Análisis Combinatorio
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Análisis Combinatorio
• El análisis combinatorio es un sistema que permite
agrupar y ordenar, en diversas formas, los elementos de
un conjunto. Los tres principales tipos de análisis
combinatorio son:
– Permutaciones
– Variaciones
– Combinaciones
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Permutaciones
• Se denominan permutaciones de h elementos, los
diferentes grupos que se pueden hacer, tomándolos
todos cada vez.
• Las permutaciones implican orden.
• Cada conjunto ordenado de h elementos se denominará
una permutación de los n elementos diferentes.
• La formula es Pn = n!, donde Pn corresponde al número
de permutaciones posibles.
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Ejemplo-1:Permutaciones
• Determine el número de permutaciones posibles de las
letras A, B, C, D.
• P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Representémoslas:
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Permutaciones con Repetición
• Las permutaciones con repetición r, son un caso
particular de las variaciones y no existe una ley sencilla
para su formación. Dado lo complicado del sistema,
sólo, se presenta la fórmula que logra el número de esta
clase de permutaciones.
• La formula será:
P r : r , r
1
n
2

n!
r !r !
1
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2
Ejemplo-2: Permutaciones con
Repetición
• Sean los elementos aa - bbb - cc - d, para permutar con
repetición, tendremos 8 elementos repartidos así: dos
del primero, tres del segundo, dos del tercero y uno del
cuarto, entonces las permutaciones se presentarán así:
P  r : 2 ,3, 2 ,1 y la fórmula respectiva será:
8
P  r : 2 ,3 , 2 ,1  
8
8!

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1
2!3!2!
P  r : 2 ,3, 2 ,1  1680
8
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 2 x13 x 2 x1 2 x1
Ejemplo-3: Permutaciones con
Repetición
• ¿De cuántas maneras distribuiríamos 3 monedas de 5 ¢ y
4 monedas de 10 ¢ en una misma línea?
La fórmula respectiva será:
P  r : 3, 4  
7
7!
3!4!
P  r : 3, 4   35
7
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
7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1
3 x 2 x1 4 x 3 x 2 x1
Variaciones
• Las variaciones corresponden a aquellas permutaciones
donde los elementos no se toman en su totalidad.Dado
un conjunto de n elementos diferentes, se denominará
permutación parcial o variaciones, de subconjunto de r
elementos (r<n) pertenecientes al conjunto dado.
La formula será:
V 
n
r
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n!
 n  r !
Ejemplo-3: Variaciones
• Determine el número de variaciones posibles de las
letras A, B, C, D; donde las cuatro letras o elementos (n)
vamos a permutar de cada 2 (r).
La fórmula respectiva será:
V 
4
2
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4!
 4  2 !

4 x 3 x 2 x1
2 x1
 12
Ejemplo-4: Variaciones
• ¿Cuántas cifras diferentes de 4 dígitos se pueden formar
con los dígitos del 0 al 9, usándolos una vez?
La fórmula respectiva será:
V 
10
4
V 
10
4
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10 !
10  4 !
10 !
10  4 !

10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1
 5 , 040
Combinaciones
• Son aquellas en las que no interesa el orden de la
aparición de elementos del conjunto. Será lo mismo AB
que BA. Cuando se toma la totalidad de elementos,
solamente se puede hacer una combinación.
La fórmula será:
n!
n
 C 
r !  n  r !
r
n
r
Se lee de la siguiente manera, la combinación de n
elementos tomados de r en r.
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Ejemplo 5: Combinaciones
• En la combinación de estas 4 letras tomadas de 2 en 2
será:
n!
n
 C 
r !  n  r !
r
n
r
4!
4
6
 C 
2!  4  2 !
2
4
2
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