LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
•Forma parte de un complejo proceso
de formación.
•Presenta numerosos problemas
derivados de los procesos de
enseñanza y aprendizaje generales y
a los derivados de los problemas
específicos debido a la naturaleza del
conocimiento matemático.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
1
EL TRIÁNGULO INTERACTIVO
EL ALUMNADO
EL PROFESORADO
EL CURRÍCULO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
2
PROBLEMAS DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
LOS FINES
•¿Qué enseñar?
•¿Por qué?
•¿Para qué?
•¿Qué se quiere
conseguir?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
LOS MEDIOS
•¿Cómo lograr
los fines
propuestos?
LA EVALUACIÓN
•¿Cómo averiguar si se
han alcanzado los fines
propuestos y en qué
grado?
•¿Qué consecuencias
se deducen de los
resultados obtenidos
para mejorar los
planteamientos y los
desarrollos futuros?
3
EJE FUNDAMENTAL DE LA POLÍTICA
EDUCATIVA COMÚN DE LA UNIÓN EUROPEA
Énfasis
En una educación centrada
en el APRENDIZAJE
En contraposición
A una educación centrada
en la ENSEÑANZA
Adquisición de capacidades,
habilidades, competencias
y valores.
que permitan
al individuo
Una actualización
permanente de los
conocimientos
para
Desenvolverse con soltura en un
mundo cambiante y complejo.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
4
ES OBLIGADO PRESTAR
ATENCIÓN
Y NO SÓLO A
Al desarrollo de
competencias
A la consecución de lo
que se conoce por
“Alfabetización
matemática”
A la enseñanza y
aprendizaje de contenidos
A los aspectos funcionales
y formativos de las
matemáticas
A los aspectos
instrumentales y técnicos
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
5
LOS FINES
¿QUÉ SE
PRETENDE?
¿PARA QUÉ ENSEÑAR
MATEMATICAS?
¿QUÉ SE DEBERÍA
CONSEGUIR?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
¿CÓMO LOGRAR ATENDER
A LA DIVERSIDAD?
¿QUÉ MATEMÁTICAS
ENSEÑAR EN UNA
SOCIEDAD
TECNOLÓGICA?
6
EL PROCESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE
LAS MATEMÁTICAS
DEBE PERMITIR
ALCANZAR
•Instrumentos
Mediante la
adquisición de
•Técnicas
•Procedimientos
•Unas habilidades
•Unas actitudes
•Unas destrezas
UNA FORMACIÓN CULTURAL
E INTELECTUAL
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
7
UNA FORMACIÓN CULTURAL E INTELECTUAL
QUE PERMITA AL INDIVIDUO
SU ADAPTACIÓN
AL MEDIO
ADQUIRIR UN BUEN
NIVEL DE AUTONOMÍA
CONOCER LA MATEMÁTICA
COMO PARTE DE LA CULTURA
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
8
SU ADAPTACIÓN AL MEDIO
•ORGANIZARLO Y POTENCIALMENTE
TRANSFORMARLO
•UN CONOCIMIENTO
PROFUNDO DEL
MISMO
IMPLICA
•EL DESARROLLO
DE CAPACIDADES
relacionadas con
•El análisis de la
realidad
•La construcción
de modelos
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
•La creación de
alternativas que
mejoren la situación
individual así como de
la sociedad y la vida en
ella.
9
ADQUIRIR UN BUEN NIVEL DE
AUTONOMÍA INTELECTUAL
•QUE EL INDIVIDUIO SEA CAPAZ DE
ANALIZAR TODAS LAS POSIBILIDADES DE
UNA SITUACIÓN REAL O FICTICIA Y
de entre ellas
•ELEGIR LA
MEJOR
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
10
CONOCER LA MATEMÁTICA COMO PARTE DE
LA CULTURA UNIVERSAL Y DESENVOLVERSE
EN SU MUNDO
conlleva
•GUSTO POR EL
TRABAJO MATEMÁTICO
•PROFUNDIZACIÓN EN LOS
OBJETOS Y MÉTODOS
PROPIOS
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
11
LA ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA (OCDE, 2003).
para identificar y entender el
papel que las matemáticas
tienen en el mundo
“LA
CAPACIDAD
INDIVIDUAL”
para hacer juicios
bien fundados
Para usar e implicarse con
las matemáticas en aquéllos
momentos en que se
presenten necesidades en la
vida de cada individuo como
ciudadano constructivo,
comprometido y reflexivo”
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
12
LA ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA (RICO, 2004)
“SE REFIERE A LAS CAPACIDADES DE LOS
ESTUDIANTES
para
analizar, razonar
y comunicar
eficazmente
cuando
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
enuncian,
formulan y
resuelven
problemas
matemáticos en
una variedad de
dominios y
situaciones . . “
13
LA ALFABETIZACIÓN
MATEMÁTICA
Es considerada, por unanimidad, como
un elemento muy importante a tener en
cuenta para el desarrollo individual,
social y científico de cualquier país.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
14
LA ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA
supone
•Atreverse a
pensar con ideas
matemáticas
•Utilizar lo aprendido
en situaciones
usuales de la vida
cotidiana
•Que dicha utilización sea espontánea y con plena
conciencia de su importancia y necesidad y de la
evidencia de su utilidad, es decir, que sea
incorporada plenamente al conjunto de
instrumentos y capacidades que el sujeto utiliza en
sus relaciones cotidianas con su entorno
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
15
FORMACIÓN PARA UNA ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA
Una formación matemática adecuada y completa
debe abarcar todos los aspectos de las
matemáticas
•PURO O FUNDAMENTAL, como ciencia pura
•APLICADO como ciencia aplicada
•INSTRUMENTAL, como conjunto de
herramientas prácticas
•EDUCATIVO, como materia formativa
•ESTÉTICO, como campo creativo y de belleza
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
16
FORMACIÓN PARA UNA ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA
Debe contemplar
•LOS CONTENIDOS
•conceptos y procedimientos
matemáticos, aisladamente y en
contextos (en su faceta de
aplicación)
•LAS TÉCNICAS Y DESTREZAS,
aisladamente y en contextos (en
su faceta de aplicación)
•LAS RELACIONES DE LAS
MATEMÁTICAS
con los valores de equidad,
objetividad y rigor
•LOS ASPECTOS DE
creatividad, ingenio y belleza
de las matemáticas
•EL CONOCIMIENTO
del uso social de las matemáticas,
de su carácter práctico
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
17
•La alfabetización matemática no
sólo aporta beneficios específicos,
relacionados con las matemáticas,
sino
que
contribuye
a
la
formación
o
alfabetización
general.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
18
•Se encuentra en el centro de los
modos según los que se percibe y
comprende
el mundo y es un
componente
esencial
de
dicha
alfabetización general, que tiene que
ver con la comprensión de los hechos
generales y sus relaciones en la
construcción del mundo, cubriendo
cuestiones que tienen que ver con la
naturaleza, la sociedad, la cultura, la
tecnología, etc. y sus relaciones.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
19
Por ejemplo:
•distinguir entre astronomía y
astrología;
•entre medicina científica y no
científica;
•entre psicología y espiritismo;
•entre afirmaciones descriptivas y
normativas;
•entre hechos e hipótesis;
•exactitud y aproximación;
•el comienzo y el fin de la
racionalidad, etc.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
20
La alfabetización matemática se
consigue gracias al desarrollo de
capacidades específicas que
denominamos competencias
matemáticas
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
21
LAS COMPETENCIAS
(SEGÚN LA OCDE)
CAPACIDAD DE RESPONDER A DEMANDAS COMPLEJAS Y LLEVAR
A CABO TAREAS DIVERSAS DE FORMA ADECUADA
HABILIDADES
PRÁCTICAS
que
supone una
combinación de
CONOCIMIENTOS
TEÓRICOS.
para
MOTIVACIÓN, VALORES
ÉTICOS, ACTITUDES Y
EMOCIONES
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
MOVILIZAN
LOGRAR UNA
ACCIÓN EFICAZ
22
IMPLICACIONES QUE SE DERIVAN
OTRA ORIENTACIÓN
DE LOS CURRÍCULOS
•El enfoque de competencias ha venido influyendo
en la redefinición de los currículos en la práctica
totalidad de los países europeos en la última
década. Su impacto irá siendo mayor a medida que
se vayan desarrollando estos currículos.
•En todos los niveles, pero de manera muy
especial en la educación obligatoria, las
competencias clave van a representar una
obligada referencia de los que esencialmente debe
constituir el aprendizaje en las primeras etapas de
la educación en este siglo
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
23
IMPLICACIONES QUE SE DERIVAN
REENFOQUE DE LA FORMACIÓN
INICIAL Y CONTÍNUA DEL
PROFESORADO
•Las competencias claves no representan sólo
unas nuevas relaciones de destrezas, sino que van
asociadas a una sustantiva actualización
metodológica.
•Guiar y evaluar los procesos de aprendizaje en
este enfoque comportan cambios en la actividad
docente.
