Problemas Resueltos sobre
Límites y Continuidad
Repaso de Problemas típicos
1
x  3x  2
3
5
lim
x2
x2
lim
x 1
x
x0
lim
2x  x  1 
2
x  3x  1
2
s e n s e n  x 
x0
9
4
2
2x
lim
7
2
x 1
2
lim
x0
x  x  x 1
3
2
8
lim
x
x  3x  5x  2
3
2
x  x 1
x
6
lim
2
s e n 3 x 
x0
6x
 
sen x
x0
x  x 1
2
lim
lim
2
2
x senx
x
x  2senx
x  2senx 1 
Calculators
2
sen
2
x  x 1
10
lim e
x

2

t g x 
Repaso de Problemas
11
12
13
¿ D ó n d e e s y  t g  x  c o n tin u a ?
 1 
¿D ónde es continua f     s e n  2
 ?
   1
¿ Q u é h a d e v a le r f  0  p a ra q u e la fu n ció n
f x 
x x
2
x 1
, x  0,
se a co n tin u a e n x  0 ?
14
D e te rm in a r la s d isco n tin u id a d e s e v ita b le s d e la s sig u ie n te s fu n cio n e s
e n lo s p u n to s in d ica d o s:
15
x  2x  8
2
a)
f x 
c)
 1
h  t   t s e n   , t0  0
t 
x2
, x 0   2, b )
gx 
D e m o stra r q u e la e cu a ció n s e n  x   e
Calculators
x 1
x 1
x
, x0  1
tie n e  s o lu tio n e s.
Métodos para el cálculo de Límites
1
Casos de indenterminación:
0
0 ,
2
Aritmética del

a


3
4
 0,
0
0
,


0

,   , 0,  ,1 .
:
n ú m e ro p o s itiv o
 ,  
 n ú m ber o
n e g ativ o   .
Si la función, de la que se está calculando el límite, está
definida por una expresión algebraica que toma un valor finito
en el punto límite, ese valor es el límite buscado.
Si la función, de la que se está calculando el límite, no se
puede evaluar en el punto límite (p.e. porque aparece una
indeterminación (1)), entonces re-escribir la función en forma
que se pueda calcular el límite.
Calculators
Simplificaciones y Métodos
1
2
x
2
2
 b .
2
1

x
 1  x  1
x 1
 x  1 

 2.
x 1
Si aparece una raíz cuadrada, multiplicar y dividir por la
expresión conjugada:
x 1 
x 2 

4
 b a  b  a
Eliminar factores comunes en functiones racionales:
x 1
3
a
Factorizar ó simplificar:
Usar el hecho:
Calculators

x 1 
x  2

x 1 
x
 1   x  2 
x 1 
lim
x0
x 2
s enx
x

 1.
x 1 
x 2

x 2
3
x 1 
x  2


0
x
Continuidad de Funciones
1
2
Si las funciones son contínuas (p.e. definidas por expresiones
elementales de polinomios, funciones racionales,
trigonométricas, exponenciales o sus inversas) el límite se
calcula sustituyendo el punto al que tiende la variable
independiente.
Si la función f es continua en el punto x = a entonces:
lim f  x   f  a  .
xa
3
4
Ejemplos de funciones no continuas en x = 0:
f x 
Se utiliza para
demostrar que
una ecuación
tiene solución.
1
x
1
, g x   s e n   ,h x  
.
x
x
x
Teorema del Valor Medio para Functiones Continuas
Si f es continua, f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces hay un punto c
entre a y b tal que f(c) = 0.
Calculators
Límites: factorizar y simplificar:
x  3x  2
2
Problema 1
lim
x2
x2
x  3x  2
2
Solución
R e -e scrib ir
x2
x  3x  2
2
P or tanto lim
x2
Calculators

x2
 x  1  x  2 
x2
 x  1.
 lim  x  1  1.
x2
Límites elementales
x  x  x 1
3
Problema 2
lim
2
x  3x  5x  2
3
x
2
Solución
1
x  x  x 1
3
2

x  3x  5x  2
3
2
1
1
x
3
x


1
2

2

x
5
x
1
3
x    1 .
x
2
x
3
Lo haremos más directo: sin más que considerar los términos
de mayor grado, o más aún, igualando al cociente de los
coeficientes principales.
x  x  x 1
3
Problema 2
lim
x
Calculators
2
x  3x  5x  2
3
2

