Resultado de aprendizaje.
1.1 Agrupa y grafica conjuntos de datos cualitativos y cuantitativos con
base en la distribución de frecuencias.
Contenido
A) Descripción e interpretación de la estadística. descriptiva
 Naturaleza de la estadística.
 Distribución de frecuencias con datos no agrupados.
 Distribución de frecuencias con datos agrupados.
 Ejemplos
B) Construcción e interpretación de graficas.
 Gráfica de circular.
 Diagrama de Barras.
 Histograma.
 Polígono de frecuencias.
 Ojivas.
 Gráfica de tallo y hojas.
C) Ejercicios
 Ejercicios para datos No agrupados
 Ejercicios para datos Agrupados
 Soluciones
D) Autoevaluación
Naturaleza de la estadística
• La estadística descriptiva
La estadística se divide
dos grandes áreas
• La estadística inferencial
Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la
estadística aplicada.
La estadística se divide en dos grandes áreas:
 La estadística descriptiva, se dedica a la descripción, visualización y
resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Los
datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente.
Etapas de la investigación estadística
 Selección y determinación de la población o muestra y las características
contenidas que se desean estudiar. En el caso de que se desee tomar una
muestra, es necesario determinar el tamaño de la misma y el tipo de muestreo a
realizar (probabilístico o no probabilístico).
 Obtención de los datos. Esta puede ser realizada mediante la observación
directa de los elementos, la aplicación de encuestas y entrevistas, y la
realización de experimentos.
 Clasificación, tabulación y organización de los datos. La clasificación incluye el
tratamiento de los datos considerados anómalos que pueden en un momento
dado, falsear un análisis de los indicadores estadísticos. La tabulación implica
el resumen de los datos en tablas y gráficos estadísticos.
 Análisis descriptivo de los datos. El análisis se complementa con la obtención
de indicadores estadísticos como las medidas: de tendencia central, dispersión,
posición y forma.
 Análisis inferencial de los datos. Se aplican técnicas de tratamiento de datos
que involucran elementos probabilísticos que permiten inferir conclusiones de
una muestra hacia la población (opcional).
 Elaboración de conclusiones. Se construye el informe final.
Parámetros estadísticos
 Población estadística, en estadística, también llamada universo o colectivo, es el
conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan unas de las observaciones.
Población (‘population’) es el conjunto sobre el que estamos interesados en obtener
conclusiones (hacer inferencia). Normalmente es demasiado grande para poder
abarcarlo.
 El número de elementos o sujetos que componen una población estadística es igual o
mayor que el número de elementos que se obtienen de ella en una muestra (n).
Parámetros estadísticos




Muestra estadística (también llamada muestra aleatoria o simplemente muestra) es un
subconjunto de casos o individuos de una población estadística.
Las muestras se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de la población, para
lo cual deben ser representativas de la misma. Para cumplir esta característica la inclusión de sujetos
en la muestra debe seguir una técnica de muestreo. En tales casos, puede obtenerse una información
similar a la de un estudio exhaustivo con mayor rapidez y menor coste (véanse las ventajas de la
elección de una muestra, más abajo).
Por otra parte, en ocasiones, el muestreo puede ser más exacto que el estudio de toda la población
porque el manejo de un menor número de datos provoca también menos errores en su manipulación.
En cualquier caso, el conjunto de individuos de la muestra son los sujetos realmente estudiados.
El número de sujetos que componen la muestra suele ser inferior que el de la población, pero
suficiente para que la estimación de los parámetros determinados tenga un nivel de confianza
adecuado. Para que el tamaño de la muestra sea idóneo es preciso recurrir a su cálculo.
Parámetros estadísticos
 Tamaño de la muestra es el número de sujetos que componen la muestra
extraída de una población, necesarios para que los datos obtenidos sean
representativos de la población.
 Objetivos de la determinación del tamaño adecuado de una muestra
 Estimar un parámetro determinado con el nivel de confianza deseado.
 Detectar una determinada diferencia, si realmente existe, entre los grupos de
estudio con un mínimo de garantía.
 Reducir costes o aumentar la rapidez del estudio.
Parámetros estadísticos







Por ejemplo, en un estudio de investigación epidemiológico la determinación de un tamaño adecuado
de la muestra tendría como objetivo su factibilidad. Así:
Si el número de sujetos es insuficiente habría que modificar los criterios de selección, solicitar la
colaboración de otros centros o ampliar el período de reclutamiento. Los estudios con tamaños
muestrales insuficientes, no son capaces de detectar diferencias entre grupos, llegando a la conclusión
errónea de que no existe tal diferencia.
Si el número de sujetos es excesivo, el estudio se encarece desde el punto de vista económico y
humano. Además es poco ético al someter a más individuos a una intervención que puede ser menos
eficaz o incluso perjudicial.
El tamaño de una muestra es el número de individuos que contiene.
Una fórmula muy extendida que orienta sobre el cálculo del tamaño de la muestra para datos globales
es la siguiente :
N: es el tamaño de la población o universo (número total de posibles encuestados).
k: es una constante que depende del nivel de confianza que asignemos. El nivel de confianza indica la
probabilidad de que los resultados de nuestra investigación sean ciertos: un 95,5 % de confianza es lo
mismo que decir que nos podemos equivocar con una probabilidad del 4,5%. Los valores de k se
obtienen de la tabla de la distribución normal estándar N(0,1).






Parámetros estadísticos
Muestreo aleatorio
Es la extracción de una muestra de una población finita, en el que el proceso de extracción es tal que
garantiza a cada uno de los elementos de la población la misma oportunidad de ser incluidos en dicha
muestra. Esta condición garantiza la representatividad de la muestra porque si en la población un
determinado porcentaje de individuos presenta la característica A, la extracción aleatoria garantiza
matemáticamente que por término medio se obtendrá el mismo porcentaje de datos muestrales con
esa característica.
El muestreo aleatorio puede ser de dos tipos:
Sin reposición de los elementos: los elementos extraídos se descartan para la siguiente extracción.
Por ejemplo, si se extrae una muestra de bombillas para inferir su vida media, no es posible la
reposición.
Con reposición de los elementos (Muestreo Aleatorio Simple o m.a.s.): las observaciones se
realizan con reemplazamiento de los individuos, de forma que la población es idéntica en todas las
extracciones y, por tanto, cada observación es independiente de la anterior. En poblaciones muy
grandes, la probabilidad de repetir una extracción es tan pequeña que el muestreo puede considerarse
con reposición aunque, realmente, no lo sea.
Para realizar este tipo de muestreo, y en determinadas situaciones, es muy útil la extracción de
números aleatorios mediante ordenadores, calculadoras o tablas construidas al efecto.
Variable estadística
 Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que
poseen los individuos de una población.
 Se pueden agrupar principalmente en:
 Variable cualitativa
Tipos de variables
 Variable cuantitativa
Variable estadística cualitativa
 Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden
ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:










Variable cualitativa nominal
Una variable cualitativa
nominal presenta modalidades no
numéricas que no admiten un criterio de
orden.
Ejemplo:
El estado civil, con las siguientes modalidades:
soltero, casado, separado, divorciado y viudo.
Variable cualitativa ordinal o variable
cuasicuantitativa
Una variable cualitativa
ordinal presenta modalidades no númericas, en las
que existe un orden.
Ejemplos:
La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable,
sobresaliente.
Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º,
...
Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.
Variable estadística cuantitativa
 Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se
pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:


Variable discreta
Una variable discreta es aquella que
toma valores aislados, es
decir no admite valores intermedios entre dos
valores específicos.
Ejemplo:
El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.







