Introducción a la Estadística
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Complementos para algunos temas
Funciones de distribución de probabilidad para variables aleatorias discretas con
distribución Binomial, Geométrica y Poisson
1.
La distribución Bernoulli expresa el número de éxitos en un ensayo. x ~ B(1,p)
2.
La distribución Binomial representa el número de éxitos en n ensayos. x ~ B(n,p)
P( x  k ) 
3.
 x e 
x!
x  k  0,1,2,...,n
Además probabilidades en Tabla
La distribución Geométrica, expresa el instante en el que aparece el primer éxito. x ~ G(p)
P( x  k )  p  (1  p) k 1 donde k  1,2,...
4.
La distribución de Poisson, para el estudio de los llamados “sucesos raros”, expresa el número de dichos
sucesos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o espacio. x ~ P(λ)
 n
P( x  k )    p k (1  p) nk
k
k  0,1,2,...,n
Además probabilidades en Tabla
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Complementos para algunos temas
Variables aleatorias : Cálculo de Esperanza y Varianza
Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Recordar: Para una variable aleatoria discreta x calculamos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la
Desviación típica de la siguiente forma:
Esperanza (E[x]=mx)
Varianza V[x] =Var(x)
k
m  m x  x1 p1  x 2 p 2    x k p k   xi p i
i 1
donde pi  P( x  xi )
Desviación típica
k
 x2  Var( x)   ( x i m x ) 2 pi  x  DT ( x) 
i 1
k
 ( x i m x ) 2 p i
i 1
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la
Desviación típica, pero antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p,
donde la Media es el momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene
el momento de orden 2, es decir p=2, V[x] =E[x2] - (E[x])2
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Variables aleatorias : Cálculo de Esperanza y Varianza
Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la Desviación típica, pero
antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p, donde la Media es el
momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene el momento de orden 2, es decir p=2, V[x]
=E[x2] - (E[x])2
1) Función de Distribución de una v.a. continua
Una variable aleatoria continua x, que toma valores en un intervalo real, tiene una función de
distribución de la forma:
F ( x)  P(x  x)
Propiedades:
 F ()  0
 F ( )  1
 Si x  y, entoncesF ( x)  F ( y )
 F ( x) es una funcióncontinua
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Variables aleatorias : Cálculo de Esperanza y Varianza
Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la Desviación típica, pero
antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p, donde la Media es el
momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene el momento de orden 2, es decir p=2, V[x]
=E[x2] - (E[x])2
2) Función de Densidad de una v.a. continua
Una variable aleatoria continua x, tiene una función de densidad de la forma:
f ( x) 
Propiedades:
 f ( x)  0 para todo x

  f ( x)dx  1

x
 F ( x)  P( x  x)   f ( x)dx

b
 P(a  x  b)   f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
dF ( x)
dx
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Variables aleatorias : Cálculo de Esperanza y Varianza
Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la Desviación típica, pero
antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p, donde la Media es el
momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene el momento de orden 2, es decir p=2, V[x]
=E[x2] - (E[x])2
Relacionando la Función de Distribución y de Densidad de una v.a. continua
a) Veremos algunas funciones de distribución de probabilidad y la función de densidad asociadas a ésta.
Funciones
de
Distribución
0
 2
x
1) F ( x)  
 4
1

si x  0
para 0  x  2
para x  2
si x  0
0
2) F ( x )  
1  e  x para 0  x  
dF ( x) d  x 2  2 x x
1) f ( x) 



dx
dx  4  4 2
x
para 0  x  2

f ( x)   2
0
si no
dF ( x) d

(1  e  x )  e  x
dx
dx
e  x para 0  x  
f ( x)  
0
si no
2) f ( x) 
Funciones
de
Densidad
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Variables aleatorias : Cálculo de Esperanza y Varianza
Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la Desviación típica, pero
antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p, donde la Media es el
momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene el momento de orden 2, es decir p=2, V[x]
=E[x2] - (E[x])2
Relacionando la Función de Distribución y de Densidad de una v.a. continua
a) Veremos algunas funciones de distribución de probabilidad y la función de densidad asociadas a ésta.
0
x

