¿Por qué juanito decidió aprender a sumar?
Este título está inspirado en el del libro El fracaso de la matemática moderna. Por qué Juanito no sabía sumar. M.Klein, Ed. Siglo XXI
Rafael Pérez Gómez
UNIVERSIDAD DE GRANADA
Desarrollo de la competencia matemática
Santander, 11 y 12 de febrero de 2008
Santander, 11 de febrero de 2004
PROBLEMA
Eva y Nico quieren saber cuántos animales palmípedos y
cuántos animales equinos hay en un corral. Como sólo ven el
suelo desde un agujero que hay en la pared, han contado las
patas de todas los animales que hacen un total de 20. ¿Cuántos
hay de cada clase?
ynq eig am7 kqzmsg
qué tio más peñazo
q7egr [email protected] ynq mxmfq 2m x2m7q
estoy deseando que acabe la clase
A B C CH D E F G H I J K L LL M N Ñ O P Q R S T U VW X Y
mf x r
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a
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p
o
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n
u
q
A B C CH D E F G H I J K L LL M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
Y O T
G U A
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A M B
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28
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8
36 f
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G
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A
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P
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Santander, 11 de febrero de 2008
Problema:
Si un tren sale de Madrid hacia Bilbao a
las 7:32 h. a 90 km/h, y otro tren sale de
Bilbao hacia Madrid 3 minutos antes, y a
la misma velocidad; teniendo en cuenta que
el primero hace 183 paradas de 10 minutos y
el otro no, ¿a qué hora se encontrarán?
Solución:
Déjate de problemas
¡y cómprate uno como éste!
¿En qué consiste “leer”?
Era Matusalén de 187 años cuando engendró a Lamec; vivió 782 años,
y engendró hijos e hijas. Fueron todos los días de Matusalén 969, y
murió. Era Lamec de 182 años cuando engendró un hijo, al que puso el
nombre de Noé (...). Vivió Lamec, después de engendrar a Noé, 595
años, y engendró hijos e hijas. Fueron todos los días de Lamec 777
años, y murió (...). A los 600 años de la vida de Noé, el segundo mes, el
día 17 de él, se rompieron todas las fuentes del abismo, se abrieron las
cataratas del cielo, y estuvo lloviendo sobre la tierra durante 40 días y
40 noches.
ANTIGUO TESTAMENTO
Autoría de la
anécdota:
H.S.M. Coxeter
Lamec nació a los 187 años de
Matusalén
Noé nació a los 182 años de
Lamec
La edad de Noé el día del Diluvio era de 600
años
187
+ 182
600
969
Estando yo un día en el Alcaná de Toledo, llegó un muchacho a vender unos
cartapacios y papeles viejos a un sedero; y como yo soy aficionado a leer,
aunque sean los papeles rotos de las calles, ...(I,9)
Los libros que están impresos con licencia de los reyes y con aprobación de
aquellos a quien se remitieron, y que con gusto general son leídos y celebrados
de los grandes y de los chicos, de los pobres y de los ricos, de los letrados e
ignorantes, de los plebeyos y caballeros, finalmente, de todo género de
personas de cualquier estado y condición que sean, ¿habían de ser mentira, y
más llevando tanta apariencia de verdad, pues nos cuentan el padre, la madre,
la patria, los parientes, la edad, el lugar y las hazañas, punto por punto y día por
día, que el tal caballero hizo, o caballeros hicieron? Calle vuestra merced, no
diga tal blasfemia, y créame que le aconsejo en esto lo que debe de hacer como
discreto, sino léalos, y verá el gusto que recibe de su leyenda. (I,50)
¿Qué aporta la formación matemática a la lectura?
Don Quijote
Mario Orozco Rivera, pintor y
escultor mexicano
Escultura en hierro y asbesto
200 x 122 cms.
Sancho Panza
Mario Orozco Rivera, pintor y
escultor mexicano
Escultura en hierro y asbesto
158 x 120 cms
Rectángulo de plata
Rectángulo cordobés
Don Quijote
Mario Orozco Rivera, pintor y
escultor mexicano
Escultura en hierro y asbesto
200 x 122 cms.