Variable continua
Una variable continua es aquella que puede
tomar valores comprendidos entre dos números.
Ejemplos:
La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
En la práctica medimos la altura con dos decimales,
pero también se podría dar con tres decimales.
DATOS ESTADISTICOS
 Son números que pueden ser comparados, analizados e interpretados.
 El campo del cual son tomados los datos estadísticos se identifican como población o
universo.



En un estudio
estadístico los
métodos que
se aplican son:
A) RECOPILACION: De acuerdo con la localización de
la información los datos estadísticos pueden ser
internos y externos.
Los internos son los registros obtenidos dentro de la
organización que hace un estudio estadístico,
Los externos se obtienen de datos publicados y
encuestas.

B) ORGANIZACIÓN: En la organización de los datos
recopilados, el primer paso es corregir cada uno de los
elementos recopilados.

C) REPRESENTACION: Hay 3 maneras de presentar un
conjunto de datos mediante enunciados, tablas
estadísticas y gráficas estadísticas.

D) ANALISIS: Después de los datos anteriores los datos
estadísticos están listos para hacer analizados, para lo
cual frecuentemente se emplean operaciones
matemáticas durante el proceso de análisis.
Experimento estadístico
Un experimento que tiene las siguientes características es llamado
experimento aleatorio o estadístico.
 Todos los posibles resultados del
experimento son conocidos antes
de hacer una realización del
experimento.
 El resultado exacto en cualquier
ejecución del experimento no es
predecible (aleatoriedad)
 El experimento puede ser
repetido bajo (más o menos)
idénticas condiciones.
 Existe un patrón predictible a lo
largo de muchas ejecuciones
(regularidad estadística)
Ejemplos de Experimentos estadísticos












1. Algunos ejemplos de típicos experimentos aleatorios son:
Lanzar una moneda y observar la cara
Una bombilla manufacturada en una planta es expuesta a una prueba de vida y el tiempo de duración
de una bombilla es registrado.. En este caso no se conoce cual será el tiempo de duración de la
bombilla seleccionada, pero claramente se puede conocer de antemano que será un valor entre y horas
Un lote de items que contiene defectuosos es muestreado. Un item muestreado no se reemplaza, y se
registra si el item muestreado es o no defectuoso. El proceso continua hasta que todos los items
defectuosos sean encontrados.
Una manufacturera de refrigeradores inspecciona sus refrigeradores para tipos de defectos. El número
de defectos encontrado en cada refrigerador inspeccionado es registrado.
Seleccionar una planta de una parcela y observar si padece alguna enfermedad, es decir es sana o
enferma
Seleccionar una planta y medir su altura
2. Algunos ejemplos de experimentos no estadísticos son:
Seleccionar al azar un autobús de ruta de transmilenio y observar el color. Aquí no se cumple la
condición, ya que se puede predecir una ejecución del experimento, el color del autobús.
Seleccionar al azar un estudiante de un colegio masculino y observar su género. Aquí no se cumple la
condición, ya que se puede predecir una ejecución del experimento, el género del alumno
Ejercicio
Describa un experimento estadístico y otro no estadístico y explique porque lo es o no.
Ejemplos de Experimentos estadísticos

1. Algunos ejemplos de típicos experimentos aleatorios son:
1.-Lanzar un dado ALEATORIO
2. Lanzar una moneda ALEATORIO
3. Lanzar una nuez a una ardilla ALEATORIO
4. Presentar un examen ALEATORIO