F ( x)  
2

1
si x  1
para  1  x  2
para x  2
Funciones
de
Distribución
ésta no puede ser una función de
distribución para una variable
continua x, porque:
Es negativa en el rango -1<x<0
0
 2
x
1) F ( x)  
 4
1

si x  0
para 0  x  2
para x  2
si x  0
0
2) F ( x )  
1  e  x para 0  x  
Recordar: los valores de una
función
de
distribución
de
probabilidades de una v.a. son
positivos, van entre 0 y 1.
dF ( x) d  x 2  2 x x



dx
dx  4  4 2
x
para 0  x  2

f ( x)   2
0
si no
1) f ( x) 
dF ( x) d

(1  e  x )  e  x
dx
dx
e  x para 0  x  
f ( x)  
0
si no
2) f ( x) 
Funciones
de
Densidad
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Variables aleatorias : Cálculo de Esperanza y Varianza
Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la Desviación típica, pero
antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p, donde la Media es el
momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene el momento de orden 2, es decir p=2, V[x]
=E[x2] - (E[x])2
Relacionando la Función de Distribución y de Densidad de una v.a. continua
b) Ejemplo: una variable aleatoria x tiene la función de densidad siguiente

cx 2 (1  x)
f ( x)  

0
i) ¿Cuánto vale c?
1
1
0
0
4 1
si 0  x  1
si no
1


1


1   f ( x)dx   cx (1  x)dx   c x  x dx  c  x 2  x 3 dx
2
2
3
0
 x3 x
(4  3) c
1 1
1  c 

  c    c
4 
3 4
12
12

 3
0
c
1
 c  12
12
0
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Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la Desviación típica, pero
antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p, donde la Media es el
momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene el momento de orden 2, es decir p=2, V[x]
=E[x2] - (E[x])2
Relacionando la Función de Distribución y de Densidad de una v.a. continua
b) Ejemplo: una variable aleatoria x tiene la función de densidad siguiente

cx 2 (1  x)
f ( x)  

0
si 0  x  1
si no
C=12
ii) Dibuje y describa la función de densidad
Valores que
toma f(x) para
distintos valores
de x
x
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
x2
0,01
0,04
0,09
0,16
0,25
0,36
0,49
0,64
0,81
(1-x)
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
f(x)
0,11
0,38
0,76
1,15
1,50
1,73
1,76
1,54
0,97
f(x) es una función
asimétrica a la izquierda
2,0
1,5
1,0
0.5
0.0
0.0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
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Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la Desviación típica, pero
antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p, donde la Media es el
momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene el momento de orden 2, es decir p=2, V[x]
=E[x2] - (E[x])2
Relacionando la Función de Distribución y de Densidad de una v.a. continua
b) Ejemplo: una variable aleatoria x tiene la función de densidad siguiente

cx 2 (1  x)
f ( x)  

0
si 0  x  1
si no
C=12
iii) Encuentre la función de distribución
Sea 0<x<1
x
x
0
0
x


F ( x)  P( x  x)   f ( x )dx   12x (1  x )dx  12 x 2  x 3 dx
x
2
x3 x4 
 x3 x4 


 12 

12




3
4
3
4
 0



si x  0
0

3
x 4 
  x
F ( x)  12

si 0  x  1

4 
  3
1
si x  1

0
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Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la Desviación típica, pero
antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p, donde la Media es el
momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene el momento de orden 2, es decir p=2, V[x]
=E[x2] - (E[x])2
Relacionando la Función de Distribución y de Densidad de una v.a. continua
b) Ejemplo: una variable aleatoria x tiene la función de densidad siguiente

cx 2 (1  x)
f ( x)  

0
si 0  x  1
si no
C=12
iv) ¿Cuál es la probabilidad que x sea menor igual que 0,5?
v) ¿Cuál es la probabilidad que x este entre 0,2 y 0,5?
Respuestas:
 0,5 3 0,5 4 

  0,3125
F
(
0
,
5
)

P
(
x

0
,
5
)

12

iv)
 3

4


Función de distribución
si x  0
0

3
x 4 
  x
F ( x)  12

si 0  x  1

4 
  3
1
si x  1

3
4 
 0,5 3 0,5 4 

  12 0,2  0,2   0,3125 0,0272  0,2853

 3
 3
4 
4 


v) P(0,2  x  0,5)  F (0,5)  F (0,2)  12
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Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la Desviación típica, pero
antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p, donde la Media es el
momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene el momento de orden 2, es decir p=2, V[x]
=E[x2] - (E[x])2
Momentos de una variable aleatoria continua
En el caso de la variable aleatoria continua, la función de densidad se integra en lugar de sumar.
Si x es una variable aleatoria continua con función de densidad f(x), entonces la media x ( o esperanza
de x) es: E[x]  f ( x)  x dx

