MATERIA:
“INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2”
EQUIPO :
“ 4”
UNIDAD 5
TEORÍA DE LA CONVENIENCIA
CATEDRATICO:
ZINATH JAVIER JERONIMO
INTEGRANTES:
Yesenia Contreras Magaña
Widman Antonio Hernández Ovando
Román Hernández Estrada
Lucio Hernández Lázaro
Josué Efraín Aguilar Guzmán
Christian Méndez Ramírez
Cesar Nahúm López León
A Continuación mostraremos como se puede
aplicar el concepto de función de
conveniencia de Von Neumann y
Morgenstern como auxiliar en la toma de
decisiones bajo incertidumbre.
Se tiene un caso en el que una persona recibirá ri con
probabilidad pi.
A esto se le llama Lotería (p1, r1, p2, r2,…., pn, rn).Con
frecuencia se representa una lotería mediante un árbol en el
que cada una de las ramas es la probabilidad de que suceda
el resultado. Así la lotería (¼,500 dólares; ¾, 0 dólares) se
puede representar mediante.
Supongamos que se nos pide escoger entre dos loterías L₁L₂.
Con seguridad la lotería L₁ produce 10 000 dólares
L₁
1
10 000 dólares
La lotería L₂ consiste en lanzar una moneda al aire y ver
cual lado queda hacia arriba. Si la cara queda hacia arriba
recibiremos 30 000 dólares, pero si es la cruz la que queda
hacia arriba , recibiremos 0 dólares:
1
2
L₂
1
2
30 000 dólares
0 dólares
L₁ da una recompensa esperada de 10 000 dólares y L₂ da una
recompensa esperada de (½) (30 000) + (½) ( 0 ) = 15 000 dólares.
Aunque L₂ tiene un valor esperado mayor que L₁ la mayor parte de
las personas preferirían a L₁ en lugar de L₂ porque L₁ ofrece la
certeza de una paga grande, mientras que L₂ tiene una probabilidad
apreciable (½) de ganar una recompensa de 0 dólares.
En resumen, la mayor parte de las personas preferirán a L₁ en lugar
de L₂ porque L₁ representa menos riesgos (o incertidumbre ) que
L₂.
Nuestra meta es determinar un método que pueda usar una persona
para escoger entre loterías. Supongamos que esa persona opta por
juzgar en L₁ o en L₂, pero no en ambas. Anotamos p L₂ si la
persona prefiere a anotamos si le da lo mismo seleccionar a o L₂.
L₁iL₂ decimos que y L₂ son loterías equivalentes. Finalmente,
escribimos L₂ p L₁ si quien toma decisiones prefiere a L₂.
Supongamos que pedimos a alguien que tome decisiones
que categorice las loterías siguientes:
.50
L₂
.50
.02
L3
0 dólares L4
.98
30 000 dólares
0 dólares
-10 000 dólares
500 dólares
El método Von Neumman-Morgenstern para clasificar estas
loterías es como sigue. Se comienza por identificar los resultados
mas favorables ( 30 000 dólares) y los métodos favorables ( -10
000 dólares) que se puedan dar. Para todos los demás resultados
(r₁ = 10 000 dólares r₂ = 500 dólares y r₁ = 0 dólares), se le
pide a quien toma la decisión que calcule una probabilidad Pi tal
que se le dé lo mismoy cualquiera de las dos loterías:
P₁
1
r₁
1 — P₂
30 000 dólares
0 dólares
Supongamos que para que r₁ = 10 000 dólares, a quien toma
decisiones le da lo mismo cualquiera de lo siguiente:
.90
1
10 000 dólares y
.10
30 000 dólares
-0 dólares
Y para r₂ = 500 dólares. Le da igual cualquiera de las dos
siguientes:
.62
1
500 dólares
y
.38
30 000 dólares
-10 000 dólares
Y para r₁ Le da igual cualquiera de las dos siguientes:
1
.60
0 dólares
y
.40
30 000 dólares
-10 000 dólares
Con ( 1 ) a ( 3 ). Quien toma decisiones puede formar loterías
cada L₁ , L₂, L3, L4 tal que L4i L cada solo representa el
resultado mejor ( 30 000 dólares) y el peor ( 10 000 dólares)
posible. Así de acuerdo con ( 1), vemos que L₁iL donde:
.90
L
”
1
30 000 dólares
.10
-10 000 dólares
De (3) vemos que L₂i
.50
L
”
2
donde:
30 000 dólares
.60
.50
.40
30 000 dólares
-10 000 dólares
L2 es una lotería compuesta en la que recibimos 30 000 dólares
con una probabilidad de .50 y en la que jugamos con
probabilidad .50, una lotería que tiene una probabilidad de .60 de
obtener 30 000 dólares y una probabilidad de .40 de obtener -10
000 dólares.