2. Algunos ejemplos de experimentos no estadísticos (Determinísticos) son:
1. Tomar un taxi a la Universidad DETERMINISTICO
2. Pintarse las uñas DETERMINISTICO
3. Encender una vela DETERMINISTICO
4. Marcar el 82-10-55 DETERMINISTICO
Ejercicio
 Describa un experimento estadístico y otro no estadístico y explique porque lo es o no.
Definición de parámetro estadístico
 Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a
partir de los datos de una distribución estadística.
 Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la
información dada por una tabla o por una gráfica.
Tipos de parámetros estadísticos
 De centralización.
Hay tres tipos
parámetros
estadísticos:
 De posición
 De dispersión.
Distribución de frecuencias con datos.
La distribución de
frecuencias existe para
datos agrupados y
datos no agrupados
• Datos agrupados
• Datos no agrupados
Distribución de frecuencias con datos no agrupados.
Distribución de frecuencia para datos no Agrupados
(n<20):
Es aquella distribución que indica las frecuencias con que
aparecen los datos estadísticos, desde el menor de ellos
hasta el mayor de ese conjunto sin que se haya hecho
ninguna modificación al tamaño de las unidades
originales. En estas distribuciones cada dato mantiene su
propia identidad después que la distribución de
frecuencia se ha elaborado. En estas distribuciones los
valores de cada variable han sido solamente reagrupados,
siguiendo un orden lógico con sus respectivas
frecuencias.
Distribución de frecuencias con datos agrupados.
Distribución de frecuencia de clase o de datos
Agrupados (n>20):
Es aquella distribución en la que la disposición tabular de
los datos estadísticos se encuentran ordenados en clases y
con la frecuencia de cada clase; es decir, los datos
originales de varios valores adyacentes del conjunto se
combinan para formar un intervalo de clase.
Distribución de frecuencias para datos.
•
No existen normas establecidas para determinar cuándo es apropiado utilizar
datos agrupados o datos no agrupados; sin embargo, se sugiere que cuando el
número total de datos (N) es igual o superior 20, se utilizará la distribución de
frecuencia para datos agrupados, también se utilizará este tipo de distribución
cuando se requiera elaborar gráficos lineales como el histograma, el polígono de
frecuencia o la ojiva.
•
La razón fundamental para utilizar la distribución de frecuencia de clases es
proporcionar mejor comunicación acerca del patrón establecido en los datos y
facilitar la manipulación de los mismos. Los datos se agrupan en clases con el fin
de sintetizar, resumir, condensar o hacer que la información obtenida de una
investigación sea manejable con mayor facilidad.
•
Las medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y las Medidas de
dispersión (desviación estándar, varianza, cuartiles, percentiles, entre otros se
CALCULAN DIFERENTE cuando se trata de datos agrupados y de datos no
agrupados.
Tabla de Frecuencias
 La tabla de frecuencias ayuda a agrupar cualquier tipo de dato
numérico. En principio, en la tabla de frecuencias se detalla cada
uno de los valores diferentes en el conjunto de datos junto con el
número de veces que aparece, es decir, su Frecuencia. Se puede
complementar la frecuencia absoluta con la denominada
frecuencia relativa, que indica la frecuencia en porcentaje sobre
el total de datos. En variables cuantitativas se distinguen por otra
parte la frecuencia simple y la frecuencia acumulada.
 La tabla de frecuencias puede representar gráficamente en un
histograma(Diagrama De Barras). Normalmente en el eje vertical
se coloca las frecuencias y en el horizontal los intervalos de
valores.
 La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una
ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos,
asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.
Frecuencia absoluta
 La frecuencia absoluta es el número de veces que
aparece un determinado valor en un estudio estadístico.
 Se representa por fi.
 La suma de las frecuencias absolutas es igual al número
total de datos, que se representa por N.
 Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra
griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.
Datos sin ordenar
Frecuencia absoluta
 Ejemplo
 Durante el mes de julio, en una
ciudad se han registrado las
siguientes temperaturas máximas:
 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31,
27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29,
29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29,
29.
 En la primera columna de la tabla
colocamos la variable ordenada de
menor a mayor y en la segunda
anotamos la frecuencia absoluta.
1
2
32
31
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
28
29
33
32
31
30
31
31
27
28
29
30
32
31
31
30
30
29
29
30
30
31
30
31
34
33
33
29
29
Datos sin ordenar Dato ordenado
 Procedimiento
 Para mayor facilidad
se ordenan de mayor
a menor los datos del
problema. (color
morado)
 Una vez ordenados se
cuentan cuantos
corresponden al
mismo valor. (color
rojo).
 Se forma la tabla de
datos con su
frecuencia.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
31
28
29
33
32
31
30
31
31
27
28
29
30
32
31
31
30
30
29
29
30
30
31
30
31
34
33
33
29
29
27
28
28
29
29
29
29
29
29
30
30
30
30
30
30
30
31
31
31
31
31
31
31
31
32
32
32
33
33
33
34
1
2
Xi
6
7
8
fi
fi
27*
1
28**
2
29*****,*
6
30*****,**
7
31*****,***
8
32***
3
33***
3
34*
1
31
3
3
1
31
Frecuencia relativa
 La frecuencia relativa es el cociente entre la
frecuencia absoluta de un determinado valor y el
número total de datos.
 La frecuencia relativa se puede expresar en tantos
por ciento y se representa por ni.
 La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
Frecuencia relativa
 Ejemplo
 Durante el mes de julio, en
una ciudad se han
registrado las siguientes
temperaturas máximas:
 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30,
31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31,
31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31,
30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
 En la cuarta primera
columna de la tabla
colocamos la variable
ordenada de menor a
mayor y en la segunda
anotamos la frecuencia
absoluta.
Xi fi
fi
ni
27*
1 1/31= 0.032
28**
2 2/31= 0.065
29*****,*
6 6/31= 0.194
30*****,**
7 7/31= 0.226
31*****,***
8 8/31= 0.258
32***
3 3/31= 0.097
33***
3 3/31= 0.097
34*
1 1/31= 0.032
31 31
1.000
Frecuencia absoluta acumulada
 La frecuencia
absoluta acumulada
es el valor acumulado
del número de veces
que aparece un
determinado valor en
un estudio estadístico.
Xi
fi
∑fi
fi
27*
1
1
28**
2
3
29*****,*
6
9
30*****,**
7
16
31*****,***
8
24
32***
3
27
33***
3
30
34*
1
31
31
31
Frecuencia relativa acumulada
 La frecuencia
relativa
acumulada es
el valor
acumulado del
valor relativo
que aparece un
determinado
valor en un
estudio
estadístico.
Xi fi
27*
28**
29*****,*
30*****,**
31*****,***
32***
33***
34*
fi/N
fi
ni
∑ni
1 1/31= 0.032
2 2/31= 0.065
0.032
6 6/31= 0.194
7 7/31= 0.226
0.290
8 8/31= 0.258
3 3/31= 0.097
0.774
3 3/31= 0.097
1 1/31= 0.032
0.968
31 31
1.000
0.097
0.516
0.871
1.000
Distribución de frecuencias agrupadas
 La distribución de frecuencias
agrupadas o tabla con datos
agrupados se emplea si las
variables toman un número
grande de valores o la variable
es continua.
 Se agrupan los valores en
intervalos que tengan la misma
amplitud denominados clases. A
cada clase se le asigna su
frecuencia correspondiente.
 http://www.uv.es/webgid/Descript
iva/3_distribucin_de_frecuencias.
html
 http://estadisticavane.blogspot.mx/
Números de clase
 El número de clase es el número de grupos en los que se




van agrupar los datos en una tabla de distribución de
frecuencias, a estos se les llama también intervalos de clase
¿Cómo de hace esto? Se agrupan los valores en intervalos
que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada
clase se le asigna su frecuencia correspondiente.
Para obtener el número de clase o intervalo de clase se
ocupa la siguiente formula:
K=1+3.322(log10n)
En las reglas empíricas para la construcción de intervalos
veremos cómo se aplica esta fórmula.
Ya que tenemos claro qué es el número de clases debemos
saber la amplitud de clase par poder seguir trabajando
nuestra tabla.
Amplitud de clase
 Una vez que tenemos el número de intervalos
debemos saber cuántos números deben de ir en cada
intervalo, para eso se calcula la amplitud de clase, por
ejemplo, si tengo 100 datos y tengo 5 intervalos en cada
intervalo deben ir 20 números, claro esto no se calcula
al azar lo debemos hacer siguiendo las formulas para
cada paso:
 Amplitud de clase:  =


