Doctorado en Economía, y
Maestría en T. y P. Económica Avanzada
FACES, UCV
Microeconomía I
Prof. Angel García Banchs
[email protected]
Clase/Semana 5
Decisiones bajo condiciones de riesgo
¿Qué es el riesgo y qué es la incertidumbre?
¿Cuál es el supuesto (condición matemática) que nos permite hablar
de riesgo en lugar de incertidumbre?
¿Cuál es la diferencia fundamental?, y
¿Cuál es su implicación para la ciencia económica y, en particular,
para la teoría neoclásica, la contratación de mercancías para entrega a
futuro, los seguros, etc.?
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Los individuos pueden tomar decisiones diferentes a las que tomarían
bajo condiciones de certidumbre, y tales diferencias se deberían a las
preferencias en relación al riesgo
C es el conjunto
o premios
finito de todos los resultados
posibles
cias)
que van de n  1,..., N
cada n implica
una combinació
n de bienes y, por tanto,
puede o no conducir
a niveles
beneficio)
a menos que n esté expresado
distintos,
ny

de utilidad
(satisfacc
ión o
en términos
L es una lista L  ( p 1 ,..., p N ) con p n  0
La lotería simple
para todo
(consecuen
n
de que el resultado
p n  1, siendo
n ocurra
p n la probabilid
ad
de Bs F
Decisiones bajo condiciones de riesgo
p3
( 0 , 0 ,1)
L  ( p1 , p 2 , p 3 )
p1
p2
(1, 0 , 0 )
( 0 ,1, 0 )
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Loterías compuestas
Dado un número
y probabilid
K de loterías
ades 
k
 0 con
simples

k
lotería simple
k
L con probabilid
k
k
k
  1, una lotería compuesta
k
k
( L ,  : k  1 ,...,K ) es la alternativ
k
L  ( p 1 ,..., p N ) con k  1 ,...,K
a riesgosa
ad 
k
que equivale
a la
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Loterías compuestas
Para cada lotería compuesta
(L ,
k
k
: k  1 ,...,K ) existe una lotería simple
L  ( p 1 ,..., p N ), donde p n   p n  ...   p n
1
Ejemplo
: Considéres
5 loterías
asociadas
1
1
1
:
1
L  ( p 1 , p 2 , p 3 )  (1 4 , 3 8 , 3 8 )
2
2
2
2
L  ( p 1 , p 2 , p 3 )  ( 3 4 , 1 4 ,0 )
3
3
3
3
L  ( p 1 , p 2 , p 3 )  (1 2 , 1 8 , 3 8 )
4
4
4
4
L  ( p 1 , p 2 , p 3 )  (1 2 , 1 4 ,1 / 4 )
5
5
5
5
K
e un caso con 3 consecuenc
L  ( p 1 , p 2 , p 3 )  (1, 0 , 0 )
1
k
ias C  (1, 2 , 3 ) y
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Loterías compuestas
Ahora considéren
con probabilid
3
se 2 loterías
ades respectiva
4
de L y L con probabilid
compuestas
. La primera
compuesta
s   1 4 y   3 4 y la segunda
1
ades respectiva
5
s  1 2 y 
3
4
1
compuesta
1 2
L C   L   L  1 4  (1, 0 , 0 )  3 4  (1 2 , 1 4 , 1 4 )
I
1
1
5
5
 (1 4 , 0 , 0 )  ( 3 8 , 3 16 , 3 16 )  ( 5 8 , 3 16 , 3 16 )
y en el caso de la segunda
lotería compuesta
L C   L   L  1 2  ( 3 4 , 1 4 , 0 )  1 2  (1 2 , 1 8 , 3 8 )
II
3
3
4
5
de L y L
4
 ( 3 8 , 1 8 , 0 )  (1 4 , 1 16 , 3 16 )  ( 5 8 , 3 16 , 3 16 )
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Loterías compuestas
En el ejemplo,
LC  LC
I
II
(son equivalent
es en tanto que asignan
El punto es que inclusive
(o combinacio
en términos
nes lineales)
las loterías
las mismas
posibilida
des)
compuestas
pueden expresarse
de (o, lo que es lo mismo,
reducirse
a) loterías
simples
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Preferencias sobre loterías
Sea L el conjunto
de consecuenc
de las loterías
ias C . Asumiremos
sobre las loterías
son completas
simples
a escoger asociadas
que las relaciones
de preferenci
: Las  sobre L son continuas
los siguientes
conjuntos
son conjuntos
si para cualquier
cerrados :
{  [0,1] :  L  (1 -  ) L   L }
{  [0,1] : L    L  (1 -  ) L }
ntes : Las  sobre L son independie
ntes si para
toda L , L , L   L , y   (0,1), se tiene que L  L  si sólo si
 L  (1 -  ) L    L   (1 -  ) L 
a ( )
y transit ivas, además de :
1. Continuas
2 . Independie
al conjunto
L , L , L   L ,
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Contraejemplo: C = ($1.000, $10, muerte) con L ≥ L' ≥ L ' '
Experimento 1
Lotería L
Lotería L'
Lotería L''
Premio
Chance
Premio
Chance
Premio
Chance
$1.000
100%
$1.000
0%
$1.000
0%
$10
0%
$10
0%
$10
100%
muerte
0%
muerte
100%
muerte
0%
$1.000
$0
$0
$1.000