De manera mas formal, una lotería L es LOTERÍA
COMPUESTA si para alguna i hay probabilidad Pi de que la
recompensa que recibe quien toma decisiones es jugar lotería L
.A continuación presentamos un ejemplo de una lotería
compuesta:
.60
-6 dólares
.50
.40
L
.50
-4 dólares
-4 dólares
(L’)
Así con la probabilidad .50 L da una recompensa de -4 dólares,
y con probabilidad .50 nos hace jugar a L´. Si una lotería no es
compuesta, se llama LOTERIA SIMPLE . Regresando a la
descripción de L2, observamos que es una lotería que produce
una probabilidad de .50 .50(.60) = .80 de dar 30 000 dólares y
una probabilidad de .40(.50) = .20 de dar -10 000. Así L₂i L2”
Li2 donde:
.80
30 000 dólares
L
´
2
.20
-10 000 dólares
Igualmente, con (3) encontramos que L3i L3 donde:
L
.60
30 000 dólares
.40
-10 000 dólares
´
3
Con (2)vemos que ´ quien toma las decisiones es indiferente al
optar entre L4 y L 4 donde:
.02
L
”
4
-10 000 dólares
.62
.98
.38
30 000 dólares
-10 000 dólares
Fa realidad L4 produce una probabilidad de .98(.62) = .6076 de
obtener 30 000 dólares y una de .02 .38(.98) = .3924 de obtener
-10 000 dólares. Por lo tanto L4i L4¨ i L4 donde:
L
.6076
30 000 dólares
.3924
-10 000 dólares
´
4
´
Lii
Como Li¨
podemos clasificar a L₁, L₂, L3 y L4 si
categorizamos a L₁, L₂, L3 y L4
Estos autores demostraron que si las preferencias
de una persona satisfacen los siguientes axiomas,
entonces dicha persona puede escoger entre,
loterías mediante el criterio de conveniencia
esperada.
Para dos recompensas cualesquiera r1 y r2
debe ser cierta una de las afirmaciones
siguientes: quien toma decisiones (l) prefiere
r1 a r2 (2) prefiere r2 a r1 o (3) le da lo mismo
escoger entre r1 y r2 . También, si la persona
prefiere r1 a r2 y prefiere r2 a r3 entonces
debe preferir r1 a r3 (transitividad de
preferencias).
Si quien loma decisiones prefiere r1 a r2, y
prefiere r2 a r3 entonces L1 i L2 para una C (c)
< c < l), donde
C
L1 1
r2
L
r1
2
1–C
r3
Suponga que a quien toma la decisión le da
lo mismo las recompensas r1 y r2. Sea r3
cualquier otra recompensa.
Entonces, para toda c(0 < c < 1), L1i, L2,
donde;
Suponga que quien toma decisiones prefiere
la recompensa r1 y en comparación con r2. si
dos loterías solo tienen a r1 y r2 como
resultados posibles, quien toma decisiones
preferiría la que tenga mayor probabilidad de
obtener r1.
Suponga que cuando se toman en cuenta
todos los resultados posibles, una lotería
compuesta L da una probabilidad pi (para i = 1,
2,…,n) de recibir una recompensa ri. Entonces
L´iL donde L´ es la lotería simple
WAYNE L. WISTON, INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES, PRÁCTICAS Y ALGORITMOS
GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICANA
PAGINAS: 721 - 728
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unidad 5 teoría de la conveniencia