Tema IV
Torsión en barras
prismáticas
Mecánica de materiales – Torsión
Torsión
La torsión pura se presenta en toda barra recta
cuando las fuerzas solicitantes actúan sólo en
las bases extremas, y equivalen mecánicamente
a dos pares de sentido opuesto, cuyo eje
coincide con el eje de la pieza. Siendo la barra
de sección constante, todas las secciones
transversales están solicitadas en idéntica forma.
En cuanto a la deformación presenta como
característica mas acentuada, un giro elemental
de cada sección, con respecto a la inmediata,
alrededor del eje de la pieza.
Mecánica de materiales – Torsión
Ilustración de la deformación por
torsión
Mecánica de materiales – Torsión
Secciones Macizas









Sección circular.
Sección elíptica.
Sección triangular equilátera e isósceles.
Sección rectangular y rectangular estrecha.
Sección segmento circular y sector circular.
Sección diamante y diamante truncado
Sección trapezoidal.
Sección paralelogramo.
Otras.
Mecánica de materiales – Torsión
Barra recta de sección circular
Consideremos un barra recta de sección
circular empotrada en uno de sus dos lados,
sobre la cual actúa un momento torsor; se
toma el plano XY como el plano de la base, y el
eje OZ coincide con la directriz de la barra
como se indica en la siguiente figura.
Mecánica de materiales – Torsión
Barra recta de sección circular
Mecánica de materiales – Torsión
Distribución de esfuerzos en la
sección
Y
max
X
max
max
Mecánica de materiales – Torsión
Desplazamientos
De la figura, notamos que los desplazamientos
son:
u   r cos     r cos    
v   r sin     r sin    


Con
las identidades trigonométricas y
tomando en cuenta que para ángulos muy
pequeños de giro Cos() =1 y Sen() = 
tendríamos:
u   y
v  x
Mecánica de materiales – Torsión
desplazamientos
Hay que tomar en cuenta que cada sección
transversal sufre un giro diferente proporcional
a la distancia Z que hay hasta la base fija:
u   yz
v   xz
w0
Donde θ es el ángulo de torsión por unidad de
longitud a lo largo de la dirección Z
Mecánica de materiales – Torsión
Tensor de esfuerzo para torsión pura
 
ij
0

 0

 zx
0
0
 zy
 xz 

 yz 

0 
Donde:
 zx  G  zx
 zy  G  zy
 w u 
 G

  G Y
z 
 x
 w v 
  G  X
 G 

 y z 
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte y ángulo de giro
 max 
TR
 
J0
Donde:
T
GJ 0
J0 
 R
4
2
El esfuerzo máximo se produce en el contorno
(x=±R, y=0) y (x=0 , y=±R) entonces el
esfuerzo de corte máximo sería:
 zy 
T
J0
x
 zx  
T
J0
y
Mecánica de materiales – Torsión
Desplazamientos en función del
momento torsor
 T
u  
 GJ

0
 T
v  
 GJ


 xz


w  0
0

 yz


Mecánica de materiales – Torsión
Rigidez de torsión

Es la relación que existe entre el momento
torsor y el ángulo de giro.
 R 
G  J o G
D 
 


 2 
T
4
Mecánica de materiales – Torsión
Torsión en barras de sección elíptica
Y
(0,b)
(-a,0)
max
(a,0)
max
max
(0,-b)
X
Mecánica de materiales – Torsión
Rigidez de torsión
D 
x
4G
2
 y
2

b
4
a b
Iy  a Ix
4
3
donde
Iy 
Ix 
;
4

 ab
3
4
sustituyen do y simplifica ndo se tiene
a b
3
D G
3
a b
2
2
Mecánica de materiales – Torsión
Ángulo de giro
El ángulo de giro experimentado por la sección
por unidad de longitud esta dado por:
 
T
Sustituyendo el valor de D se tiene:
D
2
2

T a b

 
3 3

G  a b




Mecánica de materiales – Torsión
Alabeo de una sección elíptica
b
a>b
a
Mecánica de materiales – Torsión
Función de alabeo Φ(x,y) y función
conjugada Ψ(x,y)
 x, y  
 x, y  
b a
2
b a
2
2
2
b a
2

xy
2
2b a
2
2

y
2
x
2

Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
 
 zx   zy 
2
2
2T
 ab
x
2
a
4

y
2
b
4
El esfuerzo de corte máximo ocurre en los extremos
del eje menor de la elipse de contorno, es decir, en
x=0 e y=±b sustituyendo estos valores en la
ecuación anterior se tiene:
 max  
2T
 ab
2
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
Y
(0,b)
(-a,0)
max
(a,0)
(0,-b)
X
Mecánica de materiales – Torsión
Alabeo de la sección
2
2