Sancho Panza
Mario Orozco Rivera, pintor y
escultor mexicano
Escultura en hierro y asbesto
158 x 120 cms
20470 que
18040 de
18027 y
10253 la
9767 a
8152 en
8115 el
6287 no
4714 los
4658 se
4171 con
3875 por
3442 las
3419 lo
3386 le
3340 su
2625 don
2446 del
2337 me
2259 como
2122 es
2072 yo
2040 más
1954 si
1927 un
1806 dijo
1719 al
1700 mi
1429 para
1399 porque
1356 ni
1325 una
1271 él
1235 tan
1199 o
1178 todo
1149 sin
1061 respondió
1057 así
1054 ser
1051 señor
1047 ha
1043 bien
1041 había
1038 sus
1016 pero
quijote =2154= sancho
La lectura constituye un factor fundamental para el
desarrollo de las competencias básicas. Los
centros, al organizar su práctica docente, deberán
garantizar la incorporación de un tiempo diario a la
lectura, no inferior a treinta minutos, a lo largo de
todos los cursos de la etapa.
B.O.E. núm. 283, pág. 43055, art. 6.4, R.D. 1513/2006
Medidas en época de Cervantes: Longitud
¿Piensa vuestra merced caminar este camino en balde, y dejar pasar y perder un
tan rico y tan principal casamiento como éste, donde le dan en dote un reino, que
a buena verdad que he oído decir que tiene más de veinte mil leguas de contorno,
y que es abundantísimo de todas las cosas que son necesarias para el sustento
de la vida humana, y que es mayor que Portugal y que Castilla juntos?(I, 31)
La legua era el camino recorrido por una persona
en una hora.
Un grado de meridiano tiene 20 leguas,
La legua aparece en más de 60
ocasiones en El Quijote.
1. Competencia en comunicación lingüística
El lenguaje de las Matemáticas aúna la precisión y el rigor
¿Cómo llamamos a los términos de una fracción?
Fases de actuación en clase: la explicitación
El lenguaje de las Matemáticas utiliza códigos con significado universal
¿Qué dice Julio Verne en su Viaje de la Tierra a la Luna
que hay que introducir en la nave espacial?
La persona más
pequeña del mundo
es Gul Mohammed,
de la India. El 19 de
julio de 1990 fue
examinado en el
Ram Manohar
Hospital de Nueva
Delhi, la India, y
entonces medía 57
cm (22,5 pulgadas).
NOTICIA DE PRENSA ESCRITA
Es curioso que el pie más grande de la historia tenga las
mismas dimensiones (aproximadamente) que la persona
más pequeña de la historia. Ambos obtuvieron los records
en la década de los 90, hubiera
sido interesante y
divertido ver a Gul dentro del zapato de
Matthew...
El ciudadano de
Pensilvania, EEUU,
Matthew McGrory
es la persona con el
pié más grande del
mundo. Utiliza un 63
como número de
zapato.
Tenemos un número de calzado de 63:
63x2/3=126/3=42 cm.
Con un número de calzado de 89:
89 x 2/3= 178/3= 59.33333333333... cm.
Con un número de calzado de 41:
41 x 2/3= 82/3= 27.33333333333... cm.
A la manifestación de ayer acudieron tropecientas mil personas.
¡Todo un éxito!
Según nuestras fuentes, la manifestación de ayer fue un fracaso.
Acudieron poco más de tropecientas personas. ¡Deben tomar nota!
3. Competencia en el tratamiento de la información
Esta competencia consiste en disponer de habilidades para buscar,
obtener, procesar y comunicar información, y para
transformarla en conocimiento.
Disponer de información no produce de forma automática
conocimiento. Transformar la información en conocimiento exige de
destrezas de razonamiento para organizarla, relacionarla, analizarla,
sintetizarla y hacer inferencias y deducciones de distinto nivel de
complejidad; …
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
+
9
0
0
20
25
20 + 3  25 = 95
95  100
5
¿Qué significados tiene un número y una letra juntos?
Por ejemplo, ¿qué puede significar 7m?
•Si se lee siete metros, la letra es la inicial de una palabra; actúa como abreviatura
dentro de un código internacionalmente aceptado. No tiene valor numérico.