 Donde R es el rango y K es el número de intervalos.
Para tener un mejor manejo de estas formulas se
presentaran mas ejemplos a continuación.
Marcas de clase o punto medio
 La marca de clase es el
punto medio de cada
intervalo.
 La marca de clase es el
valor que representa a
todo el intervalo para el
cálculo de algunos
parámetros como la
media aritmética o la
desviación típica.
 Se representa por ci o xi.
xi
fi
xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1
15
225
[20, 30) 25 8
200
5000
[30,40)
35 10 350
12 250
[40, 50) 45 9
405
18 225
[50, 60) 55 8
440
24 200
[60,70)
65 4
260
16 900
[70, 80) 75 2
150
11 250
42 1 820 88 050
Límites reales o fronteras reales
 Los límites reales son valores que unen a las clases y se forman
únicamente de números enteros, estos se obtienen al restar 0.5
a los limites de la izquierda y sumar 0.5 a los limites de la
derecha; cuando las clases tengan un decimal, habrá que restar
0.05 a los limites de la izquierda y sumar 0.05 limites de la
derecha y así sucesivamente.
 A la gráfica de límites reales contra frecuencia se les llama
histograma.
Ejemplo 1 (Para datos NO Agrupados)
En una escuela se tienen los siguientes datos en donde se asientan el
número de alumnos que tienen reprobada por lo menos una materia.
Tabla 1
Al graficar en el eje horizontal de ponen los grupos y en el eje vertical la
cantidad de alumnos reprobados por grupo. Como se muestra a continuación.
Reprobados por grupo
16
15
14
14
13
13
13
13
12
Cantidad de reprobados
Grupo
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
Alumnos
reprobados
13
6
13
12
8
13
6
13
10
10
10
11
6
15
12
14
6
8
12
12
11
10
10
10
10
8
8
8
6
6
6
6
6
4
2
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
Ejemplo 1 (Para datos NO Agrupados)
Alumnos Frecue
Grupo reprobados ncia
Se procede a
ordenar de
menor a mayor
con respecto a
la columna de
Alumnos
reprobados
Como se
muestra a
continuación.
102
107
113
117
105
118
109
110
111
112
104
115
101
103
106
108
116
114
6
6
6
6
8
8
10
10
10
11
12
12
13
13
13
13
14
15
Total
Tabla 2
4
2
3
1
2
De la tabla 2 se
toman los datos de
la 2da columna
para generar las
clases.
La frecuencia es la
cantidad de veces
que se repiten el
mismo valor de la
clase.
Como se muestra a
continuación.
Cantidad N Frecue
reprobadas ncia
6
8
10
11
12
13
14
15
Total
Tabla 3
4
1
1
18
4
2
3
1
2
4
1
1
18
Ejemplo 1 (Para datos NO Agrupados)
Al graficar en el eje horizontal se ponen la “Cantidad N reprobadas” y en el eje vertical la
frecuencia correspondiente. Como se muestra a continuación.
Gráfica de frecuencias absolutas
5
4
6
8
10
11
12
13
14
15
Total
4
2
3
1
2
4
1
1
18
4
Cantidad de reprobados
Cantidad N Frecue
reprobadas ncia
3
3
2
2
1
1
Tabla 3
6
8
10
11
12
13
14
15
Ejemplo 1 (Para datos NO Agrupados)
La frecuencia acumulada se origina de la suma acumulativa de la frecuencia absoluta con la siguiente frecuencia
absoluta según corresponda. Como se muestra a continuación.
Gráfica de frecuencias acumuladas
6
8
10
11
12
13
14
15
Total
20
Frec.
Frecuencia Acumulada
(fa)
(FA)
4
2
3
1
2
4
1
1
18
Tabla 4
4
6
9
10
12
16
17
18
18
18
17
16
16
Cantidad de reprobadas
Alumnos
con N
reprobadas
14
12
12
10
10
9
8
6
6
4
4
2
1
2
3
4
5
6
7
8
Ejemplo 1 (Para datos NO Agrupados)
La frecuencia relativa se calcula al dividir la frecuencia absoluta entre el número de datos para cada
frecuencia absoluta según corresponda. En este caso n=18. Como se muestra a continuación.
4/18=0.22
... . .
Gráfica de frecuencias relativas
0.25
Frec. Frecuenci
Alumnos
a
Acumulad
con N
Relativa
Frecuencia
a
reprobadas
(fr)
(fa)
(FA)
4
2
3
1
2
4
1
1
18
4
6
9
10
12
16
17
18
0.22
0.11
0.17
0.06
0.11
0.22
0.06
0.06
0.22
0.20
Cantidad de reprobadas
6
8
10
11
12
13
14
15
Total
0.22
0.17
0.15
0.11
0.11
0.10
0.06
0.06
0.06
14
15
0.05
Tabla 5
0.00
6
8
10
11
12
13
Ejemplo 1 (Para datos NO Agrupados)
La frecuencia acumulada relativa se origina de la suma acumulativa de la frecuencia relativa con la
siguiente frecuencia relativa según corresponda. Como se muestra a continuación.
4/18=0.22
... . .
Total
1.20
1.00
1.00
0.94
0.89
0.80
Cantidad en %
Frec.
Relativa
Frec.
Alumnos
Frec.
Acumul
con N Frecuenci Acumula
Relativa ada
a
da
reprobad
(fr)
(fra)
as
(fa)
(FA)
6
4
4
0.22
0.22
8
2
6
0.11
0.33
10
3
9
0.17
0.50
11
1
10
0.06
0.56
12
2
12
0.11
0.67
13
4
16
0.22
0.89
14
1
17
0.06
0.94
15
1
18
0.06
1.00
Gráfica de frecuencias relativas Absolutas
0.67
0.56
0.60
0.50
0.40
18
0.33
0.22
0.20
Tabla 6
1
2
3
4
5
6
7
8
Ejemplo 1 (Para datos Agrupados)
De un grupo de alumnos se toma la estatura de 100
de ellos, como se muestra en la tabla a continuación.
No.
Estatura
No.
1 175 11
Estatura
No.
Estatura
No.
Estatura
No.
Estatura
No.
Estatura
No.
Estatura
No.
Estatura
No.
Estatura
No.
Estatura
165 21 177 31 163 41 178 51 171 61 172 71 162 81 153 91 161
2 173 12 157 22 156 32 147 42 147 52 157 62 136 72 145 82 153 92 178
3 171 13 157 23 161 33 164 43 161 53 144 63 174 73 165 83 181 93 152
4 154 14 171 24 162 34 155 44 158 54 154 64 162 74 171 84 190 94 160
5 177 15 165 25 158 35 157 45 183 55 161 65 174 75 150 85 157 95 165
6 134 16 160 26 161 36 171 46 176 56 148 66 153 76 148 86 162 96 157
7 171 17 166 27 153 37 157 47 161 57 170 67 160 77 161 87 165 97 164
8 169 18 151 28 142 38 155 48 157 58 163 68 122 78 145 88 163 98 148
9 159 19 149 29 172 39 135 49 166 59 170 69 177 79 170 89 160 99 164
10 153 20 146 30 161 40 157 50 165 60 166 70 165 80 143 90 164 100 160
Ordenando los datos se obtienen la siguiente tabla de datos
Estatura
122 es
el Limite
mínimo;
Lmin=122
Estatura
Estatura
Estatura
Estatura
Estatura
Estatura
Estatura
Estatura
Estatura
122
147
153
157
159
161
163
165
171
175
134
147
153
157
160
161
164
165
171
176
135
148
153
157
160
161
164
166
171
177
136
148
153
157
160
161
164
166
171
177
142
148
154
157
160
162
164
166
171
177
143
149
154
157
160
162
165
169
172
178
144
150
155
157
161
162
165
170
172
178
145
151
155
157
161
162
165
170
173
181
145
152
156
158
161
163
165
170
174
183
146
153
157
158
161
163
165
171
174
190 190 es el
Limite
Máximo;
N=10 renglones x 10 columnas; 10X10= 100; n=100
Lmax=122
Límites reales o fronteras reales
Realizando las operaciones correspondientes se encuentran los siguientes valores,
como esta indicado en los siguientes cuadros
Cantidad de datos n=
100
Valor Máximo
190
Valor mínimo
122
68
Rango: R= Valor Máximo - Valor Mínimo
R= 190-122= 68;
R=68
K=1+3.322(log10(100))
K=1+3.322(2); 1+6.644= 7.64;
K=7.64
n)
Numero de intervalos o CLASES (K): K=1+3.322(log10
redondeando K:=
8
8.50
Amplitud de clase (A):= R/K
redondeando A:=
Limite inferior
7.64
9
122
A= 68/8; A=8.50
Cálculo de limites inferiores y superiores de los intervalos
N° Clase
Li (nferior)
1
122
2
131
3
140
4
149
5
158
6
167
7
176
8
185
Ls (uperior)
122+9=131
131+9=140
140+9=149
149+9=158
158+9=167
167+9=176
176+9=185
185+9=194
131
140
149
158
167
176
185
194
Recordando que el limite inferior es
122 y la Amplitud es 9, se proceden a
calcular el limite superior, así como los
subsecuentes limites de l resto de
intervalos
Cálculo de Límites reales o fronteras reales de los intervalos
Para el calculo de las clases se recorren ½ unidad a la izquierda es decir se le resta 0.5
a cada limite inferior y superior. Como se muestra a continuación.
L
N°
i
Clase (nferior)
Li (inferior) o
Ls
(uperior)
122-0.5=121.5
1
122
131
131-0.5=130.5
2
131
140
3
140
149
4
149
158
5
158
167
6
167
176
7
176
185
8
185
194
140-0.5=139.5
149-0.5=148.5
158-0.5=157.5
167-0.5=166.5
