UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Teoría de juegos:
Tema 1
Rafael Salas
febrero de 2013
Teoría de juegos
• Cómo individuos racionales toman decisiones cuando
son interdependientes
• Individualismo
• Racionalismo
• Interdependencia
• Tipos de juegos:
• estáticos (simultáneos), dinámicos.
• con información perfecta, con incertidumbre, con información
incompleta.
• estrictamente competitivos (intereses contrapuestos), no
competitivos (intereses comunes). Conflicto-cooperación.
• juegos de suma cero
Elementos del juego
• Jugadores: 1,...,n
• n>1
• la naturaleza, en juegos de azar, un jugador más
• en numerosas ocasiones n=2
• Acciones: A1,...,An y donde Ai={ai / aiAi}
• decisiones que puede tomar cada jugador en un momento dado
• Estrategias: S1,...,Sn y donde Si={si / siSi}
• plan completo de acciones de cada jugador
• Perfil de estrategias
• un conjunto de estrategias, una por cada jugador (s1,...,sn)  S
donde s1S1,..., snSn
• existen S1xS2x...xSn perfiles posibles
Elementos del juego (2)
• Resultados del juego
• modos en que puede acabar el juego
• tiene consecuencias para cada jugador
• Pagos o función de ganancias
•
•
•
•
•
representan los beneficios o utilidad al acabar el juego
uno para cada jugador para perfil de estrategias ui(s)
definidos sobre todo s=(s1,...,sn)  S
ui:SR
existen tantos pagos posibles para cada jugador, como
elementos en S=S1xS2x...xSn
• pueden ser magnituder ordinales (utilidad) o cardinales (utilidad
esperada, beneficios)
Representación del juego
• Forma estratégica o normal
• Forma extensiva
Representación del juego (1)
• Forma estratégica o normal
• G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}
• Gráficamente:
• mediante una tabla con una entrada para cada jugador, donde
aparecen todas las estrategias y los pagos correspondientes a
todas los perfiles de estrategias posibles.
• Ejemplos: (juegos simultáneos)
•
•
•
•
•
1.
2.
3.
4.
5.
Batalla de los sexos
Pares o nones (ó juego de las monedas)
Juegos con preferencia idénticas
Dilema de los presos
Halcón-paloma
1. La batalla de los sexos
JUG 2
B
O
B
4,1
0,0
O
-1 , -1
1,4
JUG 1
.
Elementos del juego 1
• Conjunto de jugadores:
• N={1,2} ó n=2
• Conjunto de acciones de los jugadores 1 y 2:
• A1={ B,O} y A2={ B,O}
• Conjunto de estrategias de los jugadores 1 y 2:
• S1={ B,O} y S2={ B,O}
• Hay 4 perfiles de estrategias:
• (B,B), (B,O), (O,B) y (O,O)
• Los pagos de los jugadores 1 y 2:
• u1(B,B)=4, u1(B,O)=0, u1(O,B)=-1, u1(O,O)=1
• u2(B,B)=1, u2(B,O)=0, u2(O,B)=-1, u2(O,O)=4
Estructura del juego 1
• u1(B,B) > u1(O,O) > u1(B,O) > u1(O,B)
• u2(O,O) > u2(B,B) > u2(B,O) > u2(O,B)
• No es un juego estrictamente competitivo. Ni de preferencias
idénticas. Juego parcialmente competitivo
• Región de ganancias cooperativas (existe margen para la
negociación)
• SOLUCIÓN: La veremos una vez definamos conceptos de equilibrio
adecuados. Se trata de predecir lo que los individuos racionales van
a hacer, descentralizadamente.
• Muchos juegos en economía responden a este patrón (dos
departamentos de una empresa utilizando mismos programas
informáticos o diferentes)
2. El juego de las monedas
JUG 2
CA
CA
CR
1 , -1
-1 , 1
-1 , 1
1 , -1
JUG 1
CR
.