•Por tanto, la formación inicial y el
perfeccionamiento del profesorado van a exigir
una orientación significativa y habrá de ir
acompañada de materiales de apoyo y de
orientación que faciliten los cambios necesarios.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
24
UNA NUEVA GENERACIÓN DE ESTUDIANTES
GENERACIÓN “i”
con diferentes
y cambiantes
INFORMACIÓN
DESINFORMADA
Sólo imágenes
DEMANDAS
INTERNET
SOBREINFORMADA
VALORES
TENDENCIAS
Exceso de información sin
selección ni comprensión
INFORMADA
Capaces de seleccionar,
ordenar, y comprender la
información
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
25
LA UNIVERSALIZACIÓN DE LA
EDUCACIÓN
UNA SOCIEDAD EN
CONTÍNUO CAMBIO
UN ALUMNADO DIFERENTE Y HETEREOGÉNEO
PROCESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE MÁS
COMPLEJOS
LAS REGLAS DEL JUEGO HAN CAMBIADO
Habrá que reflexionar sobre
Qué
metodologías
Qué
oferta
No puede seguir
siendo el único
método
Dejar de echarle
la culpa de todos
los problemas
EXPLICAR
Les ofrecemos
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
ESCUCHAR
EXAMINAR
SOCIEDAD
PUNTUAR
ALUMNADO
26
OTROS CONTENIDOS
más
PRÁCTICOS
primará
especial
importancia
EL CONOCIMIENTO
A LA INFORMACIÓN
CREATIVIDAD
INTERRELACIONADOS
INTERPRETACIÓN DE
LA INFORMACIÓN
RELEVANTES PARA EL
ALUMNADO
CAPACIDAD DE
TRABAJO EN EQUIPO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
27
OTRO ROL DEL PROFESORADO
DE TRANSMISOR DE
CONOCIMIENTOS
A CONDUCTOR DEL
ALUMNADO
UN PROFESORADO
POLIVALENTE
Conocedor de su materia
que transforme
LA
INFORMACIÓN
EN
CONOCIMIENTO
Intervención educativa
Enseñar a seleccionar los
contenidos relevantes
Con dominio de los aspectos
tutoriales
Asimilar los contenidos
Con dominio de metodologías
innovadoras
Interrelacionarlos
Con dominio de las técnicas
relacionales
Ponerlos en práctica
En formación permanente
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
28
LOS CENTROS DOCENTES
DEBEN ADAPTARSE A ESTA NUEVA REALIDAD
La transmisión de
conocimientos, sin más
Formando al
alumnado en
La selección
Potenciar la memoria
sobre la comprensión
La comprensión
La Ordenación
Acumular información
y conocimientos
Abandonando
este camino
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
DE LA
INFORMACIÓN
Potenciando el desarrollo máximo
de las competencias básicas
29
UN NUEVO MODELO EDUCATIVO
¿EL SISTEMA EDUCATIVO PUEDE OFRECER UNA ALTERNATIVA
COHERENTE A LAS DEMANDAS DE ESTE ALUMNADO?
LA SOLUCIÓN NO ES
FÁCIL
PERO NUNCA SE PODRÁ BASAR
EN DECISIONES EXCLUYENTES
Y REPRESIVAS
TENDRÁ QUE CONSTRUIRSE
Cuando el profesorado acepte la
nueva situación.
Y se enfrente a ella buscando
metodologías y alternativas
organizativas adecuadas a las
demandas del alumnado
CON MÁS Y MEJORES METODOLOGÍAS DE ENSEÑANZAS
ADECUADAS AL ALUMNADO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
30
COMPETENCIA MATEMÁTICA
ES LA HABILIDAD
de
UTILIZAR Y
RELACIONAR
NÚMEROS Y SUS
OPERACIONES
SÍMBOLOS Y FORMAS
DE EXPRESIÓN
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
DISTINTOS
TIPOS DE
INFORMACIÓN
PRODUCIR E
INTERPRETAR
para
AMPLIAR EL
CONOCIMIENTO
RESOLVER
PROBLEMAS
sobre
relacionados
con
ASPECTOS
CUANTITATIVOS Y
ESPACIALES DE LA
REALIDAD
LA VIDA
COTIDIANA
EL MUNDO
LABORAL
31
1.
¿Qué entiendes por dificultades de aprendizaje en el
proceso de RP?
2. Enumerar las dificultades de aprendizaje más importantes
en la RP
3. Buscar el origen de las dificultades encontradas.
4. ¿Podemos intervenir en esas dificultades? ¿Cómo?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
32
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
es
UNA ACTIVIDAD
COMPLICADA
LA ACTIVIDAD
MÁS IMPORTANTE
PRESENTA
DIFICULTADES
Comprensión lectora
LOS CONTENIDOS
MATEMÁTICOS COBRAN
SENTIDO CUANDO ES
NECESARIO APLICARLOS
PARA LA RESOLUCIÓN DE
LOS PROBLEMAS
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
Falta de asimilación
de los contenidos
Desconocimiento de
estrategias de
resolución
33
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
COMO PROCESO
DESARROLLO DE
CAPACIDADES
COMO PRODUCTO
METODOLOGÍA
ESTRATEGIAS
DE RESOLUCIÓN
AtenciónObservación
ATENDER A LA
DIVERSIDAD
POLYA
Descubrimiento
Razonamiento
MOTIVADORA
COMPRENSIÓN
ELABORACIÓN
Lenguaje
EL ERROR ES
PARTE DEL
PROCESO
ELABORAR UN
PLAN
ENUNCIACIÓN
EJECUTAR EL
PLAN
CONCRETIZACIÓN
VERIFICAR
TRANSFERENCIA O
ABSTRACCIÓN
Memoria
Creatividad
Intuición
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
34
REQUISITOS DEL ALUMNADO PARA AFRONTAR LA RP
CONOCIMIENTOS
MATEMÁTICOS
UN MÉTODO DE
RESOLUCIÓN
ACTITUD
POSITVA
Claros
Estrategias
Motivación
Estructurados
Autoestima
Interconectados
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
35
EQUIPO DOCENTE
Reflexionar conjuntamente
sobre la dificultad de la tarea y
la necesidad de desarrollar en
el alumnado una serie de
capacidades que favorezcan la
consecución del fin.
Tomar medidas
comunes
•Acordar un método
•Secuenciar la tipología de problemas
•Determinar la metodología
•Determinar el agrupamiento más adecuado
•Determinar cómo y en qué circunstancia afrontamos
los procesos de enseñanza y aprendizaje de la RP.
•Determinar qué evaluar en la RP, cómo, cuándo y con
qué elementos.
•Analizar las dificultades encontradas en el alumnado y
estudiar la manera de afrontarlas.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
36
¿QUÉ HACEMOS?
Escribe la secuencia didáctica de una sesión de
resolución de problemas, con tu alumnado
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
37
REQUISITOS DE LA SESIÓN DE RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
DEBE ESTAR PROGRAMADA
Objetivos
Materiales
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
Contenidos
Metodología
Temporalización
Actividades
Agrupamientos
Evaluación
38
ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD
AUNQUE NO TODOS LOS
ALUMNOS Y LAS ALUMNAS
TENGAN LA MISMA CAPACIDAD
PARA APRENDER
MATEMÁTICAS, SÍ TODAS LAS
PERSONAS TIENEN LA MISMA
NECESIDAD DE APRENDERLAS
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
39
LA RP COMO PROCESO
ATENCIÓN -OBSERVACIÓN
La capacidad de orientación y concentración hacia
una actividad dada
Tranquilidad
Tiempo
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
Diversidad
Cantidad
40
LA RP COMO PROCESO
EL RAZONAMIENTO
El razonamiento es la forma del pensamiento mediante el
cual, partiendo de uno o varios juicios verdaderos,
denominados premisas, llegamos a la conclusión conforme
a ciertas reglas de inferencia.
TIPOS
LENGUAJE
MEMORIA
LÓGICA
Deducción
Inducción
Analogía
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
Comprensión
información
Expresión
pensamiento
Proceso de
grabación,
conservación y
reproducción
41
En una cesta hay tres manzanas y
en otra hay cuatro manzanas.
¿Cuántas manzanas hay en las dos
cestas?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
42
Pedimos a un niño de 8 años, que
cambie un dato del enunciado para que
la solución sea 5 manzanas. En este
caso el alumno no tendrá ningún
problema.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
43
•Le pedimos que cambie un dato y
sólo uno para que la solución sean
dos manzanas se encontrará con un
verdadero problema.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
44
Convergencia y divergencia de ideas
fluctuarán en sus mentes,
construyendo principios matemáticos
desde sus razonamientos. La
imposibilidad de llegar al resultado,
dos manzanas, se apoya en un por
qué, que se hace necesario descubrir
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
45
Según Dewey, todo razonamiento
es una respuesta a alguna
dificultad que no puede ser
superada mediante el instinto o la
rutina.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
46
LA RP COMO PROCESO
LA CREATIVIDAD
COMO
POTENCIARLA
•Reconocer y aceptar las potencialidades.
•Ser respetuoso con las preguntas e ideas del
alumnado.
•Plantear cuestiones incitantes.
•Reconocer y valorar la originalidad.
•Desarrollar la facultad de elaboración
•Suspensión de la evaluación en la práctica y en la
experimentación.