La varianza de x es:
V [x]   f ( x)  ( x  E[ x])2 dx
La desviación típica de x es:
DT[x]  V [x]
Utilizaremos los símbolos μ =E[x], σ =DT[x]
respectivamente.
y σ2 =V[x]; media, desviación típica y varianza de x,
Observación: la Varianza de x se puede expresar como
 


V [x]  E x 2  E[ x] 2   f ( x)  x 2 dx   2
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Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la Desviación típica, pero
antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p, donde la Media es el
momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene el momento de orden 2, es decir p=2, V[x]
=E[x2] - (E[x])2
Momentos de una variable aleatoria continua
Sabiendo que
E[x]   f ( x)  x dx
 


V [x]  E x 2  E[ x] 2   f ( x)  x 2 dx   2
-
A las medidas E[xp], se le llama momento de orden p de x:
-
La media es el momento de orden 1, es decir E[x].
-
En el calculo de la varianza hay que obtener el momento de orden 2, E[x2].
Ejemplo: del caso anterior donde la variable aleatoria x tiene la función de densidad

12x 2 (1  x)
f ( x)  

0
Calcular la media, varianza y desviación típica.
si 0  x  1
si no
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Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la Desviación típica, pero
antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p, donde la Media es el
momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene el momento de orden 2, es decir p=2, V[x]
=E[x2] - (E[x])2
Momentos de una variable aleatoria continua
 


Sabiendo que E[x]   f ( x)  x dx V [x]  E x 2  E[ x] 2   f ( x)  x 2 dx   2
Ejemplo: del caso anterior donde la v.a. x tiene la función de densidad
1
1
1
0
0
0
1
   f ( x)  x dx   12x 2 (1  x)  x dx   12x 3 (1  x)dx
 x
x 
 1 1
 12 ( x 3  x 4 )dx  12

 12    0,6

5 
 4 5
  4
0
0
4
1
5
1
1
1
0
0
0
E ( x 2 )   f ( x)  x 2 dx   12x 2 (1  x)  x 2 dx   12x 4 (1  x)dx
1
  x 5 x 6 
  12 1  1   0,4
 12 ( x  x )dx  12


6 
5 6
  5
0
0
1
4
5

12x 2 (1  x)
f ( x)  

0
 
si 0  x  1
si no
 2  V ( x)  E x 2   2  0,4  0,6 2  0,04
  DT[ x]   2  0,2
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Variables aleatorias : Cálculo de Esperanza y Varianza
Para variables aleatorias discretas se utiliza sumatoria y para continuas se utiliza la integral
Para una variable aleatoria continua x calcularemos la Esperanza E[x] (o la media), la Varianza V[x] y la Desviación típica, pero
antes estudiaremos lo siguiente:
1)
Función de Distribución de una variable aleatoria continua, que se escribe como F(x).
2)
Función de Densidad de una variable aleatoria continua que se escribe como f(x).
3)
Momentos de las variables aleatorias continuas, que se denota por E[xp] y se llama momento de orden p, donde la Media es el
momento de orden 1, es decir con p=1, E[x]; y en el cálculo de la Varianza interviene el momento de orden 2, es decir p=2, V[x]
=E[x2] - (E[x])2
Otras medidas
-
Mediana: para la variable continua x con función de distribución F ( x)  P(x  x) la mediana es el punto
M donde F(M)=0,5.
M
Si la función de densidad de x es f(x), la media se obtendrá resolviendo:
-
El cuartil 1 es el punto Q1 donde F(Q1)=0,25
-
El cuartil 3 es el punto Q3 donde F(Q3)=0,75
Ejemplo: si x tiene una función de densidad
F (M ) 
Mediana
M2
 0,5
4
M2
 0,5
4
M 2  0,5  4
M  2  1,414
 f ( x)dx  0,5

x
 para 0  x  2
f ( x)   2

0 si no
Cuartil 1
y función de distribución
F (Q1 ) 
Q12
 0,25
4
Q1  1
Q32
F (Q3 ) 
 0,75
4
Cuartil 2
Q3  3  1,73
y
F ( x) 
x2
4
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