básicas empleando los calculos apropiados de
Gauss – Jordan, luego vuelva al paso 1.
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO
EJEMPLO
Max Z = 7x1 + 4x2 + 5x3
S/A
2x1 + x2
 30
3x1 + 2x2 + x3
 25
x2 + 2x3
 20
x1 , x2 , x3  0
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
-7
-4
-5
0
0
0
0
h1
2
1
0
1
0
0
30
h2
3
2
1
0
1
0
25
h3
0
1
2
0
0
1
20
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
-7
-4
-5
0
0
0
0
h1
2
1
0
1
0
0
30
h2
3
2
1
0
1
0
25
h3
0
1
2
0
0
1
20
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
-7
-4
-5
0
0
0
0
Razón
h1
2
1
0
1
0
0
30
30 / 2
h2
3
2
1
0
1
0
25
25 / 3
h3
0
1
2
0
0
1
20
___
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
-7
-4
-5
0
0
0
0
Razón
h1
2
1
0
1
0
0
30
30 / 2
h2
3
2
1
0
1
0
25
25 / 3
h3
0
1
2
0
0
1
20
___
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
-7
-4
-5
0
0
0
0
Razón
h1
2
1
0
1
0
0
30
30 / 2
h2
3
2
1
0
1
0
25
25 / 3
h3
0
1
2
0
0
1
20
___
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
-7
-4
-5
0
0
0
0
Razón
h1
2
1
0
1
0
0
30
30 / 2
h2
3
2
1
0
1
0
25
25 / 3
h3
0
1
2
0
0
1
20
___
PIVOTE
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Gauss Jordan
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
0
2
0
0
7/3
4/3
85
h1
0
0
0
1
-2/3
1/3
20
X1
1
1/2
0
0
1/3
-1/6
5
h3
0
1/2
1
0
0
1/2
10
¡Optimo!
8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
SOLUCIÓN
z
85
X1
5
X2
0
X3
0
h1
20
h2
0
h3
10
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Se basa en la idea que todo PPL tiene un problema “espejo”, llamado DUAL. Esto provoca
que se genere un segundo algoritmo de resolucion conocido como “Metodo Dual Simplex”,
el cual funciona de la siguiente manera:
Condicion de Factibilidad:
La variable que sale es la variable basica que tiene el valor mas negativo, si
todas las variables basicas son no negativas el proceso termina y se alcanza la
solucion factible - optima.
Condicion de Optimalidad:
La variable entrante se escoge de la manera siguiente:
Calcule la razon entre los coeficientes del reglon “cero” y los coeficientes de la
fila asociada a la variable que sale, ignore coeficientes positivos o ceros. La
variable que entra es la que posee la razon mas pequeña si el problema es de
minimizacion. Si todos los denominadores son cero o positivos el problema no
tiene solucion factible.
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
EJEMPLO
MIN (Z = 2X1 + X2)
S/A
R1) 3X1+X2
≥3
R2) 4X1+3X2
≥6
R3) X1 + 2X2
≤3
R4) X1 ≥0 ; X2 ≥ 0
Forma Estándar:
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Forma Estándar
Z
+
-2
X1
-
X2
-3
X1
-
X2
-4
X1
-
3
X2
X1
+
2
X2
+
r1
+
r2
+
=
0
=
-3
=
-6
h1 =
3
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
BASE
SOLUCION
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
Sale mas
negativa
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
2/4
1/3
0
0
0
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
RAZON
BASE
SOLUCION
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Entra razon mas pequeña
2/4
1/3
0
0
0
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
RAZON
BASE
SOLUCION
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Entra razon mas pequeña
2/4
1/3
0
0
0
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
RAZON
BASE
SOLUCION
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Gauss Jordan
BASE
SOLUCION
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2/3
0
0
-1/3
0
2
r1
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
h1
-5/3
0
0
2/3
1
-1
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
BASE
SOLUCION
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2/3
0
0
-1/3
0
2
r1
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
h1
-5/3
0
0
2/3
1
-1
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
2/5
0
0
1
0
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2/3
0
0
-1/3
0
2
r1
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
h1
-5/3
0
0
2/3
1
-1
RAZON
BASE
SOLUCION
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
2/5
0
0
1
0
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2/3
0
0
-1/3
0
2
r1
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
h1
-5/3
0
0
2/3
1
-1
RAZON
BASE
SOLUCION
Pivote
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Gauss Jordan
BASE
SOLUCION
X1
X2
R1
r2
h1
Z
0
0
-2/5
-1/5
0
12/5
X1
1
1
-3/5
1/5
0
3/5
X2
0
0
4/5
-3/5
0
6/5
h1
0
0
-1
1
1
0
Optimo – Factible!!!
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Solución:
BASE
SOLUCION
Z
12/5
X1
3/5
X2
6/5
r1
0
r2
0
h1
0
8
Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Ejercicio Propuesto
MIN (Z = 5X1 + 4X2 + 8X3)
S/A
R1) X1+2X2+X3
≥ 15
R2) 2X1+X2+X3
≥ 10
R3) X1 + X2 +X3
≤ 20
R4) X1 ≥0 ; X2 ≥ 0; X3 ≥ 0
8
Descargar

INVESTIGACION DE OPERACIONES