T a b
u  x , y , z    
3 3
G  a b
2
2

T a b

vx, y, z  
3 3
G   a b
2
2

T b a

wx, y, z  
3 3

G  a b

 yz



 xz



 xy


Mecánica de materiales – Torsión
Torsión en piezas de sección
triangular equilátera
Mecánica de materiales – Torsión
Rigidez de torsión y ángulo de giro
3
D 
Ga
4
80
 
T
D

T
G
80
3a
4
Mecánica de materiales – Torsión
Alabeo de una sección triangular
Mecánica de materiales – Torsión
Función de alabeo y función
conjugada
 ( x, y ) 
 ( x, y ) 
2
2


3
y
axy
x
2 x  a  
 3 a  2 x 


6
3a  2
3

3
6a
y 2 y 
2
3 a   6 axy  x 6 y 
2
3a

Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo y ángulo
de giro
 
80 T
a
5
y
2
2 x  a 
2
 

2a 
  y y 
  x  a  x 
3
 

2
El esfuerzo cortante máximo se encuentra en el
centro de cada lado del triángulo, por ejemplo
para el lado AC el esfuerzo máximo está en x=a/2
e y=0
 max 
20 T
a
3
Mecánica de materiales – Torsión
Alabeo de la sección
u ( x, y, z )  
80 T
3 Ga
v( x, y, z ) 
80 T
3 Ga
3
3
yz
xz
80 T  y
w( x, y, z )  
5 
Ga  2
2
2 x  a  

 3 a  2 x 

6
3

axy
x
2
Mecánica de materiales – Torsión
Torsión en piezas de sección
rectangular
Y
a/2
(0,b/2)
b/2
T
(-a/2,0)
x
(a/2,0)
zx
dy
zy
(0,-b/2)
Para verificar que la
sección rectangular no
X
sea estrecha se debe
cumplir que b/a ≤5
Mecánica de materiales – Torsión
Alabeo de una sección rectangular
Mecánica de materiales – Torsión
Función de alabeo y función
conjugada
 ( x , y )  xy 
 ( x, y )  
a
8a

2
4

2
3


n0
1
2
y
2
 1
n
senh  n y senh  n x 
  nb 
 2 n  1 cosh 

 2 
3
x
2

8a

2
3


n0
 1
n
senh  n y senh  n x 
 nb 
 2 n  1 cosh 

 2 
3
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzos cortantes
 zx   Ga
 zy
8

2


 1
n0

x
4
 2 Ga   2
a 


n
senh  n y  cosh  n x 
2 n  1


n0
2
  nb 
cosh 

 2 

n
  1  cosh  n y senh  n x  

  nb 
2

 2 n  1  cosh 


 2 

Mecánica de materiales – Torsión
Rigidez de torsión


1
192 a
3
D  Gba 1  5
3
 b



D  Gba K 1
3

  nb
tanh 
 2
 2 n  1
n0
5






Mecánica de materiales – Torsión
Ángulo de giro
 
T
3
donde :
K 1Ga b

1
192 a
K 1  1  5
3
 b



tanh  n b
 2 n  1
n0
5


2 


Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
 max 
T
donde :
2
K 2a b

4
K  2 1  3





n0
2 n  1
2
K2 
K1
K

1

cosh  n b 
2 


Mecánica de materiales – Torsión
Constantes de torsión para una barra
de sección rectangular
b/a
K
K1
K2
1,00
0,675
0,1406
0,208
1,20
0,759
0,166
0,219
1,50
0,848
0,196
0,231
2,00
0,930
0,229
0,246
2,50
0,968
0,249
0,258
3,00
0,985
0,263
0,267
4,00
0,997
0,281
0,282
5,00
0,999
0,291
0,291
10,00
1,000
0,312
0,312
∞
1,000
1/3
1/3
Mecánica de materiales – Torsión
Sección triangular isósceles
c

a
b
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
 max 
para
  90

para
  60

T
Q
Q  0 , 0554 c
3
Q  0 , 0500 c
3
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario
 
T
3
donde
KG
K 
a b
15 a  20 b
2
para   90 º , K  0 , 0261 c
4
para   60 º , K  0 , 0216 c
4
Rigidez de torsión:
D = KG
3
2
Mecánica de materiales – Torsión
Sección segmento circular
R
 
