Universidad Diego Portales
Facultad de Economía
y Empresa
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Modelos de Probabilidad Discretos
n
n
n
Distribución de Probabilidad Binomial
Distribución de Probabilidad de Poisson
Distribución de Probabilidad Hipergeométrica
.40
.30
.20
.10
0
1
2
3
4
Slide 2
Distribución de Probabilidad Binomial
n
Propiedades de un Experimento Binomial
• El experimento consiste en una secuencia de n
repeticiones idénticas.
• Solo son posibles dos sucesos, éxito y fracaso, en
cada repetición.
• La probabilidad de éxito, descrita por p, no cambia
de repetición a repetición.
• Todas las repeticiones son independientes.
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Ejemplo: Compañía de Electrónicos Evans
n
Distribución de Probabilidad Binomial
A la firma Evans le preocupa un índice bajo de
retención de sus empleados. En base a la experiencia
pasada, los administradores han observado una
rotación del 10% de los empleados anualmente. Así,
por cada empleado seleccionado al azar, la
administración estima una probabilidad de 0.1 de
que la persona no seguirá empleada el próximo año.
Si se escogen 3 empleados al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que 1 de ellos deje la compañía este
año?
Aquí:
p = .10, n = 3, x = 1
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Distribución de Probabilidad Binomial
n
Función de Probabilidad Binomial
f ( x) 
n!
p (1  p )
x
(n x )
x !( n  x )!
Donde:
f(x) = la probabilidad de x éxitos en n
repeticiones
n = el número de repeticiones
p = la probabilidad de éxito en cada repetición
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Ejemplo: Compañía de Electrónicos Evans
n
Usando la Función de Probabilidad Binomial:
f ( x) 
f (1) 
n!
x
x !( n  x )!
3!
1!( 3  1)!
p (1  p )
1
( 0.1) ( 0. 9 )
(n x )
2
= (3)(0.1)(0.81)
= 0.243
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Ejemplo: Compañía de Electrónicos Evans
n
Usando un diagrama de árbol
Primer
Trabajador
Segundo
Trabajador
Sale (.1)
Tercer
Trabajador
S (.1)
3
Prob.
.0010
2
.0090
S (.1)
2
.0090
Q (.9)
1
.0810
S (.1)
2
.0090
Q (.9)
1
.0810
S (.1)
1
.0810
Q (.9)
0
.7290
Q (.9)
Sale (.1)
Queda (.9)
Sale (.1)
Queda (.9)
Queda (.9)
Valor
de x
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Distribución de Probabilidad Binomial
n
Valor Esperado
E(x) =  = np
n
Varianza
Var(x) =  2 = np(1 - p)
n
Desviación Estándar
SD( x )   
np (1  p )
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Ejemplo: Compañía de Electrónicos Evans
n
Distribución de Probabilidad Binomial
• Valor Esperado
E(x) =  = 3(0.1) = 0.3 empleados de 3
• Varianza
Var(x) =  2 = 3(0.1)(0.9) = 0.27
• Desviación Estándar
SD( x)   
3(.1)(.9)  0.52 empleados
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Distribución de Probabilidad de Poisson
n
Propiedades de un Experimento Poisson
• La probabilidad de ocurrencia es la misma para
dos intervalos cualesquiera de igual longitud.
• La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier
intervalo es independiente de la ocurrencia o no
ocurrencia en cualquier otro intervalo.
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Distribución de Probabilidad de Poisson
n
Función de Probabilidad de Poisson
f ( x) 
 x e
x!
Donde:
f(x) = probabilidad de x ocurrencias en un
intervalo
 = número promedio de ocurrencias en un
intervalo
e = 2.71828
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Ejemplo: Hospital Mercy
Usando la Función de Probabilidad de Poisson
Los pacientes llegan a la sala de emergencia del
Hospital Mercy a un promedio de 6 por hora en las
tardes de los fines de semana. ¿Cuál es la
probabilidad de que lleguen 4 nuevos pacientes en
30 en una tarde?
n
 = 6/hora = 3/media hora, x = 4
4
f ( 4) 
3 ( 2.71828)
3
 0.1680
4!
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Distribución de Probabilidad de Poisson
n
Valor Esperado
E(x) =  = λ
n
Varianza
Var(x) =  2 = λ
n
Desviación Estándar
Raíz de λ
Slide 13
Distribución de Probabilidad Hipergeométrica
n
n
La distribución hipergeométrica se encuentra
relacionada de manera cercana a la distribución
binomial.
Con la distribución Hipergeométrica, las repeticiones
NO SON independientes, y la probabilidad de éxito
cambia de repetición a repetición.
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Distribución de Probabilidad Hipergeométrica
n
Función de Probabilidad Hipergeométrica
 m  N  m 
 

 x  n  x 
f ( x) 
N
 
n
Donde:
para 0<x<r
f(x) = probabilidad de x éxitos en n repeticiones
n = número de repeticiones
N = número de elementos en la población
m = número de elementos en la población
etiquetados como éxitos
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Distribución de Probabilidad Hipergeométrica
n
Valor Esperado
E(x) =  = nm/N
n
Varianza
Var(x) =  2 = [(nm)(N-n)(N-m)]/[N2(N-1)]
n
Desviación Estándar
Raíz de Var(x)
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Ejemplo: Baterías Neveready
n
Distribución de Probabilidad Hipergeométrica
Bob Neveready ha removido dos baterías
descargadas de una linterna, pero descuidadamente
las ha mezclado con las dos baterías que intentaba
usar como reemplazo. Las 4 baterías lucen idénticas.
Ahora Bob selecciona al azar 2 de las 4 baterías.
¿Cuál es la probabilidad de que seleccione las dos
baterías buenas?
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Ejemplo: Baterías Neveready
n
Distribución de Probabilidad Hipergeométrica
 m  N  m 
 

 x  n  x 
f ( x) 

N
 
n
 2  2 
  
 2  0 

 4
 
 2
 2!  2! 



 2!0! 0!2! 1
  0.167
6
 4! 


 2!2!
donde:
x = 2 = número de baterías buenas elegidas
n = 2 = número de baterías seleccionadas
N = 4 = número de baterías en total
m = 2 = número de baterías buenas en total
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STATISTICS FOR BUSINESS AND ECONOMICS