•Si se lee siete eme, la letra puede formar parte de una fórmula en la que debamos
multiplicar el número 7 por el valor que se dé a m. Se trata de un número
generalizado.
•Si se lee siete eme y simboliza un número desconocido, aunque con un valor concreto
que se puede hallar, se trata de una incógnita.
• Si se lee setenta y eme, la letra representa un conjunto de números no especificados
(los comprendidos entre 70 y 80); la letra es una variable.
¿Cómo interpretas el código escrito así: 27?
¿Cómo interpretas el código escrito así: 2x?
La figura muestra un rectángulo de base desconocida, x, y altura 2 unidades.
¿Cuál es su área?, ¿y su perímetro?
2
x
¿Cómo interpretas los códigos escritos así: 2xy, 7up y 33cl?
Fórmulas
Observa detenidamente un recibo de la luz que corresponda al consumo
de tu vivienda durante dos meses cualesquiera.
Calcula tú el importe total pagado.
¿Será de utilidad una fórmula para calcular el
número de partidos que han de jugarse en
cualquier Liga?
El signo igual
Sustituye el número que falta y calcula el valor resultante
9-3(12-10)+
x2-7=
¿Qué número falta para que la expresión sea verdadera?
3/?=300/500
¿Para qué números es cierta la expresión siguiente?
3
+2
=(3+2)
=5
?
¿Para qué números son ciertas las expresiones siguientes?
3
+2
=5
3
+2
=10
3
+2
=5
¿Tiene las frases siguientes la misma estructura sintáctica?
“María es electricista”
“Nueve es ocho más uno”
“La recta r es perpendicular a la s”
“El cuadrado de la suma de dos números es la suma de sus cuadrados más el doble de
su producto”
Sustituye en este código de comunicación la palabra es por el signo = donde
proceda.
Inventa un código que permita escribir las frases anteriores para que cualquier
persona del planeta Tierra pueda entenderlas.
En general, en el lenguaje cotidiano y literario, el término igual se
emplea con un sentido amplio:
•Todas las personas son iguales.
•En Andalucía, casi todos los cortijos son iguales.
•Libertad, igualdad y fraternidad.
•Me da igual.
•El profesorado de Matemáticas gana igual que los directivos de Telefónica.
En otros contextos, este significado es más preciso:
1º El signo igual en Aritmética.
2º El signo igual en Geometría.
3º El signo igual en programación de ordenadores.
4º El signo igual en Álgebra.
4º El signo igual en Álgebra.
•Reversibilidad.
•Propiedad conmutativa
•Propiedad distributiva y “sacar” factor común.
•Transitividad.
a2+b2+2ab=(a+b)2 y (a+b)2=(a+b)(a+b) luego a2+b2+2ab=(a+b)(a+b).
•Equilibrio.
•Una ecuación es una igualdad algebraica cierta para algún, o algunos, valores
numéricos de las letras que intervienen.
•A las letras les llamamos incógnitas.
•Una ecuación puede tener, además de incógnitas, otras letras llamadas parámetros.
•La expresión algebraica que figura a la izquierda del signo = es el primer miembro de
la igualdad.
•La expresión algebraica que figura a la derecha del signo = es el segundo miembro
de la igualdad
•Los valores que toman las incógnitas para que la igualdad se cumpla son las
soluciones de la ecuación.
3. Competencia en el tratamiento de la información
Esta competencia consiste en disponer de habilidades para buscar,
obtener, procesar y comunicar información, y para
transformarla en conocimiento.
Requiere del dominio de
lenguajes específicos
básicos (textual, numérico, icónico, visual gráfico y sonoro) y de
sus pautas
de codificación y transferencia, así como aplicar
en distintas situaciones y contextos el conocimiento
de los diferentes tipos de información, sus fuentes, sus posibilidades
y localización, así como los lenguajes y soportes más
frecuentes en los que ésta suele expresarse.
Halita (sal)
Pirita
Espinela
“Las Matemáticas parecen poseer el asombroso poder de
explicar cómo funcionan las cosas, por qué son como son
y qué nos revelaría el Universo si fuésemos capaces de
escuchar”.