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
 max 
T
Q  CR
donde
3
Q

0º
30º
60º
80º
90º
C
π/2
1,25
0,8
0,49
0,35
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario
 
T
K  CR
donde
3
KG

0º
30º
60º
80º
90º
C
π/2
1,47
0,91
0,48
0,296
Rigidez de torsión:
3
D = KG=CR G
Mecánica de materiales – Torsión
Sección diamante y diamante
truncado

B
A

Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
 max 
Tc
K
C depende de  y de h’/h
Valores de c
punto

h’/h
90º
80º
70º
60º
50º
40º
30º
B
1,000
0,675
0,656
0,637
0,585
0,536
0,448
0,356
A
0,750
0,589
0,527
0,452
0,378
0,288
0,138
---
B
0,750
0,651
0,646
0,635
0,596
0,555
0,485
0,382
A
0,500
0,699
0,608
0,541
0,467
0,417
0,368
0,292
B
0,500
0,511
0,547
0,551
0,548
0,616
0,475
0,437
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario y rigidez de
torsión
T
 
D = KG
KG
Cuando  = 70º y h’ > 0,75h el valor de K sería:
0 ,5 sin   0 , 25 sin 
2
K a
4
1  3 cos 
Cuando  > 70º y h’ > 0,75h ó h’ < 0,75h el valor de K
sería:
K 
A
4
A  area de se cción transversa l
40 I P
I P  Momento
polar de inercia
Mecánica de materiales – Torsión
Sección Trapezoidal


b
h
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
 max 
T
Q  cb
donde
3
Q
Valores de c
h/b

0,577
1
2
3
4
90º
---
0,208
0,493
0,801
1,150
60º
0,077
0,184
0,474
0,781
1,102
45º
---
0,160
0,446
0,746
1,066
30º
----
---
0,402
0,697
1,014
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario
 
T
donde
K  cb
4
KG
Valores de c
h/b

0,577
1
2
3
4
h/b>4
90º
---
0,141
0,457
0,790
1,123
---
60º
0,038
0,125
0,436
0,768
1,101
h/3b-0,232
45º
---
0,104
0,398
0,729
1,061
h/3b-0,271
30º
---
---
0,345
0,674
1,007
h/b-0,326
Mecánica de materiales – Torsión
Sección Paralelogramo

2a
2b
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
 max 
T
donde
Q  cab
3
Q
Valores de c

b/a
15º
30º
45º
60º
75º
1,00
1,618
1,207
0,7442
0,3468
0,08859
1,20
1,350
1,008
0,6231
0,2909
0,07434
1,50
1,084
0,8151
0,5071
0,2384
0,06121
2,00
0,8200
0,6237
0,3930
0,1871
0,04847
2,50
0,6605
0,5076
0,3232
0,1554
0,04055
3,00
0,5533
0,4256
0,275
0,1332
0,03493
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario
 
T
K  cab
donde
3
KG
Valores de c

b/a
15º
30º
45º
60º
75º
1,00
2,038
1,502
0,8448
0,3092
0,04405
1,20
1,670
1,230
0,6909
0,2525
0,03594
1,50
1,253
0,9203
0,5148
0,1873
0,02656
2,00
0,8129
0,5943
0,3300
0,1192
0,01679
2,50
0,5599
0,4078
0,2253
0,0808
0,01134
3,00
0,4055
0,2946
0,1621
0,0579
0,00811
Mecánica de materiales – Torsión
Sección de un Sector Circular

R
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
 max 
T
Q  CR
donde
3
Q
Valores de C para calcular Q

60º
120º
180º
C
0,0712
0,227
0,35
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario
 
T
donde
K  CR
4
KG
Valores de C para calcular K

45º
60º
90º
120º
180º
270º
300º
360º
C
0,018
0,035
0,082
0,148
0,296
0,528
0,686
0,878
Rigidez de torsión
4
D=KG=CR G
Mecánica de materiales – Torsión
Sección circular con lados opuestos
achatados
R
W
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
 max 
T
donde
Q  CR
3
Q
Valores de C para calcular Q
W/R
7/8
3/4
5/8
½
C
1,155
0,912
0,638
0,471
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario
 
T
donde
K  CR
4
KG
Valores de C para calcular K
W/R
7/8
3/4
5/8
½
C
1,357
1,076
0,733
0,438
Rigidez de torsión
4
D=KG=CR G
Mecánica de materiales – Torsión
Sección circular hueca excéntrica
d
D
e
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
 max 
F  1