$0
$0
$0
muerte

¿Escogerían L ' ?
Sin embargo, continuidad implica:  L  (1 -  ) L   L 
$0
$10
$0
$10
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Paradoja de Allais – Maurice Allais – Ejemplo: C = ($2.500, $2.400, 0)
Experimento 1
Experimento 2
Lotería 1A
Lotería 1B
Lotería 2A
Lotería 2B
Premio Chance Premio Chance Premio Chance Premio Chance
$2.500
33% $2.500
0% $2.500
33% $2.500
0%
$2.400
66% $2.400 100% $2.400
0% $2.400
34%
$0
1%
$0
0%
$0
67%
$0
66%
Valor
Esperado
$825
$1.584
$0
$2.409

$0
$2.400
$0
$2.400
$825
$0
$0
$825

¿Cuál escogerían?
¿Por qué sería inconsistente con la teoría de la utilidad esperada?
$0
$816
$0
$816
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Paradoja de Allais – Maurice Allais – Ejemplo: C = ($2.500, $2.400, 0)
Teoría de la utilidad esperada
¿Y, en la práctica?
Lotería 1A
≥
Lotería 1B Lotería 1B
≥
Lotería 1A
Lotería 2A
≥
Lotería 2B Lotería 2A
≥
Lotería 2B
Si en la práctica la mayoría prefiere L1B (+ certeza) a L1A (+ rend.),
entonces, para que se cumpla el principio de independencia, la mayoría
también debería preferir L2B (+certeza) a L2A (+ rend.). Pero, sucede
lo contrario: la mayoría prefiere L2A a L2B
Matemáticamente:
100 %  U ($ 2400 )  33 %  U ($ 2500 )  66 %  U ($ 2400 )  1 %  U ($ 0 )
34 %  U ($ 2400 )  33 %  U ($ 2500 )
Entonces, aquí no se cumple la independencia
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Teorema (utilidad esperada von Neumann-Morgenstern (v.N-M)):
Supóngase
satisfacen
que las relaciones
los supuestos
de preferenci
de continuida
es posible una representa ción utilitaria
es decir, para cada resultado
asociado

n
d e independen
y transit ivas
cia. Entonces,
de las  del tipo utilidad
esperada;
n  1,..., N existe un escalar u n  ( u 1 ,.., u N )
tal que cada L  ( p 1 ,..., p N ) y L   ( p 1 ,..., p N ), L  L  si sólo si
pnun 

n
p n u n
U  ( u n : n  1,..., N ) representa
Entonces,
a (  ) completas
cualquier
transforma
V  ( v n  au n  b : n  1,..., N )
una relación
de preferenci
ción lineal de U también
a  sobre L .
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Teorema (utilidad esperada von Neumann-Morgenstern (v.N-M)):
Entonces
U : L   tiene una expresión
si existe una asignación
la satisfació
n asociada
de escalares
como utilidad
esperada
u n  ( u n ,... u N ) que reflejan
a cada resultado
n  (1,..., N ), de forma tal
que para cada L  ( p 1 ,..., p N )  L se tenga que :
U ( L )  p 1 u 1  p 2 u 2  ...  p N u N
n
¿Cuál es el valor de U ( L ), si es la lotería que garantiza
resultado
n se de con certeza
U (L )  un
n
p
n
que el
 ( 0 ,..., 0 , p n , 0 ,..., 0 )  ( 0 ,..., 0 ,1, 0 ,..., 0 ) ?
n
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
Normalmente, consideraremos resultados monetarios, de forma tal que
claramente más es preferido a menos y los problemas de comparar
manzanas y peras no están presentes. En este contexto, el escalar
(nivel de utilidad o satisfacción) asociado a un resultado depende
de una función del dinero o riqueza.
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
Matemática
mente :
C    ; es decir, el conjunto
de selección
consiste
en distintos
niveles
de dinero (riqueza)
Considéres
e un subconjunt
o finito
de   , { w 1 ,... w N }. Sea L  ( p 1 ,... p N )
una lotería sobre ese subconjunt
o. El teorema
de la utilidad
aplicado
la existencia
de una función
a este contexto
implica
U :     , de forma tal que las preferenci as individual
loterías
como L sobre un un subconjunt
puede expresarse