(Cole, El universo y la taza de té. Las matemáticas de la
verdad y la belleza, Ediciones B, 1999).
Desde las Matemáticas se explican, representan y predicen
hechos.
Con 3 metros de hilo de oro se desea remarcar el borde de un
cuadro. ¿Cuáles serían sus dimensiones máximas?
Rafael Pérez Gómez et al., Construir las Matemáticas, vols. 1º y 3º E.S.O., Proyecto Sur, 1997.
De ente los cuadriláteros con igual perímetro, determinar el de mayor
superficie.
Polya, Cómo plantear y resolver problemas, Trillas, 1981.
Enunciado 1 (do Carmo, Geometría diferencial de curvas y
superficies, Alianza Universidad Textos, 1976, Madrid): De todas
las curvas cerradas simples en el plano con longitud dada l, ¿cuál
es la que encierra un área máxima?
Enunciado 2 (Roshdi Rashed et al., Histoire des sciences arabes,
vol 2, Seuil, 1997): Se trata de demostrar que entre los dominios
planos, con un perímetro dado, la circunferencia encierra un área
mayor; de todos los sólidos del espacio que presentan igual área
lateral, la esfera encierra el volumen mayor.
2. Competencia en el conocimiento e interacción con
el mundo físico
… En definitiva, incorpora habilidades para
desenvolverse adecuadamente, con autonomía e
iniciativa personal en ámbitos de la vida y del
conocimiento muy diversos (salud, actividad
productiva, consumo, ciencia, procesos
tecnológicos, etc.).
La reina Dido
Leyenda sobre la reina Dido, fundadora legendaria de la ciudad de
Cartago, que el poeta romano Virgilio (70-19 a.C.) narra en la Eneida,
epopeya mitológica que está reconocida como obra maestra de la
literatura latina.
Dido, en la mitología griega, era una princesa fenicia hija de Belo, rey de
Tiro, ciudad del sur del Líbano, junto al Mediterráneo, la ciudad más
importante de aquellos fenicios que obsequiaron a la Humanidad
regalándole un alfabeto. Su hermano Pigmalión asesinó al marido de Dido
para quitarle todas sus posesiones y convertirse en rey. Ésta huye por mar
hasta llegar a las costas de África. Era el año 900 a.C., aproximadamente.
El problema de la reina Dido
Quiso comprar unas tierras al cacique local, llamado Jarbas de Numidia,
donde pudiesen vivir ella y sus gentes. El trato fue difícil, no tanto porque
Dido regatease demasiado sino porque Jarbas no estaba dispuesto a que
se estableciera una colonia en su territorio, y se cerró con la condición de
que no le vendería más tierra que la que pudiera delimitarse con la piel de
un buey. Dido supo sacar el mayor provecho de lo acordado ya que hizo
cortar la piel en finas tiras, las cosió una a continuación de otra y,
aprovechando la costa, determinó una semicircunferencia.
Solución
Suponiendo que la piel fuese equivalente a la superficie lateral de un cilindro de 2
m de altura y 0.5 m de radio y que se cortasen tiras de 2 mm, la
semicircunferencia que pudo construir Dido pudo ocupar algo más de 1 millón de
metros cuadrados o, equivalentemente, más de 150 hectáreas de terreno.
Eso es lo que la Historia dice que fue la fundación de la ciudad de Cartago que,
en la actualidad es un suburbio residencial de Túnez.
Mas no debemos ver un hecho aislado el uso que Dido hizo de esta propiedad de
la circunferencia ya que Proclo (ca. 450) describe situaciones análogas en sus
comentarios al primer libro de Euclides ya que indica que era frecuente encontrar
embaucadores que basaban un trato sobre compra de tierras en la comparación
de la extensión de terrenos con el tiempo de duración de su circunvalación,
siendo conscientes de que había figuras que teniendo un perímetro menor podían
tener mayor superficie.
Por último, cabe decir que el urbanismo medieval fue quien mejor imitó a la reina
Dido, ya que no hay más que observar la forma de las murallas que rodean a
ciudades como, por ejemplo, Sevilla que se construyeron en la ribera de un río.
Primero: Definición del concepto de valor.