64 n
4
4n
16 TDF
 D  d
4
2
4
32 n
 
donde

2

2

48 n 1  2 n  3 n  2 n
2

2
4
1  n  1  n 1  n 
1  n 1  n 1  n 
2  12 n  19 n  28 n  18 n  14 n  3 n  
1  n 1  n 1  n 1  n 
2
2
2
4
4
6
2
8
10
4
6
12
4
2
siendo
4
 
e
d
6
y
n
8
d
D
6

3
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario
 
 D  d
4
T
K 
donde
KG
siendo

32 Q
Q  1
16 n
2
1  n 1  n 
2
rigidez de torsión
 D  d G
4
D  KG 
4
32 Q
4
4
 
2
384 n
4
1  n  1  n 
2 2
4 4
Mecánica de materiales – Torsión
Torsión en piezas de sección
cuadrada
Y
max
X
max
min=0
Mecánica de materiales – Torsión
Ángulo de giro
T
 
3
K 1Ga b
Como a = b
entonces:
 
y para b/a = 1
T
3
0 ,1406 Ga a
Rigidez de torsión
K1=0,1406
 7 ,1124
T
Ga
4
4
D = 0,1406Ga
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
 max 
Como a = b
entonces:
 max 
T
2
K 2a b
y para b/a=1
T
2
0 , 208 a a
K2=0,208
 4 ,8077
T
a
3
Mecánica de materiales – Torsión
Torsión en piezas de sección
rectangular estrecha
Y
c
X
d
Para verificar que la
sección rectangular sea
estrecha se debe cumplir
que c/d > 10
Mecánica de materiales – Torsión
Ángulo de giro
T
 
3
K 1Ga b
a=c; b=d
y para b/a >10
 
T
1

3
Gc d
K1=1/3
3T
3
Gc d
3
Rigidez de torsión
3
D = 1/3(a bG)
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
 max 
a=c; b=d
 max 
T
2
K 2a b
y para b/a >10
T
1
3

2
c d
3T
2
c d
K2=1/3
Mecánica de materiales – Torsión
Analogía de la membrana (resolución
experimental del problema de torsión)
Consideremos una membrana homogénea,
flexible y elástica, inicialmente plana tensada
uniformemente en su contorno por un esfuerzo
unitario (S) y solicitada por una presión vertical
constante (P). Supóngase que el contorno es
precisamente el de la sección transversal de la
pieza solicitada por torsión. Esta membrana se
deforma
y
sus
puntos
experimentan
desplazamientos verticales Z en función de X e Y.
Las ecuaciones de los diferentes parámetros de
las secciones transversales que se muestran a
continuación fueron calculados usando la analogía
de la membrana.
Mecánica de materiales – Torsión
Equilibrio de una membrana elástica
Mecánica de materiales – Torsión
Componentes verticales y fuerzas
resultantes de una membrana elástica
Mecánica de materiales – Torsión
Sumando las fuerzas de la última columna
e igualando a cero se obtiene la ecuación
de equilibrio del elemento de la membrana.
 z
2
S
x
2
 z
2
dxdy  S
y
2
dxdy  Pdxdy  0
Mecánica de materiales – Torsión
La membrana, en su deformación, adopta la
forma de una superficie Z=Z(x,y)
 z
2
x
2
 z
2

y
2
Z x, y   0

P
en
A
S
sobre
C
Mecánica de materiales – Torsión
Los esfuerzos quedarían expresados de la
siguiente manera
 zy   2 G 
 zy   2 G 
S z
P x
S z
P y
Mecánica de materiales – Torsión
Observando las ecuaciones anteriores se
puede concluir lo siguiente


La componente del esfuerzo zy según el eje Oy,
es proprcional a la pendiente ∂z/∂x que la
membrana presenta, según Ox.
Correlativamente, la componente zy, según Ox,
es proporcional a la pendiente ∂z/∂y
Mecánica de materiales – Torsión
Analogía de la membrana
Mecánica de materiales – Torsión
Para conocer en todo punto el esfuerzo ,
será preciso medir la máxima pendiente dz/dn,
por ser ésta normal a la referida curva de nivel
    zx sin    zy cos 
   2G 
S dz
P dn
Mecánica de materiales – Torsión
El momento torsor se expresa como:
T  D   2G 
T 
4G S
P

A

2S
A
P
z  x , y dxdy
z  x , y dxdy
Mecánica de materiales – Torsión
Observando la integral se comprueba que la
ecuación de enlace entre T y θ puede
expresarse en función del volumen (V), limitado
por la membrana y el plano de contorno.
T   4G 
S
P
V
Rigidez de torsión
D 
 