1
1
1
Límites: expresión conjugada
Problema 3
x 1
x
Solución
x 1
2
lim
2
Re-escribimos
x 1
2
x
2

1 
x 1
x 1
2
2

x 1
2
x 1


 
2
x 1
x 1
2
P o r ta n to lim
x
Calculators
x 1
2
x 1

2

2
x 1
2
x
 
x 1
2

2
1  x 1
2
2
x 1
2
2
x 1
2

x 1

2
x  1  lim
x 1
2
x 1
2
2
x
2
x 1
2
x 1
2
2
 0.
Límites
Problema 4
x  x 1
x
Solución
2
Re-escribimos
x  x 1
x  x 1 

x  x 1
2

x  x 1
2
lim
x
2
2
 
x  x 1
 x 1  x  x 1
2
x  x 1
2
Calculators


2
2x
x

x  x 1
2
2
2
x
2


x
2
x  x 1
x  x 1
x  x 1
2
2
2
2
2x  2
x  x 1
2
2

x  x 1
1
x  x 1
2
Ahora nos
quedamos con los
términos de mayor
grado en x.
Límites
Problema 5
lim
x0
Solución
2x
2x  x  1 
x  3x  1
2
2
Re-escribimos
2x
2x  x  1 
2
2x

2x  x  1 
2
x  3x  1

2

2x  x  1 
2
x  3x  1
2

x  3x  1
2

2x  x  1 
2
x  3x  1
2

2 x  2 x  x  1  x  3 x  1



x  4x
2
x

x

1

x

3
x

1
 


Menor grado en x.
2  2 x  x  1  x  3 x  1
2  1  1


1
2x

2x  x  1 
2
x  3x  1
2
2
2
2
2
x4
x0
2
2
2
2
Calculators
2
4
Límites
Problema 6
lim
s e n 3 x 
x0
Solución
6x
U sa m o s q u e
R e -e scrib im o s
s e n 3 x 
6x
C o m o lim
x0
Calculators
s e n 3 x 
3x
lim
 0

s e n 


 1.
1 s e n 3 x 
2
3x
 1, se co n clu ye q u e lim
x0
s e n 3 x 
6x

1
2
.
Límites
Problema 7
lim
s e n s e n  x 
x0
x
Re-escribimos:
Solución
s e n s e n  x 

s e n s e n  x  s e n  x 
senx
x
co m o lim
s e n 

 0

x
 1 . E n lo a n te rio r, se a p licó
p rim e ro a l su stitu ir   s e n  x  .
P o r ta n to lim
x0
Calculators


1
x0
s e n s e n  x 
senx
 1.
Límites
Problema 8
Solución
 
sen x
lim
x0
x senx
Re-escribimos:
 
sen x
2
x senx
Calculators
2

 
sen x
x
2
2
x
senx

 1
x0
Límites
Problema 9
x  2senx
lim
x  2senx 1 
x0
Solución
2
2
Re-escribimos
x  2senx
x  2senx 1 
2
sen
2
x  x 1
 x  2 s e n  x  

sen
x  2senx 1 
2


sen
2
x
2
2
 x   x  1 
x  2senx 1 
2
2
x  sen
2
 x   x  1
sen
2
sen
2
 x   x  1
 x   x  1
 x   x  1
x  2senx 1 
2
2
2
 
2
sen
x  2senx 1 
 2senx 1  sen
 x  2 s e n  x  
Calculators

x  2senx 1 
 x  2 s e n  x  
x  x 1
sen
x  2senx 
x
2
 x   x  1
Límites
Solución
(cont.)
Problema 9
x  2senx
lim
x0
x  2senx 1 
2
sen
2
x  x 1
Re-escribimos
x  2senx
x  2senx 1 
2


sen
 x  2 s e n  x  
x  x 1
2
x  2senx 1 
2
x  sen
2

senx 
1

2


x



2
sen
x  2senx 
x  2senx 1 
2
x  senx
senx
x
2
 x   x  1
Dividimos por x.
x
sen
senx
x
2
2
 x   x  1



x0
1
Se ha usado que sen(x)/x se acerca a 1 cuando x  0.
Calculators
32
21
 2.
Límites Laterales
Problema 10
lim e
x