•Promover lectores creativos.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
47
EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ALGUNAS SUGERENCIAS
1. Acepta el reto de resolver el problema
8. Revisa tu lista de estrategias para ver
si una (o más) te pueden ayudar a
empezar
2. Reescribe el problema en tus propias
palabras.
7. Analiza el problema desde varios
ángulos. .
3. Tómate tiempo para explorar,
reflexionar, pensar...
6.Muchos problemas requieren de un
período de incubación. Si te sientes
frustrado, no dudes en tomarte un
descanso -el subconsciente se hará
cargo-. Después inténtalo de nuevo.
4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas
preguntas creas necesarias.
5. Si es apropiado, trata el problema con
números simples.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
48
EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ALGUNAS SUGERENCIAS
9. Muchos problemas se pueden de
resolver de distintas formas: solo se
necesita encontrar una para tener éxito.
10. No tenga miedo de hacer cambios en
las estrategias
11. La experiencia en la solución de
problemas es valiosísima. Trabaje con
montones de ellos, su confianza crecerá
12. Si no estás progresando mucho, no
vaciles en volver al principio y
asegurarte de que realmente entendiste
el problema .
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es
una experiencia significativa.
15. Ayudar a que otros desarrollen
habilidades en la solución de problemas
es una gran ayuda para uno mismo: No
les des soluciones; en su lugar provéelos
con sugerencias significativas.
14. Ten cuidado en dejar tu solución
escrita con suficiente claridad de tal
modo puedas entenderla si la lees 10
años después.
13. Siempre, siempre mira hacia atrás:
Trata de establecer con precisión cuál
fue el paso clave en tu solución.
49
OBJETIVOS QUE SE PRETENDEN CONSEGUIR
Que el alumno sea capaz de:
•Identificar los elementos esenciales que componen el
problema y separar los datos de la pregunta.
•Representar gráficamente los cálculos que deben hacer para
resolver el problema: esquemas sagitales, rectángulos,
diagramas de árbol…
•Inventar dentro de un contexto familiar, problemas variados
cuya resolución requiera plantear una o más operaciones
aritméticas.
•Aplicar estrategias generales de resolución (heurísticos) que
contribuyan a resolver con éxito situaciones planteadas:
lectura analítica, reformulación, separación de datos e
incógnitas, elaboración de esquemas, subproblemas, tanteo
inteligente…
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
50
•Dado el texto de un problema y varias operaciones o
esquemas, elegir la operación o el esquema que
resuelve el problema.
•Descubrir la falta de datos, su exceso o la falta de
coherencia entre los datos del enunciado y la
pregunta.
•Aplicar los pasos de la estrategia general que se
debe seguir al intentar resolver un problema.
•Resolver problemas de distintas tipologías
fundamentales en la etapa de primaria (aritméticos,
razonamiento lógico, recuento sistemático…)
•Aprender a trabajar por parejas y por equipos
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
51
OBJETIVOS QUE SE PRETENDEN CONSEGUIR
RELACIONADOS CON LA COMPRENSIÓN LECTORA
Realizar giros lingüísticos asociados a situaciones
problemáticas (aditivo-sustractivas, multiplicativas…).
•Formular preguntas que se puedan contestar a partir de
los datos proporcionados en el enunciado.
•Escribir datos necesarios para poder contestar a la
pregunta formulada en el texto del problema.
•Reconocer la falta de algún dato complementario para
poder contestar a la pregunta.
•………………………
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
52
EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
POLYA
COMPRENSIÓN
CONCEPCIÓN DEL PLAN
EJECUCIÓN DE UN PLAN
VISIÓN RETROSPECTIVA
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
53
EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
COMPRENSIÓN
ENTENDER EL TEXTO
INTERVENCIÓN
LA SITUACIÓN QUE NOS
PRESENTA
REESCRIBIR
LOS DISTINTOS TIPOS DE
INFORMACIÓN
REPRESENTACIÓN
LINGÜÍSTICA DEL
PROBLEMA
QUÉ DEBE HACERSE CON
LA INFORMACIÓN QUE
NOS APORTA
DEBATE
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
54
•Leer el problema despacio.
•Entender todas las palabras o por lo menos las
fundamentales.
•Separar las partes del problema, separar los
datos del problema (lo que conocemos) de lo
que nos piden (lo que debemos averiguar)
•Señalarlos con diferentes colores.
•Contarse el problema (unos a otros),
expresándolo con sus propias palabras.
•Escribir de forma concisa y ordenada los datos
del problema.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
55
•Enumerar las reglas o condiciones que
impone el problema (problemas de
recuento sistemático).
•Hallar alguna solución que respete todas
las condiciones del problema.
•Darse cuenta de que se pueden hallar
más soluciones.
•Aplicar estrategias: lectura analítica,
reformulación …
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
56
REESCRIBIR
PROBLEMA DE
COMBINACIÓN
PROBLEMA DE
CAMBIO
NORMAL
REESCRITO
Mateo y Elena llevaron a la
excursión 12 € entre los dos. Si
Mateo tenía 8 €. ¿Cuánto tenía
Elena?
Mateo y Elena tienen 12 € entre
los dos.
8 de esos euros son de Mateo.
¿Cuántos son de Elena?
En la reescritura se quiere hacer patente la estructura partetodo
NORMAL
REESCRITO
Para ir de excursión a Mateo su
tío le dio 3 €. Él llevó a la
excursión 12 €. ¿Cuántos € tenía
Mateo al principio?
Al principio, Mateo tenía dinero
ahorrado para ir de excursión.
Después, su tío le dio 3 € más.
Al final, él llevó a la excursión
12 €.
¿Cuánto euros tenía ahorrado
Mateo?
En este caso se quiere destacar la acción temporal: inicial,
transformación y resultado
NORMAL
Mateo tiene 12 €. Mateo tiene 2
más que Elena. ¿Cuánto euros
tiene Elena?
PROBLEMA DE
COMPARACIÓN
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
REESCRITO
Mateo tiene más euros que
Elena.
Mateo tiene 12 €.
Mateo tiene 3 € más que Elena.
¿Cuántos euros tiene Elena?
En este ejemplo lo que se pretende es dejar claro cual es el
conjunto mayor y el menor, pues es el dato más relevante
para poder resolver correctamente este tipo de problemas.
57
REPRESENTACIÓN
LINGÜÍSTICA DEL PROBLEMA
Mateo y Elena tienen 12 € entre los dos.
8 de esos euros son de Mateo.
¿Cuántos son de Elena?
Lo que sé
PROBLEMA DE
COMBINACIÓN
Mateo y Elena tienen 12 € entre
los dos.
8 de esos euros son de Mateo.
Lo que no sé
¿Cuántos son de Elena?
Al principio, Mateo tenía dinero ahorrado para ir de excursión.
Después, su tío le dio 3 € más.
Al final, él llevó a la excursión 12 €.
¿Cuánto euros tenía ahorrado Mateo?
Lo que sé
PROBLEMA DE
CAMBIO
Al principio, Mateo tenía dinero
ahorrado para ir de excursión.
Después, su tío le dio 3 € más.
Al final, él llevó a la excursión
12 €.
Lo que no sé
¿Cuánto euros tenía ahorrado
Mateo?
Mateo tiene más euros que Elena.
Mateo tiene 12 €.
Mateo tiene 3 € más que Elena.
¿Cuántos euros tiene Elena?
PROBLEMA DE
COMPARACIÓN
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
Lo que sé
Mateo tiene más euros que
Elena.
Mateo tiene 12 €.
Mateo tiene 3 € más que Elena.
Lo que no sé
¿Cuántos euros tiene Elena?
58
DEBATE
Los 340 alumnos y alumnas y 13 profesores y
profesoras, del colegio van al cine. Para realizar el
viaje se emplean autobuses de 55 plazas. En cada
autobús debe viajar al menos un adulto además del
conductor. ¿Cuántos autobuses serán necesarios?
¿Os acordáis cuando fuimos a ver Harry Potter?
¿Cómo fuimos al cine?
¿Éramos mucho?
¿Pudisteis ir en los autobuses como quisisteis?
¿Cómo os repartisteis en los autobuses?
¿De qué dependió el reparto?
¿Qué conocemos del problema?
¿Qué tenemos que averiguar?
¿Alguien debió hacer este cálculo antes?
¿Para qué?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
59
EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CONCEPCIÓN DE UN PLAN
PLANIFICAR LAS ACCIONES
•Ensayo y Error (Conjeturar y
probar la conjetura).
•Resolver
equivalente.
•Usar una variable.
•Trabajar hacia atrás.
•Buscar un Patrón
•Usar casos
•Hacer una lista.
•Resolver una ecuación
•Resolver un problema similar
más simple.
•Buscar una fórmula.
•Hacer una figura.
•Usar un modelo. 1
•Hacer un diagrama
•Usar análisis dimensional.
•Usar razonamiento directo.
•Identificar sub-metas
•Usar razonamiento indirecto.
•Usar coordenadas.
•Usar las
Números.
propiedades
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
de
los
un
INTERVENCIÓN
problema
INSTRUCCIÓN
DIRECTA
•Usar simetría.
60
•Analizar los datos del problema y sus relaciones. ¿Son todos
necesarios? ¿Faltan datos?