n
p nu (wn )
así :
o finito
de  
esperada
de utilidad
es sobre
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
Para una lotería simple
Ew 

n
Entonces,
L , la riqueza
p n w n , con u ( Ew )  u (  p n w n ).
n
el individuo
se dice que es :
 p u (w )
al riesgo en L si u ( Ew )   p u ( w )
del riesgo en L si u ( Ew )   p u ( w )
(i) averso al riesgo en L si u ( Ew ) 
(ii) neutral
(ii) amante
donde
u ( Ew ) es la utilidad

p n u ( w n ) es la utilidad
y
n
esperada se define como :
n
n
n
n
n
de la riqueza
n
n
n
n
o ingreso
esperado
esperada de la riqueza
o ingreso
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
Ejemplo
: w  ( 50 , 0 ) y L  (1, 0 )
1
1
50 con certeza
Valor esperado del ingreso
lo cual implica
indiferent
w
vs
o riqueza
que un individuo
vs
2
 (100 , 0 ) y L  (1 2 , 1 2 )
100 con probabilid
2
ad 1/2
en ambos casos es igual a 50
que fuese neutral al riesgo se sintiría
1
e a la hora de escoger entre L y L
2
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
es averso al riesgo si está dispuesto
(ej : 40 Bs F) con tal de recibirlo
a aceptar un monto menor a 50 Bs F
con certeza, en vez de jugarse la L
2
al riesgo de perderlo todo
es neutral si es indiferent
e frente a un pago cierto de 50 Bs F o jugarse la L
es amante del riesgo si prefiere
de 50 Bs F, o lo que es lo mismo
2
jugarse la L a recibir un pago cierto
si sólo está dispuesto
monto mayor a 50 Bs F (ej : 60 Bs F) para desistir
a aceptar un
no jugarse la L
2
2
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
En el ejemplo
el valor esperado es 50 Bs F, la cantidad
individuo
aceptaría
para no jugar la apuesta riesgosa
equivalent
e de certidumbr
diferencia
entre el valor esperado y el equivalent
de dinero que el
2
L es el
e (40 Bs F averso, 60 Bs F amante)
y la
e de certidumbr
e es la
prima de riesgo del averso (50 - 40, averso, o en % (50 - 40)/40  25%)
o descuento
de riesgo del amante del riesgo
(50 - 60, averso, o en % (50 - 60)/60  -17%)
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
Matemática
mente, la prima de riesgo es la cantidad

u ( Ew  P ) 
n
de dinero P , tal que :
p nu (wn )
u (w)
u (w)
Ew  P  EC por tanto,
es el equivalent
u ( EC ) 

n
e de certidumbr
e
p nu (wn )
(w)
Un individuo
una función
cóncava
que sea averso al riesgo exhibe
de utilidad
y, por tanto,
u (wn )
está dispuesto
a pagar una prima P  0
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
Para una u ( w ) que sea doblemente
en algún w  0 , la medida
diferencia
de aversión
absoluta
y relativa
(ARR( w )) al riesgo Arrow - Pratt
(Kenneth
Arrow y John W. Pratt) vienen
AAR( w )  -
u  ( w )
u ( w )
y ARR( w )  -
ble de forma continua,
(AAR( w ))
dadas por :
u  ( w )
u ( w )
w
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
si AAR( w ) decrece con w ,
d AAR( w
, entonces
se afirma
que
dw
el individuo
exhibe una aversión
si ARR( w ) decrece con w ,
al riesgo absoluta
d ARR( w
, entonces
pero decrecient e
se afirma
que
dw
el individuo
exhibe una aversión
al riesgo relativa
pero decrecient e
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
Ejemplos
de distintas
1) u ( w )   e
 w
funciones
aversión
al riesgo absoluta
2) u ( w )  log( w ) aversión
3) u ( w )  w   w aversión
2
con   0
:
constante
al riesgo absoluta
al riesgo absoluta
(AARC)
decrecient e (AARD)
creciente
(AARC)
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Fin clase de hoy…
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