2
t g x 

Solución
P a ra

2
 x  ,
t g  x   0 and
lim t g  x     .
x

2
P o r ta n to lim e
x

2
Calculators

t g x 
 0.

Continuidad
Problema 11
¿ D ó n d e e s co n tin u a la fu n ció n y  t g  x  ?
Solución
y  tgx 
senx
co s  x 
e s co n tin u a sie m p re q u e co s  x   0 .
P o r ta n to y  t g  x  e s co n tin u a p a ra x 
Calculators

2
 n , n 
.
Continuidad
 1 
¿D ónde es continua la función f     s e n  2
 ?
   1
Problema 12
Solución
 1 
L a fu n ció n f     s e n  2
 e s co n tin u a e n to d o s lo s p u n to s
   1
d o n d e to m a v a lo re s fin ito s.
 1 
no
es
finito,
y
s
e
n
 2
 no está definido.
2
 1
   1
 1 
1
S i    1, 2
es finito, y s e n  2
 está definido y es finito.
 1
   1
S i    1,
1
 1 
P or tanto s e n  2
 es continua para    1.
   1
Calculators
Continuidad
D e te rm in a r f  0  p a ra q u e la fu n ció n
Problema 13
f x 
x x
2
x 1
, x  0, se a co n tin u a e n x  0 .
Solución
L a co n d ició n d e co n tin u id a d d e u n a fu n ció n f e n u n p u n to x 0 e s:
lim f  x   f  x 0  .
x  x0
P o r ta n to f  0  d e b e cu m p lir f  0   lim f  x  .
E s d e cir f  0   lim
x0
Calculators
x0
x x
2
x 1
 lim
x0
x  x  1
x 1
 lim x  0 .
x0
Continuidad
U n n ú m e ro x 0 e n e l q u e u n a fu n ció n f  x  e stá in d e fin id a o r
e s in fin ito se lla m a u n a sin g u la ri d a d d e la fu n ció n
f . L a sin g u la rid a d e s
e v i t a b l e , si f  x 0  se p u e d e d e fin ir d e ta l m a n e ra q u e
l a fu n ci ó n f se co n v ie rte e n co n tin u a e n x  x 0 .
Problema 14
¿ Q u é fu n cio n e s d e la s sig u ie n te s tie n e n
sin g u la rid a d e s e v ita b le s e n lo s p u n to s in d ica d o s ?
solución
Calculators
x  2x  8
2
a)
f x 
b)
gx 
c)
 1
h  t   t s e n   , t0  0
t
x2
x 1
x 1
, x0  2
, x0  1
Evitable
No evitable
No evitable
Continuidad
Problema 15
D em ostrar que la ecuación s e n  x   e
x
tiene
inifinitas soluciones.
senx  e
Solución
x
 f x  senx  e
 0.
x
Por el Teorema de valor medio, una función continua toma
cualquier valor entre dos de sus valores. Basta demostrar que la
función f cambia de signo infinitas veces.
N ó te se q u e
n


x
0  e  1 p a ra x  0, y q u e s e n   n      1  , n 
2

P o r ta n to f  x   0 p a ra x 
y f  x   0 p a ra x 

2

2
.
 n  si n is u n n ú m e ro im p a r n e g a tiv o
 n  si n e s u n n ú m e ro p a r n e g a tiv o .


P o r ta n to e n ca d a in te rv a lo d e la fo rm a   2 n  ,   2 n  1 
2
2

, n 

a n d n  0,
h a y u n a so lu ció n d e la e cu a ció n o rig in a l. E n co n se cu e n cia h a y in fin ita s so lu cio n e s.
Calculators
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Solved Problems on Limits and Continuity