PT
4 SVG
T

 4G
S
P
V
Mecánica de materiales – Torsión
Los esfuerzos en función del volumen
serían
 zy  
 zy  
 
T z
2V  x
T z
2V  y
T
dz
2V dn
Mecánica de materiales – Torsión
En resumen tendríamos
 x, y   z x, y 
 zy  
z
x
,
 zx  
z
,
y
 
dz
dn
T  2  z  x , y dxdy  2V 
A
T  2 volumen encerrado
en la membrana

Mecánica de materiales – Torsión
Secciones tubulares de pared gruesa
cerrados

Sección circular.

Sección elíptica.
Mecánica de materiales – Torsión
Barra recta cilíndrica de sección
anular
Y
max
R
ro
r
t
X
max
max
Para verificar
que la sección
sea de pared
gruesa, se debe
cumplir que:
ro/ t < 10
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo máximo de corte y ángulo
de giro
 max 
 

2T

R 1 K 
T
GJ 0
3
4
donde
donde
K 
r
R
J0  
R
4
r
2
4

Mecánica de materiales – Torsión
Secciones tubulares de pared gruesa
cerrados
am
a
ao
bo
x
b
t
y
Para verificar que la sección sea de pared gruesa
se debe cumplir que
am / t < 10
Mecánica de materiales – Torsión
Diámetro anular
D anular  D cilindro
D anular
macizo
 D nucleo
int erior
3 3
  a 3b 3
 a 0 b0 
 G 2
 2
2
2 
a 0  b0 
a  b
Como K = ao/a y K = bo/b entonces:
D anular 
T

a b
3
G
3
a b
2
1  K 
4
2
Mecánica de materiales – Torsión
Componentes del esfuerzo cortante
 zy  G 
2b
2
a b
2
2a
2
 zy   G 
2
a b
2
x
2
2T
 a b 1  K
y
3
4

x
2T
 ab 1  K
3
4

y
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de
giro unitario y rigidez de torsión
 max  
2T
 ab 1  K
2
4
ab
si

a b G
3
D 
T a b
  
3 3
G  a b
2
2

1

 1  K

4

3
a b
2
2
1  K 
4
Mecánica de materiales – Torsión
Secciones tubulares cerradas de
pared delgada

Sección rectangular.

Sección elíptica.

Sección circular.
Mecánica de materiales – Torsión
Ecuaciones de Bredt
 max 
T
2 Am t
 
fS
2 GA m t

TS
2
m
4 GA t
Estas ecuaciones fueron obtenidas mediante la
analogía de la membrana, y es a partir de estas
que se calcula el esfuerzo de corte máximo para
las siguientes secciones tubulares de pared
delgada.
Mecánica de materiales – Torsión
Sección rectangular
d1
t
d2
Para verificar que
la sección sea de
pared delgada se
debe cumplir que
d2 / t ≥ 0
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de
giro unitario y rigidez de torsión
 max 
T
2 d 1d 2t
D 
 
d 1  d 2  T
2
1
2
2
2d d t G
2
1
2
2
2 d d tG
d 1  d 2 
Mecánica de materiales – Torsión
Sección Elíptica
t
b
b
a
a
Para verificar que la sección sea de pared delgada se
debe cumplir que a / t ≥ 10
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de
giro unitario y rigidez de torsión
 max 
T
2 abt
4 a b tG
2
D 
 

2 a b
2
2
4 a b t
2
2

T
G

2
2 a b
2
2

Mecánica de materiales – Torsión
Sección Circular
t
ro
Para verificar que
la sección sea de
pared delgada, se
debe cumplir
ro / t ≥ 10
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de
giro y rigidez de torsión
 max 
T
2 r t
2
D  2 r tG
3
0
 
T
2 r t G
3
Mecánica de materiales – Torsión
Productos tubulares de pared
delgada abiertos

ro
t
Para verificar que la
sección sea de
pared delgada se
debe cumplir que
ro / t ≥ 10

Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de
giro unitario y rigidez de torsión
 max 
3T



2
2 r0 t  1 

180




º 

D  2 r0 t G  1 

3
180 º 

1
 
3T



3
2 r0 t G  1 

180




3
Mecánica de materiales – Torsión
Sección Elíptica
t
b
b
a
a
Para verificar que la sección sea de pared delgada se
debe cumplir que a / t ≥ 10
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de
giro unitario y rigidez de torsión
 max 
3T
2t
2
a  b 
D 
2
3
 
3T
2 t  a  b  G
3
t  a  b  G
3
Mecánica de materiales – Torsión
Sección rectangular
d1
t
d2
Para verificar que
la sección sea de
pared delgada se
debe cumplir que
d2 / t ≥ 0
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de
giro unitario y rigidez de torsión
 max 
3T
2t
2
a  b 
D 
2
3
 
3T
2 t  a  b G
3
t  a  b G
3
Mecánica de materiales – Torsión
Secciones de perfiles laminados

Sección en L.