•Preguntarse qué se podría calcular con los datos
disponibles.
•¿cómo deben combinarse los datos aportados por el
problema para poder realizar los cálculos necesarios?
•¿Qué operaciones se deben realizar para obtener los
cálculos y en qué orden?
•Preguntarse qué datos se necesitarían para poder contestar
a la pregunta del problema?
•¿Cómo se pueden obtener esos datos a partir de la
información presentada en el enunciado del problema?
•Hacer esquemas, poniendo los datos y las incógnitas del
problema para ver el problema en su globalidad (diagrama
sagital, rectángulos, de árbol…).
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
61
•Estimar cuál puede ser el resultado final.
•Recoger por escrito los pasos del plan a seguir para
resolver el problema.
•Pensar en estrategias de aplicación (heurísticos).
•Ayudarse de problemas auxiliares o subproblemas.
•Realización de esquemas o dibujos.
•Pensar en problemas análogos que ya se han resuelto o
se conocen.
•Tanteo inteligente, organizado (recuento sistemático),
pensar en criterios.
•Resolver problemas de atrás hacia delante.
•Trabajar a partir de problemas de datos más sencillos
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
62
Un camión transporta 45 cajas, de las cuales 23 llevan 50 kilos
de patatas cada una y el resto transporta naranjas, pero se
desconoce su peso. La carga total del camión es de 2.140 kilos.
¿Cuánta pesa cada caja de naranja?
PLAN
Comprendo el problema
El objetivo es averiguar el peso de las cajas de
naranjas.
1.Primero tengo que averiguar cuántas cajas de
naranjas hay.
2.Después cuanto pesan todas las cajas de patatas
3.A continuación cuánto pesan todas las cajas de
naranjas.
4.A continuación el peso de una caja
5.Para terminar compruebo el resultado. ¿Todo
encaja?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
63
EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EJECUTAR EL PLAN
Puesta en práctica de cada
uno de los pasos diseñados
en la planificación...
Es necesario una
comunicación y una
justificación de las acciones
seguidas
INTERVENCIÓN
INSTRUCCIÓN
DIRECTA
Al terminar debe darse una
expresión clara y
contextualizada de la
respuesta obtenida
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
64
•Llevar adelante el plan pensado y no darse por vencido
fácilmente. Tratar de llegar hasta el final.
•Plantear la operación que evidencia el esquema (sagital,
rectangular, de árbol, entre cuadros…) planteado en la fase
anterior.
•Resolver la operación que conllevan los cálculos.
•Escribir la solución completa (respuesta magnitudinal)
como respuesta al problema y a los problemas auxiliares.
•Recurrir a otras estrategias, si la seleccionada no lleva a
una solución adecuada.
•Agotar todas las posibilidades en el caso de problemas de
recuento sistemático
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
65
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
66
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
67
EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
VISIÓN RETROSPECTIVA
Contrastar el resultado obtenido.
Reflexionar sobre si se podría haber
llegado a esa solución por otras vías,
utilizando otros razonamientos.
Las dificultades en el proceso
Generalizar el proceso a otras
situaciones
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
68
•Llevar la respuesta obtenida a los datos del problema.
¿Es lógica la historia que resulta?
•Relacionar la situación inicial (planteada en el
enunciado) con la final (obtenida en la solución).
•Analizar o validar el resultado obtenido respecto a la
estimación previa realizada.
•Introducir la respuesta del problema como un dato más
y reformular el problema para comprobar si se verifican
algunos de los datos dados previamente en el problema
inicial.
•Estudiar si se podría haber resuelto el problema de otra
manera.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
69
•Pensar si existen más soluciones (en el caso de
problemas de recuento sistemático)
•¿Estamos seguros de que no hay más soluciones, así
como de no haber repetido ninguna?
•¿Hemos sido sistemáticos en la búsqueda?
•¿Lo podríamos haber resuelto de otro modo?
•Análisis del proceso seguido (más complejo si se trata de
problemas aritméticos de segundo nivel)
•¿Ha habido atascos? ¿Dónde se produjeron? ¿Cómo los
hemos solucionado?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
70
VISIÓN RESTROSPECTIVA
1. Se comprueba la solución dada es lógica y
coherente con el planteamiento del problema.
2. Se ha podido varias el orden de los pasos del 1
al 3. Se comprueba que da lo mismo.
3. Hay alumnado que ha tenido dificultades para
averiguar el peso total de las naranjas. Una vez
que se le ha presentado el esquema lo han
visto claro.
4. Se pueden inventar problemas similares por
ellos.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
71
PROCEDIMIENTO GENERALIZADO PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
FASES
ACCIONES
TÉCNICAS
1º Comprensión del problema
¿Qué dice el problema? ¿Lo he
comprendido? ¿Entiendo el significado
de las palabras de este problema?
¿Cuál es la pregunta?
Leo y releo detenidamente el
enunciado del problema
Lectura global
Lectura analítica
Elaboración de esquemas
¿Puedo decirlo de otro forma?
Reformulo
Lectura analítica y reformulación
2º Concepción de un plan
¿Cómo lo puedo resolver? ¿Tengo todos
los datos necesarios para resolver este
problema?
¿Qué información necesito?
¿Qué pasos/acciones debo realizar?
¿Qué hago primero? ¿Cómo debo
calcular la solución?
¿Con qué operación?
¿Con
qué
operaciones
tengo
dificultades?
Busco la vía de solución (Trazo un plan)
Lectura analítica y reformulación
• Elaboración de esquemas
• Determinación de problemas auxiliares
(Subproblemas)
• Tanteo inteligente (ensayo y error)
• Analogía con problemas ya resueltos
• Resuelvo el problema con
datos más sencillos
3º Ejecución del plan
Resuelvo
Estimación
4º Visión retrospectiva
¿Es correcto lo que hice? ¿Para qué
otra cosa me sirve?
¿Se puede resolver de otra manera?
¿Puedo comprobar si es correcto el
resultado?
Hago consideraciones (Compruebo,
analizo la solución y el procedimiento)
Repaso cada uno de los pasos y
compruebo que no he fallado en ninguna
de las operaciones.
Comprobación
¿Puedo explicar lo que he hecho, como
y por qué?
Explico con mis palabras lo que he
hecho y anoto otras formas o vías de
solución aportadas por los demás
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
RESUMEN O PUESTA EN
COMÚN
72
MODELO DE INSTRUCCIÓN DIRECTA
ENSEÑAR AL ALUMNADO EL
“CÓMO HACER”
MODELANDO
BRINDANDO OPORTUNIDADES
PARA UTILIZAR LO APRENDIDO
BRINDANDO FEEDBACK CORRECTIVO APROPIADO Y
ORIENTACIÓN MIENTRAS ESTÁN APRENDIENDO.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
73
FASES DE LA INSTRUCCIÓN DIRECTA
ENSEÑANZA
Comunicación al alumnado de
lo que se va a aprender.
Modelar
PRÁCTICA
Promover la
práctica
independiente
Promover la práctica guiada
APLICACIÓN
Recordar al alumnado lo que
deben aplicar
Promover la lectura entre el
alumnado para que
comprendan un texto.
Discutir un texto para evaluar
la comprensión y la aplicación
de lo aprendido.
Hacer un resumen
Hacer un resumen
RE-ENSEÑAR
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
74
ESTRATEGIA PARA ENSEÑAR Y MODELAR LAS HABILIDADES Y
PROCESOS DE COMPRENSIÓN
ETAPA
PREPARATORIA
DETERMINACIÓN
DEL OBJETIVO DE LA
ENSEÑANZA
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
CONSIDERACIÓN DE
LA INFORMACIÓN
PREVIA DEL
ALUMNADO
CONSIDERACIÓN
DEL NIVEL DEL
ALUMNADO
75
FIJAR
OBJETIVOS
ENSEÑANZA
MODELAR
PRÁCTICA
GUIADA
RESUMEN
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
76
EL MODELADO
EL MODELADO ES LA PRÁCTICA DE
MOSTRAR O DEMOSTRAR A OTROS LA
FORMA DE UTILIZAR UNA HABILIDAD,
PROCESO O ESTRATEGIA
DETERMINADOS, Y EL RAZONAMIENTO
QUE ACOMPAÑA A DICHA UTILIZACIÓN.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
77
APLICAR LA
HABILIDAD
APRENDIDA
PRÁCTICA
SOBRE UNA ACTIVIDAD
EQUIVALENTE A LA DE LA
FASE DE ENSEÑANZA
POSTERIOR
CORRECCIÓN
INDIVIDUAL
Brindar feedback
correctivo
Señalar
errores
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
Señalar los
por qué
78
RECORDAR LA
HABILIDAD
RESOLUCIÓN
INDIVIDUAL
DISCUSIÓN
APLICACIÓN
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
RESUMEN
79
Cambio
TIPOLOGÍA DE
PROBLEMAS
Aditivosustractivos
Comparación
Igualación
1º NIVEL
Repartos equitativos
Multiplicacióndivisión
1.ARITMÉTICOS
Combinación
Factor n
Razón
Producto cartesiano
COMBINADOS FRACCIONADOS
Puros
2º NIVEL
COMBINADOS
COMPACTOS
Mixtos
Directos
Indirectos
3º NIVEL
2. GEOMÉTRICOS
NUMÉRICOS
3. RAZONAMIENTO LÓGICO
BALANZAS DE DOS BRAZOS
ENIGMAS
ANÁLISIS DE PROPOSICIONES
4. RECUENTO SISTEMÁTICO
5. RAZONAMIENTO INDUCTIVO
6. AZAR Y PROBABILIDAD
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
80
PROBLEMAS ARITMÉTICOS
En su enunciado presentan datos en forma de cantidades y establecen entre
ellos relaciones de tipo cuantitativo, cuyas preguntas hacen referencia a la
determinación de una o varias cantidades o a sus relaciones, y que necesitan
la realización de operaciones aritméticas para su resolución.