176-0.5=175.5
185-0.5=184.5
194-0.5=193.5
Clase real
N° Clase Inferior
Ls (superior) o
Clase Real
Superior
1
121.5
130.5
2
130.5
139.5
3
139.5
148.5
4
148.5
157.5
5
157.5
166.5
6
166.5
175.5
7
175.5
184.5
8
184.5
193.5
Cálculo de Límites reales o fronteras reales de los intervalos
Por lo tanto los limites reales de cada clase quedan de la siguiente manera.
N° Clase Rango de la clase
1
121.5 - 130.5
2
130.5 - 139.5
3
139.5 - 148.5
4
148.5 - 157.5
5
157.5 - 166.5
6
166.5 - 175.5
7
175.5 - 184.5
8
184.5 - 193.5
Conteo y clasificación de los datos
De la tabla de datos se van clasificando los valores existentes agregándole una marca
en la columna de CONTEO, según corresponda. Como se muestra a continuación.
N° Clase Rango de la clase Conteo
Frecuencia
Absoluta (fa)
1
121.5 - 130.5
|
1
2
130.5 - 139.5
|||
3
3
139.5 - 148.5
|||||-|||||-|
11
4
148.5 - 157.5
|||||-|||||-|||||-|||||-|||
23
5
157.5 - 166.5
|||||-|||||-|||||-|||||-|||||-|||||-|||||-||
37
6
166.5 - 175.5
|||||-|||||-|||||-|
16
7
175.5 - 184.5
|||||-|||
8
8
184.5 - 193.5
|
1
Cálculo de Marcas de clase para cada intervalo
Para el calculo de las marcas de clases se promedia el valor de limite inferior con el
limite superior como se muestra a continuación.
Li (inferior) o
Clase real
N° Clase Inferior
Ls (superior) o
Clase Real
Superior
1
121.5
130.5
2
130.5
139.5
3
139.5
148.5
4
148.5
157.5
5
157.5
166.5
6
166.5
175.5
7
175.5
184.5
8
184.5
193.5
N° Clase
(121.5 + 130.5)/2=126
(130.5 +139.5)/2=135
(139.5 + 148.5)/2=144
(148.5 + 157.5)/2=153
(157.5 + 166.5)/2=162
(166.5 + 175.5)/2=171
(175.5 + 184.5)/2=180
(184.5 + 193.5)/2=189
Marca de Clase
1
126.0
2
135.0
3
144.0
4
153.0
5
162.0
6
171.0
7
180.0
8
189.0
Creación de la tabla de datos para la elaboración de la grafica:
Agregando la ultima columna a la tabla anterior se procede a la elaboración de la
grafica correspondiente fijando en el eje de las X las marcas de clase y en las Y la
frecuencia obtenida para cada clase.
N° Clase Rango de la clase
Marca de Clase Frecuencia Absoluta (fa)
1
121.5 - 130.5
126.0
1
2
130.5 - 139.5
135.0
3
3
139.5 - 148.5
144.0
11
4
148.5 - 157.5
153.0
23
5
157.5 - 166.5
162.0
37
6
166.5 - 175.5
171.0
16
7
175.5 - 184.5
180.0
8
8
184.5 - 193.5
189.0
1
Construcción de la gráfica correspondiente.
De la tabla de datos se toman los valores existentes generando la siguiente gráfica.
40
37
35
30
25
23
20
16
15
11
10
8
5
3
1
1
0
126.0
135.0
144.0
153.0
162.0
171.0
180.0
189.0
Frecuencia absoluta y Frecuencia acumulada
Una vez que se registraron las marcas en
la columna de CONTEO, se procede a
contar las marcas y asentar su valor en la
columna de frecuencia absoluta, según
corresponda.
La frecuencia acumulada se origina de
la suma acumulativa de la frecuencia
absoluta con la siguiente frecuencia
absoluta según corresponda. Como se
muestra a continuación.
Frecuencia
Frecuencia
N° Clase Rango de la clase Absoluta (fa) Acumulada (FA)
1
121.5 - 130.5
1
2
130.5 - 139.5
3
3
139.5 - 148.5
11
4
148.5 - 157.5
23
5
157.5 - 166.5
37
6
166.5 - 175.5
16
7
175.5 - 184.5
8
8
184.5 - 193.5
1
1
1+3=4
4+11=15
15+23=38
38+37=75
75+16=91
91+8=99
99+1=100
4
15
38
75
91
99
100
Frecuencia relativa y Frecuencia relativa acumulada
La frecuencia relativa (fr) se obtiene al realizar
la división de la frecuencia acumulada de cada
clase entre el numero (n) de datos. Se procede
asentar su valor en la columna de frecuencia
relativa, según corresponda.
La frecuencia relativa acumulada se origina de
la suma acumulativa de la frecuencia relativa
con la siguiente frecuencia relativa según
corresponda. Como se muestra a continuación.
N°
Clase
Rango de la
clase
Frecuencia
Absoluta (fa)
Frecuencia relativa (fr)
Frecuencia relativa
Acumulada (fra)
1
121.5 - 130.5
1
0.01
0.01
2
130.5 - 139.5
3
3
139.5 - 148.5
11
4
148.5 - 157.5
23
5
157.5 - 166.5
37
6
166.5 - 175.5
16
7
175.5 - 184.5
8
8
184.5 - 193.5
1
1/100=0.01
3/100=0.03
11/100=0.11
23/100=0.23
37/100=0.37
16/100=0.16
8/100=0.08
1/100=0.01
0.03
0.11
0.23
0.37
0.16
0.08
0.01
0.01+0.03=0.04
0.04+0.11=0.15
0.15+0.23=0.38
0.38+0.37=0.75
0.75+0.16=0.91
0.91+0.8=0.99
0.99+0.01=1.00
0.04
0.15
0.38
0.75
0.91
0.99
1.00
Construcción e interpretación de gráficas
Construcción e interpretación de gráficas
 Una gráfica o diagrama es un dibujo complementario a
una tabla o cuadro, que permite observar las
tendencias de un fenómeno en estudio y facilita el
análisis estadístico de las variables allí relacionadas.
Construcción e interpretación de gráficas
Componentes de una gráfica.
Una gráfica, al igual que un cuadro o una tabla, debe constar de:
 Titulo adecuado: El cual debe ser claro y conciso, que responda a las preguntas:
¿Qué relaciona?, ¿Cuándo y dónde se hicieron las observaciones?
 El cuerpo: o gráfico en si cuya elección debe considerar el o los tipos de variables a
relacionar, el público a quién va dirigido y el diseño artístico del gráfico.
 Notas de pie de gráfico: Donde se presentan aclaraciones respecto al gráfico, las
escalas de los ejes o se otorgan los créditos a las fuentes respectivas.
Por medio de gráficos tendenciosos se pueden deformar o resaltar situaciones o
estados, que presentados en un gráfico apropiado, mostrarían un comportamiento
normal.
Generalmente una información es distorsionada por algunas de las siguientes causas:
 La relación entre los ejes no es la apropiada.
 Gráficos con escalas desproporcionados, o una mala elección del punto de origen.
Construcción e interpretación de gráficas
Principales tipos de gráficas.
Existe una gran cantidad de gráficas para la representación de datos
estadísticos, ya que ellas y de la creatividad depende el diseño, al combinar
varios tipos como forma de presentar una información.
Entre las gráficas más comunes tenemos:
 Grafica de líneas.
 Gráfica de líneas compuesto.
 Grafica de barras.
 Gráfica de barras compuesto.
 Gráfica de sectores circular.
 Histograma.
 Polígono de frecuencia.
 Ojiva.
Para datos cuantitativos comúnmente se utilizan dos tipos de gráficas:
histogramas y polígonos. Para datos cualitativos con frecuencia se utilizan
gráficas de sectores, o circular y diagramas de barras.
Gráfica circular
Usualmente llamada gráfica de pastel, debido a su forma característica de
circunferencia dividida en cascos por medio de radios, que van la sensación
de un pastel cortado en porciones
Se usa para representar variables cualitativas en porcentajes o cifras absolutas
cuando el número de elementos no es superior a cinco y se requiere resaltar
uno de ellos. Para su construcción se procede de la siguiente manera:
1.
1.- se dibuja un circulo.
2. La circunferencia tiene en su interior 360° , los cuales hacemos
corresponder al total de la información, es decir al 100%; luego para
determinar el número de grados correspondiente a cada componente se
multiplica la frecuencia relativa con respecto a los 360° y se divide entre
100%
3. Se dibuja un radio en el circulo exactamente del centro hacia arriba, con
la ayuda de un transportador se marcan los grados correspondientes a
cada sector, en el sentido contrario a las manecillas del reloj, para formar
casquetes de los diferentes elementos.
Ejemplo de gráfica circular.
Se tiene un grupo de 18 alumnos los cuales dan su
preferencia por los siguientes colores.
Azul=4, Rojo=2, Verde=3, Morado=4, Cian=2
De la tabla de datos se toman los valores existentes, se procede a hacer las operaciones de la formula indicada
como se muestra a continuación.
 =
 100%