Estructura del juego 2
• u1(CA,CA) = u1(CR,CR) > u1(CA,CR) = u1(CR,CA)
• u2(CR,CA) = u2(CA,CR) > u2(CR,CR) = u2(CA,CA)
• Es un juego estrictamente competitivo (preferencias opuestas).
• No existe margen para la negociación.
• Juego de suma cero.
• No son muy interesantes desde el punto de vista económico,
aunque tienen propiedades matemáticas interesantes.
3. Preferencias idénticas
JUG 2
IZQ
DCHA
IZQ
1,1
-1 , -1
DCHA
-1 , -1
JUG 1
1,1
.
Estructura del juego 3
• u1(I,I) = u1(D,D) > u1(I,D) = u1(D,I)
• u2(I,I) = u2(D,D) > u2(I,D) = u2(D,I)
• Es un juego con preferencias idénticas. Fácil ponerse de acuerdo y
cooperar. No existe conflicto.
• No son muy interesantes desde el punto de vista económico.
• Los individuos cooperaran. Los interesantes son los parcialmente
competitivos, donde hay margen para la negociación.
4. Dilema de los presos
JUG 2
CA
CA
CO
2,2
0,4
4,0
1,1
JUG 1
CO
.
Estructura del juego 4
• u1(CO,CA) > u1(CA,CA) > u1(CO,CO) > u1(CA,CO)
• u2(CA,CO) > u2(CA,CA) > u2(CO,CO) > u2(CO,CA)
• Juego parcialmente competitivo
• Región de ganancias cooperativas (existe incentivos para cooperar)
• SOLUCIÓN: La veremos una vez definamos conceptos de equilibrio
adecuados. Veremos como la solución es no cooperar (ineficiencia).
• Muchos juegos en economía tienen esta estructura y esta solución:
•
•
•
•
Oligopolios
Pesca
Aranceles
Carrera armamentista
4bis. Oligopolio
JUG 2
A
A
B
1000 , 1000 -200 , 1200
JUG 1
B
1200 , -200
600 , 600
.
Ejemplo 5: Halcón-paloma
JUG 2
H
P
H
2-k , 2-k
4,0
P
0,4
2,2
JUG 1
.
Estructura del juego 5
• Si k<2: Dilema de los presos
• u1(P,H) > u1(P,P) > u1(H,H) > u1(H,P)
• u2(H,P) > u2(P,P) > u2(H,H) > u2(P,H)
• Si k>2: Juego diferente
• u1(P,H) > u1(P,P) > u1(H,P) > u1(H,H)
• u2(H,P) > u2(P,P) > u2(H,P) > u2(H,H)
Ejemplo 5bis ciervo-liebre
JUG 2
C
L
2
C
2
0
JUG 1
L
1
0
1
1
1
.
Ejemplo 5bis: ciervo-liebre
JUG 2
C
L
2
C
2
0
JUG 1
L
1
0
1
1/2
1/2
.
Representación en forma extensiva (1)
• Forma extensiva
• Se resalta la secuencia y el tipo de información disponible.
• Se añade información sobre:
• El momento en que cada jugador toma la decisión
• El conjunto de información disponible en cada momento
• Se representa mediante un árbol, que se compone de:
• Un conjunto de nodos (vértice)
• Ramas (aristas)
• No hay ciclos
Representación en forma extensiva (2)
• Elementos (de dominio público):
• Jugadores
• Nodo inicial (raíz): donde aparece la primera decisón.
• Si los juegos son finitos, terminan en nodos terminales (donde
aparecen los pagos de cada jugador)
• Los nodos intermedios son nodos de decisión. De ellos salen
ramas que representan las acciones o las decisiones de los
jugadores en ese punto del juego.
• Si hay incertidumbre, los nodos que configuran una jugada de
azar son nodos de incertidumbre, donde mueve de la
naturaleza. De ellos salen ramas que representan sucesos
posibles con sus probabilidades.
• En este caso los pagos son pagos o utilidades esperadas.