1º NIVEL
2º NIVEL
3º NIVEL
Un sola
operación para
su resolución
O problemas combinados.
Para su realización es
necesario realizar varias
operaciones en un cierto
orden.
Los datos del enunciado
vienen dados en forma
de números decimales,
fraccionarios o
porcentuales.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
81
PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE 1º NIVEL
ADITIVO-SUSTRACTIVO
Parten de una cantidad inicial Ci, la cual se modifica
en el tiempo dando lugar a otra cantidad final Cf.
De las tres cantidades dos serán datos y una será
incógnita.
CAMBIO
En un autobús viajan 15 personas. En una
parada suben 7. ¿Cuántas viajan ahora en el
autobús?
En un autobús viajan 22 personas. En una
parada bajan 7.
¿Cuántas viajan ahora en el autobús?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
82
PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE 1º NIVEL
ADITIVO-SUSTRACTIVO
COMBINACIÓN
En su enunciado se describe una relación entre
conjuntos (P1) y (P2) que unidos forman el todo
(T). La pregunta del problema hacer referencia a la
determinación de una de las partes (P1) o (P2) o
del todo (T).
En un cumpleaños se han comido 85 bocadillos y
han sobrado 15. ¿Cuántos bocadillos se había
preparado?
En un cumpleaños se han comido 85 bocadillos. Si
había preparado 100. ¿Cuánto han sobrado?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
83
PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE 1º NIVEL
ADITIVO-SUSTRACTIVO
COMPARACIÓN
Son problemas que a través de un comparativo de
superioridad (más que..) o de inferioridad (menos
que..), se establece una relación de comparación
entre dos cantidades. La información aportada por el
enunciado está en relación con la cantidad de
referencia (Cr), la cantidad comparada (CC) o bien la
diferencia (D) entre ambas cantidades. Dos de ellas
serán los datos y una la incógnita.
Ana y María están ahorrando dinero. Ana tiene
150 €, tiene 50 € más que María. ¿Cuántos tiene
María?
Ana y María están ahorrando dinero. María tiene
100 €, 50 menos que Ana. ¿Cuántos € tiene Ana?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
84
PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE 1º NIVEL
ADITIVO-SUSTRACTIVO
IGUALACIÓN
En su enunciado incluyen un comparativo de igualdad
(tantos como, igual que...) Son situaciones en las que
se da al mismo tiempo un problema de cambio y otro
de comparación. La cantidad de referencia (Cr) debe
modificarse o se modifica creciendo o disminuyendo
(D) para llegar a ser igual a la otra cantidad (Cc)
Adrián ha recorrido 20 Km. Pablo recorrido 14
Km. ¿Cuántos Km. más debe recorrer Pablo
para recorrer los mismos que Adrián?
Si Pablo ha recorrido 14 km y Adrián 20 km.
¿Cuántos kilómetros menos recorrió Pablo?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
85
EJERCICIOS PREPARATORIOS
1. DI LO MISMO PERO DE OTRA FORMA
-Miren es más alta que Mikel.
Mikel es ...
- Javier tiene 30 euros más que Andrés. Andrés tiene ...
- El globo está encima de Begoña.
Begoña está ...
- Ayer tenía más cromos que hoy.
Hoy tengo ...
- Tengo 8 cromos más que tú.
Tu tienes ...
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
86
2. DESHACER LO HECHO
HACER AL REVÉS
•Estoy sentado y me levanto.
•Saco tres canicas del bolsillo.
•Cierro los ojos...
•Se levantó de la cama. Abrió la puerta. Salió de la
habitación. Encendió la televisión. Se sentó en el sofá...
•Me suelto los cordones. Me quito los zapatos y después
los calcetines. Meto los zapatos en una caja y llevo la
caja al armario...
•Entró en el hotel. Cogió la llave. Subió tres pisos en el
ascensor...
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
87
3. DAR DOS DATOS
ESCRIBIR UNA PREGUNTA
•El hermano de Javier pesa 45 kg. Javier pesa 29 kg.
•- Begoña tiene 258 euros. Javier tiene 35 euros menos
que Begoña.
•- Mi padre tiene 38 años. Mi hermano pequeño ha
cumplido 5 años.
•- Un señor tiene 30 días de vacaciones. Los 12 primeros
días los ha pasado descansando en casa, pero el resto de
las vacaciones ha estado viajando.
•- Un pastor tiene 75 ovejas blancas y 17 ovejas negras.
•- Esta mañana he llevado un paquete de gominolas al
colegio.
•En el recreo he comido siete y todavía me quedan 25
caramelos.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
88
4. SOBRAN DATOS
TACHARLOS
•En una clase hay 25 alumnos. Todos tienen 10 años. El
profesor les ha dado tres caramelos a cada uno. ¿Cuántos
caramelos ha repartido el profesor?
•El colegio de Javier está a 8 km de su casa. Javier coge
el autobús todos los días a las 8 de la mañana. En el
autobús viajan 65 alumnos. El autobús tarda una hora en
llegar al colegio. ¿A qué hora llega Javier al colegio?
• María tiene 13 años y pesa 40 kg. El hermano de María
mide 2 metros y es 6 años mayor que María. ¿Qué edad
tiene el hermano de María?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
89
5. FALTA UN DATO
ESCRIBIRLO
•El cuaderno de Begoña costó 75 céntimos más que el
cuaderno de Javier. ¿Cuánto costaba el cuaderno de
Begoña?
•El tendero le devolvió a Javier 35 céntimos ¿Cuánto
costaba el kilo de patatas que compró Javier?
•El tren salió a las 8 de la mañana. ¿Cuántas horas duró
el viaje?
•He metido 8 euros en la hucha de mi hermana. ¿Cuánto
dinero tenía mi hermana en la hucha?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
90
6. DAR LA PREGUNTA
ESCRIBIR LOS DATOS
Determinar primero el contexto
•¿Cuántos caramelos he llevado esta mañana al colegio?
•¿Cuántos céntimos me devolverán en la tienda?
•¿Cuánto tendré que pagar por los dos bolis y por el
cuaderno?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
91
7. DADAS DOS VIÑETAS
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
HACER UNA PREGUNTA
92
8. REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA
OPERACIONES
- Tenía 54 y perdió 17
0
- Le faltaban 25 para llegar a 72
0
- Tenía 31 y le dieron 11
0
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
93
9. DAR EL PROBLEMA Y EL ESQUEMA PARA QUE
COLOQUEN EN ÉL LOS DATOS
CORRESPONDIENTES
-En mi equipo de fútbol llevamos marcados 33
goles. Si en el próximo partido conseguimos meter
6 goles, ¿cuántos goles habremos marcado en
total?
0
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
94
10. DADO UN PROBLEMA
COMPLETAR EL ESQUEMA
•Begoña y su hermano cuentan sus juguetes. Entre los
dos tienen 12 juguetes. El hermano de Begoña tiene 5
juguetes. ¿Cuántos juguetes tiene Begoña?
5
0 años tiene Iván? Sabes que Pedro tiene 15
•¿Cuántos
años y que Pedro tiene 6 años más que Iván
15
0
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
95
11. REALIZACIÓN DE ESQUEMAS SAGITALES
SOBRE LA RECTA NUMÉRICA
RELACIONAR DATOS Y PREGUNTA
•Sandra tiene dieciséis años. Iranzu tiene dos años
menos que Sandra. ¿Cuántos años tiene Iranzu?
0
•En una cesta hay nueces y avellanas. En total hay
diecinueve. Si hay cuatro nueces, ¿cuántas avellanas hay
en la cesta?
0
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
96
12. DADO UN PROBLEMA Y DOS O TRES
ESQUEMAS, ASOCIAR EL ESQUEMA AL
PROBLEMA CORRESPONDIENTE
• Begoña está jugando a tirar penaltis. Ha tirado 14
penaltis y ha fallado 6 veces. ¿Cuántos goles ha metido?
?
14
14
?
6
6
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
97
13. RELACIÓN ENTRE OPERACIONES, ESQUEMAS
Y TEXTOS DE PROBLEMAS
•LEE EL PROBLEMA Y RODEA LA OPERACIÓN QUE LO
RESUELVE
-En un cesto hay 16 manzanas y 9 peras. Tres de las
manzanas están podridas y las tiro a la basura. Cuántas
frutas quedarán en el cesto?