No°
Clase
Frecuencia (fa)
Frecuencia en % (fr°)
1
4
 =
4 100
=27%
15
27%
2
2
 =
2 100
=13%
15
13%
3
3
 =
3 100
=20%
15
20%
4
4
 =
4 100
=27%
15
27%
5
2
 =
2 100
=13%
15
13%
Frecuencia
acumulativa (fa%)
27%
27%+13%=40%
40%+20%=60%
60%+27%=87%
87%+13%=100%
40%
60%
87%
100%
Ejemplo de gráfica circular.
Para el calculo de los sectores que representan cada valor se procede a hacer las operaciones de la formula
indicada como se muestra a continuación.
 =
 360°

Con estos
valores se
forma la
gráfica de
pastel
No°
Clase
Frecuencia (fr)
Frecuencia x
sector (fr°)
1
4
 =
4 360°
=96°
15
96°
2
2
 =
2 360°
=48°
15
48°
3
3
 =
3 360°
=72°
15
72°
4
4
 =
4 360°
=96°
15
96°
5
2
 =
2 360°
=48°
15
48°
Frecuencia
acumulativa (fra°)
96°
96°+48°=144°
144°+72°=216°
216°+96°=312°
312°+48°=360°
144°
216°
312°
360°
Trazado de una gráfica circular.
Para el calculo de los sectores que representan cada valor, se procede a hacer marcar los arcos
correspondientes como se muestra a continuación.
 1. Traza un circulo
 2. Toma de referencia el radio vertical que va del centro a la parte alta del
circulo.
 3. Se toma como referencia el radio indicado y de ahí en adelante con ayuda de
un transportador se van marcando los valores correspondientes a cada sector.
96°
1
2
3
Trazado de una gráfica circular.
Después de señalar el primer sector se van señalando los sectores siguientes según corresponda los valores,
como se muestra a continuación.
96°
96°
96°
48°
4
72°
6
48°
5
Trazado de una gráfica circular.
Después de señalar todos los sectores se pueden señalar sus valores según corresponda, como se muestra a
continuación.
48°
96°
96°
96°
96°
48°
72°
7
48°
72°
8
Trazado de una gráfica circular.
Después de señalar el todos los sectores se pueden señalar con colores diferentes según corresponda, como se
muestra a continuación.
Se puede representar tomando como
referencia la frecuencia quedando la gráfica
como se muestra a continuación.
Se puede representar tomando como
referencia los porcentajes de a frecuencia
quedando la gráfica como se muestra a
continuación.
2
13%
4
27%
27%
4
13%
2
3
20%
Diagrama de barras
 Se utiliza para representar los caracteres cualitativos y