Las
Leyes,
Platón de las artes.
Segundo:
La importancia
Tercero: Estudio e historia de las constituciones.
Proyecto
teórico acerca del concepto de sociedad
Cuarto: Descripción de los rasgos más sobresalientes de la
humana
ideal
y las formas de convivencia
ciudad ideal
de Magnesia.
posibles
enrasgos
la polis.
Quinto: Los
del alma y su expresión en las leyes.
Sexto: Aspectos organizativos como la justicia, las leyes
religiosas y sociales, etc.
Séptimo: Desarrolla la teoría platónica acerca de la educación
como principal garantía de equilibrio en la vida en sociedad.
Octavo: Características de las costumbres y actividades
humanas.
Noveno: A la Justicia
Décimo: Clasifica todas las formas de impiedad y su castigo.
Undécimo: Clases de contratos, relaciones familiares, y leyes
diversas.
Duodécimo: Clasifica las leyes penales, tipos de juramentos,
condiciones puestas a los viajes al extranjero, ceremonias
funerarias y características del órgano supremo de vigilancia
(Consejo Nocturno).
Magnesia ocupará una posición central
con respecto al resto del territorio.
Posee puertos y está equipada con todo
tipo de infraestructuras.
Magnesia debe tener como principal
objetivo aspirar a la virtud y escoger la
cuerda de la razón, de oro y sagrada,
llamada ley general de la ciudad.
Esta elección consciente, que
guía la vida de su habitantes,
se produce gracias a la
educación recibida desde la
infancia.
El método constructivo.
1.El principio es la mitad de la obra (pensamiento heredado de
Hesíodo). Solamente aquellas ciudades que han sido proyectadas con
orden evolucionan adecuadamente.
2.El factor determinante del proyecto es la justa medida: (...) Hay
efectivamente, un antiguo adagio que dice con toda verdad que la
igualdad facilita la amistad; ... ha sido formulado con mucha exactitud
y sentido de la armonía (reparto equitativo y reparto por sorteo). El
número elegido como cifra ideal para Magnesia es 5040 pobladores,
resultado de la progresión armónica de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, y
7 (1, 2, 6, 24, 120, 720, y 5040). Una de las expresiones geométricas
de esta progresión son 7 circunferencias concéntricas y radios los
términos de la misma.
Hay que dividir el territorio en 5040 lotes iguales de terrenos en la
propia ciudad y en la periferia. Cada lote contará con un solar urbano,
un terreno próximo a la ciudad y otro en su frontera exterior.
3.La ciudad tendrá un nombre relacionado con la existencia de algún
elemento natural.
4.La forma de la ciudad estará relacionada con la circularidad del
alma y del universo.
5.Se proyectará sin muralla. La cualidad moral de los habitantes de
Magnesia hace que no resulte imprescindible construir murallas.
6.Colocación de la acrópolis.
7.Determinación de la vigilancia y los servicios.
Leonardo da Vinci
Durante el s. XV se alcanzó por vez primera la noción
patrimonial de la ciudad como un organismo destinado a
permanecer en el tiempo. Se construye, por primera vez, una
imagen proyectada de las características funcionales de la
ciudad.
El primer elemento de estudio para la Leonardo era la red de
aguas, el aprovisionamiento y su distribución. Pero también
se ocupa de la inserción de la ciudad en un marco territorial
y físico mediante su límite circular, sin murallas, y la
planificación de una red de caminos.
El sistema de trabajo era sobre un plano-relieve. Imagina el
territorio desde el infinito.
Planta de la ciudad de Imola (1502)
San Cristóbal de La Laguna
1. El perímetro de los solares urbanos está definido por
los cursos de agua que habrán de garantizar el reparto
equilibrado del suministro.
2. El perímetro exterior de los terrenos comunales, a
partir de la distribución de las salidas de la ciudad y su
conexión con una red de caminos planificada a través de
trayectorias radiales.
La forma física que adquiera deriva de la planificación de
las actividades económicas.
San Cristóbal de La Laguna
5. Competencia cultural y artística
Corolario:
Juanito descubre que las Matemáticas están
unidas de forma indisoluble a la Belleza
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