16 – 9 – 3
16 – 3 + 9
16 + 9 + 3
•COMPLETA EL TEXTO DEL PROBLEMA. TEN EN CUENTA EL
ESQUEMA
- Tenía 8 canicas para jugar en el recreo y un agujero en el
bolsillo del pantalón.
........................................................................................
....................................
¿............................................................................................
.............................?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
98
•COMPLETA EL TEXTO DEL PROBLEMA. TEN EN CUENTA EL
ESQUEMA
- Tenía 8 canicas para jugar en el recreo y un agujero en el
bolsillo del pantalón.
........................................................................................
....................................
¿............................................................................................
.............................?
8
?
5
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
99
ESTRATEGIA GENERAL DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ARITMÉTICOS DE 1º NIVEL ADITIVO-SUSTRACTIVO
1.- Comprensión de la situación
• Leer el problema varias veces.
• Subrayar los datos del problema,
en azul, y la pregunta, en rojo.
¿Qué es lo que sé y lo que quiero
calcular (lo que me preguntan)?
• Contarse el problema.
2.- Relacionar los datos. Esquematizar la situación.
• Después de leer el problema, hacer un esquema
poniendo los datos y las incógnitas del
problema para verlo en su globalidad.
Representar sobre la recta numérica los datos y
la pregunta , mediante un diagrama sagital.
• Colocar los datos (números) y la pregunta (?)
sobre las correspondientes flechas en el
diagrama.
28
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
?
7
100
ESTRATEGIA GENERAL DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ARITMÉTICOS DE 1º NIVEL ADITIVO-SUSTRACTIVO
3.- Operar y escribir la solución (desarrollar o
ejecutar el plan ideado)
Planear la operación que evidencia el
esquema sagital del apartado anterior.
Efectuar el cálculo correspondiente.
Escribir la solución: como respuesta completa
a la pregunta del problema. Pedir la
solución con la unidad adecuada.
4.- Validar la solución del problema
Llevamos la respuesta a los datos del problema,
ahora será un dato más, ya no es un problema
la situación, ahora ya es una historia. ¿Es
lógico?
Volver a leer el problema (¡ya no hay pregunta!)
¿Es coherente la historia en que se ha convertido
ahora el problema inicial .
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
101
PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE 1º NIVEL
MULTILPLICACIÓN O DIVISIÓN
DE REPARTOS
EQUITATIVOS O
DE GRUPOS
IGUALES
Una cantidad debe repartirse entre un cierto número
de grupos, de modo que cada grupo reciba el mismo
número de elementos. En el enunciado se hace
referencia a tres informaciones: la cantidad a
repartir, el número de grupos a formar o el número
de elementos por cada grupo. Dos de estos
constituirán los datos y una tercera será la incógnita.
Mi abuelo nos ha dado 100 €, que tenemos que
repartir entre los tres hermanos. ¿Cuántos € nos
corresponderá a cada uno?.
Debo repartir 2500 kilos de fresas en cajas de 20
kilos. ¿cuántas cajas me harán falta?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
102
PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE 1º NIVEL
MULTILPLICACIÓN O DIVISIÓN
DE FACTOR N O
COMPARACIÓN
MULTIPLICATIVA
En ellos intervienen dos cantidades del mismo tipo
las cuales se comparan (cantidad de referente Cr y
cantidad comparada Cc) para establecer entre ellas
una razón o factor (F). Se caracterizan también
porque en el enunciado se incluyen cuantificaciones
del tipo “… veces más que.., menos que..”..
Un balón cuesta 9 € y un pantalón 8 veces más.
¿Cuánto cuesta el pantalón?
Unos pantalones cuestan 72 €. Un balón de
fútbol cuesta 8 veces menos. ¿Cuánto cuesta el
balón?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
103
PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE 1º NIVEL
MULTILPLICACIÓN O DIVISIÓN
DE RAZÓN O
DE TASA
Hace referencia a medidas de tres magnitudes
diferentes. Una de ellas, la llamada magnitud
intensiva o tas (Ci) resulta de relacionar las otras dos
(una de las magnitudes dadas en el problema
respecto a la unidad de la otra magnitud) que a su
vez se llama extensiva (Ce1 y Ce).
Un coche viaja durante 5 horas a una velocidad
media de 110 km/h. ¿Cuántos kilómetros ha
recorrido?
Por un jamón entero hemos pagado 152 €. Si el
precio de un kilo de jamón es de 19 €/kilo.
¿Cuánto kilos pesa el jamón?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
104
PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE 1º NIVEL
MULTILPLICACIÓN O DIVISIÓN
DE PRODUCTO
CARTESIANO
Se trata de combinar de todas las formas posibles
(T) los objetos de tipos (C1) con los objetos de otro
tipo (C2).
Combinando mis pantalones y mis camisetas me
puedo vestir de 27 formas distintas, Si tengo 3
pantalones. ¿Cuántas camisetas tengo?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
105
PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE
2º NIVEL.
COMBINADOS
FRACCIONADOS
Aparecen varias preguntas encadenadas, las cuales
ofrecen el plan para responder a la última pregunta.
Una señora lleva en la cartera 300 €. Entra a una
tienda de ropa y compra 3 pantalones que le
cuestan 72 € cada uno y 2 camisetas a 15 € la
unidad.¿Cuánto dinero valen los tres
pantalones?¿Cuánto paga por las
camisetas?¿Cuánto dinero gasta la señora en la
tienda?¿Cuánto dinero le quedará en la cartera al
salir?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
106
PROBLEMAS ARITMÉTICOS
DE 2º NIVEL.
COMBINADOS
COMPACTOS
Aparece una sola pregunta al final del enunciado,
por tanto son más complejos que los fraccionados. En
este caso se debe diseñar un plan estratégico.
El coche de mi madre consume 6 litros de
gasolina cada 100 kilómetros. Cuando salió de
casa antes de iniciar un viaje, el depósito estaba
lleno y caben 57 litros. Después de andar 750
km., ¿qué distancia podría recorrer todavía sin
volver a repostar combustible?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
107
PROBLEMAS ARITMÉTICOS
DE 2º NIVEL.
COMBINADOS
PUROS
Las operaciones de los pasos intermedio pertenecen
toadas al mismo campo operativo-conceptual. Es
decir, sumas/restas o multipliaciones/divisones
Para celebrar el fin de trimestre, las tres clases
de tercero de mi colegio hemos ido al cine. En
cada clase hay 25 alumnos. Si hemos pagado en
total 225 euros, ¿cuánto nos ha costado a cada
alumno la entrada al cine?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
108
PROBLEMAS ARITMÉTICOS
DE 2º NIVEL.
COMBINADOS
MIXTOS
Intervienen distintas operaciones que pertenecen a
campos conceptuales diferentes.
En un almacén había 127 sacos de garbanzos.
Cada saco pesaba 60 kilos. Se sacaron 8 carros
de 12 sacos cada uno.¿Cuántos kilos de
garbanzos quedaron en el almacén?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
109
PROBLEMAS ARITMÉTICOS
DE 2º NIVEL.
COMBINADOS
DIRECTOS
Los datos expresados están dados en el mismo
orden en el que aparecen en el enunciado.
En un concurso escolar ganamos 1200 euros.
Para celebrarlo compramos libros de lectura para
la clase por valor de 192 euros. Después hicimos
una excursión en la que gastamos 900 euros. El
resto del dinero lo utilizamos en hacer una
merienda. ¿Cuánto dinero costó la merienda?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
110
PROBLEMAS ARITMÉTICOS
DE 2º NIVEL.
COMBINADOS
INDIRECTOS
Los datos aparecen en distinto orden, por tanto la
persona que resuelve el problema debe reordenar los
datos en función de la pregunta formulada, y
combinarlos de forma que le permitan elaborar el
plan.
Una cuba contenía 112 litros de agua. Con ella se
llenaron 3 bidones iguales y 2 garrafas de 15
litros cada una. En la cuba quedaron todavía 7
litros de agua. ¿Cuál era la capacidad de cada
bidón?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
111
EJERCICIOS PREPARATORIOS
PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE SEGUNDO NIVEL
1.Dar una lista numerada de 4 ó 5 datos, y una serie de
preguntas simples relacionadas con los datos de la lista.
El alumno debe asociar cada pregunta con los datos de la
lista que permitirían responderla.
EJEMPLO:
1.- En el supermercado cada bolsa de patatas pesa 4 kg.
2.- Una bolsa de patatas vale 0,95 euros.
3.- Javier tiene 9 euros.
4.- Javier va al supermercado y compra 3 bolsas de patatas.
A.- ¿Cuántos kilos de patatas ha comprado Javier? (...,...)
B.- ¿Cuánto vale cada kg. de patatas? (...,...)
C.- ¿Cuánto dinero le sobra a Javier? (...,...,…)
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
112
2.Dar el enunciado de un problema con más datos de los
necesarios para resolver el problema. El alumno debe
tachar el dato o datos que sobra(n).
EJEMPLO:
“El libro que está leyendo Begoña tiene 252 páginas.
Ayer, Begoña leyó 45 páginas y hoy ha leído hasta la
página 175.
¿Cuántas páginas le faltan para acabar de leer el libro?”
