Pruebas Ji Cuadrado
©1998 Pedro Juan Rodríguez Esquerdo
Departamento de Matemáticas
Recinto de Río Piedras
Universidad de Puerto Rico
Pruebas de bondad de ajuste
Seleccionamos cuatro zonas distintas de igual tamaño en un
bosque para determinar si artrópodos habitan esas áreas con
igual densidad.
Número de
artrópodos
A
Area
B
C
D
18
21
20
33
Si habitan con igual densidad, ya que las áreas son de igual
tamaño, esperaríamos observar la misma cantidad de
artrópodos en cada zona.
La idea de este problema es original de Gladynette Rosario y Yamilka Serrano( M3026 V 98)
Pruebas de bondad de ajuste
Hipótesis nula: la proporción de artrópodos es igual en las
cuatro zonas, es decir,
H0 : pA = pB = pC = pD
Hipótesis alterna: la proporción de artrópodos no es igual en
las cuatro zonas.
Pruebas de bondad de ajuste
En total observamos 92 artrópodos. Si es correcta nuestra
hipótesis, esperaríamos observar 92(1/4)=23 artrópodos
en cada zona.
Número
observado
Número
esperado
A
Area
B
C
D
18
21
33
20
23
23
23
23
Pruebas de bondad de ajuste
Para corroborar nuestra hipótesis es natural comparar el
número observado con el esperado. Por ejemplo:
D = (18 - 23) + (21 - 23) + (33 - 23) + (20 - 23)
Esta suma de diferencias ¡siempre resulta igual a cero!
Por esta razón cuadramos cada diferencia y la
consideramos relativo al número esperado así:
2
2
2
2
(
18

23
)
(
21

23
)
(
33

23
)
(
20

23
)
2 



23
23
23
23
k
(obsi  espi ) 2

espi
i 1
Pruebas de bondad de ajuste
2
(
obs

esp
)
2
i
i
Si la hipótesis nula es cierta entonces   
espi
i 1
k
tiene una distribución 2 con k-1 grados de libertad.
(son k-1 grados de libertad, porque si sabemos k-1 de las
pi, también sabemos la k-ésima, pues su suma es 1).
Finalmente, para hacer la prueba comparamos el valor
computado de 2 con el valor 2 k-1,  obtenido de la tabla
de la distribución Ji Cuadrado con k-1 grados de libertad.
Rechazamos la hipótesis nula al nivel de significancia
(100)% si observamos que 2 > 2 k-1, 
Pruebas de bondad de ajuste
En nuestro problema seleccionamos  = .05, tenemos
que k = 4, así:
2
2
2
2
(
18

23
)
(
21

23
)
(
33

23
)
(
20

23
)
2 



23
23
23
23
25 4 100 9 138
  
 
 5.57
23 23 23 23 23
2 k-1,  = 2 3, .05 = 7.815
Como 5.57 es menor que 7.815, no rechazamos la
hipótesis nula de que la densidad de artrópodos en
las cuatro zonas es la misma.
En general
Podemos considerar hipótesis nulas más generales:
Hipótesis nula: la proporción en cada categoría sigue una
distribución particular: Cada categoría contiene una
proporción pi0 de elementos.
H0 : pi = pi0 i = 1, 2, ...., k
Si tenemos n observaciones en total, y si la hipótesis nula
es cierta esperaríamos tener nxpi0 observaciones en la
categoría i.
Usamos la misma estadística prueba y procedimiento para
esta hipótesis:
k
(obs  esp ) 2
2  
i 1
i
espi
i
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