Representación en forma extensiva (3)
• Elementos (de dominio público):
• Conjuntos de información: todo lo que conoce el jugador a la
hora de decidir.
• En los juegos con información perfecta: se conoce todo el
desarrollo del juego hasta ese momento. El jugador sabe en el
nodo que se encuentra. El conjunto de información se compone de
un solo nodo.
• En los juegos con información imperfecta: puede que un jugador
no conozca en todo el desarrollo del juego en qué nodo se
encuentre. El conjunto de información se compone de más de un
nodo.
• Esta característica es la que define información imperfecta más que
si hay incertidumbre, como veremos con los ejemplo siguientes.
Representación en forma extensiva (4)
• Elementos (de dominio público):
• Estrategias puras: Es un plan contingente completo. Es un
conjunto de acciones para cada conjunto de información.
• Jugadas (o Partida): Una secuencia de aristas que van desde el
nodo inicial al final. La representamos entre corchetes.
• Todo esto es de conocimiento común.
• Veamos algunos ejemplos clarificadores...
• En general, se tratan de juegos dinámicos. Pero los juegos
estáticos también pueden representarse en forma extensiva.
• ...Y los juegos dinámicos también se pueden representar en
forma estratégica o normal. Hay que evitar esa confusión.
• Veamos...
Ejemplo 6
1
d
i
2 
 2
I
D

I
M
D
 2  
(1, -1) (-1, 1) I
(1, -1) (1, -1)
D

1
i

(-1, 1)
d (1, -1)

(1, -1)
Ejemplo 6: elementos (1)
• Juego dinámico con 2 jugadores, de suma cero
• Información perfecta, sin jugadas de azar
• 5 conjuntos de información (C.I.) con un nodo de
decisión cada uno
• Acciones asociadas a cada C.I.:
•
•
•
•
•
C.I 1 (nodo inicial) El jugador 1 tiene dos acciones posibles {i,d}
C.I. 2 El jugador 2 tiene dos acciones posibles {I,D}
C.I. 3 El jugador 2 tiene tres acciones posibles {I,M,D}
C.I. 4 El jugador 2 tiene dos acciones posibles {I,D}
C.I. 5 El jugador 1 tiene dos acciones posibles {i,d}
Ejemplo 6: elementos (2)
• Estrategias puras
• 4 para el jugador 1:
{ii,id,di,dd}
• 12 para el jugador 2:
{III,IID, IMI,IMD,IDI,IDD,DII,DID,DMI,DMD,DDI,DDD}
• Jugadas: ejemplo [d,I,I,d]
• Perfil de estrategias: ejemplo (di, IID)
• Representación en forma estratégica...
Práctica
7. El jugador 1 elige primero una acción entre {L,M,R}.
Después el jugador 2 la observa si es [L] o no y escoge a
continuación entre {l,r}
Tirole, p. 638
8. El jugador 1 elige primero entre {I,D}. Después el
jugador 2 escoge entre {I’,D’} al observar [ I ] ó [ D ].
Después el jugador 3 observa [D,D’] o no observa nada
y escoge entre {I’’,D’’}
Gibbons, p. 121
9. Represente el juego de las tres en raya.
Binmore, p. 28; Mas-Collel et al., p. 220
.
Práctica
10. Suponga el siguiente juego de dos jugadores que
ponen 1 euro en la mesa. El jugador 1 escoge, primero,
una carta alta (a) o baja (b), con igual probabilidad.
Tras verla, puede pasar (P), en cuyo caso pierde el euro
o apostar otro euro (A). Si apuesta, el jugador 2, que no
la ve, tiene dos opciones: pasar (P), en cuyo caso
pierde el euro, o apostar otro euro (A). Si la carta es
alta gana el jugador 1 y si es baja gana el jugador 2. El
que gane se llevan el dinero de la mesa.
Represente el juego en forma extensiva y estratégica
¿Se trata de un juego estático o dinámico y de
información perfecta o imperfecta?
Ricart, ejemplo 4
.
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