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
113
3. Dar datos relativos a una situación (los datos pueden
darse al estilo de problemas normales, o por medio de
tablas, catálogo de ventas, gráficos, recortes de
periódico...), para que el alumno escriba en algunos
casos preguntas simples cuya respuesta requiera utilizar
solamente algunos de los datos disponibles en otros
alguna pregunta cuya respuesta requiera utilizar los
datos disponibles.
EJEMPLO:
“Javier y Begoña tienen cada uno 5 euros. Una bolsa de
gusanitos cuesta 60 céntimos. y un paquete de patatas 90
céntimos. Javier ha comprado 3 bolsas de gusanitos y
Begoña 5 bolsas de patatas.”
¿.......? , ¿..........?
,
¿...................?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
114
4. Dar un dibujo con datos numéricos y una pregunta
compleja relacionada con dichos datos. El alumno debe
redactar el texto de un problema clásico, utilizando los
datos numéricos del dibujo.
EJEMPLO
80
cent.
5
euros.
¿Cuántas canicas puede conseguir Begoña, si las canicas se venden
solamente por paquetes?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
115
5. Dar enunciados incompletos ya que es necesario
conocer algún dato más para poder responder a la
pregunta planteada El alumno debe escribir el dato que
falta.
EJEMPLO
Tengo que hacer fotocopias de 6 capítulos de un libro.
Cada fotocopia cuesta 10 céntimos. Llevo en el bolsillo 5
euros.
¿Cuánto dinero me sobrará después de hacer las
fotocopias?”
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
116
6. Proponer problemas en los que la respuesta a la
pregunta está incluida en el problema (es uno de los
datos del mismo) o en los que la pregunta no tiene
sentido, por ser absurda al no tener nada que ver con los
datos del problema.
EJEMPLO
•“¿Cuántas tortillas de patata de 3 huevos en cada una se
pueden hacer con 45 patatas?”
•“Para ir de mi casa al colegio tengo que andar dos
kilómetros y medio. Si tardo diez minutos en recorrer un
kilómetro, ¿a qué distancia del colegio está mi casa?”
•“¿Cuánto pesan 8,5 kg. de ciruelas claudias, si cada
kilogramo cuesta 1,35 € ?”
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
117
6. Proponer problemas en los que la respuesta a la
pregunta está incluida en el problema (es uno de los
datos del mismo) o en los que la pregunta no tiene
sentido, por ser absurda al no tener nada que ver con los
datos del problema.
EJEMPLO
•“¿Cuántas tortillas de patata de 3 huevos en cada una se
pueden hacer con 45 patatas?”
•“Para ir de mi casa al colegio tengo que andar dos
kilómetros y medio. Si tardo diez minutos en recorrer un
kilómetro, ¿a qué distancia del colegio está mi casa?”
•“¿Cuánto pesan 8,5 kg. de ciruelas claudias, si cada
kilogramo cuesta 1,35 € ?”
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
118
ESTRATEGIA GENERAL DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ARITMÉTICOS DE 2º NIVEL
Solución
1.- Comprensión de la situación
• Practicar el subrayado de los datos y de la
pregunta.
• Contar(se) la situación separando lo
conocido de lo que hay que calcular.
• Escribir de forma concisa y ordenada los
datos del problema en recuadros, un
recuadro para cada dato.
2.- Idear-concebir un plan de resolución. Recursos heurísticos
• Preguntarse lo qué se podría calcular con los datos
disponibles del problema.
• Preguntarse sobre qué datos se necesitaría para poder
contestar a la pregunta del problema.
• Partiendo de la pregunta, indagar qué necesitaríamos para
calcular la solución. ¿Tenemos algún dato para ello? ¿Podría
calcular lo que me falta para poder operar y llegar a la
solución?
• Visualizar-esquematizar el plan de resolución, uniendo con
flechas o líneas los recuadros que contienen los datos del
problema o los calculables a partir de ellos.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
119
•
•
•
•
3.- Ejecutar el plan
Separar en la redacción del proceso de resolución, los
pasos del plan. Indicar expresándolo con una breve
frase lo que se pretende hacer en cada uno de ellos.
Debajo de cada frase explicativa, indicar la operación
pertinente y el resultado magnitudinal obtenido.
Escribir al final del último paso, la solución como una
respuesta completa a la pregunta del problema.
4.- Validar la solución
• Introducir la respuesta del problema como un dato más de
la situación. ¡Ya no hay pregunta, el problema está
resuelto!
• Organizar mentalmente el problema como una historia y
ordenarla lógicamente. Examinar si existe coherencia entre
todos los datos de la historia en que se ha convertido ahora
el problema.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
120
PROBLEMAS ARITMÉTICOS
DE 3º NIVEL.
Un coche ha consumido 14,5 litros de gasolina
para recorrer 180 km.El precio de la gasolina es
de 0,87 € el litro. ¿Cuánto dinero en gasolina
habrá necesitado para recorrer 300 km?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
121
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
SE
TRABAJAN
DIVERSOS
CONTENIDOS
Y
CONCEPTOS
DE
ÁMBITO GEOMÉTRICO, DIFERENTES
FORMAS Y ELEMENTOS, FIGURAS
BIDIMENSIONALES
Y
TRIDIMENSIONALES, ORIENTACIÓN
Y VISIÓN ESPACIAL, LOS GIROS
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
Teresa coloca sobre la mesa siete fichas y
dibuja un círculo alrededor de cuatro
fichas. Dibuja dos círculos más de
manera que cada ficha quede separada
de las otras.
122
PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO
SON PROBLEMAS QUE PERMITEN
DESARROLLAR
DESTREZAS
PARA
AFRONTAR SITUACIONES CON UN
COMPONENTE LÓGICO
NUMÉRICOS
ENIGMAS
BALANZAS
ANÁLISI DE
PROPOSICIONES
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
123
PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO
NUMÉRICOS
Los criptogramas, líneas u otras figuras sobre las que hay que
colocar números cumpliendo unas determinadas condiciones,
aquellos en los que se dan unas pistas para que a partir de ellas
se determine el número o números que las cumplen, …
Coloca Los números del 1 al 9 en ocho líneas para que la suma
de cada línea sea 15.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
124
PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO
BALANZAS DE DOS BRAZOS
Problemas gráficos en los que una vez representadas algunas "pesadas"
realizadas, se trata de averiguar otras equivalencias en función de los
objetos utilizados.
¿Cuántos donuts corresponden a cuatro
croissants?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
125
PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO
ENIGMAS
MANTIENEN LA MENTE DESPIERTA, ESTIMULAN LA IMAGINACIÓN Y
DESARROLLAN LA FACULTAD DE LA INTELIGENCIA.
Tania, hija única, es la madre de Andrés y la hija política
de Laura. Si Jorge es el tío de Andrés. ¿Qué parentesco
existirá entre éste y Manolo, marido de Laura?
Don Rigoberto, representante de comercio, convence a su
esposa para que le acompañe a Segovia. Durante su
estancia la esposa fallece. Don Rigoberto vuelve a su
casa anonadado, pero el de la agencia de viaje lo
denuncia por asesinato. ¿Por qué?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
126
PROBLEMAS DE
RAZONAMIENTO LÓGICO
ANÁLISIS DE
PROPOSICIONES
SON ACTIVIDADES QUE DESARROLLAN LA
CAPACIDAD PARA ARTICULAR
ARGUMENTACIONES Y DAR EXPLICACIONES.
EXIGEN UTILIZAR EL LENGUAJE CON
PRECISIÓN.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
127
PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO
RECUENTO SISTEMÁTICO
Son problemas que tienen varias soluciones y es preciso
encontrarlas todas. Pueden ser de ámbito numérico o
geométrico. Conviene ser sistemático en la búsqueda de
posibles soluciones para llegar al final con la certeza de
haberlas hallado todas.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
128
PROBLEMAS DE
RAZONAMIENTO LÓGICO
DE RAZONAMIENTO
INDUCTIVO
Consisten en enunciar
propiedades numéricas o
geométricas a partir del
descubrimiento de
regularidades. Intervienen
dos variables y es necesario
expresar la dependencia
entre ellas.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
129
PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO
DE AZAR Y PROBABILIDAD
Consisten en enunciar propiedades numéricas o geométricas a
partir del descubrimiento de regularidades. Intervienen dos
variables y es necesario expresar la dependencia entre ellas.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
130
OTRA TIPOLOGÍA DE PROBLEMAS
GENERATIVOS
DE ESTRUCTURACIÓN
DE ENLACES
DE TRANSFORMACIÓN
DE COMPOSICIÓN
DE INTERCONEXIÓN
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
131
PROBLEMAS GENERATIVOS
ayudan a
A GENERAR
IDEAS
PERCIBIR LA ESTRATEGIA
COMO VÍA DE SOLUCIÓN.
A UTILIZAR EL
RAZONAMIENTO LÓGICO
LA OPERACIÓN QUEDA
SUBORDINADA AL PENSAMIENTO
Se deja caer una pelota que está encima de un armario y
una pelota que está encima de una silla.
•¿Qué pelota llegará antes al suelo?
•¿Se han dejado caer las dos pelotas a la vez?