Sección en T.

Sección en U.

Sección en I.
Mecánica de materiales – Torsión
Perfil laminado en L
a
r
c
b
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de
giro unitario y rigidez de torsión
3T
 max  K
 
D 
c
2
a  b  c 
3T
c  a  b  c G
3
1
3
c  a  b  c G
3
K  1, 74
3
c
r
Mecánica de materiales – Torsión
Perfil laminado en T
h
r
c
b
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de
giro unitario y rigidez de torsión
 max  K
 
D 
3T
c b  h  c 
2
3T
c b  h  c G
3
1
3
c b  h  c G
3
K  1, 74
3
c
r
Mecánica de materiales – Torsión
Perfil laminado en U
c
h
c1
b
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de
giro unitario y rigidez de torsión
3T
 max  K
 
D 
c
1
3
c  h  2 c1   2 c b
3
3
1
3T
3
 h  2 c1   2 c
c
3
3
1
c1

b G
 h  2 c1   2 c
3
1

bG
K  1, 74
3
 c1  c 
r
Mecánica de materiales – Torsión
Perfil laminado en I
c1
h
c
b
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de
giro unitario y rigidez de torsión
 max  K
 
D 
c
1
3
3T
c  h  2 c1   2 c b
3
3
1
3T
3
 h  2 c1   2 c
c
3
3
1

b G
 h  2 c1   2 c13 b G
c1
K  1, 74
3
 c1  c 
r
Mecánica de materiales – Torsión
Secciones con dependencia triple o
múltiple
Las secciones transversales que tengan
dependencia
triple
o
múltiple
pueden
descomponerse en forma doblemente conexas,
que se denominan células; es posible asignar a
cada célula un flujo tangencial constante fi,
manteniendo para todas la células el mismo
sentido de circulación (correspondiente al giro
positivo alrededor del eje z). Llamando Ai el área
encerrada por la línea media de la pared de la
célula i. La participación de la célula i en el
momento torsor T será igual a 2Aifi
Mecánica de materiales – Torsión
Secciones con dependencia triple o
múltiple
f2
f1
f1
Celula 5
f5
Celula 2
f 14
f 15
f5
f 12
Celula 1
Celula 4
f 45
f4
f2
f 23
f 34
Celula 3
f3
f3
Mecánica de materiales – Torsión
Células descompuestas
f1
f2
f 12
f1
f1
-f 12
Am1
Am2
f 15
f 23
-f 15
-f 15
f5
f5
Am5
f5
f2
f2
-f 45
f 45
-f 23
f4
-f 34
f 34
Am4
f4
f3
f3
Am3
f3
Mecánica de materiales – Torsión
El momento torsor total transmitido por la barra
sería
N
T total  T1  T 2  ...... T N  2  Ai f i
i 1
El flujo tangencial que actúa en cada pared
intermedia está formada por dos partes, que
corresponden a las células situadas a ambos
lados. Como consecuencia de la igualdad de
sentido de circulación en todas las células, cada
pared intermedia absorbe la diferencia de los
flujos tangenciales de las células adyacentes
f ij  f i  f j
Mecánica de materiales – Torsión
En las paredes que rodean a la célula i actúan
los flujos fij en el sentido de circulación de la
célula i, entonces se va a introducir la
siguiente notación para cada una de las
integrales de la ecuación del ángulo de giro

ij
ds
t
  ij   ji
Mecánica de materiales – Torsión
Entonces tendríamos
ecuaciones

ij
las

f ij  2 G  A m
j
siguientes
ij

j
f i   ij 
j

i
t
 i
f i ij  2 G  A m
j
 i f i    ij f j  2 G  A mi
j

ds
para
i  1, 2 ,..., N
Mecánica de materiales – Torsión
El ángulo de giro quedaría expresado como:
 
1
2 GA mi

  i f i 

n j

  ij f j 
i 1

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Tema IV Torsión en barras prismáticas