cuantitativos discretos. En el eje horizontal, o eje de abscisas, se
representan los datos o modalidades; en el eje vertical o de
ordenadas, se representan las frecuencias de cada dato o
modalidad. Sobre el eje horizontal se levantan barras o
rectángulos de igual base (que no se superpongan) cuya altura
debe ser proporcional a la frecuencia que representan.
La parte mas alta de la gráfica debe ser aproximadamente las tres
cuartas partes del eje horizontal (regla de los tres cuartos)
Evitar que las barras resulten muy anchas o excesivamente altas.
Las barras deben quedar separadas y no en contacto para evitar
cualquier implicación de continuidad. La separación entre barra
y barra no será inferior a la mitad del ancho de ellas, ni superior
al ancho de las barras.
Para no influir en actitudes personales ni reflejar preferencias
individuales, las barras deben ser todas del mismo ancho
Grafiquemos el ejemplo anterior:
Diagrama de barras
En este caso en el eje horizontal se ponen la variable color y en el eje vertical los valores de la frecuencia según
corresponda, como se muestra a continuación.
4.5
4
N°
Clase
Color
Frecuencia
(fa)
1
Azul
4
2
Rojo
2
3
Verde
3
4
3.5
3
3
2.5
2
2
4
Morado
4
5
Cyan
2
4
2
1.5
1
0.5
0
Azul
Rojo
Verde
Morado
Cyan
Histograma (¿Que es?)
 Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma
de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la
frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se
representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las
variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la
mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.
Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de
edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan
en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos
son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel
de estudios, es preferible un diagrama de sectores.
 Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y
económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la
comparación de los resultados de un proceso.
 Un histograma es diferente de una gráfica de barras porque las
columnas no van separadas sino unidas, lo que les da continuidad.
Histograma. (Como se hace)
 El procedimiento que se sigue para la construcción del




histograma es el siguiente:
1.- Márquese los intervalos de clase en el eje de las abscisas
del plano cartesiano.
2.- Para que la grafica quede completa, se agregan dos
intervalos de clase más, uno antes del primer intervalo y
otro después del último.
3.- En cada límite inferior del intervalo se traza una línea
vertical sutilmente punteada, con las alturas que
correspondan a las frecuencias absolutas o relativas, de tal
manera que a cada punto se le asigne una frecuencia.
Por último se dibujan las barras, con alturas
correspondientes a las frecuencias.
Histograma (Ejemplo 1)
En este caso en el eje horizontal se ponen la variable color y en el eje vertical los valores de la frecuencia según
corresponda, como se muestra a continuación.
4.5
4
N°
Clase
Color
Frecuencia
(fa)
1
Azul
4
2
Rojo
2
3
Verde
3
4
3.5
3
3
2.5
2
2
4
Morado
4
5
Cyan
2
4
2
1.5
1
0.5
0
Azul
Rojo
Verde
Morado
Cyan
Histograma (Ejemplo 2)
 En la realización de una prueba se obtuvieron los
siguientes puntajes en un grupo de 40 alumnos.
En este caso en el eje horizontal se ponen la variable puntaje (tomando los valores de la marca de clase) y en el
eje vertical los valores de la frecuencia según corresponda, como se muestra a continuación.
Puntajes obtenidos en una prueba
Puntajes
X
F.
Absoluta
(fa)
Limites
reales
Valor medio o
marca de
clase
11-17
6
10.5-17.5
14
14
18-24
4
17.5-24.5
21
12
25-31
15
24.5-31.5
28
32-38
13
31.5-38.5
35
39-45
1
38.5-45.5
42
46-52
1
45.5-52.5
49
Totales
40
Marca de clase o valor medio
Se determina calculando el promedio entre los límites inferior
y superior. La marca de clase representa a todos los datos
pertenecientes al intervalo de clase correspondiente.
Número de alumnos
16
10
8
6
4
2
0
14
21
28
35
Marca de clase
42
49
Histograma de frecuencias acumuladas
 Histograma de frecuencias acumulada: Se obtiene a partir de
una distribución de frecuencias, tomando en el eje horizontal las
clases de la variable y en el eje vertical las frecuencias acumuladas
correspondientes a cada intervalo. Ejemplo 1
En este caso se en el eje horizontal se ponen los valores del numero de clase y en el eje vertical los valores de la
frecuencia acumula según corresponda, como se muestra a continuación.
16
N°
Clas
e
Color
Frecuenci
a (fa)
1
Azul
4
2
Rojo
2
3
Verde
3
4
Morad
o
4
Cyan
2
5
Frecuenci
a
acumulad
a
14
12
4
10
6
8
9
6
15
13
9
4
13
15
6
2
4
0
1
2
3
4
5
Histograma de frecuencias acumuladas
 Ejemplo 2
En este caso se en el eje horizontal se ponen los valores del numero de clase y en el eje vertical los valores de la
frecuencia acumula según corresponda, como se muestra a continuación.
N°
Clase
Punt
ajes
X
F.
Abso
luta
(fa)
Limites
reales
1
1117
6
2
1824
3
2531
4
45
Valor
medio o
marca
de clase
Frecuen
cia
acumula
da
40
10.517.5
14
6
35
4
17.524.5
21
10
30
15
24.531.5
28
25
3238
13
5
3945
6
25
20
38
31.538.5
35
1
38.545.5
42
39
4652
1
45.552.5
49
40
Totale
s
40
38
39
40
4
5
6
15
25
10
5
10
6
0
1
2
3
Polígono de frecuencias
 Polígono de frecuencias: Es un gráfico lineal que se
utiliza en el caso de una variable cuantitativa. Para
realizar el polígono unimos los puntos medios de las
bases superiores del diagrama de barras o del
histograma.
Polígono de frecuencias: Ejemplo 1
Para realizar el polígono unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma.
como se muestra a continuación.
Preferencia de colores
4.5
Color
1
Azul
4
2
Rojo
2
3
Verde
3
4
Morad
o
4
Cyan
2
5
Frecuenci
a (fa)
4
4
3.5
Número de alumnos
N°
Clas
e
4
3
3
2.5
2
2
2
1.5
1
0.5
0
Azul
Rojo
Verde
Morado
Cyan
Polígono de frecuencias: Ejemplo 2
Para realizar el polígono unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma.
como se muestra a continuación.
1
Punt
ajes
X
F.
Abso
luta
(fa)
1117
6
1824
4
3
2531
4
5
2
6
Limites
reales
Valor
medio o
marca
de clase
10.517.5
14
17.524.5
21
15
24.531.5
28
3238
13
31.538.5
35
3945
1
38.545.5
42
4652
1
45.552.5
49
Totale
s
40
Resultados de la prueba
15
16
13
14
12
10
Puntaje
N°
Clase
8
6
6
4
4
1
1
2
0
14
21
28
35
42
49
Ojivas.
 Son otra forma de representación gráfica que puede ser
utilizada como técnica para representar una distribución
acumulativa, en donde los valores son de menos de o más
de; donde las frecuencias acumulativas se trazan en las
fronteras de clase.
 Una distribución de frecuencia acumulativa nos permite
ver cuantas observaciones se hallan por arriba o por debajo
de ciertos valores, en lugar de limitarnos a anotar los
números de elementos dentro de los intervalos
Ojivas. Ejemplo 1
En este caso se en el eje horizontal se ponen los valores del numero de clase y en el eje vertical los valores de la
frecuencia acumula según corresponda, uniéndose con líneas como se muestra a continuación.
Preferencia de colores
16
Color
Frecuen
cia (fa)
1
Azul
4
2
Rojo
2
3
Verde
3
4
Morado
4
5
Cyan
2
15
Frecue
ncia
acumul
ada
4
6
9
13
15
14
13
12
Número de alumnos
N°
Clase
10
9
8
6
6
4
4
2
0
1
2
3
4
5
Ojivas. Ejemplo 2
En este caso se en el eje horizontal se ponen los valores del numero de clase y en el eje vertical los valores de la
frecuencia acumula según corresponda, uniéndose con líneas como se muestra a continuación.
N°
Clase
Pun
taje
sX
F.
Abso
luta
(fa)
Limites
reales
Valor
medio o
marca
de clase
F. Abs.
Acumul
ada
1
1117
6
10.517.5
14
6
1824
4
17.524.5
21
3
2531
15
24.531.5
28
25
4
3238
13
31.538.5
35
38
3945
1
38.545.5
42
4652
1
45.552.5
49
Total
es
40
5
6
45
40
40
39
35
38
10
Número de alumnos
2
Resultados de la prueba
30
25
25
20
15
39
10
40
10
5
6
0
1
2
3
4
5
6
Gráfica de tallo y hojas.
 También conocido como Stem and leaf diagram permite obtener
simultáneamente una distribución de frecuencias de la variable y su
representación gráfica. Para la construcción basta separar en cada datos el
último digito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras
restantes (que forma el tallo)
 Esta representación de datos es semejante a la de un histograma pero además
de ser fáciles de elaborar, presentan más información.
 Ejemplo: Supongamos la siguiente distribución de frecuencias. Que representa
la edad de un grupo de personas N=20.
36
25
37
24
39
20
36
45
31
31
39
24
29
23
41
40
33
24
34
40
Se procede a ordenar de forma ascendente los datos, como se presenta a continuación.
20
23
24
24
24
25
29
31
31
33
34
36
36
37
39
39
40
40
41
45
Gráfica de tallo y hojas.
Una vez ordenados comenzamos seleccionando los tallas que en nuestro caso
corresponde a las decenas, es decir 2,3 y 4. Como se presenta a continuación.
Tallos
Hojas
2
5
4
0
4
9 3
3
6
7
9
6
1 1 9 3 4
4
5
1
0
0
4
Por último reordenemos las hojas y hemos terminado el diagrama, Como se presenta a
continuación.
Tallos
Hojas
2
0
3
4
4
4 5 9
3
1
1
3
4
6 6
4
0
0
1
5
7 9 9





