•¿Dónde has supuesto que estuviera la silla?
•¿Es el armario más alto que la silla?
•¿Podría estar la silla en una posición más alta que el armario?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
132
PROBLEMAS DE ESTRUCTURACIÓN
ayudan a
ESTRUCTURAR MENTALMENTE LAS PARTES QUE COMPONEN EL
PROBLEMA
Enunciado
Pregunta
Resolución
Solución
El alumno creará el enunciado, la pregunta y el proceso que se pueda
corresponder con la solución de partida.
• Inventa un problema cuya solución sea 16 páginas.
Creación de un enunciado y pregunta que se corresponda con el contenido
de relación aplicativa de la expresión de partida.
• Inventa un problema que se resuelva mediante la siguiente expresión
matemática: (16 + 7 - 4) x 5.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
133
PROBLEMAS DE ENLACES I
ayudan a
ENCONTRAR LA CONCORDANCIA LÓGICA
ENTRE ENUNCIADO-PREGUNTA SOLUCIÓN
SE TRABAJA CON VARIABLES DE
RELACIÓN ENTRE ESTAS PARTES
variables
Sintácticas
Lógicas
Matemáticas
Experiencias
propias
Creencias
sociales
Expresar preguntas y responderlas a partir de un enunciado dado. La
labor del alumno consiste en crear preguntas que se puedan contestar
teniendo en cuenta, únicamente, el enunciado de partida.
• Escribe preguntas que se puedan responder a partir del siguiente. enunciado:
"Sonia ha estado viendo la televisión 137 minutos. Ramón ha estado viendo la
televisión 29 minutos menos que Sonia".
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
134
PROBLEMAS DE ENLACES II
Expresar las preguntas que se corresponden con el enunciado y la solución.
Se presenta un enunciado con preguntas en blanco. Cada pregunta tiene
una solución dada.
Escribe la pregunta, según corresponda.
La catedral de Sevilla se comenzó a construir en el año 1402 y se terminó en el
año 1519. Su planta es rectangular.
La catedral de Santiago de Compostela, en Galicia, se construyó del año 1075
al año 1128.
¿_________________________________?Sol.: 274 años
¿_________________________________? Sol.: 4.692 meses
¿_________________________________? Sol.: No
¿_________________________________? Sol.: La catedral de Santiago
¿_________________________________? Sol.: No se puede saber con los
datos que se tienen
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
135
PROBLEMAS DE ENLACES III
Inventar un enunciado que se corresponda con una pregunta dada, la
solución del problema dada y los datos numéricos dados que deben
aparecer en el enunciado.
Resolver el problema:
a) Utilizando todos los datos del enunciado
b) Sin utilizar todos los datos del enunciado.
Selecciona los datos numéricos que se indican para construir los enunciados de los
tres problemas siguientes.
Datos: 9, 12, 6, 4, 8, 10, 7
• ¿Cuántas estrellitas se hicieron para adornar la clase?
Se hicieron 48 estrellitas para adornar la clase.
• ¿Cuántos dibujos pusieron en la pared del pasillo entre las tres clases?
Pusieron 25 dibujos.
• ¿Cuántas excursiones hicieron los niños de tercero más que los niños de
segundo? Hicieron 3 excursiones más.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
136
PROBLEMAS DE TRANSFORMACIÓN I
ayudan a
LA AUTOCORRECCIÓN
ESTABLECER RELACIONES DE SEMEJANZA Y
DIFERENCIA ENTRE LAS ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN DE SITUACIONES
PROBLEMÁTICAS
UTILIZACIÓN DE DIVERSIDAD DE ENFOQUES Y PLURALIDAD
DE ALTERNATIVAS
Cambiar los datos necesarios del problema, que ya ha sido resuelto, para
obtener una solución dada y distinta a la que ya se obtuvo
anteriormente.
Sara sale de su casa con 12 €. Gasta 5 €. en el cine y 4 € en bebida y palomitas.
Antes de volver entró en unas tiendas. Volvió a casa con1 €.
¿Compró algo en aquellas tiendas?
• ¿Qué cambiarías del enunciado para que la solución fuese: NO?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
137
PROBLEMAS DE TRANSFORMACIÓN II
Cambiar los datos del problema, que ya ha sido resuelto, para obtener la
misma solución que se obtuvo anteriormente. Se parte de un
problema fácil y posible de realizar por todos los alumnos. Se van
cambiando los datos por otros más complejos, pero equivalentes, para
que no hagan variar la solución del problema.
•
María tiene 9 €. Su padre le da 3 €. Ahora María tiene mucho dinero y decide
gastarse 6 € en pegatinas ¿Cuánto dinero le queda a María después de
gastarse ese dinero en pegatinas?
a) Cambia dos datos numéricos del enunciado sin que varíe la solución del
problema.
b) Cambia todos los datos numéricos del enunciado sin que varíe la solución del
problema.
c) ¿Podrías cambiar un solo dato del enunciado sin que varíe la solución del
problema?
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
138
PROBLEMAS DE COMPOSICIÓN I
ayudan a
VER EL PROBLEMA
COMO UN TODO
DESARROLLAN LA MEMORIA, LA OBSERVACIÓN Y
LA CAPACIDAD DE DEMOSTRACIÓN
EMISIÓN DE JUICIOS A PARTIR DE
RELACIONES MÚLTIPLE
UTILIZACIÓN DE MÉTODO DE ANÁLISIS, DE
SÍNTESIS Y DE ANÁLISIS- SÍNTESIS.
Completar los datos del enunciado de un problema a partir de la solución
de éste.
Se presenta un problema indicando su solución. De su enunciado se han borrado los
datos y se han dejado los espacios en blanco. El alumnado completará el
enunciado según corresponda.
Completa lo que falte en el enunciado, según corresponda, para que las respuestas
sean correctas:"
A una panadería llevan 87 barras de pan sin sal y ... barras de pan con sal. La
panadería vende 182 barras de pan con sal y vende... barras de pan sin sal."
• ¿Cuántas barras ha vendido en total la panadería? 251 barras.
• ¿Cuantas barras llevaron a la panadería? 282 barras.".
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
139
PROBLEMAS DE COMPOSICIÓN II
Componer el/los enunciasdo/s de un/os problema/s a partir de
todos/algunos de los datos que se ofrecen, y resolver la situación
problemática. Se presentan enunciados tal que desde esa forma de
presentación se encuentran incompletos para dar respuesta a su pregunta. Se
presentan fuera del problema una serie de datos. La realización de la actividad
consiste en elegir el lugar necesario de los datos para resolver el problema.
Necesitamos un detective numérico. A los problemas siguientes se les han borrado
los datos. Se sabe cuáles son, pero no dónde estaban. Juega a ser detective
colocando los datos según corresponda.
Datos: 3/21/ 18/6/8/ 108/48
A) En... muebles, exactamente iguales, hay un total de... estanterías.
¿Cuántas estanterías hay en... de esos muebles?
Sol.: Un dato del problema B.
B) Un panadero forma dos filas de cestas de pan poniendo en la primera fila menos
cestas que en la segunda. En la primera fila pone... cestas con... barras de pan
en cada una de ellas y en la segunda fila pone... cestas con... barras de pan en
cada una de ellas... ¿Cuántas filas de pan hay en la primera fila de cestas más
que en la segunda?
Sol.: Un dato del problema A.
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
140
PROBLEMAS DE INTERCONEXIÓN
ayudan a
REFLEXIONAR SOBRE LA LÓGICA QUE HA OPERADO
EN EL RAZONAMIENTO DEL PROCESO DE
RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA
DESARROLLO DE LA
ORIGINALIDAD, IMAGINACIÓN
Y CREATIVIDAD
DISTINGUIR ENTRE LO
NECESARIO Y LO SUFICIENTE
Inventar un problema con un vocabulario específico dado, y resolverlo. Se
le da al alumnado el vocabulario que debe utilizar en la invención.
Inventa un problema en el que incluyas el siguiente vocabulario, y resuélvelo.
• Enunciado: "doble", "radiador", "abril".
• Pregunta: "mes", "día"'', agua".
Inventar un problema con un vocabulario específico y la operación/es que
debe utilizarse para su resolución.
Inventa un problema en el que incluyas el siguiente vocabulario, y resuélvelo
mediante una multiplicación y una suma.
• Enunciado: "doble", "radiador", "abril".
• Pregunta:"mes",'día”,“agua".
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
141
1º CICLO:
2º CURSO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
142
1º CICLO:
2º CURSO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
143
1º CICLO:
2º CURSO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
144
1º CICLO:
2º CURSO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
145
1º CICLO:
2º CURSO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
146
1º CICLO:
2º CURSO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
147
1º CICLO:
2º CURSO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
148
1º CICLO:
2º CURSO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
149
1º CICLO:
2º CURSO
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
150
INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
151
INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
152
INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
153
INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
154
INVESTIGACIÓN
MATEMÁTICA
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
155
INVESTIGACIÓN
MATEMÁTICA
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
156
INVESTIGACIÓN
MATEMÁTICA
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
157
BIBLIOGRAFÍA
CEP DE CASTILLEJA DE LA CUESTA
158
Descargar

Diapositiva 1