Bibliografía
Básica:
INITE Probabilidad y Estadística. Ediciones Instituto Internacional de Investigación de Tecnología Educativa S. C. , Edición
México, 2010.
Murray Spiegel Probabilidad y Estadística. Tercera Edición, México, Mcgraw-Hill Interamericana, 2010.
Wealpole, M. Probabilidad y Estadística para Ingeniería, Octava edición, México, Prentice hall hispanoamericana, 2007.
Complementaria:
Gamiz Casarrubias, Beatriz E. Gamiz Casarrubias, Oscar T. Probabilidad y Estadística con Prácticas en Excel. Segunda
edición, México,
Justin time press, S.A. de C .V., 2008.
Jonshon, Robert. Kuby, Patricia. Estadística elemental. Décima edición, México, Cengage learning editores S.A de C.V., 2008.
Páginas Web:
Distribución de probabilidades, Disponible en: http://www.scribd.com/doc/2249724/DISTRIBUCION-DE-PROBABILIDADES
(21-12-11)
Distribución normal, Disponible en:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/distribuciones_probabilidad/dis_normal.htm (21-12-11)
Matemáticas V: Probabilidad y estadística. Disponible en: Biblioteca Digital de la Red Académica del Conalep
http://redacademica.conalep.edu.mx (20-12-11)
Medidas de dispersión, Disponible en: http://colposfesz.galeon.com/est501/distfrec/meddisp/meddisp.htm (21-12-11)
Medidas de dispersión, Disponible en: http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_06000.html (21-12-11)
Medidas de dispersión, Disponible en: www.sectormatematica.cl/media/NM4/NM4_medidas_de_dispersion.doc (21-12-11)
Probabilidad condicional, Disponible en:
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Probabilidad%20condicional.htm (2112-11)
Técnicas de conteo y distribuciones discretas Disponible en:
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm (21-12-11)
http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/herramientas_calidad/histograma.htm
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un1/cont_115_15.html
http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/estadistica/histograma.html
Ejercicios para datos No agrupados Ejercicio A)
En una
empresa se
tiene 18
empleados y
se quiere
hacer un
estudio con
respecto a
sus edades
por lo que se
tiene la
siguiente
información.
N° Edad
1 25
2 20
3 22
4 23
5 18
6 23
7 18
8 18
9 22
10 23
11 22
12 23
13 19
14 25
15 21
16 21
17 18
18 22
Aplicando las técnicas
anteriores determine:
 La frecuencia absoluta.
 La frecuencia relativa.
 La frecuencia absoluta
acumulada.
 La frecuencia relativa
acumulada.
Construcción de gráficas.
 Gráfica de frecuencias
absolutas.
 Gráfica de frecuencias relativa.
 Gráfica de frecuencia relativa.
 Gráfica de frecuencia relativa
acumulada.
Ejercicios para datos No agrupados Ejercicio A)
En una
empresa
para verificar
la máquina
llenadora, se
toman 20
frascos que
al descartar
el peso del
envase sus
pesos varían
y se registran
en la
siguiente
tabla.
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Edad
333
333
334
331
332
329
329
329
331
332
335
331
329
335
334
335
330
334
332
330
Aplicando las técnicas
anteriores determine:
 La frecuencia absoluta.
 La frecuencia relativa.
 La frecuencia absoluta
acumulada.
 La frecuencia relativa
acumulada.
Construcción de gráficas.
 Gráfica de frecuencias
absolutas.
 Gráfica de frecuencias relativa.
 Gráfica de frecuencia relativa.
 Gráfica de frecuencia relativa
acumulada.
Ejercicios para datos agrupados
Ejercicio A)
Aplicando las técnicas
anteriores determine:
Se tiene una
caja que
contiene 60
probetas con
los
siguientes
pesos.
Num. Peso * Num. Peso * Num. Peso
1
10
21
12
41
10
2
11
22
10
42
11
3
13
23
15
43
15
4
11
24
13
44
11
5
14
25
11
45
14
6
13
26
12
46
13
7
13
27
10
47
13
8
10
28
11
48
12
9
15
29
10
49
11
10
13
30
11
50
14
11
13
31
10
51
15
12
10
32
10
52
10
13
14
33
15
53
12
14
14
34
12
54
12
15
10
35
15
55
13
16
13
36
15
56
13
17
15
37
11
57
10
18
12
38
13
58
12
19
15
39
15
59
15
20
10
40
14
60
14
 Número de clase.
 Amplitud de clase.
 Marcas de clase o punto
Medio.
 Los límites reales o fronteras
reales.
Construcción de gráficas.
 Gráfica circular.
 Diagrama de barras.
 Histograma.
 Polígono de frecuencias.
 Ojiva.
 Gráfica de tallo y hojas.
Soluciones
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Tratamiento de datos y azar - Auto Estudio